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e.bibl.radcl 



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r 



CABL FRIEDRICH GAUSS WERKE 



BAND IV. 



CARL FRIEDRICH GAUSS 
WERKE 



VIERTER BAND. 



HERAUSGEGEBEN 

TON DEB 

KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFfEN 

zu 

GÖTTINGEN 

1873. 



c, 



Ol 



■B 



THEORIA 



COMBINATIONIS OBSERVATIONUM 



ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE 



PARS PRIOR 



A U C T O B E 



CAROLO FRIDERICO GAUSS 



80CIETATI REOIAE 8CIEMTIARUM EXmBITA 1821. FEBR. 16. 



Conunentationes societatis regiae sdentiamm Gottingensis recentiores. Vol. ▼. 

Gottingae KDCCCxxm. 



1 



THEORIA 

C0MBINATI0N18 OBSER V ATIONUM 

ERRORIBUS MmiMIS OBNOXIAE. 



PARS PRIOR. 



1. 

Quantacunque cura instituantur observationes , rerum naturalium magnitu- 
dinem spectantes , semper tarnen erroribus maioribus minoribusye obnoxiae ma- 
nent. Errores observationum plerumque non 8unt simplices, sed e pluiibus fon- 
tibos simul originem trahunt : horum fontiam duas species probe distinguere opor- 
tet. Quaedam errorum caussae ita sunt comparatae , ut ipsarum efFectus in qua- 
übet observatione a circumstantiis variabilibus pendeat , inter quas et ipsam ob- 
servationem nullus nexus essentialis concipitur : errores hinc oriundi irreguläres 
seu fortuiti vocantur , quatenusque illae circumstantiae calculo subiici nequeunt« 
idem etiam de erroribus ipsis valet. Tales sunt errores ab imperfectione sensuum 
provenientes, nee non a caussis extraneis irregularibus, e. g. a motu tremulo aeris 
Visum tantillum turbante : plura quoque vitia instrumentorum vel optimorum huc 
trahenda sunt, e. g. asperitas partis interioris libellularum, defectus firmitatis ab- 
solutae etc. Contra aliae errorum caussae in omnibus observationibus ad idem 
genus relatis natura sua effectum vel absolute constantem exserunt, vel saltem ta- 
lem, cuius magnitudo secundum legem determinatam unice a circumstantiis, quae 
tamquam essentialiter cum observatione nexae spectantur, pendet. Huiusmodi 
errores constantes seu reguläres appellantur. 

Ceterum perspicuum est , hanc distinctionem quodammodo relativam esse, 
et a sensu latiore vel arctiore , quo notio observationum ad idem genus pertinen- 
tium accipitur , pendere. E. g. vitia irregularia in divisione instrumentorum ad 



4 THBORIA COKBIKATIONIS OBSEBVATIOKÜH 

angulos mensurandos errorem constantem producunt, quoties tantummodo de ob- 
servatione anguli determinati indefinite repetenda sermo est , siquidem hie sem- 
per eaedem divisiones vitiosae adhibentur : contra error ex illo fönte oriundus tam- 
quam fortuitus spectari potest, quoties indefinite de angulis cuiusvis magnitudi- 
nis mensurandis agitur« siquidem tabula quantitatem erroris in singulis divisioni- 
bus exhibens non adest. 

2. 
Errorum regularium consideratio proprio ab instituto nostro excluditur. . Sei- 
licet observatoris est , omnes caussas , quae errores constantes producere valent, 
sedulo investigare , et vel amovere , yel saltem earum rationem et magnitudinem 
summo studio perscrutari, ut efiectus in quavis observatione determinata assignari. 
adeoque haec ab iUo liberari possit, quo pacto res eodem redit, ac si error omnino 
non affiiisset. Longe vero diversa est ratio errorum irr^^arium, qui natura sua 
calculo subiid nequeunt. Hos itaque in observationibus quidem tolerare, sed 
eoruxn effectum in quantitates ex observationibus derivandas per scitam harum 
combinationem quantnm fieri potest extenuare oportet Oui argumento gravissimo 
sequentes disquisitiones dicatae sunt. 

3. 
Enrores observationum ad idem genus pertinentium , qui a caussa simplici 
determinata oriuntur, per rei naturam certis limiiibus sunt circumscripti « quos 
sine dubio exacte assignare liceret, si indoles ipsius caussae penitus esset perspecta. 
Fleraeque errorum fortuitorum caussae ita sunt comparatae , ut secundum l^em 
continuitatis omnes errores intra istos limites comprehensi pro possibilibus haben 
debeant, perfectaque caussae cognitio etiam doceret, utrum omnes hi errores ae- 
quali facilitate gaudeant an inaequali, et quanta probabilitas relativa, in casu po- 
steriore, cuivis errori tribuenda sit Eadem etiam respectu erroris totalis, e plu- 
ribus erroribus simplicibus confiati , valebunt , puta inclusus erit certis limitibus, 
(quorum alter aequalis erit aggregato omnium limitum superiorum partialium, 
alter aggregato omnium limitum inferiorum) ; omnes errores intra hos limites pos- 
sibiles quidem enmt , sed prout quisque infinitis modis diversis ex erroribus par- 
tialibus oomponi potest, qui ipsi magis minusve probabiles sunt, alii maiorem, 
alii minorem facilitatem tribuere debebimus, eruique poterit lex probabilitatis re- 



EBBOBIBUS MINIMIS OBNOXUB. PABS PBIOB. 5 

lativae , si l^es errorum simplicium coguitae supponuntor , salvis difficultatibus 
analyticis in coUigendis omnibus combinationibus. 

Ejistant utique quaedam errorum caussae. quae errores noa secundum 1^ 
gern continuitatis progredientes, sed discretos tantum, producere possttnt, qoales 
sunt errores divisionis instrumentorum , (siquidem illos erroribus fortuitis annu- 
merare placet) : divisionum enim multitudo in quovis instrumento determinato est 
finita. Manifesto autem, hoc non obstante, si modo non omnes errorum caussae 
errores discretos producant, complexus omnium errorum totalium possibilium con- 
stituet seriem secundum legem continuitatis progredientem , sive plures eiusmodi 
series interruptas, si forte, omnibus erroribus discretis possibilibus secundum 
magnitudinem ordinatis , una alterave differentia inter binos terminos proximos 
maior evadat, quam differentia inter Limites errorum totalium, quatenus e solis 
erroribus continuis demanant Sed in praxi casus posterior yix umquam locum 
habebit , nisi diyisio vitiis crassioribus laboret. 

4. 

Designando facilitatem relativam erroris totalis x , in determinato obsenra- 
tionum genere, per characteristicam <p<r, hoc, propter errorum continuitatem, ita 
intelligendum erit, probabilitatem erroris inter limites infinite proximos ^ et 
x-\'dx esse =9^. da?. Yix, ac ne vix quidem, umquam in praxi possibile 
erit, hanc functionem a priori assignare : nihilominus plura generalia eam spectan- 
tia Stabilire possunt« quae deinceps proferemus. Obvium est, functionem tfx 
eatenus ad fiinctiones discontinuas referendam esse , quod pro omnibus valoribus 
ipsins X extra limites errorum possibilium iacentibus esse debet = 0; intra 
hos limites yero ubique yalorem positivum nanciscetur (omittendo casum, de quo 
in fine art. praec. locuti sumus). In plerisque casibus errores positives et ne- 
gatives eiusdem magnitudinis aeque faciles supponere licebit, quo pacto erit 
9( — x) = (fx. Porro quum errores leviores facilius committantur quam gra- 
vieres , plerumque valor ipsius <px erit maximus pro jr = , continuoque de- 
crescet, dum x augetur. 

Generaliter autem valor integralis frpx.dx, nh x = a usque ad o? = 6 
extensi exprimet probabilitatem , quod error aliquis nondum oognitus iaceat in- 
ter limites a et b. Valor itaque istius int^ralis a limite inferiore omnium erro- 
rum possibilium usque ad limitem superiorem semper erit =^ 1 . Et quum fx 



6 THEOBIA COMBUTATIONIS OBSEBVATIONÜM 

pro Omnibus valoribus ipsius x extra hos limites iacentibus semper sit = 0, ma- 
nifesto etiam 

valor integralis f^x.dx ab x = — oo usque ad ^ = -)-oo extensi sem- 
per ßt = 1. 

5. 
Consideremus porro integrale fx^xAx inter eosdem limites, cuius valo- 
rem statuemus = k. Si omnes errorum caussae simplices ita sunt comparatae, 
ut nulla adsit ratio , cur errorum aequalium sed signis oppositis affectorum alter 
facilius producatur quam alter, hoc etiam respectu erroris totalis valebit , sive erit 
9( — x) = <fx, et proin necessario A: = 0. EQnc colligimus, ^uoties k non eva- 
nescat, sed e. g. sit quantitas positiva, necessario adesse debere unam alteramve 
errorum caussam , quae vel errores positives tantum producere possit , vel certe 
positives facilius quam negatives. Haecce quantitas Ar, quae revera est medium 
omnium errorum possibilium , seu valor medius ipsius x , commode dici potest 
erroris pars constans. Ceterum facile probari potest , partem constantem erroris 
totalis aequalem esse aggregato partium constantium , quas continent errores e 
singulis caussis simplidbus prodeuntes. Quodsi quantitas k nota supponitur, 
a quavis observatione resecatur, errorque observationis ita correctae designatur 
per af, ipsiusque probabilitas per 9V, erit x=x — k, <f'x' = <fx ac proin 
jx^'x'.dx' =^fx(px.dx — fk(px.dx = k — A: = 0, i. e. errores observationum 
correctarum partem constantem non habebunt , quod et per se darum est. 

6. 
Perinde ut integrale fx^x.dx, seu valor medius ipsius <r, erroris con- 
stantis vel absentiam vel praesentiam et magnitudinem docet , int^rale 

fxx^x.dx 

ab X = — 00 usque ad j? = -f- 00 extensum (seu valor medius quadrati xx) 
aptissimum videtur ad incertitudinem observationum in genere definiendam et di* 
metiendam, ita ut e duobus observationum systematibus, quae quoad errorum fa* 
cilitatem inter se differunt, eae praecisione praestare censeantur, in quibus inte- 
grale fxx^x.dx valorem minorem obtinet. Quodsi quis hanc rationem pro ar- 
bitrio, nulla cogente necessitate, electam esse obüciat, lubenter assentiemur. 



SRBOBIBUS MINIMIS OBNOXIAS. PABS PRIOB. 7 

Quippe quaestio haec per rei naturam aliquid vagi implicat, quod limitibus cir* 
cumscribi nisi per principium aliquatenus arbitrarium nequit. Determinatio all- 
cuius quantitatis per observationem errori maiori minorive obnoxiam , haud in- 
epte comparatur ludo, in quo solae iacturae, lucra nulla, dum quilibet error me- 
tuendus iacturae a£S.nis est. Talis ludi dispendium aestimatur e iactura proba- 
bili , puta ex ag^egato productorum singularum iacturarum possibilium in pro* 
babiiitates respectivas. Quantae vero iacturae quemlibet observationis errorem 
aequiparare conveniat , neutiquam per se darum est ; quin potiüs haec determi- 
natio aliqua ex parte ab arbitrio nostro pendet. lacturam ipsi errori aequalem 
statuere manifesto non licet; si enim errores positivi pro iacturis acciperentur, ne- 
gativi lucra repraesentare deberent. Magnitudo iacturae potius per talem erroris 
functionem exprimi debet, quae natura sua semper fit positiva. Qualium functio- 
num quum varietas sit infinita , simplicissima , quae hac proprietate gaudet, prae 
ceteris eligenda videtur , quae absque lite est quadratum : hoc pacto principium 
supra prolatum prodit. 

Hl. Laflage simili quidem modo rem consideravit, sed errorem ipsum sem* 
per positive acceptum tamquam iacturae mensuram adoptavit. At ni fallimur 
haecce ratio saltem non minus arbitraria est quam nostra : utrum enim error du- 
plex aeque tolerabilis putetur quam simplex bis repetitus , an aegrius , et proin 
utrum magis conveniat , errori duplici momentum duplex tantum , an malus, tri- 
buere , quaestio est neque per se clara , neque demonstrationibus mathematicis 
decidenda , sed libero tantum arbitrio remittenda. Praeterea n^ari non potest, 
ista ratione continuitatem laedi : et propter hanc ipsam caussam modus ille tracta- 
tioni analyticae magis refragatur, dum ea , ad quae principium nostrum perducit, 
mira tum simplicitate tum generalitate commendantur. 

7. 
Statuendo yalorem integralis Jxx^xAx ab <r = — oo usque ad a? = -|-c^ 
extensi z=^mm, quantitatem m vocabimus errorem medium metuendum, sive sim- 
pliciter errorem medium observationum , quarum errores indefiniti x habent pro- 
babilitatem relativam <fx. Denominationem illam non ad observationes imme- 
diatas limitabimus , sed etiam ad determinationes qualescunqüe ex observationi- 
bus derivatas extendemus. Probe autem cavendum est, ne error medius confun- 
datur cum medio arithmetico omnium errorum , de quo in art. 5 locuti sumus. 



8 THBOBIA GOMBINATIONIS OBSBBVATIOHUM . 

Ubi plura observationum genera , seu plures detenninationes ex observa- 
tionibus petitae, quibus haud eadem praecisio concedenda est, comparantur, pan- 
dus earum relativum nobis erit quantitas ipsi m m reciproce proportionalis, dum 
praedsio simpliciter ipsi m reciproce proportionalis habetur. Ouo igitur pondus 
per numerum exprimi possit , pondus certi observationum generis pro unitate ac- 
cdptum esse debet.. 

8. 
Si observationum errores partem constantem implicant, hanc auferendo er- 
ror medius minuitur , pondus et praecisio augentur. Betinendo signa art. 5, de- 
signandoque per m' errorem medium observationum correctarum , erit 

tn'fn'=fafaf(f'x'.dx' =f{a: — k)^^x Ax = fxx^w .dx — 2kfx^x.dX'{-kkf^x.dx 
= mm — ^kk-^kk = mfn — kk. 

Si autem loco partis constantis veri k quantitas alia / ab observationibus ablata 
esset, quadratum erroris medii novi evaderet =mm — 2A:/-|-^'= wW+ {l — *)*• 

9. 
Denotante X coSfficientem determinatum , atque (&• valorem integralis 
JtfxAx ab ^ = — Xm usque ad j? = -f-Xm, erit p. probabilitas , quod error 
alicuius observationis sit minor quam Xm (sine respectu signi) , nee non 1 — (i 
probabilitas erroris maioris quam Xm. Si itaqüe valor (& = -)- respondet valori 
\m = p, error aeque facile infra p quam supra p cadere potest, quocirca p com- 
mode dici potest error frohahilis. Relatio quantitatum X, p. manifeste pendet ab 

« 

indole functionis 90?, quae plerumque incognita est. Operae itaque pretium erit, 
istam relationem pro quibusdam casibus specialibus propius considerare. 

I. Si limites omnium errorum possibilium sunt — a et -f-^* omnesque 
errores intra hos limites aeque probabiles, erit tfx inter limites x =^ — a et 
x=^-{-a oonstans, et proin =~. Hinc m:=a\l\, nee non (ji = X^4-, quam- 
diu X non maior quam ^3; denique p = w\l\ = 0,8660254m, probabilitas- 
que, quod error prodeat errore medio non maior, erit == ^4- = 0,5773503. 

n. Si ut antea — a et -j^a sunt errorum possibilium limites, errorum- 
que ipsorum probabilitas inde ab errrore utrimque in progressione arithmetic» 
decrescere supponitur, erit 



ERB0BIBU8 MDOMIfl OBNOXIAE. PAB8 PSIOK« 



^x = - — ^, pro valoribus ipsius a inter et -{-a 

^x = -^^, pro valoribus ipsius o? inter et — a 

Hinc deducitur fnz=,asj\, |ji = X^'i- — \W, quaxndiu X est inter et ^6, de- 
nique X = ^6 — ^(6 — 6jjl), quamdiu |ji inter et 1, et proin 

p = wt{v/6 — ^3) = 0,71743891» 

Probabilitas erroris medium non superantis erit in hoc casu 

= V'i^i = 0,6498299 

in. Si functionem tfx proportionalem. statuimus huic e'xs (quod quidem 
in rerum natura proxime tantum verum esse potest), esse debebit 



XX 

XX 



^X = 



h^n 



denotante % semiperipheriam circuli pro radio 1 , unde porro deducimus 

(V. Disquü. generaUs circa seriem inßnitam etc. art. 28). Porro si valor integraÜB 

h z =^ inchoati denotatur per Bz, erit 

li = e(Xv/i) 

Tabula sequens exhibet aliquot valpres huius quantitatis : 



X 


1* 


0,6744897 


0,5 


0,8416213 


0,6 


l,t>000000 


0,6826895 


1,0364334 


0,7 


1,2815517 


0,8 


1,6448537 


0,9 


2,5758293 


0,99 


3,2918301 


0,999 


3,8905940 


0,9999 


C» 


1 



2 



10 THBOIUA COMBINATIONIS OB8EBVATIOKUH 

10. 

Quamquam relatio inter X et |ji ab indole functionis 9^^ pendet, tarnen 
quaedam generalia stabilire licet. Scilicet qualiscunque sit haec fonctio, si modo 
ita est comparata, ut ipsius valor, crescente valore absoluto ipsius x, semper de- 
crescat, vel saltem non crescat, certo erit 

X minor vel saltem non maior quam (Jt^3, quoties |i est minor quam \\ 

X non maior quam ^ .. _ . , quoties |i est maior quam \. 
Pro |i = i uterque limes coincidit . puta X nequit esse maior quam yj f . 

Ut hoc insigne theorema demonstremus , denotemus per y valorem inte- 
gralis f^z.dz a z= — x usque ad jj = -f-a? extensi, quo pacto y erit proba- 
bilitas, quod error aliquis contentus sit intra limites —x et -{-x. Porro sta- 
tuamus 

x = ^y. d^y = ^'y.dy, dfy = f'y.dy 
Erit itaque c{; = , nee non 

quare per hyp. ^'y ab y = usque ad y = 1 semper crescet, saltem nuUibi 
decrescet , sive , quod idem est , yalor ipsius ^"y semper erit positivus , vel sal- 
tem non negativus. Porro habemus d.y^y = ^'y . dy -{-y ^"y . dy , adeoque 

y^y — ^y=:fy^'y.dy 

int^;ratione ab y=0 inchoata. Yalor expressionis y^'y — ^y itaque semper 
erit quantitas positiva, saltem non n^ativa, adeoque 

« 

quantitas positiva unitate minor. Sit / eins valor pro y = [i, i. e. quum ha- 
beatur ^\L = 'km, sit 

= 1 rr- SlVe 6u. = t; ^r- 

His iCa praeparatis , consideremus fiinctionem ipsius y hanc 

quam statuemus = Fy, nee non dFy = F'y.dy. Perspicuum est, fieri 



ERB0B1BÜ8 MmmiS OBKÖXUE. PAB8 PHIOB. 11 

Quare quum ^'y, aucta ipsa y, continuo crescat (saltem non decrescat, quod sem- 
per subintelligendum) , Fy vero constans sit , differentia ^'y — Fy = (Ty^~ y) 
erit posidva pro yaloribus ipsius y maioribus quam (i , negativa pro minoribus. 
Eine facile colligitur, ^y — Fy semper esse quantitatem positivam, adeoque 
^y semper erit absolute maior, saltem non minor, quam Fy, certe quamdiu 
valor ipsius Fy est positivus , i. e. ab y = ji/ usque ad y = 1. Hinc valor 
integralis f{Fy)^ dy ab y = jjl/* usque ad y = 1 erit minor valore integralis 
fi^yfdy inter eosdem limites, adeoque a potiori minor valore huius integralis ab 
y = usque ad ^ = 1 , qui fit =^ mm. At valor integralis prioris invenitur 

XXmm(i — p./)* 

unde colligimus ^ XX esse minorem quam ^^^^^Zy/ , ubi / est quantitas inter 
et 1 iacenis. lam valor fractionis ^j^~^y~ ' ^^^s differentiale , si / tamquam 
quantitas variabilis consideratur , fit = 

* 

continuo decrescit, dum / a valore usque ad valorem 1 transit, quoties p. mi- 
nor est quam \ , adeoque valor maximus possibilis erit is, qui valori / = re- 
spondet, puta = 3(ji(ji, ita ut in hoc casu X certo fiat minor vel non maior quam 
(1^3. Q. £• P. Contra quoties p. maior est quam -{-, valor istius firactionis erit 

maximus pro 2 — 3^.4-1*/= 0, i. e. pro /== 3 , unde ille fit = . ^ > , 

adeoque in hoc casu X non maior quam ^ .. ^ . Q. E. S. 

Ita e. g. pro (i = i certo X nequit esse maior quam ^|-, i. e. error pro- 
babilis superare nequit limitem 0,8660254m, cuiin exemplo primo art. 9 aequa- 
hs inventus est. Porro facile e theoremate nostro concluditur, p. non esse mino- 
rem quam X^-)-, quamdiu X minor sit quam ^f , contra p. non esse minorem 
quam 1 — jy^^, pro valore ipsius X maiore quam ^f. 

11. 
Quum plura problemata infra tractanda etiam cum valore integralis 

Jj^^fxAx nexa sint, operae pretium erit, eum pro quibusdam casibus speciali- 

2* 



12 THBORIA COMBINATIOllIS OBfiBBYATIOHUM 

bu8 evolvere. Denotabimus valorem huius integralis ab a? = — oo usque ad 
^ = +CX) extensi per n*. 

I. Pro cpa? = ^, quatenus x inter — a et -f-a continetur, habemus 
»* = \a^ = f w*. _ 

II. In casu secundo art 6, ubi cpo? = ?-±-?, pro valoribus ipsius x inter 

et +a, fit «* = tV«*= V»»*- 

III. In casu tertio , ubi 

invenitur per ea, quae in commentatione supra citata exponuntur, n* = f ä*= 3 w*. 
Ceterum demonstran potest, valorem ipsius — certo non esse minorem 
quam |-, si modo suppositio art. praec. locum habeat« 

12. 
Denotantibus x, x\ x" etc. indefinite errores observationum eiusdem gene- 
ris ab invicem independentes , quorum probabilitates relativas exprimit praefixa 
characteristica cp; nee non y functionem datam rationalem indeterminatarum 
X, x\ 0?" etc.: integrale multiplex (I) 

ftfx.^af.^af' da?. da?'. da?". ... 

extensum per omnes valores indeterminatarum x, o/, x'\ pro quibus valor ipsius 
y cadit intra limites datos et Y|, exprimet probabilitatem valoris ipsius y inde- 
finite intra et t] siti. Manifesto hoc integrale erit functio ipsius t] , cuius dif- 
ferentiale statuemus = ({; t) . d i] , ita ut integrale ipsum fiat aequale integrali 
/"(pifj.difj ab tj = incepto. Hoc pacto simul characteristica <[^tj probabilitatem 
relativam cuiusvis valoris ipsius y exprimere censenda est. Quum x considerari 
possit tamquam functio indeterminatarum y, x\ x" etc. , quam statuemus 

= /(y. ^\^" ) 

integrale (I) fiet 

= f<p.f{y, x\ x" . . . .) . -^^y^^j^ ^ .tpx.^x" . . . . dy.da?'.da?". . . . 

ubi y extendi debet ab y = usque ad y -= t} . indeterminatae reliquae vero 
per omnes valores, quibus respondet valor realis ipsius f{y, x, x" . . . .). Hinc 



BRRORIBÜB MINIMIS OBNOXIAS. PAB8 PBIOR. 13 

coUigitUT 

integratione , in qua y tamquam constans considerari debet, extensa per omnes 
ralores indeterminatarum o?', jT etc. , qui ipsi /(y, ai, x\ . . .) valorem realem 
conciliant. 

13. 
Ad hanc integrationem reipsa exsequendam cognitio fiinctionis <p require- 
retur, qaae plerumque incognita est : quin adeo, etiamsi haec functio cognita es- 
set, in plerisque casibus integratio vires analyseos superaret. Quae quum ita 
sint, probabilitatem quidem singulorum valorum ipsius y assignare non poterimus : 
at secus res se habebit . si tantummodo desideratur valor medius ipsius y , qui 
oritur ex integratione fy^y -^Jf per omnes valores ipsius y , quos quidem asse- 
qui potest , extensa. Et quum manifesto pro omnibus valoribus, quos y assequi 
nequit , vel per naturam functionis , quam exprimit (e. g. pro negativis , si esset 
y = ^a?-hJ?V+a?V+etc.), vel ideo, quod erroribus ipsis w, a\ af etc. certi 
limites sunt positi , statuere oporteat (py = , manifesto res perinde se habebit, 
si int^ratio iUa extendatur per omnes valores reales ipsius y, puta ab y = — cx) 
usque ad y = -|-cx>. lam integrale fy^y-dy inter limites determinatos, puta 
ab y = Tj usque ad y = tj' sumtum aequale est integrali 

integratione extensa ab y = t) usque ad y = if, atque per omnes valores in- 
determinatarum x\ x" etc. , quibus respondet valor realis ipsius /(y, x\ x ), 

sive quod idem est , valori integralis 

fy^x.^x.(fx\ . . . dLx.dLX^dx" . . . . 

adhibendo in hac integratione pro y eins valorem per x^x'^afetc. expressum, 
extendendoque eam per omnes harum indeterminatarum valoreä, quibus respon- 
det valor ipsius y inter t] et tj' situs. Hinc coUigimus, integrale /y^y .dy per 
omnes valores ipsius y, ab y = — oo usque ad y = +00 extensum obtineri 
ex integratione 

fytpx.^af.^x" . . . . dx.dx.daf' . . . . 



14 THBOBIA OOMBINATIOKIS 0B8ERVATI0NÜM 

per omnes valores reales ipsarum x, x\ x" etc. extensa, puta ab d? = — oo us- 
que ad x = + oo » ^ ^ =- — co usque ad a?' = + oo ©tc. 

14. 
Reducta itaque functione y ad formam ag^egati talinm partium 

Ax^'x^d!'^.... 

valor integralis ^y ify . dy per omnes valores ipsius y extensi , seu valor medius 
ipsius y , aequalis erit aggregato partium 

Axfx'^^xAxxfa!^^x'.dLalxfx"^^x''Ax". ... 

ubi int^rationes extendendae sunt ab x = — ^^cx> usque ad iT = +00, ab 
0?' = — 00 usque ad »r' = + 00 etc. ; sive quod eodem redit, aggregato partium 
quae oriuntur, dum pro singulis potestatibus x^, x'^, x"^ etc. ipsarum valores me- 
dii substituuntur , cuius theorematis. gravissimi veritas etiam ex aliis oonsideratio- 
nibus facile derivari potuisset. 

15. 
Applicemus ea, quae in art. praec. exposuimus, ad casum specialem, ubi 

««-|-«V+a:"«''-f etc. 

lf = - ; 

denotante o multitudinem partium in numeratore. Valor medius ipsiu3 y hie 
illico invenitur =:zmm, accipiendo characterem m in eadem significatione ac 
supra. Valor verus quidem ipsius y in casu determinato maior minorve evadere 
potest medio, perinde ac valor verus termini simpUcis xx: sed probabilitas quod 
valor fortuitus ipsius y a medio mm haud sensibiliter aberret, continuo magis ad 
certitudinem appropinquabit crescente multitudine a. Quod quo clarius eluceat, 
quum probabilitatem ipsam exacte determinare non sit in poteatate, investigemus 
errorem medium metuendum, dum supponimus y =, mm. Manifesto per prin* 
cipia art. 6 hie error erit radix quadrata valoris medii functionis 



fxz-\r x'x'-^r x'V-h etc. 2 



ad quem eruendum sufFicit observare, valorem medium termini talis — esse = — 

^ CO a« 

(utendo charactere n in significatione art. 11), valorem medium autem termini 



EBHOUBUfi Mmnas obnoxiab. pabs pmoH. 15 

talis ^*^^^ fieri = ^, unde facillime deducitur valor medius istius fiinctionis 



Hinc discimas , si copia satis magna errorum fortuitorum ab invicem inde- 
pendentium x, af, x etc. in promtu sit , magna certitudine inde peti posse valo- 
rem approximatum ipsius m per formulam 

m=L ^/ C^^-f^'^-fJ^'^ar^^-f etc.) 

erroremque medium in hac determinatdone metuendum, respecta quadrati mm, esse 



n* — m* 



Cetenim , quum posterior formula implicet quantitatem it , si id tantum agitur, 
ut idea qualiscunque de gradu praecisionis istius determinationis formari possit, 
sufficiet , aliquam hypothesin respectu Ainctionis 7 amplecti. £. g. in hypothesi 
tertia art. 9, 11 iste error fit = fiii»\/-. Quod si minus arridet, valor approxi- 
matus ipsius n^ ex ipsis erroribus adiumento formulae 

X* -f z'*' ^ x"*^ -f e tc. 

' 

peti poterit. Generaliter autem affirmare possumus , praecisionem duplicatam in 
ista determinatione requirere errorum copiam quadruplicatam, sive pondus deter* 
minationis ipsi multitudini o esse proportionale. 

Prorsus simili modo, si obserrationum errores partem constantem involvunt, 
huius valor approximatus eo tutius e medio arithmetico multorum errorum colligi 
poterit , quo maior herum multitudo Aierit. Et quidem error medius in hac de- 
terminatione metuendus exprimetur per 

.1^^ — hh 

si k designat partem constantem ipsam atque m errorem medium' observationum 
parte constante nondum purgata^rum , sive simpliciter per ^ , si m denotat er- 
rorem medium observationum a parte constante liberatarum (v. art. 8). 

• 16. 
In artt. 12 — 15 supposuimus , errores <r, x\ (kP etc. ad idem observationum 
genus pertinere, ita ut singulorum probabilitates per eandem functionem expri- 



16 THEOBIA COMBIKAXIOIOS OBSEBVATIONUM 

mantur. Sed sponte patet , disquisitionem generalem artt. 1 2 — 14 aeque facile 
ad casum generaliorem extendi , ubi probabilitates errorum <r, <r\ oo^ etc. per 
functiones diversas cpj?, cpV, cpVete. exprimantur, i. e. ubi errores Uli pertineant 
ad observationes praecisiouis seu iacertitudinis diversae. Supponamus . x esse 
errorem observatiQuis talis , cuius error medius metuendus sit = 9?» ; nee non 
X, X etc. esse errores aliarum observationum , quarum errores medii metuendi 
resp. sint m', w" etc. Tunc valor medius aggregati ^j?-4-a?V-4-«rV+ etc. erit 
mm +»iW-4-»»'W+ etc. lam si aliunde constat, quantitates m, m', m"etc. esse 
in ratione data , puta numeris 1 , |a', |a" etc. resp. proportionales , valor medius 
expressionis 

xX'\-x'x*'\-x**x*'-\' etc. 
1 + fiy 4- ti"|i.''+ etc. 

erit :=^ mm, Si vero valorem eiusdem expressionis determinatum, prout fors er- 
rores x,x\x"etQ. offert, ipsi mm aequalem ponimus , error medius, cui haec 
determinatio obnoxia manet, simili ratione ut in art. praec. invenitur 

v/(n*-f n'^-fn^'*-f etc. — m* — m^*— m^^*— etc.) 

1 -f j*V'+ f*'V'-f etc. 

ubi n, n" etc. respectu observationum, ad quas pertinent errores x\ ir"etc., idem 
denotaxe supponuntur, atque n respectu observationis primae. Quodsi itaque 
numeros n, n, n"etc. ipsis m, m', m"etc. proportionales supponere licet, error ille 
metuendus medius fit 

_ v^(n* -~ m*) . v/( 1 -f t^'^ -f yT'' + etc.) 
1 -f |A>'-f fi.' V+ etc. 

At haecce ratio, valorem approximatum ipsius m determinandi non est ea, 
quae maxime ad rem facit. Quod quo clarius ostendamus, consideremus expres- 
sionem generaliorem 

jgac-f ttVg^-f aVV^-f etc . 

y 1 + aVV'-f. a'>'V"-f etc. 

cuius valor medius quoque erit = mm^ quomodocunque eligantur coSfficientes 
a , a ' etc. Error autem medius metuendus, dum valorem determinatum ipsius y, 
prout fors errores x, x\ x" etc. offert, ipsi mm aequalem supponimus, inveni- 
tur per principia supra tradita 

. V(n* — m* 4- aV(n'* — m'*) -f o"a"(n"* — m"*) + etc.) 



i-|-a>V-fa» 4- etc. 



EBROBIBÜS IfIKIMlS OBNOXIAE. PABS PBIOB. 17 



Ut hic error medius fiat quam minimus , statuere oportebit 



./ n* — m* t § 



in fl* — m* _w n ^A^ 



Manifesto hi valores evolvi nequeunt, nisi insuper ratio quantitatum n, n", n'' etc. 
ad ffi, m', in'' etc. aliunde nota fuerit; qua cognitione exacta deficiente, saltem 
tutissimum videtur ^) , illas his proportionales supponere (t. art. 11), iinde prode- 
unt valores 

Ct — - t f • Ct — — ff ff e tc. 

i. e. coSfficientes a', a" etc. aequales statiü debent ponderibus relativis observatio- 
num , ad quas pertinent errores oi^ d etc. , assumto pondere observationis , ad 
quam pertinet error x , pro unitate. Hoc pacto , designante ut supra a multi- 
tudinem errorum propositorum , habebimus valorem medium expressionis 

gar -f tt^a?V-f a'W-f etc. 



= iiim, atque errorem medium metuehdum, dum valorem fortuito determinatum 
huius expressionis pro valore vero ipsius mm adoptamus 

V^(n* -f g'ttV^ Ar n'Wn"'' + etc. — tfin^) 

et proin , siquidem licet , ipsas n, n , n" etc. ipsis m, m\ m" proportionales sup- 
ponere , 



n* — m* 



quae formula identica est cum ea, quam supra pro casu observationum eiusdem 
generis inveneramus. 

17. 
Si valor quantitatis , quae ab alia quantitate incognita pendet, per observa- 



*) Scilicet Cognitionen quantitatum [a', [if etc. in eo solo casu in potestate esse concipimus , ubi per 
rei naturam enores x, x\ x" etc. ipsis t , ^^ ^* etc. proportionales , aeque probabiles censendi sunt , aut 
potius ubi 

(px s p.>'(l*'«) = f*>'V«) etc. 

3 



18 THSORIA C01IBINATIONI8 OBSEBYATIONÜM 

tionem praecisione absoluta non gaudentem determinata est, valor incognitae hinc 
calculatus etiam errori obnoxius erit, sed nihil in haö determinatione arbitrio relin- 
quitur. At si plures quantitates ab eadem incognita pendentes per observationes 
haud absolute exactas innotuerunt, valorem incognitae vel per quamlibet harum ob- 
servationum eruere possumus, vel per aliquam plurium observationum combinatio- 
nem, quod infinitis modis diversis fieri pqtest. Quamquam yero valor incognitae tali 
modo prodiens errori semper obnoxius manet , tarnen in alia combinatione maior, 
in alia minor error metuendus erit. Similiter res se habebit , si plures quantita- 
tes a pluribus incognitis simul pendentes sunt observatae : prout observationum 
multitudo multitudini incognitarum vel aequalis , vel hac minor vel maior fuerit, 
problema vel determinatum , vel indeterminatum , vel plus quam determinatum 
erit (genenditer saltem loquendo), et in casu tertio ad incognitarum determinatio- 
nem observationes infinitis modis diversis combinari poterunt. E tali combinatio- 
num varietate eas eligere, quae maxime ad rem faciant, i. e. quae incognitarum 
valores erroribus minimis obnoxios suppeditent, problema sane est in applicatione 
matheseos ad philosophiam naturalem longe gravissimum. 

In Theoria motus corporum coelestium ostendimus , quomodo valores in- 
cc^itarum nuucime prohahiles eruendi sint , si lex probabilitatis errorum observa- 
tionum cognita sit; et quum haec lex natura sua in omnibus fere casibus hypo- 
thetica maneat , theoriam iUam ad legem maxime plausibilem applicavimus , ubi 
probabilitas erroris x quantitati exponentiali e"^^^ proportionalis supponitur, 
unde methodus a nobis dudum in calculis praesertim astronomicis , et nunc qui- 
dem a plerisque calculatoribus sub nomine methodi quadratorum minimorum usi- 
tata demanavit. 

Postea ill. Laplage, rem alio modo ag^ressus, idem principium omnibus aliis 
etiamnum praeferendum esse docuit, quaecunque fuerit lex probabilitatis errorum, 
si modo observationum multitudo sit permagna. At pro multitudine observatio- 
num modica, res intacta mansit, ita ut si lex nostra hypothetica respuatur, me- 
thodus quadratorum minimorum eo tantum nomine prae aliis commendabilis ha- 
benda sit , quod calculorum concinnitati maxime est adaptata. 

Geometris itaque gratum fore speramus , si in hac nova argumenti tracta- 
tione docuerimus , methodum quadratorum minimorum exhibere combinationem 
ex omnibus optimam. non quidem proxime, sed absolute, quaecunque fuerit lex 
probabilitatis errorum , quaecunque observationum multitudo , si modo notionem 



ERBOBIBÜS MINIHIS <NBNOXIAE. PAB8 PRIOR. 19 

erroris medii non ad mentem ill. Laplagb, sed ita, ut in artt. 5 et 6 a nobis factum 
est, stabiliamus. 

Ceterum expressis yerbis hie praemonere convenit, in omnibus di^quisitio- 
nibas sequentibus tantummodo de erroribus irregularibus atque a parte constante 
liberis sermonem esse , quam proprie ad perfectam artem observandi pertineat, 
omnes errorum constantium caussas summo studio amovere. Quaenam vero sub- 
sidia calculator tales observationes tractare suscipiens, quas ab erroribus constan- 
tibus non liberas esse iusta suspicio adest, ex ipso calculo probabilium petere pos- 
sit , disquisitioni peculiari alia occasione promulgandae reservamus. 

18. 

Peobubma. Desiffnante Ufunctionem datam quantitatum incognitarvm F, V, V" 
etc. , quaeritur error medius M m determinatione vahris ipsius U metumdus, si pro 
F, V\ V etc. adoptentur non vahres veri, sed %%, qui ex observationibus ab invicem 
independentibtis , erroribus mediis m, m\ m" etc. resp. obnoooiis prodeunt. 

SoL Denotatis erroribus in valoribus observatis ipsarum F, F', V etc. 
per e , e\ e' etc. , error inde redundans in valorem ipsius U exprimi poterit per 
functionem linearem 



X^-}-XV-4-XV-4- etc. = E 

ubi X , X', X" etc. sunt valores quotientium differentialium j^., jp , j^ etc. pro 
valoribus veris ipsarum F, F, V" etc., siquidem observationes satis exactae sunt, 
nt errorum quadrata productaque negligeie liceat Hinc primo sequitur, quoniam 
observationum errores a partibus constantibus liberi supponuntur, valorem me- 
dium ipsius E esse = 0. Porro error medius in valore ipsius U metuendus 
erit radix quadrata e valore medio ipsius EE, sive MM erit valor medius ag- 
gregati 

XX^^+X'X'eV+r XW-4- etc. + 2 n'ee + 2\ree''-^ 2 X'XVe'H- etc. 

At valor medius ipsius XX^e fit Wmm, valor medius ipsius HX'ee' fit =X'XWfii' 
etc.; denique valores medii productorum 2W'ee' etc. omnes fiunt = 0. Hinc 
itaque coUigimus 

M = ^(k\mm-^\'\'mm'\-\'''k"m''m"-^ etc.) 



20 THEOBIA COMEÜNATlONIS OBSmVATIOKOM 

Huic solutioni quasdam annotationes adiicere conveniet. 

I. Quatenus spectando observationum errores tanquam quantitates primi 
ordinis , quantitates ordinum altiorum negliguntur, in fonnula nostra pro X, X', X" 
etc. etiam valores eos quotientium ^ etc. adoptare licebit , qui prodeunt e va- 
loribus observatis quantitatum F, V\ F^etc. Quoties U est functio linearis, 
manifeste nidla prorsus erit differentia. 

U. Si loco errorum mediorum observationum , harum pondera introducere 
malumus , sint haec , secundum unitatem arbitrariam , resp. p, p\ p" etc. , atque 
P pondus determinationis valoris ipsius U e valoiibus observatis quantitatum 
F, V\ V" etc. prodeuntis. Ita habebimus 

P = 



p p p 



III. Si T est functio alia data quantitatum F, F', F" etc. atque , pro 
harum valoribus veris , 

dT dT / dT „ . 

^jr — ^9 ^yf — *, ^y„ — X eic. 

error in determinatione valoris ipsius T, e valoribus observatis ipsarum F, V\ V 
etc. petita, erit = x«-{-xV-|-*"^"+ ©te., = E\ atque error medius in ista 
determinatione metuendus = ^(xxww+x x'm'i»'-{-xWm''+ etc.). Errores 
E, E' vero manifesto ab invicem iam non erunt independentes , valorque me- 
dius producti EE\ secus ac valor medius producti ee\ non erit = 0, sed 
= xXmm+xXmW+x'XVm"+ etc. 

IV. Problema nostrum etiam ad casum eum extendere licet, ubi valores 
quantitatum F, V, V" etc. non immediate per qbservationes inveniuntur , sed 
quomodocimque ex observationum combinationibus derivantur , si modo singiila- 
rum determinationes ab invicem sunt independentes , i. e. observationibus diver- 
sis superstructae : quoties autem haec conditio locum non habet , formula pro M 
erronea evaderet. E. g. si una alterave observatio, quae ad determinationem va- 
loris ipsius F inserviit, etiam ad valorem ipsius V determinandum adhibita es- 
set, errores e et e haud amplius ab invicem independentes forent, neque adeo 
producti ee valor medius =0. Si vero in tali casu nexus quantitatum F, V 
cum observationibus simplicibus, e quibus deductae sunt, rite perpenditur, valor 



BRR0BIBÜ8 MIKIMIS OBKOXUS. PARS PRIOR. 21 

medius producti ee adiumento annotationis III. assignari, atque sie formula 
pro Ja. completa reddi poterit. 

19. 

Sint F, F'. F" etc. functiones incognitarum x, y, z etc. , multitudo illa- 
rum = 7c , multitudo incognitarum = p , supponamusque, per observationes vel 
immediate vel mediate valores functionum inventos esse V=L, V'=L\ V^=L" 
etc. , ita tamen ut hae determinationes ab invicem fuerint independentes. Si p 
maior est quam tc, incognitarum evolutio manifesto fit problema indeterminatum ; 
si p ipsi IT aequalis est , singulae x, y, z etc. in formam functionum ipsarum 
F, V\ F" etc. redigi vel redactae concipi possunt, ita ut ex harum valoribus ob- 
servatis valores istarum inveniri possint, simulque adiumento art. praec. praeci- 
sionem relativam singulis bis determinationibus tribuendam assignare liceat; de- 
nique si p minor est quam ir, singulae o?, y, z etc. infinitis modis diversis in for- 
mam functionum ipsarum F, V\ V" etc. redigi, adeoque illarum valores infini- 
tis modis diversis erui poterunt. Quae determinationes exacte quidem quadrare 
deberent, si observationes praecisione absoluta gauderent; quod quum secus se 
habeat, alii modi alios valores suppeditabunt , nee minus determinationes e com- 
binationibus diversis petitae inaequali praecisione instructae erunt. 

Ceterum si in casu secundo vel tertio functiones F, V\ F" etc. ita com- 
paratae essent , ut tc — p + 1 ex ipsis , vel plures , tamquam functiones reliqua- 
rum spectare liceret , problema respectu posteriorum functionum etiamnum plus 
quam determinatum esset , respectu incognitarum o?, y, z etc. autem indetermi- 
natum ; harum scilicet valores ne tunc quidem determinare liceret , quando valo- 
res functionum F, V; V etc. absolute exacti dati essent : sed hunc casum a 
disquisitione nostra excludemus. 

Quoties F, F', F^etc. per se non sunt functiones lineares indetermina- 
tarum suarum, hoc ef&cietur, si loco incognitarum primitivarum introducuntur 
ipsarum differentiae a valoribus approximatis , quos aliunde cognitos esse suppo- 
nere licet. Errores medios in determinationibus V =■ L, V'= L\ F''= i^etc. 
metuendos resp. denotabimus per m, m\ tn'etc., determinationumque pondera 
per p, p\ jp^etc. , ita ut sitpfnm =^ pfn'fn'^= jpWWetc. Rationem, quam inter 
se tenent errores medii , cognitam supponemus , ita ut pondera , quorum unum 
ad lubitum accipi potest , sint nota. Denique statuemus 



22 THBOBU COMBINATIONIS OBSBBVATIONUM 

Manifesto itaque res perinde se habebit, ac si observationes immediatae , aeqaali 
praecisione gaudentes, puta quarum error medius =.m\lp =. myp = ni'\Jp''etQ., 
sive quibus pondus = 1 tribuitor, suppeditavissent 

V = , v' = , v" = etc. 



20. 
PROBiiEifA. Designantibus v, v\ v" etc. functiones lineares indeterminatarum 
of, y, g etc. sequentes 

t?'= a'a? + 5>H-C2?+ etc. +r l (I) 
v"= a''X'\'Vff-\-ifz'\' etc. H-Tetc. J 

ex Omnibus systematibus coSfficientium x, x\ x etc. , qui indefinite dant 

xt?+xV+xV+ ^tc. = 0? — k 

ita ut k Sit quantitas determinata i. e. ab x.y.z etc. independens, eruere td, pro 
quo xx-f-xY+k'y'-f- etc. nanciscatur valorem minimum. 
8olutio. Statuamus 

at?+aV+aV+ etc. = 6 
6v4.6V+yV'+ etc. =1] } (II) 
ct;+cV+cV+ etc. = C 

etc.: eruntque etiam S, i),Cetc. functiones lineares ipsarum a;,y,zetc., puta 

Z = ^2aa-|-jfSa&-f'2rSac-|- etc. -|-2a/ a 

T] = a?2a6H-y 266+;p26c+ etc. -^Ibl l (III) 

C = a?2ac4-y26c4-^2cc+ etc. -f--^^' ®tc. J 

(ubi Saa denotat aggrc^tum aa+aa+aV-h etc., ac perinde de reliquis) 
multitudoque ipsarum S , t) , C etc. multitudini indeterminatarum w, y, z etc. ae- 
qualis , puta = p. Per eliminationem itaque elici poterit aequatio talis *) 

*) Ratio, cur ad denotandos ooefficientes e tali eliminatione prodeuntes, lios potissimum characteres 
eregerimus , infra elucebit. 



ERB0BIBU8 MimMIS OBNOXIAE. PAB8 PSIOB. 23 

X = -4+.[aa]S+[aö]ij4-[«7]C+ etc. 

in qua substituendo pro S , t) , C etc. valores earum ex m, aequatio identica pro- 
dire debet. Quare statuendo 

a [aa] + 6 [a6] + c [ay] + etc. = a 
a'[aa]+6'[aÖ]+c'[ay]+ etc. = a' } (IVy • 
a"[aa]+6''[aÖ]H-c''[aY]+ etc. = a" etc. 

necessario erit indefiiAte 

aü 4- a'v'-\- aV+ etc. = ie—A (V) 

Haec aequatio docet , inter systemata valorum coSfficientium x, x', x" etc» certo 
etiam referendos esse hos x = a, x'= a', x'' ?= a" etc. , nee non, pro systemate 
quoconque , fieri debere indefinite 



(x_a)i;+(x'— a')t;'H-(x''— a'')t;''+ etc. = A—k 

quae aequatio implicat sequentes 

(x_a)a+(x'— a')a'+(x"— a'')a'H- etc. = 
(x_a)6+(/— a>'+(x"— a'')6''+ etc. = 
(x_a)c+(x — a')c + (x''— a'')c''+ etc. = etc. 

Multiplicando has aequationes resp. per [aa], [a6], [ay] etc., et addendo, ob- 
tinemus propter (IV) 

(x_a)aH-{x— a>'H-(x''— a'')a"+ etc. = 



sive quod idem est 



xxH-xY4-xV+ etc. 
= aa+aa'+aV+ etc. +(x—a)*+(x-a')»+(x"— (/')»+ etc. 

unde patet, aggregatum xx-|-xY-|-xV-|- etc. valorem minimum obtinere, si 
statuatur x = a, x'= a', x''= a" etc. Q. K I. 

Ceterum hie vnJior minimus ipse sequenti modo eruitur. Aequatio (V) do- 
cet, esse 



24 THEOBIA COüBDIATlOmS OBSESVATIONÜM 

aa+ct'flr+cfa''+ etc. = 1 
ab+a'b'+arb"'^ etc. = 
ac-|-aV+cfc''+ etc. = etc. 

Maltiplicando has aequationes resp. per [aa], [a€], [ay] etc. et addendo, pro- 
tinibB habemoB adiumento aequationom (IV) 

aa-j-o^Ä'+aV-l- etc. = [aa] 



21. 
Quam obseryatioiies suppeditaverint aequationes (proxime yeras) t; = 0, 
V =^ 0, v'^^ etc*9 ad valorem incognitae of inde eliciendum combinatio illa- 
rum aeqnationom talis 



r t t n n 



xV'{-xv-\^x V -|- etc. = 

adhibenda est, quae ipsi x cofifficientem 1 conciliet, incognitasque reliquas 
y, z etc. eliminet; cui determinationi per art. 1 8 pondos 



xx + xV-f-xV'-f-etc. 

triboendum erit £x art. praec. itaque sequitor, determinationem maxime ido- 
neam eam fore, ubl statuatur x =r a, x'= a^ x''=:a" etc. Hoc pacto j? obtinet 
valorem A , manifestoque idem valor etiam (absque cognitione multiplicatorum 
a, 0^, cf etc.) protinos per eliminationem ex aequationibus S = 0, i] = 0, C = 
etc. elici potest. Pondos huic determinationi tribnendum erit == r— i» sive error 

[ooj 

medios in ipsa metuendns 

= m^p[aa] = myp[aa] = myp'laa] etc. 

Prorsus simili modo determinatio maxime idonea incognitarum reliqnarum 
y, z etc. eosdem valores ipsis conciUabit, qui per eliminationem ex iisdem aequa- 
tionibus c = 0, ifj = 0, C=0 etc. prodeunt. 

Denotando aggr^atum indefinitum w+t?V+t?Vetc., sive quod idem 
est hoc 

p{V-Lf-\-p'{V-Ly-\-p-{l--Ly-{- etc. 



BRROBIBIJB MINnaS OBKO^UEU PAB8 PBIOB. 25 

per Q , patet , 2 8 , 2 t] , 2 C etc. esse quotientes differentiales partiales functionis 
Q, puta 

^f dQ « dQ ^r dQ . 

22 = 5^. 2Ti = g^, 2C = äyetc. 

Quapropter valores incognitarum ex observationum combinatione maxime idonea 
prodeuntes, qaos valores maxime plausibiles commode vocare possumus, identici 
erunt cum iis , per quos Q valorem minimum obtinet. lam V — L indefinite 
exprimit differentiam inter valorem computatum et observatum. Valores itaque 
incognitarum maxime plausibiles iidem erunt, qui summam quadratorum diffe- 
rentiarum inter quantitatum F, V\ F"etc. valores observatos et computatos, per 
observationum pondei^ multiplicatorum , minimam efficiunt , quod principium in 
Theoria Motus Corporum Coelestium longe alia via stabiliveramus. Et si insuper 
praecisio relativa singularum determinationum assignanda est, per eliminationem 
indefinitam ex aequationibus (III) ipsas o?, y, z etc. in tali forma exhibere oportet: 

x = ^+{aa]S4-[o'^]''1+[aY]C-l- etc. "j 

y = B-h[6a]6 + [ÖS]Ti+[Sr]C+etc. l (VU) 

z = C+[Ya]6 + [T6]tl+[TT]'^+ etc. J 
etc. 

quo pacto valores maxime plausibiles incognitarum a?,y, z etc. erunt resp. A, B, C 
etc. , atque pondera bis determinationibus tribuenda ?^ , ^^ , p^ etc. , sive er- 
rores medii in ipsis metuendi 

pro 0? m>Jp[aa] = m'^p[aa] = m"^p"[aa] etc. 

pro y msjp[6ß] = m'>Jp[ßß] = »t'y/'[6€] etc. 

pro z ^^p[yy] = ^'\lp[yy] = ^'VjP'Ity] ^'^• 

etc. 
quod convenit cum iis, quae in Theoria Motus Corporum Coelestium docuimus. 

22. 
De casu omnium simplicissimo , simul vero frequentissimo , ubi unica in- 
cognita adest , atque F = «r , V = x, V"=w etc. , paucis seorsim agere con- 
veniet. Erit scilicet a = sjp, ö' = ^p\ a = ^p" etc., / = — L\Jp, 
r = - Lyp\ r = — V^Jp" etc. , et proin 

4 



• 



26 THEORIA CO3I6INATIONI8 OBBERVATIONUM SRROBIBUS ETC. 



5 = (je, 4./+/+ etc.)^ — (;>i+/r+/I."+ etc.) 



Hinc porro 



A fL^^*L'^^"L"-\- etc. 

Si itaque e pluribus observationibus inaequali praecisione gaudentibas , et 
quarum pondera resp. sunt p, f\ p etc, , valor eiusdem quantitatis inventus est 
e prima = i, e secunda = L\ e tertia == U etc, , huius valor maxime plau- 
sibilis erit 

p L-\'p'r-\-p"L"-\- etc. 

"" P-\'P''\^P"'^ etc. 

pondusque huius determinationis =■ P'\'P''\'p' etc. Si omnes observationes ae- 
quali praecisione gaudent , valor maxime plausibilis erit 

L -f- X'-h L"'\- etc. 

IC 

i. e. aequalis medio arithmetico valorum observatorum , huiusque determinationis 
pondus = IT , accepto pondere observationum pro unitate. 



\ 



THEORIA 



COMBINATIONIS OBSERVATIONUM 



ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE 



PARS POSTERIOR 



A U C T O B E 



CAROLO FRIDERICO GAUSS 



SOCHETATI REGIAE SCIENTIARUM EXUmiTA 1823. FEBR. 2. 



Conunentationes societatis r^iae'scientiarum GottingensiB recentiores. Vol. v. 

Gottingae MDCCCXxin. 



THEORIA 



COMBINATIONIS OBSER V ATIONUM 

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE, 



PARS POSTERIOR. 



23. 

Flures adhuc supersunt disquisitiones , per quas theoria praecedens tum il* 
lastrabitur tum ampliabitur. 

Ante omnia investigare oportet , num negotium eliminationis , cuius adiu- 
mento indeterminatae «r, y , z etc. per i, ri, ^ etc. exprimendae sunt, semper sit 
possibile. Quum multitudo illarum multitudini harum aequalis sit, e theoria eli- 
minationis in aequationibus linearibus constat, illam eliminationem, si 8. % C etc. 
ab invicem independentes sint , certo possibilem fore ; sin minus , impossibilem. 
Supponamus aliquantisper , 8, t], C etc. non esse ab invicem independentes, sed 
exstare inter ipsas aequationem identicam 



= F$+ Gifi+jBrC+ etc. +Ä' 



Habebimus itaque 



F2aa+G2a6+H2ac4- etc. = 
l?^2a6 + G266 + ir26c+ etc. = 
Flac+ G2fcc-hir2cc+ etc. = 



etc. , nee non 



FSa/H-ö26/+Jff2c/+etc. = —K 



30 THEORU COBIBINATIONIS OBSERVATIONUM 



Statuendo porro 



etc. , eruitur 



etc. , nee non 



ajP + 6GH-cir+ etc. = Ö 

aF + 6'G + cJlH- etc. = Ö' \ (I) 

a"jP+6"G+c"ir+ etc. = 6' 

aö + a e' + a^e^H- etc. = 
6ö + 6'6' + 6"e''+etc. = 
ce + c'Ö' + c''e''+ etc. = 

/e+/'e'+rö"+ etc. = —k 



Multiplicando itaque aequationes (I) resp. per 6, 6', 6" etc., et addendo, obti- 
nemus : 

=ee+ö'e'+ö''6"+etc. 

quae aequatio manifesto consistere nequit, nisi simul fuerit = 0, 6'= 0, 6'= 
etc. Hinc primo colligimus, necessario esse debere K=^(^. Dein aequationes 
(I) docent, functiones v, v\ v'etc. ita comparatas esse, ut ipsarum valores non 
mutentur , si valores quantitatum x, y, z etc. capiant incrementa vel decrementa 
ipsis jP, G, fr etc. resp. proportionalia , idemque manifesto de functionibus 
F, F', F^etc. valebit. Suppositio itaque consistere nequit, nisi in casu tali, ubi 
vel e valoribus exactis quantitatum F, F', F" etc. valores incognitarum a?. y, z 
etc. determinare impossibile fuisset, i. e. ubi problema natura sua fuisset inde- 
terminatum , quem casum a disquisitione nostra exclusimus. 

24. 
Denotemus per ^, 6\ 6" etc. multiplicatores , qui eandem relationem ha- 
beut ad indeterminatam y, quam habent a, a', a'etc. ad x, puta sit 

aSßiC^-^- ft'[Ö Ö] + c [67]+ etc. = Ö 
a'[ga] + 6'[öö]H-c [67]+ etc. = g' 
ß"[ga] + 6"[ÖÖ]+c'[S7]4- etc. = 6" 

etc. , ita ut fiat indefinite 

ßv+ßV-f-öV-^- etc. =.y — B 



BRBOBIBUfi MINIMI8 OBNOXIAE. PARS POSTERIOR. 31 

Perinde sint y, y', y" etc. multiplicatores similes respectu mdeterminatae z, puta 

a[Ya]+6[Y6] + c[7Y]-l-etc. = y 
a'[Ya] + 6'[Yg] + c'[YY]-f etc. = 7' 

«"[r«] + ^"[T^]+<'"[TT]+ etc. = 7" 
etc. , ita ut fiat indefinite 

Y^4" y^H" y^'H" ®tC' = ^ — c' 

et sie porro. Hoc pacto, perinde ut iam in art. 20 inveneramus 

2aa=l, 2a6 = 0, 2ac = 0, etc. , nee non 2a/ = — A 

etiam habebimus 

2öa = 0, 206=1. 2öc = 0, etc., atque 2€/=:— -B 
2ya=0, 2y6 = 0, 2^0=: 1, etc., atque 2y/= — C 

et sie porro. Nee minus, quemadmodum in art. 20 prodiit 2aa = [aa], etiam erit 

2€6 = [66], 2yy = [yy] etc. 

Multiplicando porro valores ipsorum a, a', a" etc. (art. 20. IV) resp. per 
6, 6", S'' etc. , et addendo , obtinemus 

a€-|-a6'-|-a''ö^etc. ='[a6], sive 2a€ = [a6] 

Multiplicando autem valores ipsorum ^, 6', 6" etc. resp. per a, a', a'' etc., et 
addendo , perinde prodit 

ctg + a'g'+a"6''+ etc. = [Öa], adeoque [aö] = [6a] 

Ftorsus simili modo eruitur 

[ay] = [ya] = 2ay, [6y] = [yö] = 26y etc. 



25. 
Denotemus porro per X, X', X" etc. valores funetionum v, v', v" etc. , qui 
prodeunt, dum pro «r, y, z etc. ipsarum valores maxime plausibiles A, B^ C etc. 
substituuntur , puta 



'32 THEOBU C0MBIKAT10NI6 OBSERVATIOI^UM 

aA-\-bB-{-cC-+- etc. +/ = X 
a'A + b'B H- c'C-f etc. + T = X' 
a''A-{-b''B-\-c'C-{- etc. +r= X" 

etc. ; statuamus praeterea 

XX + XT+X'^^ etc. = M 

ita ut sit M yalor fiinctionis Q valoribus maxime plausibilibus indeterminatarum 
respondens, adeoque per ea, quae in art. 20 demonstraTimus , valor minimus 
huius functionis. Hinc erit aX-|-a'X'-|-a"^''+ etc. valor ipsius S, valoribus 
x = A, y = B, zz=i C etc. respondens , adeoque =0, i. e. habebimus 

et perinde fiet 

26X=0, 2cX = 0etc. ; nee non SaX=:0, 26X=±=0, SYX = Oetc. 

Denique multiplicando expressiones ipsarum X, X', X" etc. per X, X', X" etc. resp., 
et addendo, obtinemus IX^VX-^-TV^ etc. = XX+X^X'+X^X"-!- etc., sive 



26. 
Substituendo in aequatione v = aX'\-by'^cZ'{- etc. 4"^ pro ^^ y. ^ etc. 
expressiones VII. art. 21 , prodibit, adhibitis reductionibus ex praecedentibus 
obyiis , 

V = aS + öil + T^"!" ^^' +^ 
et perinde erit indefinite 

r'=a'5 + e'Ti + yC+etc. +X' 
v''= a"5+Ö"T] + /C+ etc. +r 

etc. Multiplicando vel has aequationes, vel aequationes I art. 20 resp. per 
X, X', X" etc. , et addendo , discimus esse indefinite 



Xi, + XV+XV+ etc. = M 



EBR0BIBU8 MINIMIS OBNOXIAE. PARS POBT£BIOB. 33 

27. 

Functio Q indefinite in pluribus formis exhiberi potest, quas evolvere ope- 
rae pretium erit. Ac primo quidem quadrando aequationes I art. 20 et addendo, 
statim fit 

Q = a:w^aa"\-yy^bb'{-zz'Zcc-\' etc. -\'2a:y^ab^2xz^aC'{-2yzI»bC'{- etc. 
-f-2a?2a/+2y26i+22r2c/+etc. +2// 

quae est forma prima. 

Multiplicando easdem aequationes resp. per v, v\ v" etc., et addendo, ob- 
tinemus : 

Q = 5a?+tiy + C«+ etc. -|./t;4-rv+/V+ etc. 
atque hinc , substituendo pro t;, v\ v" etc. expressiones in art. praec. traditas , 

Q = 5j?+Tiy+Car+ etc. _4S— Bt) — CC— etc. +3/ 
sive 

Q = 4(0? — 4)+Ti(y— S) + C(i?— C)+ etc. -fM 

quae est forma secunda. 

Substituendo in forma secunda pro x — A, y — J5, z — Cetc. expressio- 
nes Vn. art. 2 1 , obtinemus formam terttam : 

Q = [aa]K+[66]TiTi + [7Y]CC+etc. + 2[ae]5ti+2[a7]K4-2[eT]TiC+etc.+ 

His adiungi potest forma quarta, ex forma tertia atque formulis art. praec. 
sponte demanans : 

Q = (v_X)«H-(i;'— X')»+(i?''— X7+ etc. -fjtf , sive 
Q = 3f+2(i;— X)* 

quae forma conditionem minimi directe ob oculos sistit. 

28. 

Sint e,e\e"etc. errores in observationibus, quae dederunt V=L, V'=^L' 

F"= i" etc., commissi, i. e. sint valores veri functionum F, V\ V" etc. resp. 

L — e, LI — e\ L" — e" etc. adeoque valores veri ipsarum t?, v\ v' etc. resp. 

— «V-P, — ^\Ip^ — ^'\]p etc. Hinc valor verus ipsius x erit 

5 



34 THBOBIA COUBINATIOinS OBSEBTATIONUH 

= ^ — o « \^/> — oV \]p'— a"e" \Jp"— etc. 

sive error valoris ipsius x , in determinatione maxime idonea commissus , quem 
per Ew denotare convenit, 

= ae^Jp-^ ae' Vjp'+ a^e" ^jp"+ etc. 

Perindeerror valoris ipsius y in determinatione maxime idonea commissus, quem 
per Ey denotabimus, erit 

= gö^p+gV\//+€VVjp"+ etc. 
Valor medius quadrati {Exf invenitur 

= 97t mp (a a -|- aa'H- a V+ etc.) = m mp [a a] 

valor medius quadrati {Eyif perinde = mfnp[ßS\ etc., ut iam supra docuimus. 
lam vero etiam valorem medium producH Ew . Ey assignare licet , quippe qui 
invenitur 

= mf»jp(a6+a 6'-|-«'ö"+ etc.) = mmp[a^] 

Concinne haec ita quoque exprimi possunt. Valores medii quadratorum [Exfy 
[Eyf etc. resp. aequales sunt productis ex \mmp in quotientes differentialium 
partialium secundi ordinis 

ddÖ ddQ 

valorque medius producti talis, ut Ew.Ey, aequalis est producto ex \mmp 
in quotientem difFerentialem ,. ^ » quatenus quidem Q tamquam functio inde- 
terminatarum 8 , t) » C etc. consideratur. 

29. 
Designet t functionem datam linearem quantitatum «r, y, z etc. puta sit 

t =/^H-^y+Äa?+ etc. +^ 

Valor ipsius t, e valoribus maxime plausibilibus ipsarum x^ y, z etc. prodiens 
hinc erit =/4-f-y-B+ÄC+ etc. +*, quem per K denotabimus. Qui si 
tamquam valor verus ipsius t adoptatur , error committitur , qui erit 



EBB0B1BU8 MINIMIS OBKOXIAK. PARS P08TEBI0B. 35 

=^fEx'\'gEy-\-hEz'\' etc. 

atque per Et denotabitur. Manifeste yalor medius huius erroris fit =0, sive 
error a parte constante liber erit. At valor medius quadrati {Etf, sive valor 
medius aggregati 

ff{Exf+2fffEa^.Ey+2/hEw.Ei'+ etc. 
+ ff ff [Eyf ^IghEjf.Ez^ etc. 

+ Ä Ä [Ezf + etc. etc. 

per ea , quae in art. praec. exposuimus , aequalis fit producto ex mmp in aggre- 
gatum 

//[aa] + 2/y[a€] + 2/Ä[a7]+ etc. 
+ yy[66]+2^Ä[Öy]+etc. 

+ Ä Ä [7 7] + etc. etc. 

sive producto ex mmp in valorem functionis Q — M, qui prodit per substi- 
tutiones 

5=/, »1=^. C = Äetc. 

Denotando igitur hunc valorem determinatum functionis Q — M per «o, error 
medius metuendus, dum determinationi t =^ K adhaeremus, erit =m^pio, 
sive pondus huius determinationis = — . 
Quum indefinite habeatur 

Q—M= (d? — ^)S-|-(y — B)ti+(^— C)C+ etc. 
patet , ü> quoque aequalem esse valori determinato expressionis 

{x-A)/+{y-B)ff+{z-C)h+ete. 

sive valori determinato ipsius t — K, qui prodit, si indeterminatis x^y^zetc. 
tribuuntur valores ü, qui respondent valoribus ipsarum S, t], C etc. bis /, y, h etc. 

Denique observamus, si t indefinite in formam functionis ipsarum 8, % C etc. 
redigatur , ipsius partem constantem necessario fieri = K, Quodsi igitur inde- 
finite fit 

t = FS+ÖT] + irC+ etc. +£:, erit <o =/F+^ö + ä-H'+ etc. 



36 THBOBIA COHBIKATIONIS OBSERVATfONUM 

30. 

Fanctio Q valorem suum absolute minimum M, nt snpra yidimus, nancisci- 
tur, faciendo a? = il, y = JB, z = C etc. , sive 5=5, ti = 0, C=0 etc. $i 
yero alicui illarum quantitatum valor alitis iam tributus est , e. g. x = Ä-}- ä, 
variantibus reliquis Q assequi potest valorem relative minimum, qni manifeste 
obtinetur adiumento aequationum 

^ = ^+^' 5^ = *' J? = Oetc. 
Fieri debet itaque tj = 0, C = etc., adeoque, quoniam 

0? = 4+[aa]5 + [aö]Tl4-[a7]C+ etc., 5 = 



[aa] 

Simul habebitur 

y = B+^, .= C+(gHetc. 

Valor relative minimus ipsius Q autem fit = [aa]SS+Jlf = Jlf+ j-^,. Vice 
. versa hinc colligimus , si valor ipsius Q limitem praescriptum 3f-|-|X|x non su- 
perare debet, valorem ipsius cc necessario inter limites A — |x^[aa] et A-\'ik^[aa] 
contentum esse debere. Notari meretur, |x\/[aa] aequalem fieri errori medio in 
valore maxime plausibili ipsius <r metuendo, si statuatur ^ =l msjp, i. e. si {t 
aequalis sit errori medio observationum talium , quibus pondus = 1 tribuitur. 

Generalius investigemus valorem minimum ipsius Q, qui pro valore dato 
ipsius t locum habere potest , denotante t ut in art. praec. functionem linearem 
fx -^gy + A z + etc. + A: , et cuius valor maxime plausibilis = K: valor prae- 
scriptus ipsius t denotetur per JST-f-x- E theoria maximorum et minimorum 
constat , problematis solutionem petendam esse ex aequationibus 

— =z= 6 — 

d« da; 

— = 6 — 

dy dy 

— ='6— ®tc. 

ds das 

sive S = 6/, T] = Ö^ , C = ö A etc. , designante 8 multiplicatorem adhuc inde- 
terminatum. Quare si , ut in art. praec. , statuimus , esse indefinite 

t = >5+ÖTi+iIC+ etc. H-JC 

habebimus 



ERRORIBÜS MINIHI8 OBKOXIAE. PAB8 POSTEIUOK. 37 

JC-l-x = %{/F-{-ffG-\-hH-\- etc.) -{-K, sive 

OB 

accipiendo co in eadem significatione ut in art. praec. Et quam Q — Jf, in- 
definite, sit functio homogenea secundi ordinis indeterminatarum 8, t], C etc., 
sponte patet, eins valorem pro 5 = 6/, tj = 8^, C = 6A etc. fieri = 66a>, 
et proin valorem minimum, quem Q pro f = JST+x obtinere potest, fieri 
= 3f + 6 6 u) = Jüf 4" -- • Vice versa , si Q debet valorem aliquem praescriptnm 
3f+ jx(i non superare, valor ipsius t necessario inter limites K — jx^o) et JC-^-ii^co 
contentus esse debet, ubi |x^u) aequalis fit errori medio in determinätione maxime 
plausibili ipsius t metuendo, si pro |x accipitur error medius observationum, qui- 
bus pondus = 1 tribuitur. 

31. 
Quoties multitudo quantitatum <r, y, z etc. pauUo maior est , determinatio 
numerica valorum A, B\ C etc. ex aequationibus S=0, 11 = 0, C=0 etc. per 
eliminationem vulgarem satis molesta evadit. Propterea in Theoria Motus Cor- 
porum Coelestium art. 182 algorithmum peculiarem addigitavimus, atque in Dis^ 
quisitione de elementis ellipticis Palladis (Comm. recent. Soc. Gotting Vol. I) co- 
piose explicavimus , per quem labor ille ad tantam quantam quidem res fert sim- 
plicitatem evehitur. Reducenda scilicet est functio Q sub formam talem : 

~gö r 53' "T (j" "1 ^' h ^»'^* "I" -"^ 

ubi divisores 21®, ©', S", !D'"etc. sunt quantitates determinatae ; u®, u, u\ u"etc. 
autem functiones lineares ipsarum <r,^, z etc., quarum tarnen secunda u libera 
est ab X, tertia u libera ab x et y, quarta t«'" libera ab «r, y et z, et sie porro, ita 
ut ultima w^^"^') solam ultimam indeterminatarum o?, ^, zetc. implicet; deni- 
que co6fficientes, per quos ,r, y, z etc. resp. multiplicatae sunt in w®, u\ u etc., 
resp. aequales sunt ipsis 31®, S'. S" etc. Quibus ita factis statuendum est 
tt® = 0, u = 0, «"=0, u'"= etc., unde valores incognitarum ,r, y, z etc. in- 
verso ordine commodissime elicientur. Haud opus videtur, algorithmum ipsum, 
per quem haec transformatio functionis Q absolvitur , hie denuo repetere. 

Sed multo adhuc magis prolixum calculum requirit eliminatio indefinita, cu- 
ius adiumento illarum determinationum pondera invenire oportet. Pondus qui- 



38 THEOHIA GOMBINATIOinS OBSEBYATIONUM 

dem determinationis incognitae ultimae (quae sola ultimam ti^^"^) ingreditur) per 
ea , quae in Theoria Motus Corporam Coelestium demonstrata sunt , facile inveni- 
tur aequale termino ultimo in serie divisorum 21®, ©', S" etc.; quapropter plu- 
res calculatores ,' ut eliminationem illam molestam eyitarent, deficientibus aliis 
subsidiis, ita sibi consuluerunt, ut algorithmum, de quo diximus pluries, mutato 
quantitatum cc,y,z etc., ordine, repeterent, singulis deinceps ultimum locum 
occupantibus. Gratum itaque geometris fore speramus , si modum novum pon- 
dera determinationum calculandi, e penitiori argumenti perscrutatione haustum 
hie exponamus , qui nihil amplius desiderandum relinquere yidetur. 



32. 
Statuamus itaque esse (I) 

ti®= ««a?+»V+<^''^+ etc. +S« 
u' = SÖ'y +r«+ etc. -f ?' 

u"= rz+etc. -fr 

etc. 
Hinc erit indefinite 



j^dQ = Sda?+Tidy4-Cdz+ etc. 

= tt«(d^+?dy + |-!d«+ etc.) 

+t«'(dy-h |-!d«-h etc.) -\-ur{dz-\- etc.) + etc. 



unde colligimus (II) 

etc. 
Supponamus, hinc derivari formulas sequentes (III) 



BRRORIBÜS MINnaS OBKOXIAE. PARS POSTERIOR. 39 

etc. 

lam e differentiali completo aequationis 

Q = e(^— ^)+ii(j^— -B)-f C(^— C)+ etc. -f Af 

subtracta aequatione 

4-dQ = Sdir+i]dyH-Cdar+ etc. 
sequitur 

idö = {w — A)dZ+{y — B)dii+{z—C)d^+ etc. 

quae expressio identica ^sse debet cum hac ex III demanante : 

s 

|;.dS+^,(^'dS+dti)+|^,(^''dS+5"dTi+dC)+etc. 
Hinc coUigimus (IV) 

x = ^,^A'.^,-^Ä'.f,-\- etc. +4 

«= l^-hetc. +C 

etc. 

Substituendo in bis expressionibus pro u^, u', u" etc. valores earum ex UI de- 
promtos eliminatio indefinita absoluta erit. Et quidem ad pondera determinanda 
babebimus (V) 

[ad] = ^.+^+^ +^^p- + ^^^- 
[öö]= ^, + ^+^+etc. 

1 C"*C"' 

[TT]= <p + -ä^+etc. 

etc. 

quarum formularum simplicitas nihil desiderandum relinquit. Ceterum etiam pro 



40 THEOBU GOHBINATIONIS OBBEBVATIONUM 

coefficientibus reliquis [a6], [ay], [6y] etc. formulae aeque simplices prodeunt, 
quas tarnen, quam illorum usus sit rarior, hie apponere super sedemus. 



33. 
Propter rei gravitatem , et ut omnia ad calculum parata sint , etiam formu- 
las explicitas ad determinationem coSfficientium -4', A!, -4'" etc. B'\ B"'etc. etc. 
hie adscribere visum est. Duplici modo hie calculus adornari potest , quum ae- 
quationes identicae prodire debeant , tum si valores ipsarum le^ ie\ %C etc. ex HI 
depromti in II substituuntur, tum ex substitutione yalorum ipsarum £, t], C etc. 
ex II in III. Prior modus haec formularum systemata subministrat : 

fö + i^/' -4+ ^.-4 +-4. =0 
etc. unde inveniuntur -4', -4", Ä" etc. 



8 



i:+i:.B''+B"'=o 



etc. unde inveniuntur B^^ B'" etc. 

etc. unde inveniuntur C^ etc. Et sie porro. 
Alter modus has formulas suggerit : 



unde habetur A'. 






imde inveniuntur £" et A", 



ERRORIBUS MINIMZS OBNOXIAE. PARS POSTERIOR. 41 

unde inveniuntur C'\ B"\ Ä"\ Et sie porro. 

Uterque modus aeque fere commodus est, si pondera determinationum cuncta- 
rum x,y, z etc. desiderantur ; quoties vero e quantitatibus [aa], [66], [yy] etc. 
una tantum vel altera requiritur, manifesto systema prius longe praeferendum erit. 

Ceterum combinatio aequationum I cum IV ad easdem formulas perducit, 
insuperque calculum duplicem ad eruendos valores maxime plausibiles A, B, C 
etc. ipsos suppeditat, pnta, primo 

A _ r_ ^.r .,,«;; .mT' .^ 

•^ — 9[®'~" ©' ff" "^ ^^ eüc. 

B = ___5"__B'"__ etc. 

^ --^ '"" ^ — ^ ^7» — etc. 

etc. 

Calculus alter identicus est cum vulgari, ubi statuitur w® = 0, w = 0, t*"= etc. 

34. 
Quae in art. 3 2 exposuimus , sunt tantummodo casus speciales theorematis 
generalioris , quod ita se habet : 

Theorema. Designet t functionem linearem indeterminatarum <r, y, z etc. hanc 

t =^f(C'\'gy'-\'hz-\' etc. +^ 

quae transmutata in functionem indeterminatarum u^, u, %C etc. fiat 

t = ;fc«tiO+;fcV+*V+ etc. + JC 

Quihus ita se habentibus erit K vator maooime plavsibilis ipsitis t , atque pondus hu- 
ius determinationis 



Dem. Pars prior theorematis inde patet, quod valor maxime plausibilis 
ipsius t valoribus w®= 0, w' = 0, u'= etc. respondere debet. Ad posterio- 

6 



\ 



42 THBOBU COMBINATiaNIS OBSESVATIONÜM 

rem demonstrandam observamus, quoniam 4^dQ = Sda?+i]dy+Cd;r+ ®'c., 
atque d^ =/da?4"ydy4"Ad;r+ etc., esse, pro S =/» 'fl =y» C = A etc., 
independenter a valoribus differentialium da?, d^, dz etc. 

dQ = 2dr 

Hinc vero sequitur , pro iisdem valoribus S=/, '»1=5^. C = A etc. , fieri 
^,du^+|^,dti'+J^,.dii''+ etc. = Ä«dti«+*'dtt'+Fdtt''+ etc. 

lam facile perspicitur, si da;, d^, d;; etc. sint ab inyicem independentes, 
etiam dti^ du', du" etc. , ab invicem independentes esse; unde colligimus, pro 
5=/, '»)=y, C = A etc. esse 

u« = r*^ li' = »'*', u''=rT etc. 

Quamobrem valor ipsius Q, iisdem valoribus respondens erit 

= rÄ^*^+ö'Ä'*'+(S''FF+ etc. +Jtf 

unde per art. 29 theorematis nostri veritas protinus demanat. 

Ceterum si transformationem functionis t immediate» i. e. absque cogni- 
tione substitutionum IV. art. 32, perficere cupimus, praesto sunt formulae: 

Ä = (E^Ä^+r*'+rF etc.. 

unde coSfficientes U^, k\ k" etc. deinceps determinabuntur, tandemque habebitur 

K= ;fc_SO*o_S'Ä'— 8"^— etc. 



35. 
Tractatione peculiari dignum est problema sequens , tum propter utilitatem 
practicam , tum propter solutionis concinnitatem. 

Invenire mutationes valorum mamme platisibilium incognitarum ah accessione 
aequationi8 navae productas , nee non pondera navarum determinationum. 

Betinebimus designationes in praecedentibus adhibitas, ita ut aequationes 
primitivae, ad pondus = I reductae, sint hae v = 0, t?' = 0, i?"= etc.; ag- 



ERR0&IBU8 XINDCIS OfiNOXIAE. PABS POflT^OR. 43 

gregatum indefimtum t?t?-4-t?V+t?V etc. = Q; porro ut S, i], C etc. sint qux)- 
tientes differentiales partiales 

dQ dQ dQ 



2d«* 2dy' 2ds 

denique ut ex eliminatione indefinita sequatur 



etc. 



oß = -44-[aa]S4-[a6]T]+[a7]C+ etc. 

j^ = B+[a6]5+[ÖÖ]i)+[gy]C+etc. } (I) 

z = C4-[a7]5+[6Y]Tj+[Y7]C+ etc. 

lam supponamus, accedere aequatioQem novam t;* ^^ (proxime veram, et cuius 
pondus =1), et inquiramus, quantas mutationes hinc nacturi sint tum valores 
incognitarum maxime plausibiles Ä, B, Cetc, tum coefficientes [aa], [a6] etc. 

Statuamus Q+t;V=Q\ ^ = l\ ^ = <^ ^ = C* etc. 

• ' 2dz ' 2dy • ' 2as 

supponainusque , hinc per eliminationem sequi 

X = ^•+[aa*]r+[aÖ*]ii*+[a7*]C* etc. 
Denique sit 

V* =/a?+yy+A5?-[- etc. 4-Ar 

prodeat inde, substitutis pro <r, y, z etc. valoribus ex (I) , 

V* = F5-f GT,+iIC+ etc. +Jr 
statuaturque 

Ff-^ Gg-^Hh-^- etc. = o> 

Manifesto K erit valor maxime plausibilis functionis t;*, quatenus ex ae* 
quationibus primitivis sequitur, sine respectu valoris 0, quem observatio accesso- 
ria praebuit , atque — pondus istius determinationis. 

lam habemus 

r = 5+/t;*. Ti* = Ti-f ^t;*. C* = C+At;* etc. 

adeoque 

F5*+GV+HC*+ etc. +Jr= i?*(l+F/+G^+HA+ etc.) 



( \ TBBOBU COMBUTATIOMIS OB8EBVATIOKUM 

IVriuvlo fit 

,». A \ [aoir+la6]T]'-f[aT]C*+ etc. -v*{/[aa]-\-<f[a^]-^h[ay]-\- etc.) 
A -f-laoir+[aö]Tj'H-[aT]C'+ etc. —Fv' 
a4-laoir+[ag]7j'+[«T]':*+ etc. -^{FV-^GrC-{-m*-\-etc.-\-K) 

Www xttuixw coUigimus 

l + CD 

% 

qui orit vnlor maxime plausibilis ipsius <r ex omnibtis observationibus ; 



ndrciqtto porulus istius determinationis 



FF 



PrntTiiiN oodom modo invenitur yalor maxime plausibilis ipsius y; omnibus obser- 
vitlionibuH Nuperstructus 

mI.(|U() pondus huius determinationis 



[86]- «^ 



cit Mi(! porro. Q. K I. 

Iii(!eat huic solutioni quasdam annotationes adiicere. 
I. Substitutis bis novis valoribus A*, JB*, C* etc., functio v* obtinet valo- 
roin inaxinu' plausibilem 

K- ,-f-.(i7'+ %+ffA+ etc.) = ,^ 



Kt i{\\\\\\\ indefinite sit 

•'• = .-f.-5*+r|i-i*+rfi-<^*+ etc. +^ 



ID 



ERRORIBUS M1NIMI8 OBKOXJAE. PARS P08TERI0B. 45 



pondus istius determinationis per principia aft. 29 eruitur 



1+» 



2y + Og-^I£h+ etc. w 

Eadem immediate resultant ex applicatione regulae in fine art. 2 1 traditae ; scilicet 
complexus aequationum primitivarum praebuerat determinationem v* = K cum 
pondere = — , dein observatio nova dedit determinationem aliam , ab illa inde- 
pendentem, t;*=: 0, cum pondere == 1, quibus combinatis prodit determinatio 
V* = — ; — cum pondere = — l-l. 

II. Hinc porro sequitur, quum pro a: = -4*, y = B*, z = C* etc. esse 
debeat 5* = 0, tj* = 0, C*=0 etc., pro iisdem valoribus fieri 

t /JT gK » hK . 

^ = -T+i' 'J = -IT^. ^ = -1+^ etc. 
nee non , quomam indefinite 2 = S (a? — ^) -f- tj (y — B)-\-^{z — C) + etc. + M, 



2 = (-l|^(^/+ Ö^+^AH- etc.) H-M= Jlf+^ 



denique, quoniam indefinite Q*=Q4-r*i;*, 

2- = J»f + (^. + (if^i = ^+ n^„ 

m. Comparando haec cum iis, quae in art. 30 docuimus, animadvertimus, 
functionem Q hie valorem minimum obtinere, quem pro valore determinato 
functionis v* = --j-^ accipere potest. 

36. 

Problematis alius , praecedenti affinis , puta 

Investigare mutationes valorum maxime plausibilium incognitarum , a tnutato 
pondere unius ex observationibus primitivis ariundas, nee non pondera novarum de- 
terminationum 

solutionem tantummodo hie adscribemus , demonstrationem , quae ad instar art. 
praec. facile absolvitur, brevitatis caussa supprimentes. 

Supponamus, peracto demum calculo animadverti. alicui observationum 
pondus seu nimis parvum , seu nimis magnum tributum esse , e. g. observationi 
primae , quae dedit F = i , loco ponderis p in calculo adhibiti rectius tribui 
pondus = p*. Tunc haud opus erit calculum integrum repetere , sed commo- 
dius correctiones per formulas sequentes computare licebit. 



46 THEOBIA COMBINATIONIS 0B8ESTATI0NIIH 

Valores incog^tarum maxime plausibiles correcti erunt hi : 



P + (P* — i»)(o« + *6 + CTf+ eto.) 
(p*-f)8>. 



z= C 



(p'-ph'»^ 



P + {p''~p){aa + b6 + ef+ etc.) 

etc. ponderaque harum determinationum invenientur, dividendo unitatem resp. per 



[aa] 



jp + (p*— i?)(fla + Ä6 + cY-f etc.) 



[gg] iP'-P)^^ 



r-Y-Yl (P*-'P)tl etc 

IJ n /i-l-Oi*— jp)(ao-|-Ä«+c7+etc.) 

Haec solutio simul complectitur casum, ubi peracto calcolo percipitur, unam ex 
observationibus omnino reiici debuisse , quum hoc idem sit ac si facias p* = ; 
et perinde valor p* = 00 refertur ad casum eum , ubi aequatio V= L, quae 
in calculo tamquam approximata tractata erat, revera praecisione absoluta gaudet. 
Ceterum quoties vel aequationibus, quibus calculus superstructus erat, plu- 
res novae accedunt , vel pluribus ex illis pondera erronea tributa esse percipitur, 
computus correctionum nimis complicatus evaderet; quocirca in tali casu calculum 
ab integro reficere praestabit. 

37. 
In artt. 1 5. 1 6 methodum explicavimus, observationum praecisionem proxime 
determinandi''^]. Sed haec methodus supponit, errores, qui revera occurrerint, 
satis multos exacte cognitos esse , quae conditio , stricte loquendo , rarissime , ne 
dicam numquam , locum habebit. Quodsi quidem quantitates , quarum valores 
approximati per observationes innotuerunt, secundum legem cognitam, ab una 
pluribusve quantitatibus inc(^itis pendent, harum valores maxime plausibiles 
per methodum quadratorum minimorum eruere licebit , ac dein valores quantita- 
tum , quae observationum obiecta fuerant , illinc computati perparum a valoribus 



*) Disquiaitio de eodem argiunento , quam in commentatione anteriore {Bestimmung der Genauigkeit 
der Beobachtungen, Zeitechrift für Astronomie und verwandte Wissenechaften Vol. I, p. 185) tradideramus, 
eidem hypothesi circa indolem functionis probabilitatem errorum exprimentis inniza erat , cui in Theoria mo- 
tu« corporum coelestium methodum quadratorum minimorum superBtruxeramus (vid. art. 9, III). 



ERRORIBÜS MOnMIS OBNOXIAE. PARS POSTERIOR« 47 

yeris discrepare censebuntur , ita ut ipsorum differentias a valoribus observatis eo 
maiore iure tamquam observationum errores veros adoptare liceat, quo maior fue- 
rit harum multitudo. Hanc praxin sequuti sunt omnes calculatores , qui obser- 
Tationum praecisionem in casibus concretis a posteriori aestimare susceperunt: sed 
manifesto illa theoretice erronea est, et quamquam in casibus multis ad usus 
practicos sufficere possit , tarnen in aliis enormiter peecare potest. Summopere 
itaque hoc argumentum dignum est , quod accuratius enodetur. 

Retinebimus in hac disquisitione designationes inde ab art. 1 9 adhibitas. 
Praxis ea, de qua diximus, quantitates A, B, C etc. tamquam valores veros ipsa- 
mm 0?, y, z considerat, et proin ipsas X, X', X" etc. tamquam valores veros functio- 
num v, %S, v" etc. Si omnes observationes aequali praecisione gaudent , ipsarum- 
qua pondus p=Lp'z=p'' etc. pro unitate acceptum est, eaedem quantitates, signis 
mutatis, in illa suppositione observationum errores exhibent, unde praecepta 
art. 1 5 praebent observationum errorem medium m 

i XX-t-VV+X^^X^^-f etc. jM 

Si observationum praecisio non est eadem, quantitates — X, — X', — X^etc. ex- 
hiberent observationum errores per radices quadratas e ponderibus multiplicatos, 
praeceptaque art. 1 6 ad eandem formulam ^ — perducerent, iam errorem medium 
taUum observationum, quibus pondus = 1 tribuitur, denotantem. Sed mani- 
feste calculus exactus requireret, ut loco quantitatum X, X', X'' etc. valores functio- 
num v, v\ v" etc. e valoribus veris ipsarum iT, y, z etc. prodeuntes adhiberen- 
tor, i. e. loco ipsius M, valor functionis Q valoribus veris ipsarum <r, y, z etc. 
respondens. Qui quamquam assignari nequeat, tamen certi sumus, eum esse 
maiorem quam M (quippe qui est minimus possibiUs) , excipiendo casum infinite 
parum probabilem, ubi incognitarum valores maxime plausibiles exacte cum veris 
quadrant. In genere itaque affirmare possumus, praxin vulgarem errorem me- 
dium iusto minorem producere , sive observationibus praecisionem nimis magnam 
tribuere. Videamus iam , quid doceat theoria rigorosa. 

38. 
Ante omnia investigare oportet , quonam modo M ab observationum erro- 
ribus veris pendeat. Denotemus hos, ut in art. 28, per e, e\ i etc. , statuamus- 
que ad maiorem simplicitatem 



48 THEOBIA COÜIBINATIONIS OBSEBVATIONUH 

e\/p =-. e, e\Jp' = g', e"\Jp" = g" etc. , nee non 
msjp = m'sjp = ni'sj p" etc. = jx 

Porro sint valores veri ipsarum o?,^, «etc., resp. A — x^, B — y^, C — z^etc, qui- 
bus respondqant valores ipsarum S, '»j, C etc. hi — S^ — 1]^ — ^C^ etc. Manifeste 
iisdem respondebunt valores ipsarum v.v, v"etc. hi — g, — g\ — g"etc., ita ut 
habeatur 

e« = ag + aV+aV+ etc. 
^0^ ftg^^ftV + ftV+etc. 
C^= cg + cV+cV+etc. 



etc. nee non 



Denique statuemus 



aP = ag+aV+aV+ etc. 
/ = ög+gV+ÖV+ etc. 

Z^ = yg + yV+yV+ CtC. 

Q^ = gg-[.ß'g'-[.gV+ etc. 



ita ut sit Q^ aequalis valori functionis Q, valoribus veris ipsarum w, jf, z etc. re- 
spondenti. Hinc quum habeatur indefinite , 

Q = 3f+(a?— 4)5+(j^— jB)T]-f (;?— C)C+ etc. 
erit etiam 

M = Q0_a?«e^_/T,«_;50C^_ etc. 

Hinc manifestum est , M, evolutione facta esse functionem homogeneam secundi 
ordinis errorum e, e, e' etc., quae» pro diversis errorum valoribus maior minorve 
evadere poterit. Sed quatenus errorum magnitudo nobis incognita manet, functio- 
nem hanc indefinite considerare , imprimisque secundum principia calculi proba- 
bilitatis eins valorem medium assignare conveniet Quem inveniemus, si loco 
quadratorum ee, ee\ ee etc. resp. scribimus mw, mW, iw'W etc. , producta vero 
ee^ ee'\ ee" etc omnino omittimus, vel quod idem est, si loco cuiusvis quadrati 
gg, g'g', g"g" etc. scribimus (i(i, productis ög', gg", g'g" etc. prorsus neglectis. Hoc 
modo e termino 2® manifeste provenit TCfi-ix; terminus — x^^ pjioducet 

V 

— (a a + «Gt'-j- a V-|- etc.)[jL[jL = — fiji " 



A^.' 



EBROBIBUS ICQfIKIS OBHO^^AE. PAB8 P06IKBI0R. 49 

et similiter singulae partes reliquae praebebunt — |i (i, ita ut valor medius totalis 
fiat = (ic — p)(i(i» denotante ic multitudinem observätionum , p maltitudinem 
incognitarum. Valor verus quidem ipsius M, prout fors errores obtulit, maior 
minoTve medio fieri potest , sed discrepantia eo minoris momenti erit , quo maior 
fuerit observationum multitudo, ita ut pro valore approximato ipsius (i accipere 
lioeat 

Valor itaque ipsius |i, ex praxi erronea, de qua in art. praec. loquuti sumus, prodi- 
ens, augeri debet in ratione quantitatis ^(ic — p) ad ^ic. 



^ Q* — ag*6*--y*T)*--i^C*— etc. — (ic~p)|Ayi v3 



39. 
Quo clarius eluceat, quanto iure valorem fortuitum ipsius M medio aequi- 
parare liceat , adhuc investigare oportet errorem medium metuendum , dum sta- 
tuimus -3- = (A|iL. Iste error medius aequalis est radici quadratae e valore me- 
dio quantitatis 

— etc. — (ic — p)|AfA%' 

P ^ 

quam ita exhibebimus 

et quum manifesto valor medius termini secundi fiat = , res in eo vertitur, ut 
indagemus valorem medium functionis 

V = (Q«_a?^e«— /ij«— z^C^— etc.)* 
quo invento et per N designato , error medius quaesitus erit 

Expressio ^ evoluta manifesto est functio homogenea sive errorum e, e\ e" 
etc. , sive quantitatum e, e', e" etc. , eiusque valor medius invenietur , si 
1® pro biquadratis e^, e'*, e"^ etc. substituuntur eorum valores medii 
2** pro singulis productis e binis quadratis ut eee'e\ e^eV, eVcVetc. pro- 
ducta ex ipsorum valoribus mediis, puta mmmni, mmni'm\ ntnimni' etc. 

7 



50 TBSOIOA GOMBINATIONIS OBSEBVATIOKUM 

3® partes vero reliquae, quae implicabunt vel factorem talem €^e\ vel ta- 
lem eeeV, omnino omittuntur. Valores medios biquadratorum e*, e'*, e"* etc. 
ipsis biquadratis m*, w'*, m"^ etc. proportionales supponemus (vid. art. 16), ita ut 
Uli sint ad haec ut v^ ad |x^, adeoque v^ denotet valorem medium biquadratorum 
observationum talium quarum pondus = 1. Hinc praecepta praecedentia ita 
quoque exprimi poterunt : Loco singulorum biquadratorum g*, e'*, g"* etc. scriben- 
dum erit v*, loco singulorum productorum e binis quadratis ut eesV, eee^g", eVeV 
etc., scribendum erit |x^, omnesque reliqui termini, qui implicabunt factores ta- 
les ut g*g', vel ggg'g", vel ggW" enint supprimendi. 

His probe intellectis facile patebit 

L Valorem medium quadrati Q®Q^ esse tcv*4-(tctc — 'rc)(i* 

IL Valor medius producti eeaf^^ fit = aav*-4-(aV+aV+etc.) ji*, sive 
quoniam aa + a'a'+aV4- etc. = 1, 

Et quum perinde valor medius producti gVa?^? fiat = aa(v* — |ji*)-4-ji.*, valor 
medius producti €€oi^^ autem = a''a''(v* — (i*)-|-ji* et sie porro, patet, valo- 
rem medium producti (gg+gV+g"g"+ etc.) cT®? sive Q^o?®? esse 

Eundem valorem medium habebunt producta ö^y^ij^, Q^z^^ etc. Quapropter 
valor medius producti Q^(a?^e^+/Tj«+«^C^+ etc.) fit 

III. Ne evolutiones reliquae nimis prolixae evadant , idonea denotatio in- 
troducenda erit. Utemur itaque characteristica S sensu aliquantum latiore quam 
supra passim factum est, ita ut denotet aggregatum termini, cui praefixa est, cum 
Omnibus similibus sed non identicis inde per omnes observationum permutationes 
oriundis. Hoc pacto e. g. habemus ,r^ = 2ae, a?^,r^ = 2aaee + 22aa'ee'. Col- 
ligendo itaque valorem medium producti aPx^^^ per partes, habemus primo va- 
lorem medium producti aaee?6® 

= aaaav*-|-aa(aa4-aV+ etc.)(i^ 
= aaaa(v^ — jx*)-f-c[a[jL*Saa 



ERB0RIBU8 MENHOS OBNOZIAS. PABS POSTBRIOB. 51 

Perinde valor medius producti aacY5®5® fit =aa'aa (v* — ^^)-{-aa\L^^aa et sie 
porro , adeoque valor medius producti ^^^aatt ' 

Porro yalor medius producti aaee'E^^ fit = 2aa'aa[x^, valor medius producti 
aa''ee''S^6^ perinde = iaa'aa"^^ etc., unde facile concluditur, valorem medium 
producti 6^£®2aaee' fieri 

= 2tit^2aaaa = ji*((Saa)* — Saaaa) = \x^{l — Saaaa) 
His coUectis habemus valorem medium producti x^af^^^ 

IV. Haud absimifi modo invenitur valor medius producti aPy^^rf^ 

Sed habetur 

^aaV'6' = Saa.Sft^ — Y^aab'6 
Itübaß' = 2)a6.Sa6 — Safta^ 

unde valor ille medius fit, propter ^aa ==1, 266 = 1, 2a^ = 0, 26a = 0, 

= (v* — 3ji*)2a6a« + jjt*(l+2a6.2ae) 

V. Quum prorsus eodein modo valor medius producti x^z^^(^ fiat 

= (v* — 3ji*)2aca74-t**(*+2ac.2aY) 

et sie porro, additio valorem medium producti «r^5®(ir^?^+y^ij^+5?^C"+etc.) 
suppeditat 

= (v* — 3ji*)2(aa(aa+6S+C7+ etc.))+(p+l)t** 

+ ji* (2 aa. 2 aa+2a6. 2 aö+2ac. 2a Y+ etc.) 

= (v*_3^*)2(aa(aa+6«+C7+ etc.)) + (p + 2) ji' 

VI. Prorsus eodem modo valor medius producti 3f^r^{j^^+y^'^+z^C^-\' 
etc.) eruitur 

7* 



52 THBORIA COKBINATIOinS OBSERVATIOmilf 

— (v<_3ji*)2(6S(aa+66+CY+ etc.)) + (p + 2) ji* 

dein valor medius producti «"C"(a?"?'H-/T]"+«TH- etc.) 

= (v* — 3ji*)2(cY(aa4-6S4-C7+ etc.))+(p+2){i* 

et sie porro. Hinc per additionem prodit valor medius quadrati 
(ir»?'-hy"tl"+«"'C"+ etc.)» 

= (v*_3Hi*)2((aa+6Ö+cY+ etc.)«) + (pp+2p)^i* 
VII. Omnibus tandem rite coUectis eruitur 

N = '{% — 2p)v*-|-(itic — IC — 2icp + 4p4-pp)|** 

+(v*— 3|i*)2((aa+6ö+C7+ etc.)*) 
= (u-p)(v*-^i*) + (ic— p)V*-(v*-3Fi*)[p-2((aaH-6Ö4-cY+ etc.)*)] 

Error itaque medius in determinatione ipsius fi[x per formulam 

M 

metuendus erit 

= Vr4^^-^^^[p-2((aa+6«+ 

40. 
Quantitas 2((aa+664"^7+ etc.)*), quae in expressionem modo inven- 
tam ingreditur , generaliter qnidem ad formam simpliciorem reduci nequit : nihi- 
lominus duo limites assignari possunt , inter quos ipsius valor necessario iacere 

debet. Primo scilicet e relationibus supra evolutis facile demonstratur, esse 

• 

(aa4-6g+c7+etcO*+(aa'4-5€'+c7'+etcO*+(aa"+6ö''+c7''4-etc.)* + 

unde concludimus, aa4-66 + cy+ etc. esse quantitatem positivam unitate mi- 
norem (saltem non maiorera). Idem valet de quantitate aa'+6'6'H-cY+ etc.. 
quippe cui aggregatum 

(aa + 6'Ö + cy + etc.)* + (aV+ 6' 6 '+ cy+ etc.)* + {aa+ V g"+ cf etc.)* + etc. 
aequale invenitur; ac perinde a"a"-|-6"ö''-j-c"y"+ etc. unitate minor erit, et sie 



EBRORIBÜS MINDOS OBNOXUEU PARS P08TEBI0B. 53 

porro. Hinc 2((aa+6ö+cy4" etc.)*) necessario est minor quam it. Secunda 
habetur 2 (aa+6ö+cy + etc.) = p, quoniam fit 2aa = 1, 266 = 1, 2cy = 1 
etc.; unde facile deducitur, summam quadratorum 2((aa-4-6ö+C7+ etc.)*) 
esse maiorem quam ^ , vel saltem non minorem. Hinc terminus 

necessario iacet inter limites — ^ ^ ^ et ^ "^ ** • — vel, si latiores praeferimus, 

inter hos ^^^ et -\ ^^ , et proin erroris medii in valore ipsius |a [^ = —;^ 

metuendi quadratum inter limites — ^—^ et -3-, ita ut praecisionem quan- 
tamyis assequi liceat, si modo observationum multitudo fuerit satis magna. 

Yalde memorabile est, in hypothesi ea (art. 9, III), cui theoria quadratorum 
minimorum olim superstructa fuerat, illum terminum omnino excidere , et sicuti, 
ad eruendum valorem approximatum erroris medii observationum ^ , in omnibus 
casibus aggregatum XX 4-^'^'+ ^"^"4- etc. = M ita tractare oportet, ac si esset 
aggregatum ic — p errorum fortuitorum, ita in illa hypothesi etiam praecisionem 
ipsam huius determinationis aequalem fieri ei, quam determinationi ex ic — p 
erroribus veris tribuendam esse in art. 1 5 invenimus. 



SUPPLEMENTUM 



THEORIAE 



COMBINATIONIS OBSERVATIONÜM 



ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE 






A ü C T O B E 



CAROLO FRIDERICO GAUSS 



SOCIETATI REQIAE SaENTIARUM EXHIBITUM 1826. SEPT. 16. 



Commentationes societatis regiae scientianim Oottingensis recentiores. Vol. vi. 

Gottingae MDCCCxxvm. 



SUPPLEMENTUM 



THEORIAE 



COMBINATIONIS OBSERV ATIONUM 

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE. 



1. 

In tractatione theoriae combinationis observationum Yolumini V Commenta- 
tionum Recentiorum inserta supposuimus , quantitates eas , quarum valores per 
observationes praecisione absoluta non gaudentes propositi sunt, a certis elemen- 
tis incc^nitis ita pendere , ut in forma functionum datarum horum elementorum 
exhibitae sint , reique cardinem in eo verti , ut haec elementa quam exactissime 
ex observationibus deriventur. 

In plerisque quidem casibus suppositio ista immediate locum habet. In aliis 
vero casibus problematis conditio paullo aliter se offert, ita ut primo aspectu du- 
bium videatur, quonam pacto ad formam requisitam reduci possit. Haud raro sei- 
licet accidit, ut quantitates eae, ad quas referuntur observationes, nondum exhi- 
bitae sint in forma functionum certonim elementorum, neque etiam ad talem for- 
mam reducibiles videantur, saltem non commode vel sine ambagibua: dum, ex 
altera parte, rei indoles quasdam conditiones suppeditat, quibus valores veri quan- 
titatum observatarum exacte et necessario satisfacere debent. 

Attamen, re propius considerata, facile perspicitur, hunc casum ab altero 
revera essentialiter haud differre , sed ad eundem reduci posse. Designando sci- 
licet multitudinem quantitatum observatarum per tu, multitudinem aequationum 
conditionalium autem per a, eligendoque e prioribus tc — a ad lubitum, nihil 
impedit, quominus has ipsas pro elementis accipiamus, reliquasque, quarum mul- 

8 



58 SUPPIiEMENTÜH THEOBIAE COMBINATIOinS OBSEBYATIONÜM 

titudo erit a , adiumento aequationum conditionalium tamquam functiones illa- 
rum consideremus , quo pacto res ad suppositionem nostram reducta erit. 

Verum enim vero etiamsi haec via in permultis casibus satis commode ad 
finem propositum perducat, tarnen negari non potest, eam minus genuinam, ope- 
raeque adeo pretium esse , problema in ista altera forma seorsim tractare , tanto* 
que magis . quod solutionem perelegantem admittit. Quiti adeo , quum haec so- 
lutio nova ad calculos expeditiores perducat, quam solutio problematis in statu 
priore, quoties a est minor quam ^-ic, sive quod idem est, quoties multitudo 
elementorum in commentatione priore per p denotata maior est quam 4-ir, solu- 
tionem novam, quam in commentatione praesenti explicabimus, in tali casu prae- 
ferro conveniet priori , siquidepi aequationes conditionales e problematis indole 
absque ambagibus depromere licet. 

2. 
Designemus per v, v\ v" etc. quantitates , multitudine ir , quarum valores 
per observationem innotescunt, pendeatque quantitas incc^ita ab illis tali modo, 
ut per functionem datam illarum , puta u , exhibeatur : sint porro /, l\ l" etc. 
valores quotientium differentialium 

du du du , 

di' d?' dV' ®^^' 

valoribus veris quantitatum v, v\ v" etc. respondentes. Quemadmodum igitur per 
substitutionem horum yalorum yerorum in functione u huius valor verus prodit, 
ita, sipro v, v\ i?"etc. valores erroribus e, «', e^etc resp. a veris discrepantes 
substituuntur , obtinebitur valor erroneus incc^nitae , cuius error statui potest 



= /g+/V+/V+etc. 

siquidem , quod semper supponemus , errores e, e^ e" etc. tam exigui sunt , ut 
(pro functione u non lineari) quadrata et producta negligere liceat. Et quamquam 
magnitudo errorum e, e\ e" etc. incerta maneat , tarnen incertitudinem tali in- 
cognitae determinationi inhaerentem generaliter aestimare licet, et quidem per 
errorem medium in tali determinatione metuendum , qui per principia commen- 
tationis prioris fit 

= \/(//mm-f /7mW-f-rrmW'+ etc.) 



EBBOBIBUb MHOUIS ÖBIfOXUE* 59 

denotantibus . m, m, m" etc. errores medios observationum , aut si' singulae obser- 
yationes aequali incertitudini obnoxiae sunt, 

= w ^/(//+ IT+ IT+ etc.) 

Manifeste in hoc calculo pro /, l\ r etc. aequali iure etiam eos valores quo- 
tientium differentialium adoptare licebit, qui valoribus observatis quantitatum 
V, v\ v^ etc. respondent. 

3. 

Quoties quantitates v, v\ v" etc. penitus inter se sunt independentes , in- 
cognita unico tantum modo per illas determinari poterit : quamobrem tunc ülam 
incertitudinem nuUo modo nee evitare neque diminuere licet, et circa valorem in- 
cognitae ex observationibus deducendum nihil arbitrio relinquitur. 

At longe secus se habet res , quoties inter quantitates v, v\ v" etc. mutua 
dependentia intercedit , quam per o aequationes conditionales 

X=0, F=0. Z=Oetc. 

exprimi supponemus , denotantibus X, Y, Z etc. functiones datas indetermina- 
tarum v, v\ v" etc. In hoc casu incognitam nostram infinitis modis diversis per 
combinationes quantitatum v, v\ v" etou determinare licet , quum manifeste loco 
fimctionis u adoptari possit quaecunque alia U ita comparata , ut U — u inde- 
finite evanescat, statuendo X = 0, F=0, Z=0 etc. 

In appUcatione ad casum determinatum nulla quidem hinc prodiret diffe- 
rentia respectu valoris incognitae, si observationes absoluta »praecisione gauderent : 
sed quatenus hae erroribus obnoxiae manent, manifeste in genere alia combina- 
tio alium valorem incc^nitae afiferet. Puta, loco erroris 

/e+/V-f rV'4-etc. 

quem functio u commiserat, iam habebimus 

Le+re+LV+ etc. 

si fimctionem U adoptamus, atque valores quotientium diflFerentialium ^, jp, j^, 
etc. resp. per i, L\ U etc. denotamus. Et quamquam errores ipsos assignare 
nequeamus, tarnen errores medios in diversis observationum combinationibus me- 

8* 



60 SÜPPLEMENTUM THEOBIAE COVBINATIONIS OBSERVATIOMÜM 

tuendos inter se comparare licebit : optimaque combinatio ea erit , in qua hie er- 
ror medius quam minimus evadit. Qui quum fiat 

= \J[LLmm+LLnim+UUm"ni'+ etc.) 

in id erit incumbendum, ut aggregatum LLmm^L'Lmm'\'UL''m'ni--\' etc. 
nanciscatur valorem minimum. 

4. 

Quum varietas infinita functionum 17, quae secundum conditionem in art. 

« 

praec. enunciatam ipsius u vice fungi possunt , eatenus tantum hie cousideranda 

« 

veniat, quatenus diversa systemata valorum eoSfficientium X, U, U etc. inde 
sequuntur, indagare oportebit ante omnia nexum, qui inter euncta systemata ad- 
missibilia locum habere debet. Designemus valores determinatos quotientium dif- 
ferentialium partialium 

dX dJC d^ f 

dt» ' dv" du" ®''^' 

dF djr d^ 

dr » d«' ' dv" ^^^' 

dZ dZ dZ . . 

57' do" ^ ^^^' ^^^' 

quos obtinent, si ipsis t?, v\ v" etc. valores veri tribuuntur, resp. per 

a, a, a etc. 

b, 6, b etc. 

c, c\ c" etc. etc. 

patetque, si ipsis v, v, v"etc. accedere concipiantur talia incrementa dv, dv, du" 
etc., per quae X, F, Zetc. non mutentur, adeoque singulae maneant = 0, i.e. 
satisfacientia aequationibus 

= adv-\-adv'-\-a"dv"-\- etc. 
= bdv-\-b'dv'-\-b''dv"-\- etc. 
= cdr + c'd»'+c"dv"4- etc. etc. 

etiam u — U non mutari debere , adeoque fieri 

= {l—L)dv-{-{l'—L')dv'-\-{r—L")dv"-^ etc. 



^ ERR0RIBÜ8 JONIMIS OBNOXIAE. . 61 

Hinc facile concluditur, coSfficientes L, L', U etc. cöntentos esse debere sub 
formulis talibus 

L = l H-aa? -f-fcy -\-cz + etc. 
L' = /'+a^ -f-6y +<fz + etc. 
U = r-i-ax + 6> + c 5 + etc. 

etc. , denotantibus «r, jf, z etc. multiplicatores determinatos. Vice versa patet, 
si systema multiplicatorum determinatorum w, y^ z etc. ad lubitum assumatur, 
semper assignari posse functionem U talem , cui valores ipsorum X, L\ U etc. 
his aequationibus conformes respondeant , et quae pro conditione in art. praec. 
enunciata ipsius u vic^ fungi possit : quin adeo hoc infinitis modis diversis effici 
posse. Modus simplicissimus erit statuere Z7== ti + ^-X-f-y F+«-Z'+ etc. ; 
generalius statuere licet 17= w-j-irX+y y+^^+ etc. +tt', denotante u 
talem functionem indeterminatarum v, v\ v" etc. , quae semper evanescit pro 
X=0, F=0, Z=0 etc. , et cuius valor in casu determinato de quo agitur 
fit maximus vel minimus. 8ed ad institutum nostrum nuUa hinc oritur differentia. 



5;- 
Facile iam erit, multiplicatoribus x.y^zetc. valores t^ea tribuere, ut 
aggregatum , , 

LLmm'\'L'L'mm--{'L''L''m"fn'-\- etc. 

assequatur valorem minimum. Manifeste ad hunc finem haud opus est cognitione 
errorum mediorum m, fn\ m" etc. absoluta , sed suj65.cit ratio , quam inter se te- 
uent. Introducemus itaque ipsorum loco pondera observationum p, p\ p" etc., 
i.e. numeros quadratis mm, m'm\ in'Wetc. reciproce proportionales, pondere ali- 
cuius observationis ad lubitum pro unitate accepto. Quantitates «r, ^, z etc. i^- 
que sie determinari debebunt , ut polynomium indefinitum 

(ax ^hy^ez-^ etc. -^ ly . (a'x -h b'y -^ c'z 4- etc. -f / ')' i (a"^ + ^'V -^ c"» + etc. + l'l* « ^^^ 
p *" p' "' p" 

nanciscatur valorem minimum, quod fieri supponemus per valores determinatos 
/, /. z® etc. 

Introducendo denotationes sequentes 



62 SUPPLEMENTUM THEOfilAB COMBINATIOIIIS OBSEBVATIONUM 






y + -^ + -- + etc. = [aa] 
7 + f + 9^'+etc. = [a6] 
7 + y + yr + etc. = [ac] 

7 + y4-*^' + etc. = [6A] 
7 + 7+*7^'H-etc.^[6c] 

7 + f + 7^'+etc. = [cc] 
etc. nee non 

7 + f + "f' + etc. = [a/] 

"+7 + 7^4- etc. = [6i] . 

*^' + 7 + 7^ + «tc. = [ci] 
etc. 

manifesto conditio minimi requirit , ut fiat 

= [aa]j?^+[a6y-f-[ac];r^+ etc. +[a/] ' 

= [ab]aP + [bb]/+[bcy'h etc. +[6/] I 
= [ac]a?^ + [6c]/+[cc]«^+ etc. -f-[c/] ^ ^ ^ 
etc. 

Fostquam quantitates <r^ y^, «^ etc. per eliminationem hinc derivatae sunt , sta- 
tuetur 

aJ7^ + 6/ + c«^+ etc. +/ = i ^ 

aa^ + fcy + e'^j^+etc. -f-r = r I 

a''x''-\-by^c''2f'-\- etc. +r - i" '^ ^^^ 

etc. 

His ita factis , functio quantitatum v, v\ v' etc. ea ad determinationem incogni- 
tae nostrae maxime idonea minimaeque incertitudini obnoxia erit. cuius quotien- 
tes diflferentiales partiales in casu determinato de quo agitur habent valores 
-^f L\ L" etc. resp. , pondusque huius determinationis , quod per P denotabi- 
mus, erit 



ERBOBIBÜB MIKIMIS OBNOXUS. 63 

— -^"-T-+-^+ etc. 
9 V V 

sive -p erit valor polynomii supra allati pro eo systemate valorum quantitatum 
x,y, z etc., per quod aequationibus (1) satisfit. 

• • 

6. 
In art. praec. eam functionem V dignoscere docuimus, quae determinationi 
maxime idoneae incc^itae nostrae inservit : videamus iam, quemnam Malmem in- 
cognita hoc modo assequatur. Designetur hie valor per K,^ qui itaque oritur , si 
in JJ valores observati quantitatum v, v, v^etc. substituuntur; pereandem sub- 
stitutionem obtineat functio u valorem Ar; denique sit x valor verus incognitae« 
qui proin e valoribus veris quantitatum v, t?', v" etc. proditurus esset , si hos vel 
in TJ vel in u substituere possemus. Hinc itaque erit 

Ar = x-f- /« + /V 4- re"+ etc. 
jr= x+i^+iV+iT-f- etc. 

adeoque 

K = *(i_Z)e+(i'— r)e'+(i"— /'>"+ etc. 

Substituendo in hac aequatione pro L — /, L' — /', L" — /"etc. valores ex (2), 
statuendoque 

a^+aV-f-aV'-f- etc. = 21 > 
6e4.6V4-6V+ etc. =33 l (4) 
ce + cV-f-cV-f- etc. = £ J 

etc. , habebimus 

jr= Jt4-2la?«4.»/+e;5^etc. (5) 

Valores quantitatum SI, 9, S etc. per formulas (4) quidem calculare non possu- 
mus , quum errores e, /, e" etc. maneant incogniti ; at sponte manifestum est, 
iUos nihil aliud esse, nisi valores functionum X, Y, Zetc, qui prodeunt, si pro 
V, v\ v" etc. valores observati substituuntur. Hoc modo systema aequationum 
(1)« (3)« (^) completam problematis nostri solutionem exhibet, quum ea, quae in 
fine art. 2. de computo quantitatum /, /', l" etc , valoribus observatis quantita- 



64 SUPPLEMENTUM THEORIA£ G0MBINATI0NI8 OBSERVATIONCM 

tum V, v\ v" etc. superstruendo monuimus. manifesto aequali iure ad computum 
quantitatum a, a\ cT etc. h, b\ b" etc, etc. extendere liceat. 

7. 
Loco formulae (3), pondus determinationis maxime plausibilis exprimentis, 
plures aliae exhiberi possunt, quas evolvere operae pretium erit. 



Primo observamus, si aequationes (2) resp. per —,—,—, etc. multiplicen- 

P P F 

tuT et addantur , prodire 



[aa]a/'+[a6]/H-[acl«»+etc. =?^ + ^' + "-^'H- etc. 

Ir P JP 

f 

Pars ad laevam fit =s , partem ad dextram iuxta analogiam per [aIS\ deno- 
tamus : habemus itaque 

[aZr] = 0, et prorsus simili modo \bL\ = 0, [cL] = etc. 

Multiplicando porro aequationes (2) deinceps per — » — , -TrCtc., etaddendo, 
invenimus 

rA TT + etc. = A — + etc. 

unde obtinemus expressionem secundam pro pondere , 

^ IL ^ VL* , V'L" , , 

V P f 

Denique multiplicando aequationes (2) deinceps per — , — , — etc. , et ad- 
dendo , pervenimus ad expressionem tertiam ponderis 

P = 



[«/]«• + [ft/]y* +[c/]«* + etc. + [//] 

si ad instar reliquarum denotationum statuimus 

Hinc adiumento aequationum (1) facile fit transitas ad expressionem guartam, quam 
ita exhibemus: 

l — [ll]— [aa]a?"ir«— [ifc]//— [cc]«V— etc. 

— 2[a b' ipy — 2[ac] af'z'^ — 2 [6c]/«"— etc. 



EBBOftlBUS mutimis obnoxiae. 66 

8. 

Solutio generalis, quam hactenus explicavimus, ei potissimum casui adaptata 
est, ubi una incognita a quantitatibus observatis pendens determinanda est. Quo- 
ties vero plures incc^itae ab iisdem observationibus pendentes valores maxime 
plausibiles exspectant, vel quoties adhuc incertum est, quasnam potissimum in* 
cognitas ex observationibus derivare oporteat , has alia ratione praeparare conve- 
niet, cuius evolutionem iam aggredimur. 

Considerabimus quantitates «r, ^, z etc. tamquam indeterminatas, statuemus 

[aa]äP-\-[ab]y'\-[ac]Z'{' etc. = 6 
[a6]d?+[66]y + [6c]a?+ etc. =1] } (6) 
[ac]a; -^ [be]y -\-[cc]Z'\- etc. =C 

etc. , supponemusque , per eliminationem hinc sequi 

[aa]6 + [aö]ij+[ay]CH- etc. =a?A 
[Öa]5+[6g]t, + [ÖY]C+ etc. =y l (7) 
[7a]5+[76]ijH-[rT]C+ etc. = a? J 
etc. 

Ante omnia hie observare oportet, co^fficientes symmetnce positos neces- 
sario aequales fieii, puta 

[ya] = [ay] 
[yö] = [gy] 

etc. 

qnod quidem e theoria generali eliminationis in aequationibus linearibus sponte 
sequitur , sed etiam inira , absque illa , directe demonstrabitur. 
Habebimus itaque 

0?^ = —[aa].[al] — [aß].[bl]—[ay].[cl]— etc. a 

/ = —[aß].[al] — [ßß].[bl] — [Sy].[cl]—etc. l (8)' 

.« = _[ay].[a/]-[Ö7].'[6/]-[7Y].[c/]- etc. ) 

etc. 

unde, si statuimus 

9 



66 SCPPUEMENTÜM 'CHBOBIAE COKBINATIOinS OBSBBVATIOiniM 

[aa]a4-[a6]S+[a7](£+ etc. = A 
[a6]a+[6öl®+[6Y]<S+ etc. =B\ (9) 
[«T]31+[6y]»+[tt]<£+ etc. = C 



etc. , obtinemus 



K=k—A{aX\—B\^l\ — C\cX\— etc. 



vel si insuper statuimos 



aA -^-hB-^-cC-^ etc. :=pg -v 
dA H- 6'B + c'C + etc. = />V l (10) 
d:A-\-\rB-\-c'C->r etc. = j»v) 



etc. , erit 



K = k — U—Vi—V€— etc. (1 1) 



9. 
Comparatio aequationum (7), (9) docet, quantitates auxiliares A, B, C etc. 
esse yalores indeterminatarum <r, y, i; etc. respondentes valoribas indetermina- 
tarum S, i], C etc. his Z = % i] = ®> C ^ S etc. , unde patet haben 

[aa]A-^[ab]B-^[ac]C-^ etc. = 81 
[ab]A-\-[bb]B-\-[bc]C-^ etc. = » > (12) 
[ac]A-\-[bc]B-\-[cc]C+ etc. = € 

etc. Multiplicando itaque aequationes (10) resp. per — , — ,, % etc. et addendo, 

r P i^ 

obtinemus * 

a = ag+aV+aV'H- etc. 
et prorsus simili modo . ^ . 

» = 6g+6V+6V+ etc. ^ ^ ^ 
(E = cß4-cV+cV+ etc. 

etc. lam quum 91 sit valor fanctionis X, si pro v, v\ v" etc. ' valores observati 
substituuntur, fädle perspicietur, si his applicentur correctiones ' — 8, — e', — ^ 
etc. resp. , functionem X hinc adepturam esse valorem , et perinde Amctiones 



BBRORIBÜS KINIMI8 OBNOXIAE. ' 67 

F, Z etc. hinc ad valorem evanescentem reductum iri. Simili ratione ex aequa- 
tione (11) colligitur, JBT esse valorem functionis u ex eadem substitutione emer- 
gentem. 

Applicationem correctionum — ß, — g', — € etc. ad observationes, vocabi- 
mus ohservationum campensaiionem , manifestoque deducti sumus ad conclusionem 
grayissimam , puta, observationes eo quem docuimus modo compensatas omnibus 
aequationibus conditionalibus exacte satisfacere , atque cuilibet quantitati ab ob- 
servationibus quomodocunque pendenti eum ipsum valorem conciliare, qui ex ob- 
servationum non mutatarum combinatione maxime idonea emergeret. Quum ita- 
que impossibile sit , errores ipsos e, e\ e" etc. ex aequationibus conditionalibus 
eruere, quippe quarum multitudo haud sufficit, saltem errores maanme platisibiles 
nacti sumus , qua denominatione quantitates e, e\ e" etc. designare licebit. 

10. 
Quum multitudo observationum maior esse supponatur multitudine ae- 
quationum conditionalium , praeter systema correctionum maxime plausibilium 
— e« — e\ — 8^ etc. infinite multa alia inveniri possunt, quae aequationibus con- 
ditionalibus satisfaciant , operaeque pretium est indagare , quomodo haec ad il- 
lud se habeant. Constituant itaque — JB, — E\ — jB"etc. tale systema a maxime 
plausibiU diversum, habebimusque 

ajE+ajB'+a"jE"+ etc. = « 
6J5+6'jB'+ i'-E'-t- etc. = » 
c jE+ c jB'-f c''-E".f etc. = (E 

etc. Multiplicando has aequationes resp. per A, B, C etc. et addendo, obtine- 
mus adiumento aequationum (10) 

;igjB+yg'jB'+/e"lS''-f etc. = 4?l+B35+ Ce+ etc. 

Prorsus vero simili modo aequationes ( 1 3) suppeditant 

;?gg+ygV-f-/gV'+ etc. = ^a-fB»-t-CC+ etc. (14) 

E combinatione harum duarum aequationum facile deducitur 

pEE'\'pE'E'^p"E''E''+ etc. 
= /igg+;)W.t./gV-f- etc. +;,(jB— g)*+p'(lS — g')* +?"(-£?"— e'')*+ etc. 



9 



* 



68 SUPPLEMENTUM THBORIAE GOMBIKATIOim OBSERVATIONUM 

Aggregatum ;>JBJS+/)'JE?'i?'+yjE?"JE?''-{- etc. itaque necessario matus erit aggre- 

gato peg+J^'ß'^'+y^'^'H" ®t^« » qtiod enuntiari potest tamquam 

Theorema. Aggregatum quadratorum correctianum, per quas observationes cum 
aequationibus condiHonalibus conciliare licet, per pondera observatianum resp. multi- 
plicatorum , ßt minimum , si carrectianes maxime plausibiles adoptantur. 

Hoc est ipsum principium quadratorum minimorum , ex quo etiam aequa- 
tiones (12), (10) facile immediate derivari possunt. Ceterum pro hoc aggregato 
minimo, quod in sequentibus per 8 denotabimus , aequatio (14) nobis suppeditat 
expressionem 21 A -|- £ © + C'C -f- etc. 

11. 

Determinatio errorum maxime plausibilium , quum a coSfficientibus /, l\ l" 
etc. independens sit , manifeste praeparationem commodissimam sistit, ad quem- 
vis usum , in quem observationes vertere placuerit. Praeterea perspicuum est, ad 
illud negotium haud opus esse eliminatione indeßnita seu cognitione coSlSicientium 
[aa], [aß] etc., nihilque aliud requiri, nisi ut quantitates auxüiares A, B, Cetc«, 
quas in sequentibus carrelata aequationum conditionalium X=0, y=0, Z=o 
etc. Yocabimus , ex aequationibus (1 2) per eliminationem definitam eliciantur at- 
que in formulis (10) substituantur. 

Quamquam vero haec methodus nihil desiderandum linquat, quoties quan- 
titatum ab observationibus pendentium valores maxime plausibiles tantummodo 
requiruntur, tamen res secus se habere videtur» quoties insuper pondus alicuius 
determinationis in votis est, quum ad hunc finem, prout hac vel illa quatuor ex- 
pressionum supra traditarum uti placuerit, cognitio quantitatum L, L\ L" etc., 
vel saltem cognitio harum aP, y^, ^ etc. necessaria yideatur. Hac ratione utile 
erit, negotium eliminationis accuratius perscrutari, unde via facilior ad pondera 
quoque invenienda se nobis aperiet. 

12. 
Nexus quantitatum in hac disquisitione occurrentium haud parum illustra- 
tur per introductionem functionis indefinitae secundi ordinis 

[aa]a?a?+2[a6]iry+2[ac]a?2?+ etc. +[ft6]yy+.2[6c]yz4" ®'^- +[^^]^^4" ^*^- 
quam per T denotabimus. Frimo statim obvium est , hanc functionem fieri 



BBBOBIBÜS UIKIMIS OBNOXIAE« 69 

(ax + bff+ez+eU.y / {a'x + b'y ^ e'z -\- etc.)* , (a'^ar -h y^ + c^« + etc.)* , . . 

Forro patet, esse 

r=a?5+j^il+2?C+ etc. . (16) 

et si hie denuo x, y, z etc. adiumento aequationum (7) per S, t], C etc. expri- 
muntar , 

r=[aa]e5+2[ae]Stj+2[a7]SC+etc. +[ög]t,T,+ 2[ÖY]t]C+ etc. 

+ [TT]^^+etc. 

Theoria supra evoluta hina systemata valorum determinatorum quantitatum 
X, y, z etc., atque S, tj, C etc. continet; priori, in quo x=^c^,y =^y^, z = z^ etc. 
; = — [a/], T] = — [6/], C = — [cl] etc. , respoadebit valor ipsius T hie 

quod vel per expressionem tertiam ponderis P cum aequatione (16) comparatam, 
vel per quartam sponte elucet; posteriori, in quo a? = -4, yz=zB, z=Cetc., 
atque 5 = 81, ti = SB, C = S etc. . respondet valor T=8, uti vel e formulis 
(10) et (15), vel ex his (14) et (16) manifestum est. 

13. 
lam negotium principale consistit in transformatione functionis T ei simili, 
quam in Theoria Motus Corporum Coelestium art. 182 atque fusius in Disquisi- 
tione de elementis ellipticis Palladis exposuimus. Scilicet statuemus (17) 

[66.1]= [66] -ga 

[6c.l]=[6c]-Cfggl] 

[6i.l] = [6i]-&^ 
etc 

[cä. 2] = [cd] - t=g^ _ B^O^ 
etc 



70 SÜPPLEMENTUM THBOBIAE C0HBIKATI0NI8 OBSISBVATIONUM 

etc. etc. Dein statuendo^) 

[66,l]y + [6c, l]2?4-[6rf,l]w+etc. = tj' 

[cc, 2]2r+[crf, 2] w-f- etc. = C 

[rfrf.3]w+etc. = 9'" 
etc. , erit 

quantitatesque t]', C", f^'etc. a S,T],C,?etc. pendebunt per aequationes sequentes: 

r" r — ^^^ BfLÜ*,' 

cd'"— cd— E^f— £^*i^Ti'— E5^r 

etc. 

Facile iam omnes formulae ad propositum noatrum necessariae hinc desu- 
muntur. Scilicet ad determinationem correlatorum A, B, Cetc. statuemus (18) 

[ad] 

[aa] [66, l] 

<T\'" ON C££]W [6(1, l] na; [crf, >] flc>ry 

"^""^"[aa]^ [&Ä,i]"^ [^0,2]"^ 

etc. , ac dein A, B, C, D etc. eruentor per formulas sequentes , et qoidem or- 
dine inverso . indpiendo ab ultima , 

[aa\A-^[ah]B +[ac\C -^[ad]D + etc. = 8t 
[hb, l]BH-[6c. i]C+[6rf,l]2)+ etc. = »' 

[cc, 2] C-\-[cd, 2] JD+ etc. = (£" 
[ii,3]D+ etc. = 2)'" 
etc. 



(19) 



*) In praecedentibus Bufficere poterant temae literae pro variis systematibus quantitatum ad tres pri- 
mas aequationes conditionales referendae: hoc vero loco, ut algorithmi lex clarius eluceat, quartam adiun- 
gere vicum est; et quum in serie natorali literas a,h,c\ A, B, C-, %, Sd, d sponte sequantur d, D, 'S> in 
Serie x, y, z^ deficiente alphabeto, apposuimus w, nee non in bac E, y), C hanc 9. 



ERB0RIBD8 IflNIMIS OBNOXIAB. 71 

Pro aggregato 8 autem habemus formulam novam (20) 

Denique si pondus P, quod determinationi maxime plausibili quantitatis per 
functionem u expressae tribuendum est, desideratur, faciemus (21) 



[««][a/] [*c.l][«il] 






[Crf,2][ct2] 



[cc, 2] 

etc. , quo üicto erit (2 2) 

i _ rill L^^r [Hir [cur c^o? ^.^ 

p — L**J [aa] . [66,1] [cc, 2] [rfrf, 3] ^^^' 

Formulae (17) .... (22), quarum simplidtas nihil • desiderandum relin- 
quere videtur , solutionem problematis nostri ab omni parte completam exhibent. 



14. 

Fostquam problemata primaria absolvimus , adhuc quasdam quaestiones se- 
condarias attingemus , quae huic argumento maiorem lucem affandent. 

Primo inquirendum est, num eliminatio, per quam af,y,z etc. ex £,i], Cetc. 
derivare oportet, umquam impossibilis fieri possit. Manifesto hoc eveniret, si 
functiones S, t), C etc. inter se haud independentes essent. Supponamus itaque 
aliquantisper , unam earum per reliquas iam determinari , ita ut habeatur aequa-; 
üo identica 

a5+öij+YC+ etc. = a 

denotantibus a, €, y etc. numeros determinatos. Erit itaque 

a[aa]+ö[a6]+T[^^]+ ^^' = ^ 
a[a6]+«[66]+7[6c]+ etc. = 

etc. , unde , si statuimus 



72 SUPPLEMENTUM THEOBIAB C0HBINATI0NI8 OBBERVATIONUM 

aa +Ö6+7C+ etc. ^= pb 
a 0"+ g 6"+ y c"+ etc. = /Ö" 



etc. , sponte sequitur 



flö+a e'+a'Ö"+ etc. = 
6e + 6'Ö'+6"Ö"+etc. = 

ce+ c'e'+c"e"+ etc. = o 



etc. , nee non 



^ee+p e'e'+/e''e"+ etc. = o 



quae aequatio , quum omnes p, p\ p' etc. natura sua sint quantitates positivae, 
manifesto consistere nequit, nisi fuerit 6 = 0, ö'= 0, 6"= etc. 

lam consideremus valores differentialium completorum dX, dY, dZ etc., 
respondentes valoribus iis quantitatum v, v\ v' etc. , ad quos referuntor observa- 
tiones. Haec dififerentialia , puta 

adt?-|-a'dv'+a"dv"+ etc. 
6dt; + 6'dv+ 6''dv"+ etc. 
cdt? + c'dtj'+c"dv"+ etc. 

etc. , per conclusionem , ad quam modo delati sumus , inter se ita dependentia 
erunt, ut per a, €, y etc. resp. multiplicata ag^regatum identice evanescens pro- 
ducant, sive quod idem est, quodvis ex ipsis (cui quidem respondet multiplica- 
tar a, 6, Y etc. non evanescens) sponte evanescet, simulac omnia reliqua eva- 
nescere supponuntur. Quamobrem ex aequationibus conditionalibus X = 0, 
K= 0, Z= etc., una (ad minimum) pro superflua habenda est, quippe cui 
sponte satisfit, simulac reliquis satisfactum est. 

Ceterum si res profundius inspicitur, apparet, hanc conclusionem per se 
tan tum pro ambitu infinite parvo variabilitatis indeterminatarum valere. Scili- 
cet proprie duo casus distinguendi erunt, alter, ubi una aequationum conditiona- 
lium X=0, F=a, Z=o etc. absolute et generaliter iamiam in reliquis con- 
tenta est, quod facile in quovis casu averti poterit; alter, ubi, quasi fortuito, pro 
iis valoribus concretis quantitatum v, v\ v" etc. , ad quos observationes referun- 



EBBOiOBUs Mnmas obnoxiajsb. 78 

tur, una ftinctionum X, F, Z etc. e. g. prima X, valorem maximum vel mini- 
mum (vel generalius, stationarium) nanciscitur respectu mutationum omnium, 
quas quantitatibus v, v\ v" etc., salvis aequationibus F= 0, Z=0 etc., ap- 
plicare possemus. Attamen quum in disquisitione nostra variabilitas quantitatum 
tantummodo intra limites tarn arctos consideretur , ut ad instar infinite parvae 
tractari possit , hie casus secundus (qui in praxi vix umquam occurret) eundem 
effectum habebit , quem primus , puta una aequationum conditionalium tamquam 
superflua reiicienda erit , certique esse possumus , si omnes aequationes conditio- 
nales retentae eo sensu, quem hie intelligimus, ab invicem independentes sint, eli- 
minationem necessario fore possibilem. Ceterum disquisitionem uberiorem , qua 
hoc argumentum , propter theoreticam subtilitatem potius quam practicam utili- 
tatem haud indignum est , ad aliam occasionem nobiß reservare debemus. 



15. 

In commentatione priore art. 37 sqq. methodum docuimus« observationum 
praecisionem a posteriori quam proxime eruendi. Scilicet si valores approximati 
IC quantitatum per observationes aequali praecisione gaudentes innotuerunt, et 
cum valoribus iis comparantur, qui e valoribus maxime plausibilibus p elemen- 
torum , a quibus illae pendent , per calculum prodeunt : differentiarum quadrata 
addere» aggregatumque per iz — p dividere oportet, quo facto quotiens conside- 
rari poterit tamquam valor approximatus quadrati erroris medii tali observationum 
generi inhaerentis. Quoties observationes inaequali praecisione gaudent, haec 
praecepta eatenus tantum mutanda sunt » ut quadrata ante additionem per obser* 
vationum pondera multiplicari debeant, errorque medius hoc modo prodiens ad 
observationes referatur, quarum pondus pro unitate acceptum est. 

lam in tractatione praesenti illud a^regatum manifeste quadrat cum aggre- 
gato 8, dififerentiaque ic — p cum multitudine aequationum conditionalium o, 
quamobrem pro errore medio observationum , quarum pondus = 1 , habebimus 

er 

expressionem ^—^ quae determinatio eo maiore fide digna erit, quo maior fuerit 



8 

9 

numerus o. 



Sed operae pretium erit, hoc etiam independenter a disquisitione priore sta- 
bilire. Ad hunc finem quasdam novas denotationes introducere conveniet. Sci- 
Ucet respondeant valoribus indeterminatarum S, t|, C etc. his 

10 



74 SÜPPLRIIENTÜM THEORIAE COMBINA'nONIS 036ERVATI0NUK 

5 = 0, ti = 6, C=C etCr 

valores ipsarum x, y, z etc. hi 

a? = a, y = ö, 2? = y etc. 



ita ut habeatur 



a= a[aa]+6[aö]4-^[«T]+ etc. 
g = a[a6] + 6[öö] + c[Ö7]+ etc. 



etc. Perinde valoribus 

5 = a , T] = 6\ C = c' etc. 

respondere supponexnus hos 

0? = a', j^ = ö', 5? = y' etc. 

nee non his 

5 = a\ 1] = 6", C = c" etc. 
sequentes 

X = a", y = 6", r = y" etc. 
et sie porro. 

His positis combinatio aequationum (4), (9) suppeditat 



A = ae-^-de-^-Oid'^ etc. 
J5 = Ö<? + g V+ g V+ etc. 

C = Y ^ + T^'-h T '^' + etc. 

etc. Quare quum habeatur Ä == 81-4 -f-©-B4-SC4- etc. , patet fieri 

S = (a e + aV+ aV'-h etc.) (a <? + a'c'+ a V'H- etc.) 
+ (6^H-6V+6V+ etc.) (ö^+gV+öVH- etc.) 
+ (ctf4"^'^'H~^"^''4" etc.) (y^H-7V+yV'+ etc.)-}- etc. 



16. 
Institutionem observationum , per quas valores quantitatum t?, t;', v etc. 
erroribus fortuitis e, e\ e" etc. affectos obtinemus, considerare possumus tamquam 



EBRORIBU8 HINIMIS OBKOXIAS. 75 

experimentum , quod quidem singulorum errorum commissorum magnitudinem 
docere uon valet , attamen , praeceptis quae supra explicavimus adhibitis , valo- 
rem quantitatis 8 subministrat, qui per formulam modo inventam est functio data 
illorum errorum. In taU experimento errores fortuiti utique alii maiores alii mi- 
nores prodire possunt; sed quo plures errores concurrunt, eo maior spes aderit, 
valorem quantitatis iS in experimento singulari a valore suo medio parum de- 
viaturum esse. Rei cardo itaque in eo vertitur , ut valorem medium quantitatis 
8 stabiCamus. Per principia in commentatione priore exposita, quae hie repetere 
superfluum esset, invenimus hunc valorem medium 

= (aa+6g4-CY+etc.)mm+(aV+6'ö'+cy+etc.)mW 

+ (aV'+ 6"Ö"+ cY4- etc.) m"m''+ etc. 

Denotando errorem medium observationum talium, quarum pondus = 1 , per |i, 
ita ut sit |i|i = i^iiim = p'm'm' = p^m^'m" etc. , expressio modo inventa ita exhi- 
beri potest: 

(7 + -^ + 7^ e*c-)f*f* + (- + y- + ^ + etc.),i,i 
+ (7 + 7 + 9^+ etc.)pt^L+ etc. 

Sed aggr^;atum ^ -|- ?-?- 4- ?-^ -|- etc. invenitur 

= [aa].[aa]H-[a6].[a6]+[ac].[ay]4- etc. 
adeoque = 1 , uti e nexu aequationum (6), (7) facüe intelligitur. Perinde fit 

66 , hV , 6"«" , . , 

7 + 7- + 7^ + etc. = 1 

y+fY + q:' + etc. = i 

p p p 

et sie porro. 

Hinc tandem valor medius ipsius iS fit =: o|i(ji, quatenusque igitur valo- 
rem fortuitum ipsius 8 pro medio adoptare licet, erit |i = ^— . 



17. 
Quanta fides huic determinationi habenda sit , diiudicare oportet per erro- 
rem medium vel in ipsa vel in ipsius quadrato metuendum: posterior erit radix 

10* 



76 suppLifiiirarruM theoruk cohbinationib obsebvatioküm 

quadrata valoris medii expressionis 

cuius evolutio absolvetur per ratiocinia similia iis , quae in commentatione priore 
artt. 39 sqq. exposita sunt. Quibus brevitatis caussa hie suppressis, formulam 
ipsam tantum hie apponimus. Scilicet error medius in determinatione quadraü 
|A(ji metuendus exprimitur per 

denotante^ v^ valorem medium biquadratorum errorum, quorum pondus = 1 . at- 
que N aggregatum 

(aa+6g+cY+eteO*+(flV+yö'+cY4-eteO*+(aV+rg"+cY+ete^^^ 

Hoe aggregatum in genere ad formam isimplieiorem reduci nequit, sed simili modo 
ut in art. 40 prioris eommentationis ostendi potest, eins valorem semper eontineri 
intra limites tu et — . In hypothesi ea, eui theoria quadratorum minimorum ab 
initio superstrueta erat , terminus hoe a^r^;atum continens , propter v^ = 3 |a^, 

er 

omnino exeidit, praecisioque, quae errori medio, per formulam ^— determinato, 
tribuenda est, eadem erit, ae si ex o erroribus exaete eognitis seeundum artt. 15,16 
prioris eommentationis erutus fuisset. 

18. 
Ad compensationem observationum duo, ut supra vidimus, requiruntur : pri- 
mum, ut aequationum eonditionalium correlata, i. e. numeri A, B, C etc. ae- 
quationibus (12) satisfaeientes eruantur,. seeundum, ut hi numeri in aequationi- 
bus (10) substituantur. Compensatio hoe modo prodiens dici -potexit perfecta seu 
compUta , ut distinguatur a compensatione imperfecta seu manca : hae seilicet de- 
nominatione designabimus , quae resultant ex iisdem quidem aequationibus (10), 
sed substratis valoribus quantitatum A, B, Cet!e., qui non satisfaeiunt aequatio* 
nibus (12), i. e. qui vel parti tantum satisfaeiunt veLnuUis. Quod vero attinet ad 
tales observationum mutationes , quae sub formulis (10) eomprehendi nequeunt, 
a disquisitione praesenti, nee non a denominatione eompensationum exelusae 
sunto. Quum, quatenus aequationes (10) loeum habent, aequationes (13) ipsis 
(12) omnino sint aequivalentes, illud discrimen ita quoque enunciari potest: Ob- 



BRS0RIBÜ8 MINIMIS OBNOZUB. 77 

servationes complete compensataeomnibusaequatiombuscoiiditionalibus X = 0, 
F= 0,^=0 etc. satisfaciunt, incomplete compensatae vero vel niülis vel sal- 
tem non omnibns ; compensatio itaque, per quam omnibus aeqnationibus conditio- 
nalibufi satisfit , necessario est ipsa completa. 

19. 

lam quum ex ipsa notione compensationis sponte sequatur, aggr^;ata dua- 
nun compensationam iterum constituere compensationem , facile perspicitur, ni- 
hil interesse , utrum praecepta , per quae compensatio perfecta eruenda est, im- 
mediate ad observationes primitivas applicentur, an ad, observationes incomplete 
iam compensatas. 

Revera constituant — 0, — 0', — 6" etc. systema compensationis incom- 
pletae, quod prodierit e formulis (I) 

9p =^^a+J5*6 + C*c + etc. 

ey = ^v+ J5^y+ c''c-\' etc. 

öy= ^<>a''+B^6''+C^''+ etc. 
etc. 

Qnum observationes bis compensationibus mutatae omnibus aequationibus con* 
ditionalibus non satisfacere supponantur, sint 9*, Sd*, S* etc. valores, quos 
X, T^ Z etc. ex illarum substitutione nanciscuntur. Quaerendi sunt numeri 
A*, B*, C* etc. aequationibus (II) satisfacientes 

«• = ^•[aa]+J5*[a6] + C*[ac]+ etc. 
»• = il*[a6]+5*[66] + C*[6c]+etc. 
(£• =il*[ac] + B*[6c] + C*[cc]+etc. 

etc. , quo facto compensatio completa observationum isto modo mutatarum effici- 
tur per mutationes novas — x, — x', — x'' etc., ubi x, x', x" etc. computandae sunt 
per formolas (III) 

xp = ^'a-f J5*6 +C*c+ etc. 
xy = A*a'+B^y + C*c+ etc. 
xy= il*a"+B*6''+C*c''+ etc. 

etc. Iam inquiramus , quomodo hae correctiones cum compensatione completa 



78 SXJPFLEMENTÜH THEORUE OOMBIKATIONIS OBSEBYATIONUH 

observationum primitivarum cohaereant Primo manifestum est, haberi 

21* = 21 _a6— a'Ö'— a"e"— etc. 
»* = 35 — 66— ye'— 6"6"— etc. 
S^ = (g—cb — c^'—c"r— etc. 

etc. Substitueudo in bis aequationibus pro 6, b\ 6" etc. valores ex (I), nee non 
pro 21*, S5*, £* etc. valores ex II, invenimus 

% = (>+^^)[aa] + (J5^+J5*)[a6] + (C^+C*)[ac]+ etc. 
»=U^+A*)[a6] + (S^4-J5*)[66] + (C^ + C^)[5c]H-etc. 
6 = (^^+A*)[ac] + (S^+J5*)[6c]4-{C^+C*)[cc]+etc. 

etc., unde patet, correlata aequationum conditionalium aequationibus (12) satis- 
facientia esse 

A = ^^+^*, ^ B = B^+B\ C = C^+C* etc. 

Hinc vero aequationes (10), I et III docent , esse 

g = e+x, g'= ö'+x' g"= e"+x' etc. 

i. e. compensatio observationum perfecta eadem prodit, sive immediate compute- 
tur, sive mediate proficiscendo a compensatione manca. 

20. 
Quoties multitudo aequationum conditionalium permagna est, determinatio 
correlatorum A, B, Cetc. per eliminationem directam tam prolixa evadere potest, 
ut calculatoris patientia ei impar sit : tunc saepenumero commodum esse pote- 
rit, compensationem completam per approximationes successivas adiumento theo- 
rematis art. praec. eruere. Distribuantur aequationes conditionales in duas plu- 
resve classes, investigeturque primo compensatio, per quam aequationibus primae 
classis satisfit, neglectis reliquis. Dein tractentur observationes per hanc com- 
pensationem mutatae ita, ut solarum aequationum secundae classis ratio habeatur. 
Generaliter loquendo applicatio secundi compensationum systematis consensum 
cum aequationibus primae classis turbabit ; quare , si duae tantummodo classes 
factae sunt, ad aequationes primae classis revertemur, tertiumque systema, quod 
huic satisfaciat, eruemus; dein observationes ter correctas compensationi quartae 



EBBOBIBÜ8 MINIMIS OBNQXUE. 79 

subiiciemus , ubi solae aequationes secundae classis riespiciuntur. Ita altemis vi- 
cibus, modo priorem classem modo posteriorem respicientes, compensationes con- 
tinuo decrescentes obtinebimus , et si distributio scite adornata fuerat, post pau- 
cas iterationes ad numeros stabiles perveniemus. Si plures quam duae classes 
factae sunt, res simili modo se habebit: classes singulae deinceps in computum 
venient , post ultimam iterum prima et sie porro. Sed sufficiat hoc loco , hunc 
modum addigitavisse, cuius efficacia multum utique a 'Scita applicatione pendebit. 

21. 

Restat , ut suppleamus demonstrationem lemmatis in art. 8 suppositi , ubi 
tamen perspicuitatis caussa alias denotationes huic negotio magis adaptatas adhi- 
bebimus. 

Sint itaque aP, a)\ of , a!" etc. indeterminatae , supponamusque , ex aequa- 
tionibus 

n«>a?<>-|-w^»a?'+n^«a?"4.n^^'"+ etc. = X« 
n*V4-n"^'+n"a?'+n»d?"'+ etc. = X' 
n«>j?<>+n»*^'+n**^"+n»*a/''+ etc. = X" 
n«>^+n"d?'4-n«*^''+n^^'+ etc. = X 
etc. 

sequi per eliminationem has 

iV«^X^+i^*X'+iV^X"+i^*X"H- etc. = ^« 
iV*^X^+iV^"X'+iV^"X''+iV^"X"+ etc. = X 
iV'*^X^+iV*^X'+iV**X"+iV**X'"+ etc. = x" 
iV*'X^+iV'*X'+iV*'X"+iV'"X"+ etc. = x'" 
etc. 

Substitutis itaque in aequatione prima et secunda secundi systematis valo- 
ribus quantitatum X, X', X", X'" etc. e primo systemate, obtinemus 

^0 ^ JV«^(n«^a?^+n^^'+n«*a?"+w^^'"+ etc.) 
+iV«*(n*^^«+n"a?'+n»Ä?''+n»a?'"+ etc.) 
+iV^(w*«a?^+n"a?'+w**^''+«'*a?'"+ etc.) 
+iV^(n«^a?«+n**^'+n**a?"+»"^"+ etc.) etc. 



9tt I 



1 



80 SÜFPLEMENTUM TBEOBUE COJfBIKAnONlS OBSEBVATIOKUM 

nec non 

ci = iV^^(n«^a?^+n«a?'+n^a?''+n~*r"+ etc.) 
+ i^*(n*^j?^+n"a?'+n«^"+n"^+ etc.) 
+iV'»(n*^^^+n"^'+n'*^''+n**a?^''+ etc.) 
+iV"(n*^a?^+n**^'+n«*a?''+n^^"+ etc.) etc. 

Quum atraque aequatio manifesto esse debeat aequatio identica, tum in 
priore tum in posteriore pro x^, x\ aT, <r'^etc. valores quoslibet determinatos sub- 
stituere licebit. Substituamus in priore 

öfiz=N^\ af=N'\ ar = N'^ ^"= iV^" etc. 

in posteriore vero 

a:« = iV«^, ^ = iV^^ x''=N^. ^"= iV^~ etc. 

His ita factis subtractio producit 

^io_jyoi^ (2V^Q02yrii_jy'i0 2^i)(^oi_^ioj 

+ etc. 

+ (iV^^*iV^*« — iV^"iV«*)(n"— n") 
+ etc. 

+ (jY^ jY"— iV^»iV^**) (n*» — n~) 
4- etc. etc. 

quae aequatio ita quoque exhiberi potest 

^io_^oi ^ 2(iV^iV'»«_iV^^«iVö«)(n«^_n^) 

denotantibus a^ omnes combinationes indicum inaequalium. 
Hinc colligitur , si fuerit 

n — H , n = IS , n = n « , h = n , n = n » n — n , etc. 

sive generaliter n^ = n*', fore etiam 

^10 ^,2V^oi 



ERB0RIBU8 MINIMI8 OBNOXIAE. 81 

Et quum ordo indeterminatarum in aequaüonibus propositis sit arbitrarius , ma- 
nifesto in iUa suppositione erit generaliter 



22. 

Quum methodus in hac commentatione exposita applicationem imprimis fie- 
quentem et commodam inveniat in calculis ad geodaesiam sublimiorem pertinen- 
tibus , lectoribus gratam fore speraipus illustrationem praeceptomm per nonnuUa 
exempla hinc desumta. 

Aequationes conditiönales inter angulos systematis triangulorum e triplici 
potissimum fönte sunt petendae. 

I. A^regatum angulorum horizontalium , qui circa eundem verticem gy- 
nun int^rum horizontis complent , aequare debet quatuor rectos. 

II. Summa trium angulorum in quovis triangulo quantitati datae aequaiis 
est, quum, quoties triangulum est in superficie curva, excessum illius summae 
supra duos rectos tarn accurate computare liceat , ut pro absolute exacto haben 
possit. 

III. Föns tertius est ratio laterum in triangulis catenam clausam formanti- 
bus. Scilicet si series triangulorum ita nexa est, ut secundum triangulum habeat 
latus unum a commune cum triangulo primo, aliud b cum tertio ; perinde quar- 
tum triangulum cum tertio habeat latus commune c, cum quinto latus commune 
d, et sie porro usque ad ultimum triangulum, cui cum praecedenti latus commune 
sit k, et cum triangulo primo rursus latus ?, valores quotientium 7» 7» y» 7 — ^ ' 
innotescent resp. e binis angulis triangulorum successivorum , lateribus commu- 
nibus oppositis , per methodos notas , unde quum productum illarum fractionum 
fieri debeat = 1 , prodibit aequatio conditionalis inter sinus illorum angulorum, 
(parte tertia excessus sphaerici vel sphaeroidici , si triangula sunt in superficie 
corva, resp. diminutorum). 

Ceterum in systematibus triangulorum complicatioribus saepissime accidit, 
ut aequationes conditiönales tum secundi tum tertii generis plures se offerant, quam 
retinere fas est, quoniam pars earum in reliquis iam contenta est. Contra rarior 
erit casus , ubi aequationibus conditionalibus secundi generis adiungere oportet 
aequationes similes ad figuras plurium laterum spectantes , puta^tunc tantum, ubi 

11 



82 8UPPLEMENTUM THEORIAE GOXBINATIOKIS OBSBBYATIOKÜM 

polygona formantur, in triangula per mensurationes non divisa. Sed de bis rebas, 
ab instituto praesenti nimis alienis, alia occasione fusius agemus. Silentio tarnen 
praeterire non possumus monitum , quod theoria nostra« si applicatio pura atque 
rigorosa in votis est, supponit, quantitates per t;, v\ v" etc. designatas revera vel 
immediate observatas esse , vel ex observationibus ita derivatas , ut inter se inde- 
pendentes maneant, vel saltem tales censeri possint. In praxi vulgari observan- 
tur anguli triangolornm ipsi, qui proin pro t;, v\ v' etc. accipi possunt; sed me- 
mores esse debemus, si forte systema insuper contineat triangula talia, quorum 
anguli non sint immediate observati, sed prodeant tamquam summae vel differen- 
tiae angulorum revera observatorum , ülos non inter observatorum numerum refe- 
rendos , sed in forma compositionis suae in calculis reünendos esse. Aliter vero 
res se habebit in modo observandi ei simili, quem sequutus est dar. Stbuvb 
(Astronomische Nachrichten 11, p. 431), ubi directiones singulorum laterum ab eo- 
dem vertice proficiscentium obtinentur per comparationem cum una eademque di- 
rectione arbitraria. Tunc scilicet hi ipsi anguli pro t;, t;', t^^'etc. accipiendi sunt, 
quo pacto omnes anguli triangulorum in forma differentiarum se Offerent, aequa- 
tionesque conditionales primi generis, quibus per rei naturam sponte satisfit, tam- 
quam superfluae cessabunt. Modus observationis , quem ipse sequutus sum in 
dimensione triangulorum annis praecedentibus perfecta, differt quidem tum a 
priore tum a posteriore modo, attamen respectu effectus posteriori aequiparari 
potest , ita ut in singulis stationibus directiones laterum inde proficiscentium ab 
initio quasi arbitrario numeratas pro quantitatibus v, v\ v" etc. accipere oporteat. 
Duo iam exempla elaborabimus , alterum ad modum priorem , alterum ad poste- 
riorem pertinens. 

23. 
Exemplum primum nobis suppeditabit opus dar. de Kratenhof, Pricis 
histarique des op&raiians trigonomitriques faites en Hollande, et quidem compensa- 
tioni subiiciemus partem eam systematis triangulorum , quae inter novem puncta 
Harlingen, Sneek, Oldeholtpade, Ballum, Leeuwarden, Dockum, Drachten, Ooster- 
wolde, Groningen continentur. Formantur inter haec puncta novem triangula in 
opere illo per numeros 121, 122, 123, 124, 125, .127, 128, 131, 132 denotata, quo- 
rum anguli (a nobis indicibus praescriptis distincti) secundum tabulam p. 77 — 81 
ita sunt observati f 



EBROBIBUS MliniOS OBNOXiAE. 

Triangulum 121. 

0. Harlingen 50^ 58' 15''238 

K Leeuwarden ... 82 47 15,351 

2. Ballum 46 14 27,202 

Triangulum 122. 

3. Harlingen 51 5 39,717 

4. Sneek 70 48 33.445 

5. Leeuwarden ... 58 5 48,707 

Triangulum 123. 

6. Sneek 49 30 40,051 

7. Brachten 42 52 59,382 

8. Leeuwarden ... 87 36 21,057 

Triangulum 124. 

9. Sneek 45 36 7,492 

10. Oldeholtpade ... 67 52 0,048 

11. Drachten 66 31 56,513 

Triangulum 126. 

12. Drachten 53 55 24,745 

13. Oldeholtpade. . . 47 48 52,580 

14. Oosterwolde ... 78 15 42,347 

Triangulum 127. 

15. Leeuwarden ... 59 24 0,645 

16. Dockum 76 34 9,021 

17. Ballum 44 1 51,040 

Triangulum 128. 

18. Leeuwarden ... 72 6 32,043 

19. Drachten 46 53 27,163 

20. Dockum 61 4,494 

Triangulum 131. 

21. Dockum 57 1 55,292 

22. Drachten 83 33 14,515 

23. Groningen 39 24 52,397 



83 



11 



84 SUPPLEMENTUM THEOBUE 00MBINATI0KI8 OBSERVATIOKUM 

TriaDgiilum 132. 

24. Oosterwolde ... 81® 54' 17''447 

25. Groningen 31 52 46,094 

26. Brachten 66 12 57,246 

Consideratio nexus inter haec triangula monstrat, inter 27 angulos, quorum 
yalores approximati per observationem innotuerunt , 1 3 aequationes conditiona- 
les haberi , puta duas primi generis , novem secundi, duas tertii. Sed band opus 
erit, bas aequationes omnes in forma sua finita bic adscribere , quum ad calculos 
tantummodo requirantur quantitates in tbeoria generali per ^, a, a, a" etc., 
IB, 6, b\ 6" etc. etc. denotatae: quare illarum loco statim adscribimus aequationes 
supra per (13) denotatas, quae illas quantitates ob oculos ponunt: loco signorum 
6, e\ g" etc. simpliciter bic scribemus (0), (1), (2) etc. 

Hoc modo duabus aequationibus conditionalibus primi generis respondent 
sequentes : 

(1)+ (5)+ (8)+(l5)H-(l8) =-2"l91 

(7) + (ll) + (l2) + (19)-f (22) + (26) = — 0"436 

Excessus sphaeroidicos novem triangulorum invenimus deinceps: 1''749; 
l'U?; r243; l"698; 0*873; ri67; 1''104; 2''l61; l''403. Oritur itaque aequa- 
tio conditionalis secundi generis prima haec*) : tj(")-f.tK*)+v(*) — 180" O' l''749 ^ 0, 
et perinde reliquae: hinc habemus novem aequationes sequentes: 

(0)+ (1)+ (2) = -3-958 
(3)+ (4)+ (5) = +0,722 

(6)+ (7)+ (8) = —0,753 

(9)+(10)-f (1 1) = +2,355 

(12) + (13)+(14) = — 1,201 

(15)+(16) + (17) = —0.461 

(18) + (l9)+(20) = +2,596 

(2l) + (22) + (23) = +0,043 

(24)+(25)+(26) = —0,616 

Aequationes conditionales tertii generis commodius in forma logarithmica exhi- 

bentur: ita prior est 

*) IndicM in hoc exemplo per figuias arabicas exprimere praeferimus. - 



ERROBIBÜS Mmm» OBNOZIAE. 85 

log8m(t>W— 0''583)— logsm(t>W — 0"583)— log8in(i/*) ^0''382) 
+ log sin (t><*) — 0"3 8 2) — log sin (i/-') — 0"4 1 4) + log sin (»['^ — 0"* 1 4) 
—log 8in(i;(") — 0''389)+log sin(»(")— 0''389)— log sin {»(•") — 0"3 6 8) 
+log sin (»(*")— 0*3 6 8) = 

Saperfluum videtur, alteram in forma finita adscribere. His duabus aequationi- 
bas respondent sequentes , ubi singuU coSfficientes referuntar ad figuram septi- 
mam logarithmorom briggicorum : 

17,068(0) — 20,174 (2) — 16,903 (3)-f 7,328 (4)— 17,976 (6) + 22,672(7) 
— 5.028(16) + 21,780{17)— 19,710(19) + 11,671(20) = —371 

17,976(6)— 0,880 (8) — 20,617 (9)+ 8,564(10)— 19,082(13)+ 4,375(14) 
+ 6,798(18) — ll,67l(20)-fl3,657(21) — 25,620(23)— 2,995(24) 
+ 33,854(25) = +370 

Quam nulla ratio indicata sit, cur observationibus pondera inaequalia tri- 
boamus , statuemus p^") = pO = p^) etc. = 1 . Denotatis itaque correlatis ae- 
quationum conditionalium eo ordine, quo aequationes ipsis respondentes exhibui- 
mos, per Ä, B, C, D, E, F, O, H, I, K, L, M, N, prodeunt ad illonun deter- 
minationem aequationes sequentes: 

— 2''197 = 54+ C+D+£+fl'+ 1 + 5,917 JV 

— 0,436 = 6B+£+J'+G+ I+Ä'+i+ 2,962 Jf 

— 3,958 = 4+3C — 3,1063f 
+ 0,722 = 4+3D— 9,6653f 

— 0,753 = -4+5+ 3"£+ 4,696 3f+ 17,096 J\r 
+ 2,355 = 5 + 3 F— 12,053 J\r 

— 1.201 =5 + 3G— 14,707iV 

— 0,461 = 4 + 3H+16,752Jf 

+ 2,596 = A-{- B +31— 8,039 Jtf— 4.874 iyr 
+ 0,043 = B+ ZK— 1 1 ,963i\r 

— 0,616 = J5+3i+ 30,859 J\r 

— 371 = +2,9625— 3,106 C—9,6652> + 4,696£+16,752H— 8,0397 

+ 2902,27 Jf— 459, 33iV 
+ 370 = +5,9174+17,096J;—12,053JF'— 14,707 G— 4,874/ 

— 11,963 Ä'+30,859i — 459,33 Jlf+3385,96iV 



86 



SUPPLEKENTUM THEOBIAB COMBINATIOMIS OBSEBYATIONUM 



Hinc eruimus per eliminationem 



A — —0,598 






H— +0,659 


B — —0,255 






I —+1,050 


—1,234 






Ä^— +0,577 


J> — +0,086 






L — —1,351 


E — — 0,477 






M— —0,109792 


F— +1,351 


• 




i\r— +0,119681 


G = +0,271 








ime plausibiles prodeunt 


per fonnulas 


(0)- 


C + 17,068»f 


(1) 


4 + C 




(2)- 


C — 20,1743f 


(3)- 


2>— 


16,993lf 



etc. , onde obtinemus valores numericos sequentes ; in gratiam comparationis ap- 
ponimus (mutatis signis) correctiones a dar. db Kbatknhop observationibus ap- 
plicatas : 





DE Ks. 




deKb. 


(0) — —3"! 08 


— 2"090 


(14) — +0''795 


+ 2''400 


(1) ——1,832 


+ 0,116 


(15) = +0.061 


+ 1,273 


(2) — +0,981 


— 1,982 


(16) +1,211 


+ 5,945 


(3) — +1,962 


+ t;722 


(17) — —1,732 


— 7,674 


(4) — —0,719 


+ 2,848 


(18) — +1,265 


+ 1,876 


(5) — —0,512 


— 3,848 


(19) — +2,959 


+ 6,251 


(6) +3,648 


— 0,137 


(20) — —1,628 


— 5,630 


(7) —3,221 


+ 1,000 


(21) +2,211 


+ 3,486 


(8) 1,180 


— 1,614 


(22) — +0,322 


— 3,454 


(9) 1,116 





(23) — —2,489 





(10) 1-2,376 


+ 5,928 


(24) — —1,709 


+ 0,400 


(11) 1-1.096 


— 3.570 


(25) = +2,701 


+ 2,054 


(12) +0,016 


+ 2.414 


(26) = — 1,606 


— 3,077 


(13) —2,013 


— 6,014 







^ ERBOBZBUS MINIMI8 OBNOZUB* 87 

Aggr^atum quadratomm nostrar um compensationum in veuitur =97,8845. 
Hinc error medius, quatenus ex 27 angulis observatifi coUigi potest» 

Aggregatum quadratorum mutationum, quas dar. db Kratenhof ipse angu- 
lis observatis applicavit, invenitur = 341,4201. 

24. 
Exemplum alterum suppeditabunt triangula inter quinque puncto triangu- 
lationis Hannoveranae , Falkenberg, Breithom, Hauselberg, Wulfsode, Wilsede. 
Observatee sunt directiones*) : 

In statione Falkenherff 

0. Wilsede ..... 187® 47' SO^SU 

1. Wulfsode .... 225 9 39,676 

2. Hauselberg ... 266 13 56,239 

3. Breithom 274 14 43,634 

In stotione Breithom 

4. Falkenberg ... 94 33 40,755 

5. Hauselberg. . . 122 51 23,054 

6. Wilsede 150 18 35,100 

In statione Hauselberg 

7. Falkenbeig . . . 86 29 6,872 

8. Wilsede 154 37 9,624 

9. Wulfsode .... 189 2 56,376 

10. Breithorn .... 302 47 37,732 

In statione Wulfsode 

11. Hauselberg. . . 9 5 36,593 

12. Falkenberg. . . 45 27 33,556 

13. Wilsede 118 44 13,159 



*) Initia, ad quae singulae directiones referuntur, hie tamquam arbitraria considerantur, quamquam 
revera cum lineis meridianis stationum coincidunt Obserrationes in posterum complete publici iuris fient; 
interim figura invenitur in Aatronomisehe Nachrichten Vol. 1. p. 441. 



88 SUPPLEHENTUII THEOBIAB OOMBINATIOiaS OBSfRYATIONUM 

In statione Wilsede 

14. Falkenbetg ... 7* 51' 1*027 

15. Wulfsode 298 29 49,519 

16. Breithom .... 330 3 7,392 

17. Hauselberg . . . 334 25 26,746 

Ex his observationibus Septem triangola formare licet. 

Tiiangulum I. 

Falkenbeig 8* 0' 47''395 

Breithom 28 17 42,299 

Hauselberg 143 41 29,140 

Triangulum II. 

Falkenbeig 86 27 13,323 

Breithom 55 44 54,345 

Wilsede 37 47 53,635 

Triangulum III. 

Falkenberg . . 41 4 16,563 

Hauselberg 102 33 49,504 

Wulfsode 36 21 56,963 

Triangulum IV. 

Falkenberg 78 26 25,928 

Hauselbei^ 68 8 2,752 

Wilsede 35 25 34.281 

Triangulum Y. 

Falkenberg 37 22 9,365 

Wulfsode ....... 73 16 39,603 

Wilsede 69 21 11,508 

Triangulum VI. 

Breithom 27 27 12,046 

Hauselberg 148 10 28,108 

Wilsede 4 22 19,354 



ERBOBIBÜ8 UrStum OBNOXIAE. 89 

< 

Triangulum VII. 

Hauselbeig 34^ 26' 46752 

Wulfsode 109 38 36,566 

Wilsede 35 55 37,227 

Aderunt itaque Septem aequationes conditionales secundi generis (aequationes 
primi generis manifesto cessaut), quas ut eruamus, computandi sunt ante omnia 
excessus sphaeroidici Septem triangulorum. Ad hunc finem requiritur cognitio 
magnitudinis absolutae saltem unius lateris : latus inter puncta Wilsede et Wulf- 
sode est 22877,94 metrorum. Hino prodeunt excessus sphaeroidici triangulorum 
I...0''2O2; II... 2^442; III...r'257; IV...r919; V...l"957; VI... 0^321; 
VII...r295. 

lam si directiones eo ordine, quo supra allatae indicibusque distinctae sunt, 
per t?^^, v^^\ v^*\ t/'^ etc. designantur, trianguli I anguli fiunt 

t;(»)_t;(«), t;W_|,W, 360^-fv(^> — «(*•) 

adeoque aequatio conditionalis prima 

Perinde triangula reliqua sex alias suppeditant; sed levis attentio docebit, has 
Septem aequationes non esse independentes, sed secundam identicam cum summa 
primae, quartae et sextae; nee non summam tertiae et quintae identicam cum 
summa quartae et septimae : quapropter secundam et quintam n^ligemus. lioco 
remanentium aequationum conditionalium in forma .finita, adscribimus aequatio- 
nes correspondentes e coinplexu (13), dum pro characteribus 6, e' etc. bis (0), 
(t), (2) etc. utimur: 

_l"368 = -(2) + (3)- (4)H- (5)+ (7)-(lO) 
+ 1,773 = -(l) + (2)- (7)+ (9)-(ll) + (12) 
+ 1,042 = -(0) + (2)- (7)+ (8) + (14)-(l7) 
-0,813 = — (5)+(6)— (8) + (10)-(16) + (l7) 
— 0,750 = — (8) + (9)— (11) + (13) — (15)+(17) 

Aequationes conditionales tertii generis octo e triangulorum systemate peti 
possent , quum tum tema quatuor triangulorum I, 11, IV, VI, tum tema ex bis 

12 



00 BUPPLEMEKTTJM THEOBUE COMBIITATIOKIB OBSEBVATIONUM 

m, IV, V, VII ad hunc finem combinare liceat; attamem levis attentio docet, 
duas sufficere, alteram ex Ulis, alteram ex his, quum reliquae in his atque priori- 
bus aequationibus conditionalibus iam contentae esse debeant. Aequatio itaqae 
conditionalis sexta nobis erit 

log 8in(«W — t>W — ©"Oe?) — log8in(iJ<») — 1>(*) — 0"067) 
4-lpg siii(tj(")— «(•') — 0''640)— log sin {«(*) — «("> — 0"640) 
4-logsin(«W —tfO —o'io?)— log8in(«(")— 1><")^0"107) = 

atque septima 

log 8in(«W — »W — 0''419)— log 8in(t>^")— «(") — 0"4 19) 
+log 8in(t;(")— «(") — 0''640)— log sin(t>W _»(») — o"640) 
+ log sin («(") — «(") — 0''4 3 2) — log sin («(") — 1>(") — 0''4 3 2) = 

quibus respondent aequationes complexus (13) 

+ 25 = + 4,31(0) —153,88(2) +149,57(3) + 39,11(4) —79,64(5) 
+ 40,53(6) + 31,90(14)+275,39(16)— 307,29(17) 

— 3=+ 4,31(0) — 24,16(1) + 19,85(2) + 36,1 1 (U) — 28,59(12) 
— 7,52(13)+ 31,90(14)+ 29,06(15)— 60,96(17) 

Quodsi iam singulis directionibns eandem certitudinem tribuimus, statuendo 
pW = pW = p(*) etc. = 1 , correlataque Septem aequationum conditionaliam, eo 
ordine , quem hie sequuti sumus , per A, B, C, D, E, F, G denotamus , horum 
determinatio petenda erit ex aequationibus sequentibus : 

— 1,368 = +6^— 2J?— 2 C—2D+ 184,72 Jf— 19,85 6r 
+ 1,773 = — 2^+65 + 2 C+2JS?— 153,88^—20,69 6 

+ 1,042 = — 2^+2B+6C— 2D— 2£+181,00JF'+108,40G 
• —0,813 = — 24 — 2C + 6D+2^— 462,5lJ«'— 60,96Cr 

— 0,750 = +25— 2C+2D+6E— 307,29i5'— 133,65G 

+ 25 = +184.724— 153,88B+181,00C—462,6lD—307,29JS 

+ 224868F+ 16694,1 G 

— 3 = —19,854— 20,695+108,40C—60,96D — 133,65£ 

+ 1 6694,1 F+8752,39 O 

Hinc dedndmus per eliminationem 



ButouBos mraias obmoxiak. 



91 



A — 


— 0,225 


B — 


+ 0,344 


C — 


— 0,088 


D — 


— 0,171 


E — 


— 0,323 


F = 


+0,000215915 


Q — 


— 0,00547462 



lam errores maxime plansibiles habentur per fonnulas : 

(0) = — C+ 4,31 JP+ 4,31 G 

(1) = —B— 24,16© 

(2) = —A-\-B+ C— 153,88 J''+ 19,85 Q 



etc. , unde prodeunt valores numerici 

(0) = +0*065 

(1) = —0,212 

(2) = +0,339 

(3) =—0,193 

(4) =+0,233 

(5) = — 0,071 

(6) = —0,162 

(7) = —0,481 

(8) = +0,406 



(9) =+0"021 

(10) = +0,054 

(11) = —0,219 

(12) = +0,501 
(13)= —0,282 

(14) = —0,256 

(15) = +0,164 

(16) = +0,230 

(17) = —0,139 



Summa quadratomm horum errorum invenitur = 1,2288; hinc error 
dius unius directionis , quatenus e 1 8 directionibus observatis erui potest , 

= \jh^ _ 0"4190 



25. 
Ut etiam pars altera theoriae nostrae exemplo illustretur , indagamus prae- 
cisionem , qua latus Falkenberg-Breithorn e latere WUsede-Wulfsode adiumento 
observationum compensatarum determinatur. Functio u, per quam illud in hoc 
casu exprimitur , est 

12* 



92 8UPPLKMBKTUH THEORIAE GOHBINATIONIS (»8ERVATI0NUM 

u _ 09Q77mQ4 ^ rin(p('»)~f>(*«)~.o"662).im(p('*)-pW-o^8i4 ) 

» ^Zö# # »* ^ 8in(t7(') — »(•) — 0''662),8in(©(«) — rC) — 0"814) 

Haius valor e valoribus correctis directionnm v^^), v^*) etc. invenitur 



= 26766^68 

Differentiatio autem illius expressionis suppeditat, si differentialia dv^^\ dt?^*^ 
etc. minutis secundis expressa concipiuntur , 

dtt = 0"'16991 (dijW — dt>W) +0'°08836(di7(*> — d«W) 
— O^OSSOQ {dt>(")— d»W)H-0"*l 6731 (d«^"^ — dt)W) 

Hinc porro invenitur 

[al] = — 0,08836 
[bl] ^+ 0,13092 
[cl] = — 0,00260 
[dl] = + 0,07895 
[el] = + 0,03899 
[//] = — 40,1315 
[^/] = +10,9957 
[//] =4- 0,13238 

Hinc denique per methodos supra traditas invenitur, quatenus metram pro 
unitate dimensionum Unearium accipimus, 

^ = 0,08329, sive P= 12,006 

unde error medius in valore lateris Falkenberg-Breithorn metuendos = 0,2886m 
metris, (abi m error medius in directionibus observatis metuendus, et quidem 
in minutis secundis expressus), adeoque, si valorem ipsius m supra erutum 
adoptamus . 

= 0"'1209 

Ceterum inspectio systematis triangulorum sponte docet, punctum Hau- 
selberg omnino ex illo elidi potuisse, incolumi manente nexu inter latent 
Wilsede- Wulfsode atque Falkenberg-Breithorn. Sed a bona methodo abhor- 
reret, svpprimere idcirco observationes , quae ad punctum Hauselbeig referun- 



BBR0BIBI7S MmUflS OBNOXIAE. 



93 



tur*), quum certe ad praecisionem augendam confenre valeant. Ut clarius appa- 
reret, quantum praecisionis augmentum inde redundet, calculum denuo fecimits 
excittdendo omnia , qoae ad punctum Hauselberg referuntur , quo pacto e 1 8 di- 
rectiouibus supra traditis octo excidunt, atque reliquarura errores maxime plau- 
sibiles ita inveniuntur : 



(0) = +0"327 

(1) = —0,206 

(3) = —0,121 

(4) = +0,121 
(6) = —0.121 



(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 



+ 0"206 
— 0,206 
+ 0,327 
+ 0,206 
+ 0,121 



Valor lateris Falkenberg - Breitbom tunc prodit =: 26766'"63, parum quidem a 
Talore supra eruto discrepans , sed calculus ponderis producit 

i = 0,13082 sive P = 7,644 

adeoque error medius metuendus =0,361691» metris = 0'"1515. FSatet ita- 
qne, per accessionem observationum, quae ad punctum Hauselbeig referuntur, 
pondus determinationis lateris Falkenberg -Breitbom anctum esse in ratione nu- 
meri 7,644 ad 12,006, sive unitatis ad 1.571. 



*) Maior pars harum obierrationum iam fitcta erat, antequani punctum Breithom repertum, atque 
in tystema receptum esset. 



ANZEIGEN. 



Oöttingisohe gelelirte Ahieigen. 1S21 Februar 26. 



Am 1 5. Februar wurde der Königl. Societät vom Hm Hofr. Oaüss eine Vor- 
lesung übeigeben , fiberschrieben 

Thearia Combinatianis observationum erroribus minitnis obnoxiae , pars prior ^ 

die eine der wichtigsten Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zum 
Gegenstande hat. Alle Beobachtungen , die sich auf Grössenbestimmungen aus 
der Sinnen weit beziehen, können , mit welcher Genauigkeit und mit wie vortreff- 
lichen Werkzeugen sie auch angestellt werden , nie absolute Grenauigkeit haben ; 
sie bleiben immer nur Naherungen , grossem oder kleinem Fehlem ausgesetzt. 
Nicht von solchen Fehlem ist hier die Rede , deren Quellen genau bekannt sind, 
und deren Grösse bei bestimmten Beobachtungen jedesmal berechnet werden 
kann; denn da dergleichen Fehler bei den beobachteten Grössen in Abzug ge- 
bracht werden können und sollen , so ist es dasselbe , als ob sie gar nicht da wä- 
ren. Ganz anders verhält es sich dagegen mit den als zufallig zu betrachtenden 
Fehlem , die aus der beschränkten Schärfe der Sinne, aus mancherlei imvermeid- 
liehen und keiner Ilegel folgenden Unvollkommenheiten der Instrumente, und aus 
mancherlei regellos (wenigstens für uns) wirkenden Störungen durch äussere Um- 
stände (z. B. das Wallen der Atmosphäre beim Sehen , Mangel absoluter Festig- 
keit beim Aufstellen der Instrumente) herrfihren. Diese zufälligen Fehler, die 



96 ANZEIGE. 

dem Calcül nicht unterworfen werden können, lassen sich nicht wegschaffen, und 
der Beobachter kann sie durch sorgföltige Aufmerksamkeit und durch Verviel- 
fältigung der Beobachtungen nur vermindern: allein nachdem der Beobachter das 
seinige gethan hat, ist es an dem Geometer, die Unsicherheit der Beobachtungen 
und der durch Bechnung daraus abgeleiteten Grössen nach streng mathematischen 
Principien zu würdigen, und was das wichtigste ist, da, wo die mit den Beobach- 
tungen zusammenhängenden Grössen aus denselben durch verschiedene Combina- 
tionen abgeleitet werden könneh , diejenige Art vorzuschreiben , wobei so wenig 
Unsicherheit als möglich zu befürchten bleibt. 

Obgleich die zufalligen Fehler als solche keinem Gesetze folgen , sondern 
ohne Ordnung in einer Beobachtung grösser, in einer andern kleiner ausfallen, 
so ist doch gewiss, dass bei einer bestimmten Beobachtungsart , auch die Indivi- 
dualität des Beobachters und seiner Werkzeuge als bestimmt betrachtet, die aus 
jeder einfachen Fehlerquelle fliessenden Fehler nicht bloss in gewissen Grenzen 
eingeschlossen sind, sondern dass auch alle möglichen Fehler zwischen diesen 
Grenzen ihre bestimmte relative Wahrscheinlichkeit haben,' der zu Folge sie nach 
Maassgabe ihrer Grösse häufiger oder seltener zu erwarten sind, und derjenige, der 
eine genaue und vollständige Einsicht in die Beschaffenheit einer solchen Fehler- 
quelle hätte , würde diese Grenzen und den Zusammenhang zwischen der Wahr- 
scheinlichkeit der einzelnen Fehler und ihrer Grösse zu bestimmen im Stande sein, 
auf eine ähnliche Weise « wie sich bei Glücksspielen , so bald man ihre R^eln 
kennt , die Grenzen der möglichen Gewinne und Verluste , und deren relative 
Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen. Dasselbe gilt auch von dem aus dem 
Zusammenwirken der einfachen Fehlerquellen entspringenden Totalfehler. Auch 
sind diese Begriffe nicht auf unmittelbare Beobachtungen beschränkt, sondern 
auch auf mittelbare ^aus Beobachtungen abgeleitete Grössenbestimmungen an- 
wendbar. In der Wirklichkeit werden uns freilich fast allemal die Mittel fehlen, 
das Gesetz der Wahrscheinlichkeiten der Fehler a priori anzugeben. 

Wie wir die Unzulässigkeit einer bestimmten Art von Beobachtungen im 
Allgemeinen abschätzen wollen , hängt zum Theil von unserer Willkür ab. Man 
kann dabei entweder bloss die Grösse der äussersten möglichen Fehler zum Maass- 
stabe wählen , oder zugleich auf die grössere oder geringere Wahrscheinlichkeit 
der einzelnen möglichen Fehler mit Rücksicht nehmen. Das letztere scheint an- 
gemessener zu sein. Allein diese Berücksichtigung kann auf vielfache Weise ge- 



THEOBIA COlfBINATIONIS OB8EBYATI0NUH ERR0RIBÜ8 MHOMIS OBNOXIAE. PARS PBIOR. 97 

schehen. Man kann, wie es die Berechner bisher gemacht haben, den sogenann- 
ten wahrscheinlichen (nicht wahrschein/icA^fen) Fehler zum Maassstabe wählen, 
welches derjenige ist, Aber welchen hinaus alle möglichen Fehler zusammen noch 
eben so viele Wahrscheinlichkeit haben , wie alle diesseits liegenden zusammen ; 
allein es wird weit vortheilha/ter sein, zu diesem Zweck statt des wahrscheinlichen 
Fehlers den mittlem zu gebrauchen , vorausgesetzt , dass man diesen an sich noch 
schwankenden Begriff auf die rechte Art bestimmt. Man lege jedem Fehler ein 
von seiner Grösse abhängendes Moment bei , multiplicire das Moment jedes mög- 
lichen Fehlers in dessen Wahrscheinlichkeit und addire die Froducte : der Fehler, 
dessen Moment diesem A^regat gleich ist , wird als mittlerer betrachtet werden 
mflssen. Allein welche Function der Grösse des Fehlers wir fflr dessen Moment 
wählen wollen , bleibt wieder unsrer Willkür überlassen , wenn nur der Werth 
derselben immer positiv ist, und fär grössere Fehler grösser als fOr kleinere. Der 
Verf. hat die einfachste Function dieser Art gewählt, nemlich das Quadrat ; diese 
Wahl ist aber noch mit manchen andern höchst wesentlichen Vortheilen ver- 
knüpft , die bei keiner andern statt finden. Denn sonst könnte auch jede andere 
Potenz mit geraden Exponenten gebraucht werden, und je grösser dieser Exponent 
gewählt würde, desto näher würde man dem Princip kommen, wo bloss die äusser- 
sten Fehler zum Maassstabe der Genauigkeit dienen. Gegen die Art, wie ein 
grosser Geometer den Begriff des mittlem Fehlers genommen hat , indem er die 
Momente der Fehler diesen gleich setzt, wenn sie positiv sind, und die ihnen ent- 
gegengesetzten Grössen dafür gebraucht , wenn sie n^ativ sind, lässt sich bemer- 
ken , dass dabei gegen die mathematische Continuität angestossen wird , dass sie 
so gut wie jede andere auch willkürlich gewählt ist , dass die Resultate viel we- 
niger einfach und genugthuend ausfallen , und dass es auch an sich schon natür- 
licher scheint, das Moment der Fehler in einem starkem Verhältniss, wie diese 
selbst , wachsen zu lassen , indem man sich gewiss lieber den ein&chen Fehler 
zweimal , als den doppelten einmal gefallen lässt. 

Diese Erläuterungen mussten vorangeschickt werden, wenn auch nur etwas 
von dem Inhalt der Untersuchung hier angeführt werden sollte, wovon die gegen- 
wärtige Abhandlung die erste Abtheilung ausmacht. 

Wenn die Grössen, deren Werthe durch Beobachtungen gefanden sind, mit 
einer gleichen Anzahl unbekannter Grössen auf eine bekannte Art zusammenhan- 
gen, so lassen sich, allgemein zu reden, die Werthe der unbekannten Ghrössen 

13 



98 ANZEIOB. 

aiis den Beobachtungen durch Rechnung ableiten. Freilich werden jene Werthe 
auch nur näherungsweise richtig sein , in so fem die Beobachtungen es waren : 
allein die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat nichts dabei zllthun, als die Unsicher- 
heit jener Bestimmungen zu würdigen , indem sie die der Beobachtungen voraus- 
setzt. Ist die Anzahl der unbekannten Grössen grösser als die der Beobachtun- 
gen , so lassen sich jene aus diesen noch gar nicht bestimmen. Allein wenn die 
Anzahl der unbekannten Ghrössen kleiner ist , als die der Beobachtungen , so ist 
die Aufgabe mehr als bestimmt: es sind dann unendlich viele Com binationen mög- 
lich , um aus den Beobachtungen die unbekannten Grössen abzuleiten , die frei- 
lich alle zu einerlei Besultaten föhren müssten» wenn die Beobachtungen absolute 
Genauigkeit hätten , aber unter den obwaltenden Umständen mehr oder weniger 
von einander abweichende Resultate hervorbringen. Aus dieser ins Unendliche 
gehenden Mannichfaltigkeit von Combinationen die zweckmässigste auszuwählen, 
d. i. diejenige, wobei die Unsicherheit der Resultate die möglich kleinste wird, 
ist unstreitig eine der wichtigsten Aufgaben bei der Anwendung der Mathematik 
auf die Naturwissenschaften. 

Der Verfasser gegenwärtiger Abhandlung, welcher im Jahr 1797 diese Auf- 
gabe nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zuerst untersuchte, 
fand bald, dass die Ausmittelung der wahrscheinlichsten Werthe der unbekannten 
Grösse unmöglich sei , wenn nicht die Function , die die Wahrscheinlichkeit der 
Fehler darstellt , bekannt ist. In so fem sie dies aber nicht ist , bleibt nichts 
übrig , als hypothetisch eine solche Function anzunehmen. Es schien ihm das 
natürlichste , zuerst den umgekehrten Weg einzuschlagen und die Function zu 
suchen , die zum Grrunde gelegt werden muss , wenn eine allgemein als gut aner- 
kannte Regel für den einfachsten aller Fälle daraus hervorgehen soll, die nemlich, 
dass das arithmetische Mittel aus mehreren flr eine und dieselbe unbekannte 
Grösse durch Beobachtungen von gleicher Zuverlässigkeit gefundenen Werthen 
als der wahrscheinlichste betrachtet werden müsse. Es ergab sich daraus, dass die 
Wahrscheinlichkeit eines Fehlers o?, einer Exponentialgrösse von der Form «""**** 
proportional angenommen werden müsse , und dass dann gerade diejenige Me- 
thode , auf die er schon einige Jahre zuvor durch andere Betrachtungen gekom- 
men war , allgemein nothwendig werde. Diese Methode , welche er nachher be- 
sonders seit 1801 bei allerlei astronomischen Rechnungen fast täglich anzuwen- 
den Grelegenheit hatte, und auf welche auch Lbobndbb inzwischen gekommen war. 



THBORIA COMBINATIONIS 0B8BRVATI0NUM ERR0BIBÜ8 MDTIMIS OBKOXIAS» PARS PRIOR. 99 

ist jetzt unter dem Namen Methode der kleinsten Quadrate im allgemeinen Ge- 
brauch, und ihre Begründung durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung» so wie 
die Bestimmung der -Genauigkeit der Resultate selbst, nebst andern damit zusam- 
menhängenden Untersuchungen sind in der Thearia Motus Carparum Coelestium 
ausführlich entwickelt. 

Der Marquis Delaflace, welcher nachher diesen G^enstand aus einem 
neuen Gesichtspunkte betrachtete, indem er nicht die wahrscheinlichsten Werthe 
der unbekannten Grössen suchte , sondern die zweckmässigste Combination der 
Beobachtungen, fand das merkwürdige Resultat, dass, wenn die Anzahl der 
Beobachtungen als unendlich gross betrachtet wird , die Methode der kleinsten 
Quadrgtte allemal und unabhängig von der Function , die die Wahrscheinlichkeit 
der Fehler ausdrückt, die zweckmässigste Combination sei. 

Man sieht hieraus , dass beide Begründungsarten noch etwas zu wünschen 
übrig lassen. Die erstere ist ganz von der hypothetischen Form für die Wahr- 
scheinlichkeit der Fehler abhängig, und sobald man diese verwirft, sind wirklich 
die durch die Methode der kleinsten Quadrate gefundenen Werthe der unbekann- 
ten Grössen nicht mehr die wahrscheinlichsten , eben so wenig wie die arithmeti- 
schen Mittel in dem vorhin angeführten einfachsten aller Fälle. Die zweite Be- 
grflndungsart lässt uns ganz im Dunkeln , was bei einer massigen Anzahl von Be- 
obachtungen zu thun sei. Die Methode der kleinsten Quadrate hat dann nicht 
mehr den Rang eines von der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebotenen Gesetzes, 
sondern empfiehlt sich nur durch die Einfachheit der damit verknüpften Ope- 
rationen. 

Der Verfasser, welcher in gegenwärtiger Abhandlung diese Untersuchung 
auft neue vorgenommen hat , indem er von einem ähnlichen Gesichtspunkt aus- 
ging, wie Delaplace , aber den Begriff des mittlem zu befürchtenden Fehlers auf 
eine andere, und wie ihm scheint, schon an und für sich natürlichere Art, fest^ 
stellt , hofft , dass die Freunde der Mathematik mit Vei^figen sehen werden, wie 
die Methode der kleinsten Quadrate in ihrer neuen hier gegebenen Begründung 
allgemein als die zweckmässigste Combination der Beobachtungen erscheint, nicht 
näherungsweise, sondern nach mathematischer Schärfe, die Function fär die 
Wahrscheinlichkeit der Fehler sei, welche sie wolle, und die Anzahl der Beobach- 
tungen möge gross oder klein sein. 

Mit dem Hauptgegenstande ist eine Menge anderer merkwürdiger Unter- 

13* 



100 ANZmOEN. 

suchungen enge verbunden, deren Umfang aber den Verfasser nöthigte, die Ent- 
Wickelung des grössten Theils derselben einer künftigen zweiten Vorlesung vor- 
zubehalten. Von denjenigen , die schon in der gegenwärtigen ersten« Abtheilung 
vorkommen , sei es uns erlaubt , hier nur ein Resultat anzuführen. Wenn die 
Function , welche die relative Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Fehlers aus- 
drückt, unbekannt ist, so bleibt natürlich auch die Bestimmung der Wahrschein- 
lichkeit , dass der Fehler zwischen gegebene Grenzen falle , unmöglich : dessen- 
ungeachtet muss , wenn nur allemal grössere Fehler geringere (wenigstens nicht 
grössere) Wahrscheinlichkeit haben als kleinere, die Wahrscheinlichkeit, dass der 
Fehler zwischen die Grenzen — x und -^x falle, nothwendig grösser (wenig- 
stens nicht kleiner) sein, als —\l\^ wenn x kleiner ist als ms^\^ un4 nicht 



kleiner als 1 — - — , wenn x grösser ist als m y^ }• , wobei m den bei den Be- 



^xx 



obachtungen zu befürchtenden mittlem Fehler bedeutet. Für x=^m\^\ fallen 
wie man sieht beide Ausdrücke zusammen. 



Qöttmgische gelehrte Anseigen. 1823 Februar 24. 

Eine am 2. Febr. der Königl. Societät von Hm. Hofr, Gauss überreichte 
Vorlesung, überschrieben 

Theoria combinationis observationum erroribus minimis obiioxiae, pars posterior, 

steht im unmittelbaren Zusammenhange mit einer frühern, wovon in diesen Blät- 
tern [1821 Februar 26] eine Anzeige gegeben ist. Wir bringen darüber nur kurz 
in Erinnerung, dass ihr Zweck war, die sogenannte Methode der kleinsten Qua- 
drate auf eine neue Art zu begründen, wobei diese Methode nicht näherungsweise, 
sondern in mathematischer Schärfe , nicht mit der Beschränkung auf den Fall ei- 
ner sehr grossen Auswahl von Beobachtungen , und nicht abhängig von einem hy- 
pothetischen Gesetze fElr die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler, sondern 
in vollkommener Allgemeinheit , als die zweckmässigste Combinationsart der Be- 
obachtungen erscheint. Der gegenwärtige zweite Theil der Untersuchung enthält 
nun eine weitere Ausfahrung dieser Lehre in einer Keihe von Lehrsätzen und 
Problemen, die damit in genauester Verbindung stehen. Es würde der Einrieb- 



THEOBIA COMBINATIOiaS OBSBBVATIONUM BRB0BIBU9 MIKIMIS OBNOXIAE. PASS POBTEaUOB. 101 

tung d^ser Blätter nicht angemessen sein, diesen Untersuchungen hier Schritt 
Yor Schritt zu folgen, auch unnöthjg, da die Abhandlung selbst bereits unter der 
Presse ist. Wir begnügen uns daher, nur die Gegenstände von einigen dieser Un- 
tersuchungen . die sich leichter isolirt herausheben lassen, hier anzuführen. 

Die Werthe der unbekannten Grössen, welche der Methode der kleinsten 
Quadrate gemäss sind , und die man die sichersten Werthe nennen kann, werden 
vermittelst einer bestimmten Elimination gefunden, und die diesen Bestimmun- 
gen beizulegenden Gewichte vermittelst einer unbestimmten Elimination, wie dies 
schon aus der Theoria motus Corporum Coelestium bekannt ist : auf eine neue Art 
wird hier a priori bewiesen , dass unter den obwaltenden Voraussetzungen diese 
Elimination allemal möglich ist. Zugleich wird eine merkwürdige Symmetrie un- 
ter den bei der unbestimmten Elimination hervorgehenden Coöfficienten nachge- 
wiesen. 

So leicht und klar sich diese Eliminationsgeschäfte im Allgemeinen flberse* 
hen lassen, so ist doch nicht zu läugnen, dass die wirkliche numerische Ausfüh- 
rung, bei einer beträchtlichen Anzahl von unbekannten Ghrössen, beschwerlich 
wird. Was die bestimmte Elimination, die zur Ausmittelung der sichersten Werthe 
für die unbekannten Grössen zureicht , betrifft , so hat der Verfasser ein Verfah- 
ren , wodurch die wirkliche Rechnung , so viel es nur die Natur der Sache ver- 
trägt, abgekürzt wird, bereits in der Theoria Motivs Corporum Coelestium ange- 
deutet , und in einer im ersten Bande der Commentt Bec. Soc. R. Gott, befindli- 
chen Abhandlung, Disquisitio de elementis ellipticis Palladis, ausfElhrlich ent- 
wickelt. Dieses Verfahren gewährt zugleich den Vortheil, dass das Gewicht der 
Bestimmung der einen unbekannten Grösse , welche man bei dem Geschäft als 
die letzte betrachtet hat , sich von selbst mit eigibt. Da nun die Ordnung unter 
den unbekannten Grössen gänzlich willkürlich ist, und man also welche man will, 
als die letzte behandeln kann , so ist dies Verfahren in allen Fällen zureichend, 
wo nur für Eiite der unbekannten Grössen das Gewicht mit verlangt wird , und 
die beschwerliche unbestimmte Elimination wird dann umgangen. 

Die seitdem bei den rechnenden Astronomen so allgemein gewordene Ge- 
wohnheit, die Methode der kleinsten Quadrate auf schwierige astronomische Bech- 
nungen anzuwenden , wie auf die vollständige Bestimmung von Cometenbahnen, 
wobei die Anzahl der unbekannten Grössen bis auf sechs steigt , hat indess das 
Bedürfniss , das Gewicht der sichersten Werthe aller unbekannten Grössen auf 



102 ANJSEI0BN. 

eine bequemere Art als durch dip unbestimmte Elimination , zu finden , /Uilbar 
gemacht, und da die Bemühungen einiger Greometer^) keinen Erfolg gehabt hat* 
ten , so hat man sich nur so geholfen , dass man den oben erwähnten Algorith- 
mus so viele male mit veränderter Ordnung der unbekannten Grössen durchfElhrte, 
als unbekannte Grössen waren , indem man jeder einmal den letzten Platz an- 
wies. Es scheint uns jedoch , dass durch dieses kunstlose Verfahren in Yerglei- 
chung mit der unbestimmten Elimination in Rücksicht auf Kürze der Rechnung 
nichts gewonnen wird. Der Verfasser hat daher diesen wichtigen Gegenstand ei- 
ner besondem Untersuchung unterworfen, und einen neuen Algorithmus zur Be- 
stimmung der Gewichte der Werthe sämmtUcher unbekannten Grössen mitgetheilt, 
der alle Geschmeidigkeit und Kürze zu haben scheint , welcher die Sache ihrer 
Natur nach fähig ist. 

Der sicherste Werth einer Grösse , welche eine gegebene Function der un- 
bekannten Grössen der Aufgabe ist , wird gefunden , indem man für letztere ihre 
durch die Methode der kleinsten Quadrate erhaltenen sichersten Werthe substi- 
tuirt. Allein eine bisher noch nicht behandelte Aufgabe ist es , wie das jener 
Bestimmung beizulegende Gewicht zu finden sei. Die hier g^ebene Auflösung 
dieser Aufgabe verdient um so mehr von den rechnenden Astronomen beherzigt 
zu werden , da sich findet , dass mehrere derselben dabei irüher auf eine nicht 
richtige Art zu Werke gegangen sind. 

Die Summe der Quadrate der Unterschiede zwischen den unmittelbar beob- 
achteten Grössen, und denjenigen Werthen, welchen ihre Ausdrücke, als Functio- 
nen der unbekannten Grössen, durch Substitution der sichersten Werthe für letz- 
tere erhalten (welche Quadrate , im Fall die Beobachtungen ungleiche Zuverläs- 
sigkeit haben , vor der Addition erst noch durch die respectiven Gewichte multi- 
plicirt werden müssen) bildet bekanntlich ein absolutes Minimum. Sobald man 
daher einer der unbekannten Grössen einen Werth beilegt , der von dem sicher- 
sten verschieden ist, wird ein ähnliches Aggregat, wie man auch die übrigen unbe- 
kannten Grössen bestimmen mag, allezeit grösser ausfallen, als das erwähnte Mi- 
nimum. Allein die übrigen unbekannten Grössen werden sich nur auf Eine Art 
so bestimmen lassen, dass die Vergrösserung des Aggregats so klein wie möglich, 
oder dass das Aggregat selbst ein relatives Minimum werde. Diese von dem Yer- 



*) s. B. pLAMA't. Siehe ZeiUohtift tftr Astronomie and Tenrandte Wissensohaften Band e, S. S5S. 



THKORIA COKBINATEOinS OBSEfiVATIONtJM EBROBIBUS MUnMIS OBKOXIAE. PAB8 POSTERIOR. 103 

fasser hier ausgeführte Untersuchung fahrt zu einigen interessanten Wahrheiten, 
die über die ganze Lehre noch ein vielseitigeres Licht verbreiten. 

Es fftgt sich zuweilen, dass man erst, nachdem man schon eine ausgedehnte 
Rechnung über eine Reihe von Beobachtungen in allen Theilen durchgeführt hat, 
Eenntniss von einer neuen Beobachtung erhält, die man gern noch mit zugezo* 
gen hätte. Es kann in vielen Fällen erwünscht sein, wenn man nicht nOthig hat, 
deshalb die ganze Eliminationsarbeit von vorne wieder anzufangen , sondern im 
Stande ist, die durch das Hinzukommen der neuen Beobachtung entstehende Mo* 
dification in den sichersten Werthen und deren Gewichten zu finden. Der Ver- 
&S8er hat daher diese Aufgabe hier besonders abgehandelt , eben so wie die ver- 
wandte, wo man einer schon angewandten Beobachtung hintennach ein anderes 
Gewicht , als ihr beigelegt war , zu er theilen sich veranlasst sieht , und , ohne die 
Rechnung von vorne zu wiederholen, die Veränderungen der Endresultate zu er- 
halten wünscht. 

* 

Wie der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtungsgattung (als bisher übli- 
cher Maassstab ihrer Unsicherheit) aus einer hinlänglichen Anzahl wirklicher Be- 
obachtungsfehler näherungsweise zu finden sei , hatte der Verfasser in einer be- 
sondem Abhandlung in der Zeitschrift fElr Astronomie und verwandte Wissen- 
schaften [1816. März U.April] gezeigt: dieses Verfahren , so wie der Oebrauch 
des wahrscheinlichen Fehlers überhaupt , ist aber von der hypothetischen Form 
der Grösse der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Fehler abhängig, und musste es 
sein. Im ersten Theile der gegenwärtigen Abhandlung ist nun zwar gezeigt, wie 
aus denselben Datis der mittlere Fehler der Beobachtungen (als zweckmässiger 
Maassstab ihrer Ungenauigkeit) näherungsweise gefunden wird. Allein immer 
bleibt hiebei die Bedenklichkeit übrig, dass man nach aller Schärfe selten oder 
fast nie im Besitz der Kenntniss der wahren Grösse von einer Anzahl wirklicher 
Beobachtungsfehler sein kann. Bei der Ausübung hat man daftElr bisher immer 
die Unterschiede zwischen dem , was die Beobachtungen ei^eben haben und den 
Resultaten der Rechnung nach den durch die Methode der kleinsten Quadrate ge- 
fandenen sichersten Werthen der unbekannten Grössen , wovon die Beobachtun- 
gen abhangen, zum Grunde gelegt. Allein d^ man nicht berechtigt ist, die sicher- 
sten Werthe fSr die wahren Werthe selbst zu halten, so überzeugt man sich leicht, 
dass man durch dieses Verfahren allemal den wahrscheinlichen und mittlem Feh- 
ler SU klein finden muss , imd daher den Beobachtungen und den daraus gezoge- 



104 AHZEiaSN. 

nen Resultaten eine grössere Genauigkeit beilegt, als sie wirklich besitzen. Frei- 
lich hat in dem Falle, wo die Anzahl der Beobachtungen vielemale grösser ist als 
die der unbekannten Grössen, diese Unrichtigkeit wenig zu bedeuten; allein 
theils erfordert die Würde der Wissenschaft, dass man vollständig und bestimmt 
übersehe, wieviel man hierdurch zu fehlen Gefahr läuft , theils sind auch wirk- 
lich öfters nach jenem fehlerhaften Verfahren Rechnungsresultate in wichtigen 
Fällen au%estellt, wo jene Voraussetzung nicht Statt fand. Der Verfasser hat 
daher diesen Gegenstand einer besondem Untersuchung unterworfen , die zu ei- 
nem sehr merkwürdigen höchst einfachen Resultate geführt hat. Man braucht 
nemlich den nach dem angezeigten fehlerhaften Verfahren gefundenen mittlem 
Fehler , um ihn in den richtigen zu verwandeln , nur mit 

» IC 

zu multipliciren , wo u die Anzahl der Beobachtungen und p die Anzahl der un- 
bekannten Grössen bedeutet. 

Die letzte Untersuchung betrifft noch die Ausmittelung des Grrades von Ge- 
nauigkeit, welcher dieser Bestimmung des mittlem Fehlers selbst beigelegt wer- 
den muss : die Resultate derselben müssen aber in der Abhandlung selbst nach- 
gelesen werden. 



Oöttingiscbe gelehrte Anieigen. 1S26 September 25. 

Am 1 6. September überreichte der Herr Hofr. Gauss der königl. Societät 
eine Vorlesung: 

Supplementum Theariae combinationis observationum erroribus minimis obnoänae. 

Bei allen frühem Arbeiten über die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung auf die zweckmässigste Benutzung der Beobachtungen, und namentlich auch 
in der Behandlung dieses Gegenstandes im fttnften Bande der Commentatianes re- 
centiares , liegt in Beziehung auf die Form der Hauptaufgabe eine bestimmte Vor- 
aussetzung zum Grunde, die allerdings den meisten in der Ausübung vorkom- 
menden Fallen angemessen ist. Diese Voraussetzung besteht darin, dass die be- 



SUPPLEMENTUM THEOBIAE GOMBINATIOKI8 OBSERVATIOKÜM BBBOIUBUS KINIMIS OBNOXIAE. 105 

obachteten Grössen auf eine bekannte Art von gewissen unbekannten Grössen 
(Elementen) abhängen, d. i. bekannte Functionen dieser Elemente sind. Die An- 
zahl dieser Elemente muss , damit die Au%abe überhaupt hierher gehöre, kleiner 
sein , als die Anzahl der beobachteten Grössen , also diese selbst abhängig von 
einander. 

Inzwischen sind doch auch die Fälle nicht selten , wo die gedachte Voraus- 
setzung nicht unmittelbar Statt findet , d. i. wo die beobachteten Grössen noch 
nicht in der Form von bekannten Functionen gewisser unbekannter Elemente ge- 
geben sind, und wo man auch nicht sogleich sieht, wie jene sich in eine solche 
Form bringen lassen ; wo hing^en zum Ersatz die gegenseitige Abhängigkeit der 
beobachteten Grössen (die natürlich auf irgend eine Weise gegeben sein muss) 
durch gewisse Bedingungsgleichungen gegeben ist, welchen die wahren Werthe 
von jenen , der Natur der Sache nach, noth wendig genau Genüge leisten müssen. 
Zwar sieht man bei näherer Betrachtung bald ein , dass dieser Fall von dem an- 
dern nicht wesentlich , sondern bloss in der Form verschieden ist , und sich wirk- 
lich, der Theorie nach leicht, auf denselben zurückfElhren lässt: allein häufig 
bleibt dies doch ein unnatürlicher Umweg, der in der Anwendung viel beschwer- 
lichere Rechnungen herbeiführt, als eine eigne der ursprünglichen Gestalt der 
Aufgabe besonders angemessene Auflösung. Diese ist daher dex Gegenstand der 
g^enwärtigen Abhandlung, und die Auflösung der Au%abe, welche sie als ein 
selbstständiges von der frühem Abhandlung unabhängiges Ganze gibt, hat ih- 
rerseits eine solche Geschmeidigkeit , dass es sogar in manchen Fällen vortheil- 
haft sein kann , sie selbst da anzuwenden , wo die bei der altem Methode zum 
Grunde liegende Voraussetzung schon von selbst erfüllt war. 

Die Hauptau%abe stellt sich hier nun unter folgender Gestalt dar. Wenn 
von den Grössen t;, v\ v" u. s. w. , zwischen welchen ein durch eine oder mehrere 
Bedingungsgleichuugen gegebener Zusammenhang Statt findet, eine andere auf 
iigend eine Art abhängig ist, z. B. durch die Function u ausgedrückt werden kann, 
so wird eben dieselbe auch auf unendlich viele andere Arten aus jener bestimmt, 
oder durch unendlich viele andere Functionen, statt .u, ausgedrückt werden kön- 
nen , die aber natürlich alle einerlei Resultate geben, in so fern die wahren Wer- 
the von V, v\ v" u. s. w. , welche allen Bedingungsgleichungen Genüge leisten, 
sabstituirt werden. Hat man aber nur genäherte Werthe von v, v\ t;"u.s.w., wie 
sie Beobachtungen von beschränkter Genauigkeit immer nur liefern können, so 

14 



106 ANZEIGEN. 

können auch die daraus abgeleiteten Grössen auf keine absolute Richtigkeit An- 
spruch machen : die verschiedenen fSx u angewandten Functionen werden , all- 
gemein zu reden, ungleiche, aber was die Hauptsache ist, ungleich zuverlässige 
Resultate geben. Die Au%abe ist nun, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit von 
Functionen, durch welche die unbekannte Grösse ausgedrückt werden kann, die- 
jenige auszuwählen , bei deren Resultat die m^lich kleinste Unzuverlässigkeit zu 
befürchten bleibt. 

Die Abhandlung gibt eigentlich zwei Auflösungen dieser Au%abe. Die 
erste Auflösung erreicht das Ziel auf dem kürzesten Wege , wenn wirklich nur 
Eine unbekannte von den Beobachtungen auf eine vorgeschriebene Art abhängige 
Grösse abzuleiten ist. Allein die nähere Betrachtung dieser Auflösung fElhrt zu- 
gleich auf das merkwürdige Theorem , dass man fElr die unbekannte Grösse ge- 
nau denselben Werth, welcher aus der zweckmässigsten Combination der Be- 
obachtungen folgt, erhält, wenn man an die Beobachtungen gewisse nach be- 
stimmten Regeln berechnete Veränderungen anbringt, und sie dann in irgend 
einer beliebigen Function , welche die unbekannte Grösse ausdrückt, substituirt. 
Diese Veränderungen haben neben der Eigenschaft, dass sie allen Bedingungs- 
gleichungen Grenfige leisten , noch die , dass unter allen denkbaren Systemen, 
welche dasselbe 4hun , die Summe ihrer Quadrate (in so fem die Beobachtungen 
als gleich zuverlässig vorausgesetzt wurden) die möglich kleinste ist. Man sieht 
also , dass hierdurch zugleich eine neue Begründung der Methode der kleinsten 
Quadrate gewonnen wird, und dass diese von der Function u ganz unabhängige 
AtAsgleichung der Beobachtungen eine zweite Auflösungsart abgibt , die vor der 
ersten einen grossen Vorzug hat, wenn mehr als Eine unbekannte Grösse aus den 
Beobachtungen auf die zweckmässigste Art abzuleiten ist : in der That werden die 
Beobachtungen dadurch zu jeder von ihnen zu machenden Anwendung fertig vor- 
bereitet. Nur musste bei dieser zweiten Auflösung noch eine besondere Anleitung 
hinzukommen, den Grad der Genauigkeit, der bei jeder einzelnen Anwendung 
erreicht wird, zu bestimmen. Für dies alles enthält die Abhandlung vollständige 
und nach Möglichkeit einfache Vorschriften , die natürlich hier keines Auszuges 
f&hig sind. Eben so wenig können wir hier in Beziehung auf die, nach der Ent- 
wicklung der Hauptau%aben, noch ausgeführten anderweitigen Untersuchungen, 
welche mit dem Gegenstande in innigem Zusammenhange stehen, ims in das Ein- 
zelne einlassen. Nur das Eine merkwürdige Theorem fKhren wir hier an, dass 



SÜPFLSMENTUM THEOBIAE GOMBINATIONIS OB8ERVATIONU1C BRRQBIBU8 MINIMI8 OBNOXIAE. 107 

die Vorschriften zur vollständigen Ausgleichung der Beobachtungen immer einer- 
lei Resultat geben, sie mögen auf die ursprünglichen Beobachtungen selbst, oder 
auf die bereits einstweilen unvollständig ausgeglichenen Beobachtungen angewandt 
werden , in so fern dieser B^riff in der in der Abhandlung näher bestimmten Be- 
deutung genommen wird, unter welcher, als specieller Fall, derjenige b^priffen 
ist , wo mit den Beobachtungen schon «ine zwar vorschriftsmässig ausgefflhrte, 
aber nur einen Theil der Bedingungsgleichungen berflcksichtigende Ausgleichung 
vorgenommen war. 

Den letzten Theil der Abhandlung machen ein paar mit Sorgfalt ausgear- 
beitete Beispiele der Anwendung der Methode aus , die theils von den geodäti- 
schen Messungen des Grenerals von Kbatemhoff , theils von' der vom Verfasser 
selbst im Königreich Hannover ausgefElhrten Triangulirung entlehnt sind , und 
die dazu dienen können , sowohl die Anwendung dieser Theorie mehr zu erläu- 
tern, als auch manche, dergleichen Messungen betreffende. Umstände überhaupt 
in ein helleres Licht zu stellen. 

Die trigonometrischen Messungen gehören ganz besonders in das Feld, wo 
die Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung findet , und namentlich in derjeni- 
gen Form Anwendung findet , die in der gegenwärtigen Abhandlung entwickelt 
ist. Gerade hier ist es Regel , dass mehr beobachtet wird , als unumgänglich nö- 
thig ist , und dass so die Messungen einander vielföltig controlliren. Nur durch 
die Benutzung der strengen Grundsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann 
man von diesem Umstände den Vortheil ganz ziehen, der sich davon ziehen lässt, 
und den Resultaten die grösste Genauigkeit geben, deren sie fähig sind. Ausser- 
dem aber geben jene Grrundsätze zugleich das Mittel, die Genauigkeit der Mes- 
sungen selbst , und die Zulässigkeit der darauf gegründeten Resultate zu bestim- 
men. Endlich dienen sie dazu, bei der AnordnuDg des Dreieckssystems, aus meh- 
reren , unter denen man vielleicht die Wahl hat , das z weckmässigste auszuwäh- 
len. Und alles dieses nach festen sichern Regeln, mit Ausschliessung aller Will- 
kfirlichkeiten. Allein sowohl die sichere Würdigung, als die vollkommenste 
Benutzung der Messungen ist nur dann möglich, wenn sie in reiner Anten thicität 
and Vollständigkeit vorliegen , und es wäre daher sehr zu wünschen , dass alle 
grösseren auf besondere Grenauigkeit Anspruch machenden Messungen dieser Art 
immer mit aller nöthigen Ausführlichkeit bekannt gemacht werden möchten. Nur 
zu gewöhnlich ist das Gegentheil , wo nur Endresultate für die einzelnen gemes- 

14* 



108 ANZEIGEN. 8UPPLEUENTUM THEOBIAE GOMBINATIONIS 0B8ERVATIONÜM ESBOBIBÜS ETC. 

senen Winkel mitgetheilt werden. Wenn solche Endresultate nach richtigen 
Grundsätzen gebildet werden, indem man durchaus alle einzelnen Beobachtungs- 
reihen, die nicht einen durchaus unstatthaften Fehler gewiss enthalten, dazu con- 
curriren lässt , so ist der Nachtheil freilich lange nicht so gross , als wenn man 
etwa nur diejenigen Reihen beibehält , die am besten zu den nahe liegenden Prfi- 
fungsmitteln passen, welche die Summen der Winkel jedes Dreiecks und die Sum- 
men der Horizontalwinkel um jeden Punkt herum darbieten. Wo dies durch- 
aus verwerfliche Verfahren angewandt ist, sei es aus Unbekanntschaft mit den 
wahren Grundsätzen einer richtigen Theorie, oder aus dem geheimen Wunsche, 
den Messungen das Ansehen grösserer Genauigkeit zu geben, geht der Maassstab 
zu einer gerechten Würdigung der Beobachtungen und der aus ihnen abzuleiten- 
den Resultate verloren; die gewöhnliche Prfifung nach den Winkelsummen in 
den einzelnen Dreiecken , und bei den Punkten , wo die gemessenen Winkel den 
ganzen Horizont umfassen , scheint dann eine Genauigkeit der Messungen zu be- 
weisen, von der sie vielleicht sehr weit entfernt sind, und wenn andere Prfifungs- 
mittel, durch die Seitenverhältnisse in geschlossenen Polygonen oder durch Dia- 
gonalrichtungen, vorhanden sind, werden diese die Gewissheit des Daseins von 
viel grossem Fehlern verrathen. Umgekehrt aber , wenn die zuletzt erwähnte 
Voraussetzung Statt findet , und das Ausgleichen der Beobachtungen in Bezie- 
hung auf die Prüfungsmittel ohne die sichern Vorschriften der Wahrscheinlich- 
keitsrechnung versucht ist, wo es immer ein Herum tappen im Dunkeln bleiben 
muss, und grössere, oft viel grössere, Correctionen herbeiführt, als nöthigsind, 
kann leicht dadurch ein zu ungünstiges Urtheil über die Messungen veranlasst 
werden. Diese Bemerkungen zeigen die Wichtigkeit sowohl einer hinlänglich 
ausfBhrlichen Bekanntmachung, als einer auf strenge Principien gegründeten ma- 
thematischen Combination der geodätischen Messungen : sie gelten aber offenbar 
mehr oder weniger bei Beobachtungen jeder Art, astronomischen, physikalischen 
u. s. w., die sich auf das Quantitative beziehen, insofern die Mannigfaltigkeit der 
dabei Statt findenden Umstände zu wechselseitigen ControUen Mittel darbietet. 



Zeitschrift für Astronomie heraasgegeben Ton B. von LnrDBiAü und J. Q. F. BommiBSBom. 

Erster Band. Heft filr Mftrx und April 1816. 



Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen. 

1. 
Bei der B^^ründung der sogenannten Methode der kleinsten Quadrate wird 
angenommen , dass die Wahrscheinlichkeit eines Beobachtnngsfehlers A durch 
die Formel 

ausgedrückt wird, wo tz den halben Kreisumfang, e die Basis der hyperbolischen 
Logarithmen , auch h eine Constante bedeutet, die man nach Art. 178 der Theih- 
ria Motus Carparum Coelestium als das Maass der Genauigkeit der Beobachtungen 
ansehen kann. Bei Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Aus- 
mittelung der wahrscheinlichsten Werthe derjenigen Grössen , von welchen die 
Beobachtungen abhängen , braucht man den Werth der Grösse h gar nicht zu 
kennen ; auch das Verkältniss der Genauigkeit der Besultate zu der Grenauigkeit 
der Beobachtungen ist von h unabhängig. Inzwischen ist immer eine Kenntniss 
dieser Grösse selbst interessant und lehrreich, und ich will daher zeigen, wie man 
durch die Beobachtungen selbst zu einer solchen Kenntniss gelangen mag. 

2. 
Ich lasse zuerst einige den Gegenstand erläuternde Bemerkungen voraus- 
gehen. Der Kfirze w^en bezeichne ich den Werth des Integrals 



1 10 BESTI1IMUN0 DER QENAUI0KEIT DER BEOBACHTUNGEN. 

von t= an gerechnet , durch 6 1. Einige einzelne Werthe werden von dem 
Gtange dieser Function eine Vorstellung geben. Man hat 

0,5000000 = 60,4769363 = Öp 
0,6000000 = 00,5951161 = 01, 247790p 
0,7000000 = 00,7328691 = 01,536618p 
0,8000000 = 00,9061939 = 01,900032p 
0,8427008 = 01 = 02,096716p 

0,9000000 = 01,1630872 = 02,438664p 
0,9900000 = 01,8213864 = 03,818930p 
0,9990000 = 02,3276754 = 04,880475p 
0,9999000 = 02,7510654 = 05,768204p 
1 =0OO 

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Beobachtung zwischen den 
Ghrenzen — A und -{-^ liege, oder, ohne Rflcksicht auf das Zeichen, nicht 
grösser als A sei, ist 

wenn man das Integral von x = — A bis j? = -f~^ ausdehnt , oder doppelt 
so gross , wie dasselbe Integral von j? = bis or = A genommen , mithin 

= eAA 

Die Wahrscheinlichkeit » dass der Fehler nicht unter -^ sei , ist also = 4-, 
oder der Wahrscheinlichkeit des Gegentheils gleich : wir wollen diese Grösse j 
den wahrscheinlichen Fehler nennen , und mit r bezeichnen. Hingegen ist die 
Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler über 2,438664r hinausgehe, nur iV; ^^^ 
Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler fiber 3,81 8930 r steige, nur ^H^ u.s.w. 

3. 
Wir wollen nun annehmen , dass bei m wirklich angestellten Beobachtun- 
gen die Fehler a, 6, y, 8 u. s. w. begangen sind, und untersuchen, was sich dar- 
aus in Beziehung auf den Werh von h und r schliessen lasse. Macht man zwei 



BSSTDOfUNQ DER GENAUIGKEIT DSB BEOBAGHTUNGEM. 111 

Voraussetzungen , indem man den wahren Werth von h entweder = H oder 
= H' setzt , so verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten , mit welchen sich in 
denselben die Fehler a, ö, y, 8 u. s. w. erwarten Hessen , resp. wie 

He . He . He ' ' . u. s. w. 

^„ jTf-H^H'nfi jjf^^H'H'ii jj,--H'H'y't 

2M He .He .He ' • . u. s. w. 

d. i. wie 

In demselben Verhältnisse stehen folglich die Wahrscheinlichkeiten, dass H oder 
W der wahre Werth von h war, nach dem Erfolge jener Fehler (T. M. C. C. 
Art. 176): oder die Wahrscheinlichkeit jedes Werthes von h ist der Grösse 

»m — AÄ(ott + 66+77 -|- tt.8.w.) 

proportional. Der wahrscheinlichste Werth von h ist folglich derjenige, fElr wel- 
chen diese Grösse ein Maximum wird , welchen man nach bekannten Regeln 

/ tn 

'' V 2(ao + 66+77+ U.S.W.) 

findet. Der wahrscheinlichste Werth von r wird folglich 

• • ifi 

= 0.6744897 \/*°+" + ^^+''--^- 

Dies Resultat ist allgemein , m mag gross oder klein sein. 

4. 
Man b^preift leicht , dass man von dieser Bestimmung von h und r desto 
weniger berechtigt ist , viele Genauigkeit zu erwarten , je kleiner m ist. Ent- 
wickeln wir daher den Grad von Genauigkeit , welchen man dieser Bestimmung 
beizulegen hat , far den Fall , wo m eine grosse Zahl ist. Wir bezeichnen den 
gefundenen wahrscheinlichen Werth von h 

I ^ 

V 2(aa + 66 + 77+ u.s.w.) 

Kfirze halber mit -ff, und bemerken, dass die Wahrscheinlichkeit, H sei der 



112 BESTDOCUNO DES GENAUIGKEIT DER BEOBACHTUNGEN. 

wahre Werth von A, zu der Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth = jET+X 
sei, sich verhält, wie 

m m(g+X)« 

oder wie 

XXm _ l X I XX t X* 

Das zweite Glied wird g^en das erste nur dann noch merklich sein, wenn 
^ ein kleiner Bruch ist , daher wir uns erlauben dflrfen , anstatt des angegebe- 
nen Verhiltnisses dieses zu gebrauchen 

XXm 

1 : e" 



Dies heisst nun eigentlich so viel : die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth 
von h zwischen J7-|-X und H-|-X-|-dX li^e, ist sehr nahe 

XX m 

wo K eine Constante ist , die so bestimmt werden muss , dass das Integral 

fKe ^^dX 

zwischen den zulassigen Grenzen von X genommen , = 1 werde. Statt solcher 
Grrenzen ist es hier , wo w^en der GrOsse von m offenbar 

XXm 

unmerklich wird, sobald ^ aufhört ein kleiner Bruch zu sein, erlaubt, die Gren- 
zen — oo und -[" oo zu nehmen , wodurch 

wird. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth yon h zwischen 
H—X und J74-X liege. 

also jene Wahrscheinlichkeit = 4- , wenn 

^^tn = p ist. 



BEffriUMUNG DBR OENACIGKEIT 0ER BEOBAGffTUKQEN. 118 

Es ißt also eins gegen eins zu wetten , dass der wahre Werth von h 

zwischen H{1-^) und H(l+^) 
liegt , oder dass der wahre Werth von r 

zwischen und — 



1+ p 



falle , wenn wir durch R den im vorhergehenden Art. gefundenen wahrschein- 
lichsten Werth von r bezeichnen. Man kann diese Grenzen die wahrscheinlichen 
Grenzen der wahren Werthe von h und r nennen; offenbar dürfen wir ftlr die 
wahrscheinlichen Grenzen des wahren Werthes von r hier auch setzen 

JJ(1_^) und JJ(1 + ^) 

5. 

Wir sind bei der vorhergehenden Untersuchung von dem Gesichtspunkte 
ausgegangen , dass wir a, 6, 7, 8 u. s. w. als bestimmte und gegebene Grössen 
betrachteten , und die Grösse der Wahrscheinlichkeit suchten , dass der wahre 
Werth von h oder r zwischen gewissen Grenzen liege. Man kann die Sache auch 
von einer andern Seite betrachten, und unter der Voraussetzung, dass die Be- 
obachtungsfehler irgend einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsgesetze unterwor- 
fen sind, die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit welcher erwartet werden kann, 
dass die Summe der Quadrate von m Beobachtungsfehlern zwischen gewisse Gren- 
zen* falle. Diese Aufgabe, unter der Bedingung, dass m eine grosse Zahl sei, 
ist bereits von Laflace au%elöset , eben so wie diejenige , wo die Wahrschein- 
lichkeit gesucht wird , dass die Summe von m Beobachtungsfehlem selbst zwi- 
schen gewisse Grenzen falle. Man kann leicht diese Untersuchung noch mehr 
generalisiren ; ich begnüge mich, hier das Resultat anzuzeigen. 

Es bezeichne 90? die Wahrscheinlichkeit des Beobachtungsfehlers j?, so 
dass f^fx.dx = 1 wird, wenn man das Integral von a: = — c» bis a?=-|-oo 
ausdehnt. Zwischen denselben Grenzen wollen wir allgemein den Werth des 
Integrals 

/<pir.yda? 

15 



114 BESTDfMUNO DER 6EKAUI0KEIT DER BEOBACHTUKGEN. 

durch K^ bezeichnen*). Es sei femer 8^ die Samme 

wo a, 6, y, 5 u. 8. w. unbestimmt m Beobachtungsfehler bedeuten; die Theile je- 
ner Summe sollen, auch for ein ungerades n, alle positiv genommen werden. 

Sodann ist mK^ der wahrscheinlichste Wer th von 8^ und die Wahrschein- 
lichkeit, dass der wahre Werth von 8^ zwischen die Grenzen mlC^ — X und 
mK^'+l faUe, 

Folglich sind die wahrscheinlichen Grenzen von 8^ 

mK^—p^[2m{K^ — K''K^)] und mK^^p^[2fn{K^''—K^K^)] 

Dieses Resultat gilt allgemein fOi jedes Gesetz der Beobachtungsfehler. Wenden 
wir es auf den Fall an , wo 

gesetzt wird , so finden wir 

l^n _ ni(n— 1) 

die Charakteristik IT in der Bedeutung der Disquisitianes generales circa seriem in- 
ßnitatn (Comm. nov. soc. Gotting. T. II.) genommen (M. 5. Art. 28. der angef. 
Abh.) Also 

Ä =1. Ä =-^. Ji. — JXÄ- ^ —1^ 

X^n \ . S i^T 1 . 2 i^Tl 1.3.5 IT-TII 1.2.3 

Es ist folglich der wahrscheinlichste Werth von 8^ 

und die wahrscheinlichen Grenzen des wahren Werthes von S" 



• S« yf • 



*) Oder Tielmehr, das Integral /^9,a^dx xwischen den Orenien x = o bis x= oo soll durch 
besetchnet werden. [Handschriftliche Bemerkung] 



BESTIMMUNG DER GENAUIQKEIT DER BBOBACHTUNOEN. 115 

« 

Av? n PV V« • V(n^(«_i))« —^i)\ 

und 

— vv;r-n+Pv(«-((n*(«-i))'— '))! 

Setzt man also, wie oben, 

SO dass r den wahrscheinlichen Beobachtungsfehler vorstellt , so ist der wahr- 
scheinlichste Werth von 

offenbar = r; und die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes jener Grösse 

•■i'-iva-(S^^"-'))i 

und 

Es ist also auch eins gegen eins zu wetten , dass r zwischen den Grenzen 

PV mni{n-j) i ^ n V \^ • l (ni(n->l))* *^/ J 

und 

PVmni(n-i)l*+nVlm-((ni{n-l))«~^))f 

U^e. Für n = 2 sind diese Grenzen 

ganz mit den oben (Art. 4) gefundenen übereinstimmend. Allgemein hat man 
för ein gerades n die Grenzen 

und 

^./9 «V ^! hO-Pi//^ ^ (n+l).(ft + 3)...(2»— 1) .vj 

PV-*-V^.,.3.5.7....(„_l)M-t-„Vlm-^ t . 3 . 5 . . . (n-l) ^>/» 

und fdr ein ungerades n folgende 

nfr ^°^^ |l i-i/rl / t.S.ft.7...(2w— l)7r ^xv j 

r^m.l.2.3...i(n— 1)(* nV\m'^ (2. 4. 6. ..(n-l))» '^J 

und 

Q*/ ^V^ jl t-Pj/r^ . 1.3.6.7...(2ii- l)ir ,,xx| 

P^m.t.2.3..,i(n-l)l*^^n V\»|-V {2.4.6...(n— !))• ^^> 

15* 



116 BESTIMMÜNa DER GENAUIGKEIT DER BEOBACHTUNGEN. 

6. 

Ich fBge noch die numerischen Werthe für die einfachsten Fälle bei : 

Wahrscheinliche Grenzen von r 
I. 0.8453473 ?! . {iZn'^lS^) 

IL 0,6744897 <^-.(l + ^!ii^') 

m. 0.5771897(^^.(l4:^!^i^?lü?l) 

IV. 0,f>\if,Q\l{/^.{\ + ^-^^^^) 

. 0,4655532{^-.(t + -^-^^^) 

VI. 0.4294972(^^.(1+^^^1^;^) 

Man sieht also auch hieraus, dass die Bestimmungsart II von allen die vor- 
theilhafteste ist. Hundert Beobachtungsfehler, nach dieser Formel behandelt, 
geben nemlich ein eben so zuverlässiges Resultat, wie 

114 nach I, 109 nach III, 1 33 nach IV, 178 nach V, 251 nach VI. 

Inzwischen hat die Formel I den Vorzug der allerbequemsten Kechnung, 
und man mag sich daher derselben , da sie doch nicht viel weniger genau ist als 
II, immerhin bedienen, wenn man nicht die Summe der Quadrate der Fehler 
sonst schon kennt , oder zu kennen vrünscht. 

7, 
Noch bequemer, obwohl beträchtlich weniger genau ist folgendes Verfah- 
ren : Man ordne die sämmtlichen m Beobachtungsfehler (absolut genommen) nach 
ihrer Grösse, und nenne den mittelsten, wenn ihre Zahl ungerade ist, oder das 
arithmetische Mittel der zwei mittelsten bei gerader Anzahl , M. Es lässt sich 
zeigen , was aber an diesem Orte nicht weiter ausgeführt werden kann , dass bei 
einer grossen Anzahl von Beobachtungen r der wahrscheinlichste Werth von M 
ist , und dass die wahrscheinlichen Grenzen von M 

sind , oder die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes von r 



BBSTIMinTNG DER OBNAÜIOKEIT DER BEOBACHTUHGEN. 117 

3f(l_^^JL) und M{1+€^\J^), oder iii Zahlen JJf(iqpM^^*) 

Dies Verfahren ist also nur wenig genauer , als die Anwendung der For- 
mel VI, und man müsste 249 Beobachtungsfehler zu Eathe ziehen, um eben so 

weit zu reichen, wie mit 100 Beobachtungsfehlern nach Formel II. 

8. 
Die Anwendung einiger von diesen Methoden auf die in Bode's astronomi- 
schem Jahrbuche für 1818 S. 234 vorkommenden Fehler bei 48 Beobachtungen 
der geraden Aufsteigungen des Polarsterns von BsssEL.gab 

S'= 60"46, S"= 110"600, S'"= 250"341118 

Hieraus folgten die wahrscheinlichsten Werthe von r 

nach Formel I .... l"066, wahrscheinl. Unsicherheit == +0"078 

II ... . 1,024 +0,070 

in. . . . 1,001 +0,072 

nach Art. 7 1,045 +0,113 

eine Uebereinstimmung , wie sie kaum zu erwarten war. Bbsssl giebt selbst 
r067, und scheint daher der Formel I gemäss gerechnet zu haben. 



NACHLASS. 

[ANWENDUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 

AUF DIE BESTIMMUNG DER BILANZ 

FÜR WITWENKASSEN] 



[I.] 

[^Allgemeine Ueberaicht der Methode,] 
[Auszug aus einem Votum bei der schriftlichen Abstimmung im Uniüer&itäts- Senat,"] 

Das Torstehende [hier •eingeklammerte] Votum des Herrn Prof. D. : [Das KönigL Univ. Curatorium 
scheint zu befürchten , dass bei der grossen Anzahl der jetzt vorhandenen Witwen die Kasse über lang 
oder kurs nicht im Stande sein werde, die jetzt auf 350 Thl. angewachsenen Pensionen su bestreiten. Es 
verlangt daher einen Bericht darüber, ob gegründete Ursache zu einer solchen Besorgniss vorhanden sei, 
und durch welche Mittel die etwa drohende Gefahr abgewendet werden könne. . . . j spricht den eigent- 
lichen Fragepunki so treffend aus, dass ich der ersten Hälfte dieses Votum nur wörtlich beitreten kann. 
Wenn in Zweifel gezogen ist, ob die Kasse im Stande sein werde, der ihr obliegenden Verpflichtung nach- 
haltig SU genügen, so ist dies doch wahrlich der ungeeignetste Zeitpunkt, grössere Anforderungen an die 
Kasse zu stellen. 

Ich kann mich der öffentlichen Meinung über diese Anstalt noch bis 40 Jahr rückwärts erinnern« 
Damals schon galt sie für ein herrliches Kleinod der Universität, einzig in seiner Art , und zwar gerade we- 
gen ihrer f^genthümlichkeiten. Vollkommene Freiheit, ob mtin beitreten wolle oder nicht, ja, mit einer 
Vergleichungsweise geringen Aufopferung, wieder einzutreten, wenn man ausgetreten war; ein sehr geringer 
Beitrag. Und damals betrug die Pension nur 150 oder 160 Thl. Nicht die Grösse der Pension war das An- 
ziehende , sondern die liberale Art, toie dem , der Göttingischer Professor werden konnte , eine sichere Un- 
terstützung einer nachbleibenden Witwe , mit der Aussicht, unter der weisen Verwaltung sie nach und nach 
noch erhöhet zu erhalten , dargeboten wurde. Wer mehr wünschte , betheiligte sich noch nebenbei in einer 
andern Witwenkasse. Jetzt ist nun die Pension auf 250 Thl. gestiegen, und die liberale Art ist bis heute die- 
selbe geblieben. Gebe Gott, dass niemals nöthig werde, an dieser Art irgend etwas zu ändern! Zwangspro- 
cente auf das Gehalt , um durch Drehung am Stundenzeiger das zu erhalten , was nur der allmähiige Fort- 
schiitt des Minutenzeigers gewähren kann , würde nicht blos viel zu unwirksam sein um den Zweck zu errei- 
chen , sondern den noblen Charakter der Anstalt ganz zerstören. 



120 ' NAGHLASS. 

Ich bin demnach der Meinung, die sämmtlichen Veränderungsvonohlftge des Herrn Univenit&tsiatiis 
O. für den Augenblick ganz auf sich beruhen zu lassen ; es ist in dem uns zu lebhaften Panke verpflichtenden 
P. M. gezeigt, dass eine nahe Gefahr nicht Yorhanden ist! Ja selbst wenn in den nächsten Jahren durch noch 
neu hinzukommende Witwen anstatt des letzten noch immer erfreulichen Ueberschusses einiges Deficit ein- 
treten sollte , so darf man nicht vergessen, dass ja die gesammelten Ueberschüsse zum TheU die Bestimmung 
laben , solche durch vorübergehende Conjuncturen entstandenen Fluctuationen zu decken. 

Aber eine grändiiehe Untersuchung halte ich , in Uebereinstimmung mit dem Rescript und mit den 
Von Sr. Magnificenz geäusserten Ansichten , allerdings für nothwendig. Selbst bei der heitersten Ansicht, die 
man von dem Zustande der Gesellschaft haben mag, wird eine solche jedei^fkdls wenigstens späterhin noth- 
wendig werden müssen , schon aus folgendem Grunde. 

Wenn ich, ehe eine gründliche auf strengen Calcül gegründete Untersuchung statt gefunden hat, meine 
Meinung aussprechen darf, so glaube ich , dass die jetzige grosse Anzahl der Witwen als anomal betrachtet 
werden muss. Es ist wahr, dass die Anzahl der theilnehmenden Professoren mit der Anzahl der Witwen in 
einem gewissen Verhältnisse stehen muss ; und dass jetzt die erstere Zahl viel grösser ist als ehedem. Allein 
der jetzige hohe Bestand der Witwen steht damit in gar keinem Zusammenhänge. Bleibt die Anzahl der 
theilnehmenden Professoren fortan immer so gross, so ist dies ein sehr ernsthaft zu erwägender Punkt, aber 
nicht für jetzt, sondern wegen der fernen Zukunft; erst nach 20 oder 3« und .mehreren Jahfen können 
die Folgen davon sehr sichtbar werden. 

Dies vorausgesetzt , ist mit Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass, vielleicht schon nach wenigen Jah- 
ren, die ^nzahl der Witwen wieder abnehmen, vielleicht bedeutend abnehmen, und also der Bestand der Ue- 
berschüsse von 8149 Thl. wieder anwachsen, vielleicht bedeutend anwachsen wird. Oh aber die Anzahl der 
Witwen z. B, binnen 1 Jahren bis auf oder unter 1 6 abneibfnen wird , ist viel ungewisser, G«^atzt nun die 
UeberschüBse wären auf ifliooo Thl. oder höher angewachsen, die Anzjahl der Witwen aber bliebe hartnäckig 
auf 1 6 stehen , was soll dann geschehen P Von der einen Seite will man die Ueberschüsse nicht ins Unend- 
liche anwachsen lassen , von der andern steht das Statut einer Vergrösserung der Pension entgegen. Dann 
muss}% eine gründliche Prüfung angestellt werden, ob und in welchem Maasse man das Statut verändern darf, 
ohne die Gesellschaft zu gefährden. 

Dem Vertrauen womit Se. Magnificenz und einige der Herren Collegen mich beehren , indem sie wün- 
schen , dass ich eine solche Prüfung auf mich nehme , 4urch welche nemlich eine auf Mortalitätsgesetze und 
die Wahrscheinlichkeitsrechnung basirte Bilanz zwischen dem Vermögen der Anstalt und ihren Obliegenheiten 
gezogen werden soll , will ich mich nicht entziehen, muss jedoch folgendes bevorworten. 

Erstlich haben von der Langwierigkeit solcher Rechnungen diejenigen Herren eine sehr falsche Vor- 
stellung, welche glauben, dass-lie binnen vier Wochen vollendet werden können. Zu einer bestimmten Frist 
kann ich mich also um so weniger anheischig machen, je kleiner der Theil meiner Zeit sein wird, den ich dar- 
auf werde verwenden können. 

Zweitens lassen sich die Rechnungen mit Gründlichkeit gar nicht führen, ohne die nöthigen Dato, wo- 
von zur Zeit gar Nichts vorliegt. Worin, die erforderlichen Data bestehen, werde ich weiterhin angeben; 
ohne sie kann ich mich auf gar nichts einlassen ; ob , auf weiche Weise und wie bald sie aber zusammen zu 
bringen sind, muss ich ganz der Kirchen- Deputation überlassen. 

Drittens, die eigeuthümliche Einrichtung unsrer Witwenkasse enthält mehrere Elemente die von dem 
MortalitätsgesetBJß unabhängig sind, und sich einem Calcül nicht unterwerfen lassen. Wegen dieses Um- 
Standes wird das Endresultat nothwendig mit einiger Unvollkommenheit behaftet bleiben ; ich hoffe jedoch, 
dass sich Surrogate finden lassen, durch deren Benutzung diese UnvollkomriiiQDheit uneriieblich sein wird. 

Ich will nun sudKeaj in der Kürze anzudeuten , worauf es bei dieser Arbeit ankommt. 



ANWENDUNG DER WAHB8CHBINLIGHKEIT8RECHNUNG ETC. l2l 

Die Verpiiehtangen der W. K. lerfallen in drei Haoptnibriken. 

I. Verpflichtungen gegen die jetst vorhandenen Witwen , eventuell deren Kinder, 

n. Verpflichtungen gegen diejenigen Profeasoren, welche jetzt Theiinehmer der W. K. QeBelltehaft 



lind. 



III. Verpflichtungen gegen die künftig beitretenden Professoren. 

Ad I. Die Verpflichtung gegen jede einzelne Witwe, ohne minorenne Kinder, hat genau den Weith 
einer Leibi^nte für dieselbe und Iftsst sich daher, wenn man ihr jetziges. Alter kennt, (und ftlr Mortalitfttsta- 
belle und Zinsfuss eine» bestimmte Wahl trifft) genau bereohnen. Dass in jedejtn einzelnen Fall ein Entrepre- 
neur, der für diesen Preis die Verpflichtung auf sich nähme, eine Art Glücksspiel spielt, versteht sich von 
selbst (und werde ich daher im Folgendem , wo immer wieder dieselbe Erinnerung gemacht werden mflsste, 
dies unterlassen, da dies jedem "von einiger mathematischer Bildung bekannt ist), aber der Entrepreneur, der 
mit einer sehr grossen Zahl von Personen denselben Contract schlösse , wurde , wenn richtig gerechnet ist, 
mit moralischer Oewissheit nur ein in Proportion zum Ganzen unerhebliches Schwanken zu erwarten haben. 

Wo Kinder vorhanden- sind, erleidet die Rechnung eine Modification, beh&lt aber dieselbe Ghiltigkeit 
wie im vorigen FaUe. Natürlich muss aber das Alter der Kinder auch bekannt sein. 

Endlich Würde s^eng genommai bei unsrer Witwenkasse, welche sich wiederverheirathende Witwen 
tofschliesat, noch einoF* Modiflcatidn ndthig sein, die scheinbar*) zum Vortheil der Witwenkasse ist, aber 
sich natürlich nicht im Voraus berechnen Iftsst, jedenfalls praktisch = o zu setzen ist. 

Es Iftsst sich demnach auch der Oesammtbetrag von I. zu Oelde anschlagen, und einen dem Be- 
trage gleichen Theil des Capital-Vermögens der Kaäae muss man als dadurch absorbirt betrachten.* 

Ad II. Auf fthnliche Weise würde sich auch die Verpflichtung gegen jeden einzelnen Professor, 
der jetst verheirathetes Mitglied der Gesellschaft ikt, nach Oelde anschlagen, wenn es in unserer Geaell- 
sdiaft ganz. .ebenso wftre, wie in denjenigen freiwilligen Gesellschaften, wo der jfthrliche Beitrag oder das 
Eintrittsgeld Bach dem Alter des eintretenden Ehepaars regulirt wird. Das Unterscheidende einer solchen 
Gesellschaft von der Unsrigen besteht aber in folgendem. 

A. In jener erlischt der Contract, wenn die Frau vor dem Manne stirbt; soll er bei einer Wieder- 
verheirathung erneuert werden, so ist es ein ganz neuer nach dem Alter der zweiten Frau zu reguHrender 
Contract. Bei uns sind auch unverheirathete Mitglieder^ die eine Braut in beliebigem Alter wfihlen kön- 
nen, ebenso Witwer, die möglicher Weise sich wieder verdeirathen kölinen. Dies alles kann aber jetzt 
einer Vorausberechnung gar nicht unterworfen werden. Ich würde aber glauben , dass wenn man diejeni- 
gen Mitglieder, die jetzt verheirathet sind, nach ihrem und nach dem Alter ihrer jetzigen Frauen einem 
Calcül unterzöge, und dann für die übrigen jetzt nicht verheiratheten den Mittelwerth jener ersteren Re- 
sultate zum Grunde legte, es sich so ziemlich compensiren würde. Möglicherweise werden von einigen 
jetst verheiratheten Mitgliedern nicht ihre jetzigen Frauen sondern zweite oder dritte dereinst die Witwen- 
pension gemessen, dagegen wird aber ohne Zweifel ein Theil der jetzt nicht verheiratheten in diesem Stande 
bleiben. Ich sehe wenigstens nicht ab, was man hier mehr thun könne, als die zweierlei Eventualit&ten, 
& einen zum Kachtheil, die andern zum ^Mieil der Kasse gereichend, sich gegenseitig aufheben zu lassen. 

B. Ausserdem findet aber auch noch der Unterschied statt, dass Kinder, vielleicht jetzt noch gar nicht 
geboren , demnftchst möglicherweise , an den Vortheiien Theil nehmen. Auch das Iftsst sich daher so nicht 
▼eranschlagen ; ich glaube jedoch , dass für diese Unvollkommenheit sich ein völlig ausreichendes Surrogat 
finden Iftsst, welches ich aber um nicht gar zu weitlftuflg zu werden, hier nicht nfther ei^twidteln will. 



*) Es gehört nicht hierher, zu rechtfertigen , warum ich diese Einrichtung nur fi^ scheinbar vortheil- 
haft halte , ich Inn aber gern bereit , jedem der sieh ^afür interessirt , die Gründe anzuzelgmt. 

16 



122 NACHLA88. . 

Ea erhellet hieraus, da88 auch die Verbindliehkeit II. sich mit ziemlicher ZuverUangkeit wird zu 
Oelde anschlagen lassen, und dass um diese Rechnungen ftlr I. und II. zu fahren, herbeigeschafft werden 
mössen die Bestimmungen, von Oeburtsjahr und Tag , für 

die einzelnen jetzt lebenden Witwen, 

für deren Kinder unter 20 Jahren,, wo solche vorhanden sind, wie bei der Frau Hofr. M., 
der Frau G. J. B. M. und der Frau Prof. H. 

für die jetzt verheiratheten Mitglieder, 

füLT deren Ehefrauen. ^ 

Ad III. Am bedenklichsten muss aber das Unterfangen erscheinen, den jetzigen Geldwerth der 
Verbindlichkeit der Kasse gegen die künftigen Theilnehmer m a^ticula aaeeuhrum in Zahlen auszudrücken, 
versteht sich, nach' den jetzigen Statuten, und nach der jetzigen Grösse der Pensionen und Beitr&ge. Und 
doch ist es nothwendip, dass man in den Stand gesetzt werde, sich hiervon einen wenigstens angenäherten 
Begriff zu machen, denn es handelt $idt ja gerade davon, dass die Stabilität, nicht von einer denmächst 
nach Umständen in ihren Einrichtungen abzuändernden Witwenkasse, sondern von unsrer Witwenkasse 
nach ihren jetzigen Einrichtungen begutachtet werden soll. Man wird hierbei natürlich nicht vergessen, dass 
die Rechnung von gewissen Elementen abhängig bleibt, die theift sehon jetzt nur näherttngsweise abzu- 
schätzen sind , theils im Laufe der Zeit sehr bedeutende Abänderupgen erleiden können. Von solchen Ele- 
menten nenne ich zwei , die Höhe des Zinsfusses und die Anzahl der Airchschnittlich jährlich hinzutreten- 
den neuen Mitglieder. 

Die Höhe des Zinsfusses steht bei einer Anstalt, die nur zu einem sehr kleinen Theile auf fortge- 
hende Beiträge, der Hauptsache nach auf Capitalrente basirt ist und bleiben soll , offenbar mit der Grösse 
des erforderlichen Capitals in genauem (verkehrtem) Verhältnisse dergestalt, dass wenn z, B. in «inem Zeit- 
punkte die Schenkung eines Capitals von 70000 Tbl. gerade zureichten, eine durchschnittlich immer jähr^ 
lieh gleich viel neue Mitglieder annehmende Gesellschaft zu sustentiren bei einem Zinsfuss von 4 p.c., das 
Herabsinken des Zinsfusses auf ^ p.c. die Erhöhung des Capitals auf soooo Tbl. erfordern würde. Ich halte 
diesen Umstand in Beziehung auf die Schwierigkeit der Begutachtung , gerade für den unerheblichsten. Die 
Begutachtung kann mehr nicht thun, als die Grösse des Einflusses in ein klares Licht zu stellen, woraus 
sich die Folge von selbst ergibt, dass nothwendig schon dafür gesorgt werden muss, dass das Capital 
durchschnittlich jährlich eine ax^gamessene Erhöhung erhalte, um dem im Laufe der Zeit allmählig aber 
unfehlbar eintretenden Sinken des Zinsfusses zu begegnen. 

Ebenso einleuchtend ist es , dass die Grösse des erforderlichen Capitals genau der Anzahl der durch- 
schnittlich jährlich beitretenden neuen Mitglieder {ceteris paribus) proportional sein wird. Wir können zu- 
nächst nur unsre eignen Erfahrung^ zum Grunde legen, die seit loo Jahren vorliegen, und wo natürlich 
die neuem und neuesten Zeiten unser Urtheil vorzugsweise leiten müssen. Se. Magnifioenz bemerkt mit 
Recht, dass die aus den gesteigerten wissenschaftlichen Bedürfhissen und Anforderungen hervorgegangene 
Vergrösserung der Zahl der Professoren elnetf' tMifsentllchen Elnfluss auf das Bestehen solcher Professoren- 
witwenkasaen haben muas , die hauptsächlich auf Capital fundirt sind. Es Ist also sehr wohl möglich, dass 
die Göttingiachen Ergebnisse z. B« seit den letzten 30 oder 40 Jahren keinen ganz richtigen Maassstab 
für die Zukunft, zumal für die Zukunft späterer Jahrhunderte bilden können ; aber diese Ungewissheit liegt 
in der Natur der Verändertioiikeit aller menschlichen Dinge , die Folgen davon treten allmählig hervor, und 
man begegnet ihnen nur durch eine niemals einschlummernde Vigilanz. In unserm Falle also macht man 
seine Rechnung für das zur nachhaltigen Erfüllung der Verbindlichkeit III. erforderliche Capital nach un- 
sem besten jetzigen Kenntnissen, vergisst nicht, dass eben wegen jener Ungewissheit ein etwas grösseres 
Capital vorhanden sein müsse, wiederholt die Rechnung fortwährend in bestimmten nicht gar zu gro.s<«en 



ANWENDUNG DER WAHBSCHEINU0HKBIT8BECHNUNO ETC. 123 



Fristen s. B. aller 5 oder io Jahre, indem man Immer die neu fainxugekommenen Erfehrungen mit benutst, 
und sieht nur dann den Ueberschuss als theihreis dii^nibel an, wenn er sich mklich vergrößert hat. 

Aber auch abgesehen von diesen beiden Umständen, .oder mit andern Worten, auch wenn man ei- 
nen bestimmten Zinsiiiss und eine bestimmte Zahl alljährlich im Durchschnitt beitretender neuer Mitglie- 
der sum Grunde legt, scheint doch die Schwierigkeit der Abscl^ätzung fast unüberwindlich, da die ver- 
schiedensten Verhältnisse vom Alter der Ehegatten eintreten , . tter WIederverheirathung verwitwet gewor- 
dener nicht einmal su gedenken. In jener Beziehung scheint also der Begutachter nur ungefiihr auf Einer 
linie su stehen mit demjenigen, der den Plan von einer der vielen Witwenkassen hätte im Voraus prü- 
fen sollen, die ohne strenge Berücksichtigung des Lebensalters der eintretenden Ehepaare errichtet, fast 
alle zu Grunde gegangen sind. (Wenn Herr Universitätsrath K. glaubt, dass es auch bei allen diesen Kas- 
sen an Calcäl nicht gefehlt haben werde, so hat er ohne Zweifel Recht; wenn er aber daraus auf die Bo- 
denlosigkeit der Wahracheihlichkeüsrechnung schliessen will, so hat er Unrecht. Allerdings gibt es viele 
Wörter, mit denen verschiedene Personen verschiedene Bedeutungen verbinden, imgleichen solche, die 
wissenschaftlich eine sehr bestimmte Bedeutung haben, unter denen man aber im gemeinen Leben oft sehr 
disparate Dinge zusatfBienwicIlL So ist es mit dem Ausdruck Wohrsd^einlichkeitsrechnung bewandt. Im 
strengen Sinn» verstai^ien kann von Anwendung derselben in allen d^ Fällen gar nicht die Rede sein, 
wo die ndthigen Grundlagen fehlen. ' Sei allen den gescheiterten Witwenkassen ist bei der Anordnung der 
Einrichtung von.. der strengen 'yVaiNcheinlichkeitsrechnung gar kein Gebrauch gemAcht, sondern nur von 
vagen Apercus. Dies spreche ich hier nur als Thatsache aus, aber nicht als Vorwiirf , da in der That eine 
Basirung auf Wahrscheinlichkeitsrechnung schon dämm unmöglich war, weil alle nothwendigen Bedingun- 
gen dazu fehlte). Allein in dem vorliegenden Fall ist es zwar unmöglich, ein Endresultat nach ^ Waihr- 
ficheinliohkeitstfichnung aus den einzelnen Elepienten zu ermitteln, eben weil diese Elemente Ibbleifi, wohl 
aber bietet die hundertjährige Erfahrung bei^^der Kasse selbst, wenn sie auf die rechte Art ausgebeutet 
wird, einen reichen Schats zur Grundlage dar. Diese Erfahrungen werden daher erst gesammelt und ge- 
ordnet werden müssen. Ich setze die Anlegung eines Buches voraus , in welchem von der ersten Stiftung 
der GeseUschait an die sämmtlichen Mitglieder, ohne Ausnahme, nach der chronologischen Ordnung des 
Eintritts verzeichnet werden, nebst allen den Angaben, die für den in Rede stehenden Zweck relevant sind. 
Allerdings würden diese Erfahrungen ein noch viel fhichtbareres Material darbieten, wenn von sämm*^lichen 
betheiügten Personen auch Geburtsjahr und Tag au%e<Bbhnet wäre, inioilich von dem eintretenden Pro- 
fessor, von seiner Frau, wenn er schon verheirathet ist, oder, wenn und so oft er sich nach dem Eintritt 
▼erehelicht, endlich von den minorennen Kindern, die beim Absterben des Mitgliedes vorhanden sind. Alle 
diese Dinge aber fehlen, und würden nur eben in Beziehung auf das lkil|^ed selbst sich noch jetzt in den 
meisten Fällen ergänzen lassen , aus welchen einzelnen Bestinunungen^jdoh aber wenig oder gar kein Nutzen 
ziehen Hesse. Gleichwohl bleibt das, was sich noch jetzt ohne Zweifel wird zusammenbringen lassen, höchst 
<«chätzbar , ich meine nemlich für jedes einzelne Mitglied 

1 . Termintte a quo und ad guetn der geleiste te% BB|träge. 

i. Terminus a quo und ad quem der genossenen Witwenpensioü in den Fällen wo ein solcher eintrat. 

3. Terminus a quo und ad quem der genossenen Waisenpension , wo nach dem Tode des Vater e 
oder der Mutter noch minorenne Kinder vorhanden waren. 

Die Grösse der Geldsumme, die von den Mitgliedern beigetragen, V£av,den Witwen und Waisen 
erhoben sind, braucht aber gar nicht mit extrahirt werden. 

Dies wäre denn das driUe Bequisii dessen Herbeischaffung, vor Anfang aller Berechnungen, uner- 
lässlich ist. Ich bin mit der Einrichtung des Archivs der Witwenkasse ganz unbekannt, weiss also nicht, 
ob vielleicht nicht besonders angelegte Bücher, aus denen dieses Material mit Sicheri^it, Vollständigkeit 



124 NAGHLASB. 

und Leichtigkeit entnommen werden könne , schon yoihanden sind. ' JedenfaJÜB aber würden doch die ohne 
Zweifel aufbewahrten ]0& Jahfesrechnnngen d^liu dienen können. Eret nach eigner näherer Einsioht in die 
vorhandenen Papiere würde ich aber mich erklftren können, ob und in welchem Maasse ich meine eigne 
Beihülfe zu dieser Extraction susagen kann. 

Für jeden einzelnen in diesem Buche aufzuführenden Theilnehmer lässt sich aus den rubricirten Da- 
ten berechnen , wie viel er der Gesellschaft und wie yiel seinen Relicten diese bei den gegenwärtigen Sätzen 
geleistet haben, und was bei bestimmtem Zinafusse der Gteldwerth davon auf die Zeit seines Eintritts redu- 
cirt gewesen sein würde. Natürlich ist dies bei den einzelnen sehr verschieden, bei einigen positiv, bei 

I 

andern negativ ; aber nach den ewigen Gesetzen ist der MttteUoerth aus einer grossen Menge ein Element 
das als Mittelwerth wieder filr die Zukunft zum Grunde gelegt werden kann, wo keine Ursache ist, wesent- 
liche Aenderungen der allgemeinen Verhältnisse Vorauszusetzen. Diese Tabelle selbst wird hierüber schon 
eine lehrreiche Indicaüon geben können, wenn man das Ganze gruppirt, und z. B. den Mittelwerth derei- 
sten Hälfte mit dem für die zweite, oder das erste, zweite und dritte Drittel mit einander vergleicht Es 
wird sich so herausstellen , wie gross der Geldwerth der Verbindlichkeit der Gesellschaft ist , der ihr durch 
den Eintritt eines neuen Mitgliedes dureksehnütUeh zuwächst, und wenn man, nach dem was schon oben 
bemerkt ist , Zugleich eine plausible Annahme für die Durchschnittszahl der jährlich zutret^den genommen 
hat, so lässt sich, für bestimmten Zinsfuss , berechnen, wie gross das Capital sein muss, dessen Zinsertrag» 
niss, diese auf immer fortlaufende Verbindlichkeit III. decken kann. 'All^* drei Capitale ftlr I. II. und III. 
zusammengerechnet und mit dem wirklichen Vermögen der Gesellschaft verglichen, werden dann so genau 
wie es nach der Natur des Gegenstandes möglich ist zeigen, ob bei der jetzigen Einrichtung ihre Stabilität 
mshr als gesichert ist, oder nur eben zureichend, oder aber ob ihre Instabilität daraus hervorgeht, und 
also mit Entschiedenheit früh oder spät ihr Untergang erwartet werden müsse, und demgemäss würden dann 
die geeigneten Maassregeln in den verschiedenen FiÜlen zu erwägen und einzuleiten sein. 

Dies sind die Hauptzüge des Planes, nach welchem meiner Meinung nach eine gründliche Prüfung 
und Aufstellung einer Bilanz ausgeführt werden könnte und müsste. Es ist eine bedeutende Arbeit, der 
ich mich aber, wenn es gewünscht wird, gern unterziehen werde. Dass diese Skizze nur ungefeilt und flüch- 
tig niedergeschrieben hier vorgelegt ist , wird man mit der Kürze der Zeit entschuldigen. Wird eine solche 
Arbeit jetzt ausgeführt, so bleibt es jedenfalls wie schon oben bemerkt ist, dringend wünschenswerth, dass 
in Zukunft nach gewissen Zeitfristen immer wieder eine neue Bilanz gezogen werde, und dies würde dann 
viel leichter als das erstemal werden, wenn ein solches Buch wie ich oben erwähnt habe mit allen Zni- 
punkt9rubriken wenigstens von jetzt an angelegt und regelmässig vervollständigt und fortgesetzt würde. 

Ich will nun auch noch mein Votum über em paar andere Punkte, die in den andern Abstimmun- 
gen berührt sind, beifugen. 

Ich bin nicht daf&r, dass die Bestimmung der Statuten, welche die nicht besoldeten Professoren 
ausschliesst , aufgehoben werde. Die Universität als Coiporation müsste in Beziehung auf die Witwenkasse 
immer dringend wünschen, dass solche Fälle, wo einem bei Schule oder Kirche Angestellten der Profes- 
sortitel beigelegt wird, sehr selten blieben. Von einem solchen Fall aber abgesehen, wird einer, der gar 
keine Besoldung und kein Vermögen hat, nicht leicht so unbesonnen sein, eine Verheirathung einzugehen, 
und also überhaupt die ganze Bestimmung selten vielleicht nie von Wirkung sein. Möglicherweise könnte 
aber ein unbesoldeter Professor, der sich selbst dem Tode nahe fühlend eine Braut hätte, welche er sonst 
vor Erlangung einer Besoldung gewiss noch nicht geheirathet hätte , falls ihm der Eintritt in die Witwen- 
kasse offen stände, dadurch versucht werden, durch eine schnelle Copulation der Witwenkasse eine Last 
au£Eubürden. 

So lange bonu Jide gehandelt wird, müssen vielmehr die unbesoldeten Professoren jene Clausel als 



ANWENDUNG DER WAUB8CH£mUCHKEIT8RECHNUNG ETC. 125 

eine bfllige m ihrom Vortheil gereichendd Bestimniimg betraohten, die ihnen die AltemstiYe erspart, entr 
weder schon vAhrend der Zeit, wo sie nichts von der Universitit empfangen ,- «or Witwenkasse beitragen, 
oder später, wenn sie Besoldung eriialten, noch fftr die ganze Zeit ihres unbesoldeten Professorstandes dop- 
pelt nachzahlen zu müssen. 

Meine zweite Bemerkung betrifft den Zinsfuss, in Beziehung auf welchen ich dem, was in dem P. M. 
des U.R. O. gesagt ist, nicht ganz beitreten kann. Mir en^eiiit vielmehr die Rechnung, nach welcher 
der jetzige Zinsfuss zu 4iV proc. ermittelt ist , zum Theil als illusorisch. Ich «rklftre mich durch ein Beispiel. 
Die Oesterreichischen 4^ proc. Papiere stehen nach dem heutigen Courszettel auf l03f. Beim Ankauf von 
einem Banquier wird man, alles eingerechnet, gewiss über 104 wirklich zahlen müssen, ich will aber nur bei 
104 stehen bleiben. Man erh&lt also für sein eingezahltes Geld in der Wirklichkeit nur 4if , oder nicht 
ganz 4^ proc. Zinsen. Es dauert also wenigstens 1 2 Jahre, bis man nur sagen kann, dass man wirklich 4 proc. 
Zinsen genossen hat. Nun werden aber von diesen Papieren alle Jahre sehr groaae Summen ausgeloost und 
stt pari zurückgezahlt. Geschieht die Ausloosung schon nach 2 Jahren , so hat man in der Wirklichkeit nur 
zusammen 4^ proc. oder f&r ein Jahr 2|^proc. Zinsen genossen, ungerechnet die Kosten, mit welchen jede Ein- 
ziehung verbunden ist. Für den Besitzer eines solchen Papiers ist es auch immer ein gefährlicher Umstand, dass 
er, wenn die iha.treffende Ausloosung nicht zu seiner Kenntnlss gelangt, er also das Einziehen zu rechter Zeit 
ven&umt, einen sehr bedeutenden Verlust erleiden kann. Für die Wi^enkasse wird wohl der Banquier, 
von dem £e Papiere erkauft sind, immer die nöthige Vigilanz ausdben, weil ihm selbst durch jede vorfal- 
lende Versur ein Gewinn zuwftchst, aber eigentliche Verantwortlichkeit für jeden durch mögliches Uebersehen 
entstehenden Verlust wird er doch schwerlich auf sich nehmen. In dieser Rücksicht will ich also nicht un- 
terlassen, hiermit die Anzeige zu machen, dass in der heute vor acht Tagen in Wien geschehenen Verloo- 
sung von anderthalb Millionen Cfulden der in Rede stehenden Papiere auch eine der Obligationen der Wit- 
wenkasse getroffen ist, nemlich die pag. IX. der Rechnung unter Nr. 52 aufgeführte Litr. P Nr. 15472. 
Dass ich im Stande bin, diese Anzeige zu machen, verdanke ich nur dem zuflQligen Umstände, dass ich 
heute, wo eben diese Rechnung in meinen Händen ist, die Notiz von der. geschehenen Verloosung in ei- 
nem Zeitungsblatt^fand, und mir daher die Designation der ausgeloosten Nummer notirte, um sie zu Hause 
mit der Capitalliste der Witwenkasse vergleichen zu können, und mit dieser Anzeige will ieh denn diese 
lange Exposition beschliessen. 

9. Januar 1845. Gauss. 



[ILl 

UnUrsuehung des ffegemoärtigen Zugtandes der Pro/essarenwiiwenkasse tu GfMngen, 

Vorwort. 

In dem von mir in der Witwenkassen -Angelegenheit am 8. Januar d. J. abgegebenen Votum habe 
ich die Methode nach ihren wesentlichen Elementen angedeutet, welche ich für die allein geeignete halte, 
om zu einem so gründlichen Urtheile, wie die Natur des Gegenstandes verstattet, zu gelangen. Ich habe 
die dort bezeichneten allerdings sehr langwierigen Rechnungen jetzt beendigt , und ihre Resultate sind in 
der zweiten Abtheilung dieser Denkschrift enthalten. * 

Da ich jedoch eine nähere Bekanntschaft mit den Grundsätzen derartiger Rechnungen bei den mei- 
sten Mitgliedern des CoUegiums, welchem diese Schrift vorgelegt wird, nicht voraussetzen darf, so habe ich 
geglaubt, dass es denselbeli lieb sein würde, den Gegenstand auch noch von andern Seiten imd aus mehr 
populären Gesichtspunkten erwogen zu sehen. Ist es auch nicht möglich , auf diese Art eigentiich prOeise 

17 



126 KACHLASS. 

Resultate zu gewinnen, sondern nur allgemeine Uebersdhlftge und Anhaltspunkte, so ist es doch wichtig, 
diese mit den Residtaten einer strengem Methode in Einklang su finden , und jedenfalls wird d^urch al- 
les in ein helleres Licht gesetzt. Zudem sind diese Auseinandersetzungen enge Terknüpft mit der prüfen- 
den Revision eines Cardinalpunkts des jetzt bestehenden Regulativs , welche Prflfung ich für unumgftng- 
lieh nothwendig halte, und in Beziehung auf welche keine Dunkelheiten zurQckbleiben dürfen. Ich habe 
daher diese Entwicklungen in dem ersten Theile dieses Aufsatzes so ausführlich und , wie ich hoffe, so klar 
dargestellt, dass man denselben leicht wird folgen können. 

£r9te Abtheilung, 

Dass der Zustand der Witwenkasse bei dem Senate zur Sprache gebracht ist, und Verhandlungen 
darüber Statt gefunden haben , in deren Folge eine gründliche Untersuchung jenes Zustandes von dem Uni- 
▼ersitäts-Curatorium verfügt ist, war zunächst durch die im Herbst des vorigen Jahrs hervoigetretenen Be- 
soigmsse veranlasst, welche besonders durch das rasche und alle firühem Erfahrungen weit Überschreitende 
' Steigen der Witwenzahl (seit dem Tode des Geheimen Justizraths M. auf zwei und zwanzig) erregt , und 
durch eine augenblickliche Inaufficienz des baaxen Kassenvorraths zur vollständigen Zahlung der Pensionen 
am gewohnten Tage noch vergrössert waren. 

Dass diese und andere Umstände eine gewisse Beunruhigung hervorbrachten, ist um so weniger zu 
verwundem, da man sich gewöhnt hatte, den Zustand wie einen höchst blühenden zu betrachten. Bis 
Ostern 1829 war der Betrag der jährlichen Pension 210 Thl. gewesen, und durch viermalige Erhöhung von 
je 10 Thl. während des kurzen Zeitraums von 6^ Jahren war sie Michaelis 1835 auf 250 Thl. gestiegen. Man 
glaubte daher damals den Zeitpunkt, wo die Pensionen auf 300 Thl. angewachsen sein würden, so nahe, 
dass man sich schon mit Plänen beschäftigte, wie nachher der Ueberfluss am besten zu verwenden sein 
würde*). Allein gerade von jener Zeit an begannen die Verhältnisse sich ungünstiger zu gestalten; zu den 
bis Ende 1835 vorhandenen zwölf Pensionirten kamen binnen 9 Jahren zwölf neue Witwen hinzu, wäh- 
rend nur zwei Pensionen erloschen. * 4 

Die vorhin erwähnte augenblickliche Unzulänglichkeit des baaren Kassenbestandes ist übrigens ein 
Umstand von geringer Bedeutung, selbst wenn dadurch eine kurzfristige verzinsliche Anleihe nöthig ge- 
worden wäre, was jedoch, der Jahresrechnung 1844—1845 zufolge, dasmal. nicht der Fall gewesen zu sein 
scheint. Dergleichen Eventualitäten können bei der solidesten Kasse, wie bei dem solidesten in vielfachem 
Qeldverkehr begriffenen Particulier vorkommen, und desto öfter, je mehr dahin gestrebt wird, grössere 
Geldsummen nicht lange ungenutzt liegen zu lassen. 

Auch die 1844 so sehr vergrösserte Anzahl der T^^twen war, an sich betrachtet, noch kein Beweii 
einer nahen Gefahr. Man durfte mit Wahrscheinlichkeit erwarten , dass diese Zahl bald wieder eine Ver- 
minderung erleiden würde, wie denn auch wirklich von März bis Juni d. J. drei Witwen mit Tode abge- 
gangen sind. Auch ist nicht unwahrscheinlich, dass in nicht langer Zeit noch einige weitere Abnahme 
eintreten könne : indessen gewährt eine Rechnung von heute auf morgen nur eine sehr ungenügende Be- 
ruhigung, und ein beträchtliches dauerndes Sinken der Witwenzahl hat man allerdings keinen Grund zu 
erwarten. 

Nicht die zeitweilige Grösse der Witwenzahl bt es, was dem Institute Gefahr drohet, sondern et- 
was ganz anderes, nemlich 



*) Zwei wohlmeinende, seitdem bereits verstorbene Mitglieder der Kirchen-Deputation brachten in 
Anregung , der eine die Abschaffung der jährlichen Beiträge , der andere die Erweitemng der Waisenpen- 
fiionen, bis zur Stiftung lebenslänglicher Pensionen für die unverheiratheten Professorentöchter. 



ANWENDUNG DER WAHBSCBiBINUOHKEITSRBCHNÜNG ETC. 127 

die unkhr$ FoMung de^'enigen Tkeäs des Megulativa, wodurch die Proifreanfm der Peneiotueäise 
^beeiimmt werden aoU 
in Verbindung sut 

der gegenwärtig »o »ehr vergrösaerten AnauM der an der Witwenkaaee Theü nehmenden Profeaaoren, 
Die jpone Wichtigkeit des letetem Umstandes ist schon in meinem oben erwähnten Votum ange- 
deutet. Viß 'Bedeutsamkeit einer grossen Anzahl von Interessenten ist nach der Beschaffenheit einer Wit- 
wenkafla» eine sehr Terschiedene, Für eine Witwenkasse , welohe sieh durch die Beit^go der Mitglieder 
(oder durch die Antrittsgelder, oder durch beides verbunden) ganz selbst erhält, wird eine recht grosse 
Anzahl der Theünehmer nur« vortheilhaft sein, Torausgesetst , dass die Kasse auf eine richtige Rechnung 
bssirt ist. £in^;«oppe)t>e(trke Gesellschaft dieaer Art, hat unter übrigens gleichen Umstä^en eine dop- 
pelt so it4ne Anzahl von W^itwen zu erwarten , wie eine einfache : sie hat aber auch gerade doppelt so 
TMe Einniüune, und kann daher den einzelnen Witwen gerade eben so viel gewähren, aber mit mehr 
Sicherheit gegen die wechselnden Fluctuationen, welche bei der. grossem Gesellschaft im Verhältniss zum 
Ganzen geringer sind, ab bei der kleinern. 

.. Ganz anders aber verhält es sich mit einer Witwenverpflegungsanstalt, die ein reines Beneficium ist/ 
und deren Mittel einmal eine gegebene Grösse haben (durch bestimmten Kapital- oder Grundbesitz). Auch 
hier wird jede Erweiterung des Umfanges eine in gleichem Verhältnisse vermehrte Anzahl der Witwen zur 
Folge Jiaben , deren jede einzelne demnach auch nicht mehr so viel^aus den gegebenen Mitteln wird er- 
halten können, wie vorher bei beschränkterem Umfange. Allerdings wird die der vergrösserten Interessen- 
tenzahl entsprechende Vei^rösserung der Witwenzahl in ihrer toüen Stärke erst nach mehrem Decennien 
eintreten , und dem natürlichen Gange der Dinge gemäss bis dahin sich nach und nach entwickeln. Setzen 
wir, um die Vorstellung zu flxiren, der Umfang einer solchen Gesellschaft (die ein reines Beneficium ist) 
habe sich binnen einer gewissen Zeit verdoppelt. Man wird dann bald auf eine vergrösserte Witwenzahl, 
also , wenn das Vermögen nicht selbst angegriffen werden soll , auf eine Verminderung der jeder einzelnen 
TVltwe zu gewährenden Pension gefasst sein müssen , und diese Herabsetzung wird nach imd nach bis auf 
die Hälfte fortschreiten. Hätte aber eine solche Gesellschaft ein Statut, wonach den Witwen, trotz ihrer 
iteigenden Zahl, fortwährend gleichbleibende Pensionen gezahlt werden mäaaen, so würde sie nothwendig 
za Grunde gehen. Zwei Fälle gibt es jedoch , wo dieser Hergang eine Modification erleiden wird oder er- 
leiden kann. SraiUeh wenn die Mittel der Kasse, vor der Erweiterung des Umganges der Theilliahme, 
mehr als hinreichend waren , um die bestehenden Pensionen zu bestreiten, so dass eine fortwährende Ver- 
mögensvergrösserong, und etwa auch bis dahin von Zeit zu Zeit eine Erhöhung des Pensionssatzes hatte 
Statt finden können. Hier wird offenbar der Erfolg des erweiterten Umfanges von dem Wieviel f abhän- 
gen. Hatte die Kasse vorher einen grossen jährlichen Ueberschuss, und ist die Vergrösserung der Inte- 
ressentenzahl nicht sehr bedeutend, so kann jene die Gefahr vielleicht überstehen; die Vermögenszunahme 
wird nur ünmer langsamer und langsamer werden, und möglicherweise kann, wenn die Folge jener Ur- 
Mche sieh erst ganz entwickelt hat, die Kraft der Kasse noch hinreichend sein, auch der grossem Wit- 
wenzahl die volle Pension zu gewähren. Umgekehrt aber, war anfänglich der jährliche Ueberschuss nicht 
gross, die Vermehrung der Interessentenzahl aber sehr erheblich, so wird der jährliche Ueberschuss bald 
in ein Deficit übergehen, und der Ruin der Kasse zwar etwas später, als wenn ursprünglich Mittel und An- 
•prüche im Gleichgewicht waren, aber doch eben so unfehlbar eintreten. Zweitena bei einer Kasse von 
überhaupt geringem Umfange in Beziehung auf die. Zahl der Theünehmer , und wo diese Zahl also auch 
nach der Vergrösserung noch wie eine kleine zu betrachten ist, wird man keinen so regelmässigen Hergang 
erwarten dürfen wie bei grossem; die in der Natur der Sache liegenden, aber, bei kleinen Zahlen ver- 
häUmaamäaaig viel grossem Schwankungen werden die Regelmässigkeit in der Folge der Erscheinungen 



128 NAOHLA88. 

■ 

achw&ohen , ja ganz verdunkeln können , ohne darum der Richtigkeit des Satzes den geringsten Eintrag zn 
thun , dass nach Mittelzahlen aus hinreichend langen Perioden der doppelten Interessentenzahl auch die dop- 
pelte Witwenzahl folgen muss. Aber, aus jener Ursache, kann es geschehen, dass bei einer kleinen Gesell- 
schaft die verh&ltnissniässig Tergrösserte Witwenzahl l&nger ausbleibt, als bei einer grossen; sie kann aber 
eben so gut auch viel früher eintreten. Es kann, bei einer kleinen Oesellschaft , sich treffen, dass während 
einer beträchtlichen 2ahl von Jahren nach der Vergrösserung der Interessent^izahl die Witwenzahl nur eine 
ganz unbedeutend« Zunahme zeigt, fast stationär bleibt, ja selbst einmal wieder etwas zurückgeht, was aber 
im Grunde nichts weniger als wünschenswerth sein würde, falls sich dadurch die Administration in eine trü- 
gerische Sicherheit einwiegen liesse , und im Vertrauen auf den augenblicklich • noch im Steigen begriffenen 
Vermögenszuatand noch Erhöhung der Pension verfügte , zu einer Zeit , wo eine gründliche Veiter als auf den 
nächsten Tag sehende Erwägung vielleicht schon die Nothwendigkeit einer Beschränkung erkannt haben 
würde. Denn das bedarf keines Beweises, dass nothwendig werdende Beschränkungen desto grösser ausfal- 
len müssen , je länger man sie verschoben hatte. 

Von dem, was über reine Beneficienkassen gesagt ist, lässt sich nun leicht die Anwendung auf solche 
machen , die zwischen jenen und den sich durch die Beiträge ganz selbst erhaltenden stehen. Eine solche ge- 
mischte Eiisse ist die Professorenwitwenkasse , obwohl sie wegen der Geringfügigkeit der Beiträge jenen viel 
näher steht als diesen. Auf den Grund jährlicher Beiträge von 1 o Tbl. würde , wie aus den in der zwei- 
ten Abtheüung zu erörternden Rechnungen folgt, den Hinterbliebenen der Interessenten höchstens eine 
Pension von 4 4 Tbl. oder von 48 Tbl. gewährt werden können, je nachdem der Zinsfuss von 3|^ oder von 
4 Procent vorausgesetzt wird , und hiebei ist noch nichts wegen möglicher Verluste , und wegen Administra- 
tions- und anderer Kosten in Abzug gebracht. Was darüber gewährt wird, also nach dem seit 1S3& beste- 
henden Pensionssatze jährlich 202 bis 206 Tbl., ist wie der Ausfluss eines reinen Beneiiciums zu betrachten, 
und es g^t davon , rücksichtlieh der Wirkungen der steigenden Interessentenzahl ganz dasselbe , was oben 
in Betreff solcher Kassen entwickelt ist. 

Hiedurch erscheint nun allerdings der Umstand, dass die Anzahl der TheilAehmer an unsrer Witwen- 
kasse jetzt um die Hälfte grösser ist, als sie durchschnittlich' vor 20 bis so Jahren war, in schwerer Wichtig- 
keit. Um jedoch diese gehörig würdigen zu können, muss zugleich wohl erwogen werden, dass die in der 
letzten Zeit so gross gewordene Witwenzahl oder richtiger Pensionenzahl (nach dem Durchsehnüi der letzten 
acht Jahre = 20) ganz und gar nicht Folge der jetzigen grossen Zahl der Theilnehmer ist, sondern eben so 
gross sein würde, wenn auch die Zahl der Theilnehmer nicht so sehr vermehrt wäre: es erhellet dies aus dem 
Umstände , dass die Ehemänner derjenigen Witwen , welche in den letzten acht Jahren den Bestand gebildet 
haben (resp. Väter der Pension genossen habenden Waisen) fast sämmtlich schon vor dem Steigen der Interes- 
sentenzahl, ja meistens schon sehr lange vor diesem Steigen, der Gesellschaft angehört haben. Es muss 
vielmehr die jedesmalige Witwenzahl, in einer Gesellschaft, deren Umfang im Steigen ist, nicht mit der gleich- 
zeitigen Zahl der Theilnehmer, sondern mit derjenigen zusammengestellt werden, welche mehrere Decennien 
früher Statt gefunden hat. Hiemach liegt nun aber folgende Schlussfolge sehr nahe : Eben so gut , wie aus 
dem frühem Zustande der Gesellschalt, deren Interessentenzahl vor 20 bis 30 Jahren zwischen 31 und 38 auf 
und ab schwankte , jetzt eine durchschnittliche Witwenzahl von 20 hervörgegai^en ist , wird ganz füglich, 
wiederum nach einigen Decennien, aus dem jetzigen Umfange der Gesellschaft — von 5t Interessenten — 
eine Witwenzahl von 30 erwachsen können, und zwar ohne alle Gewähr, dass diese Zahl ein unübersteigliches 
Maximum sei. Es wird damit nicht gesagt, dass dies gewiss wirklich geschehen werde ^ sondern nur, dass 
nach den bisherigen Präcedentien es geschehen könne , ohne dass man es gerade wie etwas Ausserordentliches 
betrachten dürfte; jedenfi^ls zeigt schon ein solcher roher Ueberschlag, dass die Witwenkasse in den mögli- 
chen Wechself&llen ein viel höheres Spiel spielt , als bisher geglaubt sein mag. 



ANWENDUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ETC. 129 

Gerade hiedurch erh&lt nun aber die Unklarheit *) des Begulativs bei derjenigen Stipulation , wodurch 
die Grösse und das Fortschreiten des Pensionssatzes normirt werden soll, einen sehr bedenklichen Charakter. 
Die eignen Worte des Rescripts des Universitätscuratoriums Tom 20. November 17 94, durch welche diese 
Normirung sanctionirt ist , sind folgende : 

Zweitens genehmigen wir, dass so oft sich der Fundus um 5000 Thl. vermehrt haben wird, und 

die andern Revenuen des Witwenfonds keine Verminderung gelitten haben, auch die Anzahl der 
Pensionen nicht über 15 gestiegen ist, eine jede Pension mit lo Thl. erhöhet werden solle. 
Mangelhaft ist diese Bestimmung darin, dass sich nicht auf eine ganz unzweideutige Art erkennen 
Us$t, tc€u denn eigentlich an einer Pensionserhöhung von den vorangehenden Bedingungen abhängig sein 
soll, ob das Bestehen, oder ob bloss der Anfang; mit andern Worten (indem ich Uoss die letzte Bedin- 
gung in Betracht ziehe) 

ob eihe Erhöhung, die dem Statut gemäss zu einer Zeit eingetreten ist, wo die Zahl der Wit- 
wen höchstens 1 5 betragen hatte, wieder aufhören oder wenigstens zweckmässig modifidrt wer- 
den soll, sobald später die Anzahl der Pensionen jene Normalzahl überschreitet, 
oder aber 

ob eine einmal eingetretene Erhöhung unabhängig von der späterhin erfolgenden Ueberschrei- 
tung der Normalzahl dennoch unabänderlich fortdauern solle. 
Dass die obige Formulirung der Vorschrift, wenn man ohne alle Rücksicht auf die bei Erwägung 
des Inhalts sich ergebenden Folgerungen , bloss den Wortlaut in Betracht zieht, natürlicher auf die zweite 
Auslegung hinftlhrt als auf die erste, will ich um so weniger bestreiten, da bei meiner gegenwärtigen haupt- 
sächlich auf den innem Gehalt der Anordnung selbst gerichteten Untersuchung der sprachliche Standpunkt 
nur ein ganz untergeordneter ist. Ich kann jedoch nicht umhin, zur Vergleichung auch die Einkleidung 
hieher zu setzen , in welcher Bbahdbs, in seinem bekannten Werke über die Universität Göttingen , die Ver- 
fugung anführt; da Bbamdes 17 94 als Referent im Ministerium für die Universitätssachen fungirte, so ist 
»eine Auffassung jedenfalls zur Sache gehörig, wenn sie auch vom juristischen (meiner Untersuchung gleich- 
falls fremden) Standpunkt aus, der einmal im offlciellen Rescript gebrauchten Wortfassung nicht derogiren 
kann. Es heisst a. a. O. S. 254: 

Femer wurde zu der Zeit beliebt, dass jedesmal , wenn der Capital -Fonds der Kasse mit 
5000 Thl. angewachsen sei, eine jede Pension mit lo Thl. vermehrt werden solle, so lange 
die Zahl der Pensionirten nicht über 1 5 hinausgeht, was noch nie der Fall war. 
Hiemach scheint Bbandes den Vorbehalt wegen der ] 5 Pensionen eher in dem Sinn der er$ten In- 
terpretation verstanden, aber, wegen des zuletzt vom ihm angeführten Umstandes für praktisch ganz un- 
erheblich gehalten zu haben , wodurch sich denn ^idlleicht auch erklären lässt , dass in der Wortfassung des 
Rescripts nicht für die vollkommenste Schärfe Sorge getragen ist. 

Bbahoss würde jedoch wahrscheinlich ganz anders geurtheilt haben, wenn er vorher das Factische ge- 
nau geprüft hätte. Brandes kann bei der Angabe 'was noch nie der Fall war' nicht den siebenjährigen Zeit- 
raum von Einfühnmg der Bestimmung bis zur Abfassung seines Buchs verstanden haben, da der Erfah- 
rung aus einem so kurzen Zeiträume gar kein Gewicht beigelegt werden könnte, sondern muss die ganze 
seit Stiftung der Kasse verflossene Zeit gemeint haben. Dann ist aber seine Behauptung factisch unrich- 
tig. Die Zahl der aus der Kasse bezahlten Pensionen war wirklich schon einmal über 1 5 gestiegen, nem- 
lich während der ersten sechs Monate des Jahrs 177 8, wo 16 Pensionen bestanden; ja derselbe Fall würde 



*} Wer an dieser Bezeichnung einer seit einem halben Jahrhundert in Kraft gewesenen Anordnung An- 
^to<s nimmt, wolle sein Urtheii suspendircn, bis er die erste Abtheilung ganz gelesen hat. 

18 



130 NAGHLASS. 

» 

auch bereits zwei Jahre früher eingetreten sein, wenn die erst 17 94 eingeführte Verl&ngenmg der Dauer 
der Waisenpensionen bis zu dem Alter von 20 Jahren schon damals gegolten hfttte. Dieser Umstand er- 
scheint aber in so schwererer Bedeutung, wenn man ^gemfiss der schon oben gemachten Bemerkung) er- 
w&gt, dass 20 — 30 Jahre rückwärts von jener Epoche, nemlich von 1747 — 1757, der Durchschnittswerth 
der Interessentenzahl nur 21 — 22 betrug, 1794 — 1802 hingegen 35^36. 

lieber 15 Ist nun, nachher, die Zahl der Pensionen nicht eher wieder gestiegen, als Ostern 1837, 
und hat sich seitdem immer darüber gehalten. Die Kasse hat den ToUen, alle seit 17 94 eingetretenen 
successiyen Erhöhungen mit einschliessenden Fensionsbetrag fortgezahlt, und so wenigstens implieüe 
— denn ob darüber vorher Verhandlungen der Kirchendeputation Statt gefunden haben, ist mir nicht be- 
kannt — die zweite Interpretation des zweifelhaften Punkts angenommen. 

Wollen wir nun aber , mit Beiseitesetzung sprachlicher und formell juristischer Rücksichten, zwischen 
den beiden Interpretationen nur nach Innern Gründen entscheiden, so drängt sich zuvörderst sogleich die 
Frage auf: Wenn es wirklich unbedenklich ist, eine erhöhte Pension auch für 16 Percipienten ungeschmälert 
fortbestehen zu lassen, warum soll es denn verboten sein, sie auch bei 10 Percipienten anfangen zu lassen? 
Die Gefahr, wenn eine da ist, ist ja doch in dem einen Fall gerade eben so gross wie in dem andern. Dies 
Argument wird noch schlagender, wenn man zu grossem Zahlen fortschreitet. Denn eine erhöhete Pen- 
sion bei 17 (und wie viel mehr bei is, 19 u. s. f.) Percipienten fortbestehen zu lassen, ist doch ganz of- 
fenbar der Kasse gefährlicher, als die Erhöhung bei 16 anfangen zu lassen, und jenes ist, wenn man die 
zweite Interpretation annimmt, erlaubt, dieses verboten. 

Zu welchen Folgerungen eine streng consequente Durchführung der zweiten Interpretation fahrt, ist 
leicht zu übersehen. 

In dem gedruckten Regulativ von 1S38 wird die in Rede stehende Anordnung im §. lo mit den 
Worten eingeleitet: Die Witwenpension wird theils nach dem Bestände des Fonds der Kasse, theils nach 
der Zahl der Witwen bestimmt. Zufolge der der ersten Publication des Regulativs (i833) vorgesetzten Ein- 
leitung soll dasselbe die Verpflichtungen und die Rechte der Theilnehmer feststellen , und der Beitritt eines 
neuen Mitgliedes geschieht durch Unterschreiben eines ihm zur Kenntnissnahme von den Pflichten und Rech- 
ten vorgelegten Exemplars. Man muss also annehmen, dass das Regulativ dieselben vollständig enthält, 
und dass die Kasse , gegenüber den Mitgliedern oder deren Hinterbliebenen, keine Rechte geltend machen 
kann, die nicht in diesem Regulativ enthalten sind. 

Nun findet sich aber in demselben auch nicht ein einziges Wort als Vorbehalt, den Pensionssatz 
eventuell wieder zurückgehen lassen zu dürfen, es sei denn, dass man die erste Interpretation von jener 
Normirung des Pensionssatzes nach der Witwenzahl, annimmt. Im entgegengesetzten Fall' muss man, bei 
strenger Consequenz, einräumen, dass die Kasse yürpflichtet sei, sämmtliche, während Stattfindens von 
Pensionszahlen unter 16, eingetretenen Pensionserhöhungen ungeschmälert fortzuzahlen, die Zahl der Wit- 
wen (und Waisen) möge in späterer Zeit (z. B. in Folge der überhaupt erweiterten llieilnehmerzahl) so 
hoch anwachsen f wie sie wolle. 

Dies ist aber geradezu ungereimt, insofern man nicht annimmt, dass das Gouvernement die Ge- 
währ zu leisten habe, was zu beurtheilen ausser meiner Competenz lieget. 

Bei jedem bestimmten Zinsfiisse kann der Kapitalanwachs von 50 oo Tbl. die Pensionserhöhung um lo 
Thl. nur für eine bestimmte Anzahl von Pensionirten decken ; bei dem Zinsfuss von 3 p. C *) für höchstens 

*) Bei Einbringung des Vorschlages zu der in Rede stehenden Regulirung, im Julius 17 04, wurde 
mit unzweideutigen Worten , nur auf diese Verzinsung und nicht auf 4 p. C. Rechnung gemacht. Hienach 
ist also die Stelle in dem Aufsatz des Herrn Universitätsraths O. vom 15. December 1844, S. 5: 

'Bei der im J. 17 94 getroffenen Bestimmung ist wahrscheinlich eine Berechnung dahin zum 



ANWENDUNG DER WAHB8CHB1NUCHKEITSBECHNUNG ETC. 131 

15, bei dem Zinsfuss von 34* proc. für höchstens 17 , bei dem Zinsfuss von 4 proc. fiär höchstens 20 Pen- 
sionirte, und der Zinsertrag jener Kapitalvermehrung wird, wenn diese Zahlen erreicht sind, dadurch gftnz- 
lieh absorbirt. Steigt also die Anzahl der zu pensionirenden resp. über diese Orenzzahlen, so wird zur 
Bestreitung aller übrigen Pensionen nichts vorhanden sein, als 1) der Ueberschuss, den die jährlichen Ein- 
nahmen der Kasse, vor den Erhöhungen von Kapitalien und Pensionssfttzen gew&hrt hatten, oder vielmehr 
gewAhrt haben würden, wenn die resp. Normalzahl der Pensionen (l5; 17; 20) damals Statt gefunden 
hfttte*). 2) Die etwaige seit jener Zeit bewirkte Steigerung der Apothekenpacht. 3) Der vergrösserte 
Ertrag der BeitrSge der Mitglieder, wegen ihrer gewachsenen Anzahl. Diese precftren und schwachen Hülfh- 
quellen würden aber bei weiterm Ueberschreiten jener Normalzahlen bald erschöpft sein, und desto schnel- 
ler, je höher der Pensionssatz selbst schon angewachsen ist. Diese letztere Bemerkung ist in so fem von 
grosser Wichtigkeit, weil daraus auf das klarste hervorgeht, dass die aus consequenter Befolgung der zwei- 
ten Interpretation entspringende Gefahr desto grösser wird, je mehr Pensionserhöhungen bis zum Ueber- 
schreiten der Normalzahl schon Statt gefunden haben. 

Wenn übrigens oben bemerkt ist, dass in dem gedruckten Regulativ gar kein Vorbehalt zu finden 
ist, wodurch einem firüh oder spät aus dieser Quelle entspringenden Verbluten der Kasse Einhalt gethan 
werden könnte , so darf ich nicht verschweigen , dass in die Quittungsformulare , auf welche die Witwen 

ihre Pensionen erheben , die Bevorwortung aufgenommen ist , dass die Pension auf Rthl. für jetzt, 

und 80 lange der Kas90 Umstände solches gestatten werden^ festgesetzt sei. Wahrscheinlich werden wenige 
Mitglieder der Witwenkasse diese Clausel kennen: mir selbst wenigstens ist sie, obgleich ich 38 Jahre 
Theünehmer gewesen bin, erst ganz vor kurzem bekannt geworden. Sie ist jedoch nicht bestimmt, wie 
ich anfangs vermuthete, möglichen aus der Progressionsnormirung zu besorgenden Gefahren vorzubeugen; 
denn sie steht, und zwar genau mit denselben Worten, auch schon in den gedruckten Quittungsformular 
ren vor 17 94. Solche in ganz allgemeinen Ausdrücken abgefasste Vorbehalte mögen in einigen Beziehun- 
gen ihr Gutes haben: im gewöhnlichen Laufe der Dinge aber bleiben sie, wenn nicht ausserordentliche 
Veranlassungen eintreten , so lange ohne Anwendung, bis die höchste Noth zwingt. Es ist kein Entschei- 
dungsmerkmal, kein Maassstab angegeben, woran man erkennen kann, ob der Kasse Umstände Zahlung 
gestatten oder nicht gestatten. Wartet man so lange, bis man sehen wiederholt genöthigt ist , zur Bezah- 
lung der Pensionen die Kapitale mit zu verwenden, so hat man sehr wahrscheinlich schon viel zu lange 
gewartet, und es wird sich dann bew&hren, was [S. 12s, Z. 12] bemerkt ist. Jedenfalls ist, rücksichtlich der 
Behauptung des Rufs der Solidität der Kasse, ein grosser Unterschied zwischen einem Zurückgehen des 
Pensionssatzes in Folge einei ganz bestimmten feststehenden Regel (wie bei der ersten Interpretation) ; und 
einer Reduction der Pensionen , wozu die Kasse sich endlich gezwungen sieht, weil sie eben ihre nach dem 



'Grunde gelegt, dass die Zinsen des auf 5000 Tbl. erhöheten Fonds zu 4 proc. 200 Tbl. betra- 
'gen, dass davon \ wieder zum Capital zu schlagen, f aber unter die Witwen zu vertheilen 
'seien, was dann bei 15 Witwen für jede 10 Tbl. betragen würde' 
zu berichtigen. Von einer solchen Berechnung , von 4 proc. Zinsen und von der Zurücklegung eines Vier- 
tels derselben kommt in den bald näher zu betrachtenden Verhandlungen von 17 94 gar niehU vor. 

*) In der Wirklichkeit hätten die Einnahmen damals (l7 94) schon für 18 Pensionirungen nicht ganz 
ausgereicht, obgleich zu jener Zeit noch ein jährlicher Zuschuss von 150 Tbl. aus der Kirchenkasse geleistet 
wnrde , der später aufgehört hat. Der obige Ueberschlag erleidet aber eine Modification, weil, vorzüglich in 
Folge von Irregularitäten während der westphälischen Regierung, die Progressionsnorm nicht genau befolgt 
ist. Hätte man sich ganz strenge daran gehalten, so würden die Pensionssätze seit 1815 immer schon bei ge- 
ringerer Kapitalhöhe, als geschehen ist, haben erhöhet werden müssen, — und das jetzige Kapitalvermögen 
würde um vielleicht 5000 Tbl. ärmer sein. 



132 NACHLASS. 

Statut (in der zweiten Interpretation) eigentlich unbedingt abemommenen Verpflichtungen nicht mehr er- 
füllen kann. 

Die vorstehenden Entwickelungen sollten die vitale Wichtigkeit der Progressionsnormirung bei einer 
Gesellschaft, deren Theilnehmerzahl sich bedeutend vergrössert, und damit die. Wahrheit der S. [t27] von 
mir aufgestellten Behauptung darthun. Um aber diesen Gegenstand von allen Seiten zu beleuchten, wird 
es nothwendig sein, dem Hergange der Entstehung jenes Statutsärtikels Schritt vor Schritt zu folgen. Ich 
habe zu dem Zweck die betreffenden Acten sorgfaltig gelesen, tmd wiederholt gelesen, und gebe daraus, 
soweit sie jenen Statutsartikel betreffen, einen Auszug. Ich werde dabei hin und wieder auch einige an sich 
untergeordnete Nebenumstände hervorzuheben haben , wenn sie etwas beitragen können, den Hergang bei 
diesen Verhandlungen begreiflicher zu machen. Im voraus will ich bemerken, dass 17 94 der jährliche Bei- 
trag 5 Tbl. Gold betrug , die Witwenpension 1 1 o Tbl. Kassenmünze, und dass die vater- und mutterlosen 
Waisen die Pension bis zum vollendeten 12^'° Jahre zu gemessen hatten. 

In einem vom 30. Junius 17 94 datirten an die Universität gerichteten Ministerial-Rescript, wurde 
unter Bezugnahme auf ein schon vor einiger Zeit von dem Könige der Witwenkasse gemachtes Geschenk 
von 1000 Thl.*), die Anzeige von der Bewilligung eines zweiten Geschenks von 500 Thl. Gold gemacht, 
mit dem Beifügen , dass , wie bei diesen Geschenken die Absicht dahin gehe, zu einer baldigen Erhöhung 
der Pensionen hinzuwirken, gewärtigt werde, dass die Theilnehmer auch ihrerseits zur Erreichung dieses 
Zwecks beizutragen , und zu einer Erhöhung der jährlichen Beiträge von 5 Thl. Gold auf l o Thl. Kassen- 
münze bereit sein würden. Nach den Berechnungen in einem anliegenden P. M. sei es nicht zweifelhaft, 
dass es füglich thunlich sei, schon jetzt eine Erhöhung der Pensionen in dem Maasse eintreten zu lassen, 
dass die sechs ältesten, anstatt der bisherigen iio Thl., künftig 150 Thl. und alle übrigen jede 130 Thl. 
erhielten. Am Schlüsse erbot man sich., falls die Kapitalien der Witwenkasse nicht alle vollkommen sicher 
placirt seien , die sichere Unterbringung zu 3 Procent bei öffentlichen oder städtischen Kassen zu veranlassen. 
Ein ähnliches Anerbieten war schon einmal, bei den Monitis zu der Jahresrechnung für 17 92 gemacht worden. 

Die beigefügte Anlage , deren Verfasser nicht genannt ist , im Detail durchzugehen , ist für meinen 
Zweck nicht nöthig. Aber ein paar Nebenumstände will ich herausheben. 

I. Die Kapitalien der Witwenkssse, heisstes, seien zu ungleichem Zinsfuss ausgeliehen, einige *) zu 
3 proc, andere höher. Weil aber der Zinsfuss leicht von allen Kapitalien auf 3 proc. heruntergehen könnte, 
und man bei zu machenden Ueberschlägen auf möghch sichere Summen rechnen müsse , so wolle man bei den 
Rechnungen auch nicht mehr als 3 proc. voraussetzen. 

Hieraus und aus dem eben angeführten Schlüsse des Rescripts erklärt es sich , warum auch in den Ver- 
handlungen bei der Universität für allen künftigen Kapitalzuwachs (ohne weitere Bemerkung) nur auf 3 proc. 
gerechnet ist; bloss für die schon vorhandenen und schon belegten Kapitale sind die Zinsen zu 3| proc. aus- 
geworfen. Vergl. hiemit die Anmerkung zn S. [i3i.] 

II. Um einen Ueb erschlag zu machen, aufweiche Zahl von Witwen die Rechnung gestellt werden 
müsse , fährt der Verf. fort : 

*Will man nun nach den gemachten Erfahrungen annehmen , dass 3 stehende Ehen eine Witwe zu er- 
'nähren haben, so würden die 26 verehelichten Professoren (unter der Gesammtzahl von 36) etwan a Witwen 
'zu erhalten haben. Da es aber mehrere Gewisheit gewährt, wenn man den äussersten Fall zu Basis nimmt, 
*so setze man lieber, dass gegen 2| Ehen eine Witwe in Anschlag zu bringen, so dass also die bestehenden 
•26 Professor -Ehen zu erhalten haben würden — 10 Witwen.* 



•) Kassenmünze. Es war nach Ausweis der Rechnung für 17 93 unter dem is. April 17 93 eingezahlt. 
•) zu damaliger Zeit beinahe der dritte Theil des Kapitalvermögens. 



ANWENDUNG DER WAHRSCHEINL1CHKEIT8BECHNXJNO ETC. 133 

r 

Bei den UniTenitfttsseitig gemaohten Ueberschlftgen hat man jene 3 oder 34- Ehen gegen Eine T^twe 
filr lu viel gehalten, tmd daa Verhältniss von t Ehen gegen Eine Witwe zum Grunde gelegt. 

Ich habe die Stelle des P. M. hier bloss deswegen angeführt , weil dadurch erkU&rlich wird , dass man 
sieh bei dem Verh&ltniss von Zwei Ehen gegen Eine Witwe so leicht beruhigt hat» obgleich, sehr wahrschein- 
lich, auch dieses den Verhältnissen der Ptofessoren-Witwenkasse noch nicht angemessen ist, sondern noch 
weniger Ehen gegen Eine Witwe gerechnet werden sollten. Ueber die Sache selbst wird das Nähere welter 
unten vorkommen ; aber der Geschäftsveiiauf erinnert (wenn es erlaubt ist, ein Gleichniss aus einer niedem 
Sphäre hieher zu ziehen) unwillkürlich an Käufer, die bei unvollkommener eigner Waarenkenntniss einen 
guten Handel gemacht zu haben glauben, wenn sie weit unter dem zuerst geforderten Preise eingekauft 
haben , obgleich sie , bei Lichte besehen , noch immer zu theuer bezahlten. Ich brauche nicht zu erinnern, 
dsss ich diese Gleichniss nicht über die Gebühr ausgedehnt wissen will, denn der unbekannte Proponent 
hat die Verhältnisse 3 : 1 und 2\ : i ohne Zweifel in gutem Glauben an ihre Zulässigkeit vorgebracht. 

Indem der damalige Prorector F. , unter dem 6. Julius , das Rescript bei dem Senate in Umlauf 
setzt, fügt er den beiden darin enthaltenen Deliberationsgegenständen (Erhöhung der Beiträge und Erhö- 
hung der Pensionen) noch einen dritten bei, durch den Vorschlag, die Dauer der Waisenpensionen bis zum 
vollendeten 20*^"° Lebensjahre zu erweitem. Er überlässt den Senatsmitgliedem, sich Über diese Gegen- 
stinde gleich schriftlich, oder in der auf den 12. Julius angesetzten Senatsversammlung zu äussern. 

Diese Missive ist von 17 Senatsmitgliedem unterzeichnet; von den dabei gefallenen Aeusserungen 
sind hier nur ein paar zu erwähnen. 

Der damalige Curator der Witwenkasse , P., stellt vor allem den Grundsatz auf: die Kasse sei den 
gegenwärtigen Witwen eben so viel schuldig als den künftigen, sie sei aber auch den künftigen T^twen 
genau so viel schuldig wie den gegenwärtigen. I)iese (an sich in der That sehr vage) Phrase erläutert er 
dahin, dass jede künftige Witwe, welche weniger erhalte, als eine andere früher erhalten habe, (seiner 
Meinung nach) wahrhaft lädirt werde, und das erste Prineip müsse demnach sein, die Pensionshöhe so zu 
bestimmen, dass , nach höchster Wahrscheinlichkeit, sie niemals wieder vermindert zu werden brauche. In 
dieser Beziehung hält aber P. den Calcül in der Beilage des Rescripts nicht für sicher genug; man dürfe 
nicht 2|^ Ehen auf 1 Witwe , sondern nur 2 rechnen , und müsse also das Maximum der Witwen nicht auf 
10—12 sondern auf 14 — 15 setzen, mithin auch geringere Pensionshöhen annehmen. 

Kaxbthkb hält die Frage für zu verwickelt und schwierig, als dass sich ohne eine unutändUehe und (fe- 
naue Untersuchung etwas festsetzen lasse ; auch er sei der Meinung, dass mehr nicht als höehsten$ 2 Ehen auf 
I Witwe, gerechnet werden dürfen. Da er längst aus der Witwenkasse ausgeschieden sei (er war Theil- 
nehmer gewesen von 17 55 — 177 3), so habe er in der Sache keine Stimme (als Senior der philosophischen 
Facultät war er doch Mitglied der Kirchendeputation), rathe aber, keinen Beschluss zu fassen, ohne vor- 
her einen Sachverständigen, etwa den p. Kbittkb zu befragen.. 

G. wünscht auch, dass durch genaue Rechnungen die Kräfte der Kasse ermittelt werden möchten, 
und weiset auf die schrBckUchen Folgen übereilter Besohliessung zu grosser Pensionen, an den Beispielen 
der Hannoverschen, Bremischen u. a. Witwengesellschaften hin. 

Die ülurigen Vota stimmen theils den vorigen bei, theils entwickeln sie Bedenklichkeiten, wegen Er- 
höhung der Beiträge oder Verlängerung der Waisenpensionen, was hier nicht extrahirt zu werden braucht. 

In der Senatssitzung vom 12. Julius, in welcher, den Prorector mitgezählt, 12 Professoren anwe- 
send waren, erklärten sich für die Erhöhung der Beiträge 9 unbedingt, 2 mit dem Zusatz, dass sie die 
Erhöhung für zu gross hielten ; einer (der bei der schriftlichen Votirung sich nachdrücklich dagegen erklärt 
hatte) wollte den mehrsten Stimmen beitreten. — Der F.'sche Vorschlag, wegen Verlängerung der Wai- 
senpennonen wurde bis zu genauerer Erwägung der Umstände der Kasse noch beanstandet. — Wegen 

19 



134 NACHLASS, 

Erhöhung der Witwenpensionen wurde beschlossen, ein Gutachten Ton Ejuttkr einzuholen *). Doch erklärte 
man sich schon gegen die im Rescripte beantragte grössere Pension für die sechs ältesten Witwen, als welche 
schon durch das V.'sche Legat bevorzugt seien. 

Die Consultation des p. KarrTSR, welche durch ein im Concept bei den Acten befindliches Schreiben P.'s 
geschah, war in der That nur eine sehr beschränkte. Nach einer bloss in ganz allgemeinen Umrissen gehaltenen 
Uebersicht der Haupteinrichtungen der Witwenkasse werden Kkittes nur zwei Fragen vorgelegt: I) Nach 
welchem Grundsatz und Yerhältniss in einer derartigen Gesellschaft das Maximum der Witwen bestimmt wer- 
den müsse und II ) um wieviel dies Maximum der zu verabreichenden Witwenpensionen noch vergrössert wer- 
den müsse , wenn im Falle des Nichtvorhandenseins einer Witwe , oder nach dem frühern Ableben dersel- 
ben die Pensionsberechtigung auf etwa vorhandene Waisen übergehe , und fortdaure, bis das jüngste Kind 
das Alter von 20 Jahren erreicht habe. Die dermalige Anzahl aller Interessenten der Kasse, und der 
darunter befindlichen Verehelichten, wird gerade eben so wie in der oben angeführten Anlage des Re- 
scripts, zu 36 und 26 angegeben, und zugleich bemerkt, dass diese Zahlen und ihr Yerhältniss veränder- 
lich und schwerlich einer Wahrscheinlichkeitsregel zu unterwerfen seien; zum Schluss folgt das Anerbie- 
ten, dass wenn der Befragte noch einige weitere Data aus den bisherigen Erfahrungen über das Yerhält- 
niss der Participanten und der Witwen nöthig haben sollte, solche sogleich mitgetheilt werden würden. 

Kbitteb's Antwort, oder sein 'Gutachten', vom 1 9. Julius, lege ich in einer vollständigen Abschrift bei **). 



*) Es scheint nicht , dass etwas darüber festgesetzt wäre , in tcelchcni Maasee Krtttzr*» Rathin An- 
spruch genommep werden solle. Kaxstkbb war in der Yersammlung nicht gegenwärtig. 

**) Gutachten über einige mir vorgelegte Fragen, die Göttingische Unlversitäts- Witwenkasse betreffend. 

Ad I. Das Collegium der Herrn Professoren in Göttingen hat schon seit der Errichtung der Universi- 
tät über 60 Jahre lang existirt, so dass man schon vor 10 fahren die höchste Zahl der Witwen haben konnte, 
welche nach den Gesetzen der Sterblichkeit auf etwa 22 oder 24 verehelichte Professoren vorhanden sein muss- 
ten, nemlich 1 2 Witwen. Dieses hat sich auch laut der nlir mitgetheilten Liste von dem Anwachs der jährlich 
vermehrten Zahl der Witwen gezeigt und würde sich noch besser gezeigt haben , wenn das Collegium der 
Herrn Professoren aus 100 Personen hätte bestehen können. Da aber nach der Natur der Sache diese Anzahl 
nur um den 4^*^" Theil von 1 00 stark gewesen , so war es auch natürlich, dass die Zahl der Witwen vom Jahre 
1775 bis 17 80 mehr als 12 und vom Jahre 17 91 bis 17 92 weniger als 12 betragen, weil bei kleinen Zahlen die 
Ordnung der Sterblichkeit nicht so wie bei grossen Zahlen eintreten kann. Indessen muss man dennoch an- 
nehmen , dass die höchste Zahl der Witwen in einem Durchschnitt von etwa 1 Jahren beständig etwa halb so 
gross sein werde , als die Zahl der verehelichten Herrn Professoren. 

Ad U. Da es nunmehr gewünscht wird, dass die hinterlassenen Waisen -Familien einer gestorbenen 
Witwe oder auch eines gestorbenen Witwers bis zum vollendeten 20®^^" Jahre eine gleiche Pension wie eine 
Witwe bekommen möchten , so kann ich nur aus der Erfahrung bei der Bremischen Witwenkasse etwas davon 
bestimmen. Die Bremische Gesellschaft hatte etwa den 6^*** Theil de^ Witwenpensionen mehr zu erwarten, da 
sie die Waisen-Familien gleich einer Witwe zu pensioniren und bis zum vollendeten is*®" Jahre des jüngsten 
Kindes damit fortzufahren bcschloss. Da aber die Waisen - Familien der Herrn Professoren bis zum vollende- 
ten 20*^^° Jahre des jüngsten Kindes dieses gemessen sollen, so müssen doch wohl gegen 12 Witwenpensionen 
über 2 Waisenpensionen gerechnet werden. 

Ich halte es also für rathsam , dass man zu 1 2 als dem Maxime der Witwenzahl noch wenigstens 2 ad- 
dire, so dass. der Divisor, worin die jährlichen Einkünfte von den Fonds der Casse und sonst dividirt werden, 
auf 1 4 gesetzt werde. Da nun jetzt nur 10 Witwen vorhanden sind, so darf man die sämtlichen jährlichen 
Revenuen der Casse nicht unter diese 1 vertheilen , weil sonst die in der Folge hinzukommenden Witwen 
würden verkürzt werden , sondern man muss in 1 4 dividiren , so wird innerhalb 1 Jahren der Fonds auf etwa 
25 Witwenportionen verstärkt sein, wovon die Zinsen noch auf eine Pension mehr als vorhin zureichen wer- 
den, so dass man alsdann, wenn das wahre Maximum der Witwen- und Waisenpensionen eintreten wird, n 



ANWENDUNG DER WAnRSCHElNLICHKEITSBECHNUNG ETC. 135 

Da dieses Gutachten und die ihm gegebene Auslegung die eigentliche Grundlage von derjenigen Einrich- 
tung bilden, die den Hauptgegenstand der i. Abtheilung meiner Denkschrift ausmacht, nemlich von der 
Progressionsnormirung , so werde ich solches, weiter unten, einer ausfuhrlichen und genauen Prüfung un- 
terwerfen , und beschränke mich daher hier , einstweilen , auf folgende Bemerkungen. 

Aus den Acten ist nicht zu ersehen, weshalb Kbitteb im Anfange seines Gutachtens von 22 — 2i verehe- 
lichten Professoren spricht, da P. in seinem Sehreiben ausdrücklich 26, und nur diese Zahl, genannt hatte. 
Ich vermuthe aber, dass Kbipteb jene Zahlen 22 — 24 wie die für eine frühere Zeit gültigen angenommen hat. 
Meines Wissens sind aber keine vollständige Register über die persönlichen Verhältnisse der Witwenkassen- 
Mitglieder in der Art geführt, dass für jeden beliebigen Zeitpunkt die Anzahl der Verehelichten daraus 
entnommen werden könnte. Entweder also hat Kbitteb jene Zahlen nur aus der Zahl aller Participanten in 
früherer 2eit nach einer ungefähren Schätzung geschlossen, oder sie beruhen auf besondem Mittheilungen, 
welche dann, der Natur der Sache nach, sich nur auf 2^itpunkte beziehen können, die nicht ^iele Jahre 
rückwärts lagen, und im Gedächtnisse noch fortlebten. 

Kbitteb*s Antwort auf die erste Frage besteht dann kurz darin, dass man für die Zeit , wo das Maxi- 
mum eingetreten sei. Eine Witwe gegen etwa zwei stehende Ehen rechnen könne, also für jene 22 — 24 
Eben 12 Witwen, was sich wie er angibt nach dem Durchschnitt der letzten 17 Jahre in so fem bestätigt 
habe, als bald mehr bald weniger als 12 Witwen vorhanden gewesen seien. Dass dann die der dermali- 
gen Zahl von 26 Ehen entsprechende Witwenzahl um Eine grösser sein würde, ist nicht ausdrücklich ge- 
sagt, aber implicite darin enthalten. Auf die zweite Frage gibt er an, dass nach den Erfahrungen der 

• 

Bremischen Witwenkasse , wo die Waiseupensionirung nur bis zum l $^^° Jahre daure , man auf eine Ver- 
grösserung der Pensionenzahl um den sechsten Theil rechne ; bei der hiesigen also, wo die Dauer 2 Jahre 
länger sein solle, doch wohl etwas mehr annehmen müsse. — Bei den 24 Ehen kommen wir demnach auf 
etwas mehr als 14, bei den 26 Ehen, nachdem ihre Wirkung ganz eingetreten, auf 15 nach Kbitteb's 
Worten, oder auf etwas mehr als 15|^, d. i. auf nahe 16 nach den von ihm ausgesprochenen Grundsätzen. 

Ob , ganz abgesehen von der nähern Prüfung des Inhalts des Gutachtens, eine derartige Behandlung 
des Gegenstandes eine umständliche und genaue Untersuchung, wie Kaestkeb für nothwendig gehalten hatte, 
genannt werden könne, lasse ich hier auf sich beruhen. P. entwarf nun aber, auf den Grund dieses Gut- 
achtens , ein P, M. , worin er zeigt , dass wenn die von dem Curatorium vorgeschlagene Erhöhung der Pen- 
sionen, ohne weitere besondere Vergrösserung für die sechs ältesten Witwen, für alle gleichmässig auf 
130 Rth. festgesetzt werde, dies ohne alle Gefahr für die Kasse auch dann geschehen könne, wenn die 
jährlichen Beiträge nicht erhöhet würden ; dass aber , im Fall die Erhöhung der Beiträge auf die vom Cu- 
ratorium angegebene Art , angenommen werde , auch die Verlängerung der Waisenpensionen um so siche- 
rer eingeführt werden könne, weil nach den obwaltenden Umständen ein baldiges Wirksamwerden dieser 
Abänderung nicht zu erwarten sei. P. schliesst endlich seinen Vortrag, dem ich, bis hteher, meinen vol- 
len Beifall zu geben keinen Anstand nehme, mit folgendem kurzen Zusatz, den ich, da hier zum ersten* 
male der Gegenstand meiner eignen Untersuchung, nemlich die Progressionsnormirung, auf den Schauplatz 
tritt, vollständig und treu mit P.'s eignen Worten hier abschreibe: 

*Bei der allgemeinen Erhöhung der Pensionen auf 130 Kth. scheint mir nicht die mindeste Gefahr 

zu sein: 



Pensionen wird bezahlen können ; und sollte auch etwas übrig bleiben , so könnte vorzüglich armen Witwen 
etwas zugelegt werden. 

Auf mögliche Unglücksfälle bei den belegten Capitalien, Verlust an Zinsen und andern Ausgaben 
müsste doch auch wohl etwas gerechnet werden. 

Göttingen den 19. Juli 17 94. J. A. Kbittbb. 



136 KiiCHIiASS. 

Vielmehr scheint mir noch 

3) möglich und dienlich , dass. ea jetzt sur beständigen Norm gemacht werden dürfte , die Witwen* 
Pensionen jedesmal um 10 fhl, zu erhöhen, so oft sich der Fundus um 5000 Thl. vermehr hat 
und die Zahl der Witwen noch nicht über das maxünum von 1 5 gestiegen ist. Es ist klari dass 
man dies thun kann, denn eine Erhöhung von lo Thl. für 15 Witwen betrftgt 150 Thl. und 
5000 Thl. zu 3 proc. geben eben so viel Interesse. Dass aber der n&chste Erhöhungs - Termin 
bald eintreten kann, wenn auch unsere Kasse keine ausserordentliche Zuflüsse erhält, dies l&sst 
sich wenigstens sehr wahrscheinlich berechnen. Da wir gegenwärtig nur lo Witwen zu pensio- 
niren haben, so müssen, wenn der neue Zuschuss zu den Beiträgen bewilligt wird, alle Jahr Über 
1000 Thl. der Kasse bleiben, folglich 5000 TU. schon in 5 Jahren zum fundus hinzugekommen 
sein, wenn sich die Zahl der Witwen indessen nicht vermehrt ; setzt man aber auch den höchst 
unwahrscheinlichen Fall, dass die Zahl jedes Jahr um Eine Witwe vermehrt würde, bis sie das 
maximum von 15 erreicht hätte, so würde es doch kaum so Jahre anstehen können. 

Out möchte es wenigstens sein, wenn in dem Bericht an Kön. Begierung dieser Umstand erwähnt 

würde.' 

Da über den wesentlichen Inhalt dieses Artikels weiter unten bei der Prüfung des KBiTTEs'schen Gut- 
achtens und der darangeknüpften Folgerungen, und an andern Stellen das Nöthige vorkommen wird, so 
sollen hier nur ein paar Nebenumstände berührt werden. 

I. Auffallend ist, aus der Feder des Curators der Witwenkasse, die unrichtige Angabe der Wit- 
wen-, oder vielmehr Fensionensahl. Es waren damals nicht lo Witwen, und auch nicht lo Pensionen, 
sondern 8 Witwen, und^ unter Hinzuzählung der Kinder des am 8. Junius 17 04 verstorbenen Professors 
B. , zusammen 9 Pensionen. Auch lässt sich diese Unrichtigkeit nicht etwa dadurch erklären, dass der 
Abgang der zuletzt an fremdem Orte (Halle) verstorbenen Witwe (M.) dem Curator damals noch unbe- 
kannt gewesen sei; denn es findet sich, dass der Betrag der Pension für das letzte halbe Jahr (Michaelis 
17 93 bis Ostern 1794) auf eine von P. initunt erzeichnete und vom 3. Mai 17 94 datirte Quittung der Er- 
bin erhoben ist. 

II. Die Schlusszeile (*Out möchte es wenigstens u. s.w.') lässt uns etwas im Dunkeln rückstchtlich 
der Frage , für was der abgeschriebene Artikel eigentlich genommen werden soll , ob für einen fl&rmlichen 
sur Beschlussnahme verstellten Antrag, oder nur für eine hingeworfene Idee. Von einer für alle künfti- 
gen Zeiten geltenden bestimmten Normirung der veränderlichen Pensionshöhe war weder in dem Rescript, 
noch in den vorhergehenden Verhandlungen die Rede gewesen. Es war dieA also ein vierter zu den be- 
reits in Deliberation begriffenen neu hinzukommender Gegenstand, und zwar ein solcher, der den drei 
andern an Wichtigkeit keinesweges nachstehend die sorgfUtigste allseitige Prüfung erforderte. Wer einen 
auf ein solches Ziel eigens gerichteten Antrag einbringt, ist sich doch der Wichtigkeit der Sache bewusst, 
welche durch die Bezeichnung einer solchen Lebensfrage mit * dieser Umstand' schwerlich genug hervor- 
tritt. Bei einer Äusserung hingegen , die nur den Charakter eines gelegentlich hingeworfenen Gedankens 
hat, ist man schon nachsichtiger gegen eine durch Unachtsamkeit entschlüpfte Unrichtigkeit, und gegen 
eine noch mangelhafte Wortfassung. Dui'ch die Numeiinmg mit (s) lasse man sich hiebei nicht irre ma- 
chen. P. sähH in seinem Aufsatze nicht die Vorschläge, sondern die aus den vorausgeschickten Rechnuz^gs- 
überschlägen von ihm abgeleiteten Folgerungen. Sein Nr. t enthält die Folgerung, dass alle gegen die 
Verlängerung der Waisenpen^onen vorgebrachten oder vorzubringenden Einwürfe sich erledigen, wenn man 
die proponirte Erhöhung der Beiträge annehme ; und sein Nr. 2 die , dass zwar die allgemeine Erhöhung 
der Pensionen auf 130 Rth. füglich sofort geschehen könne, die -«xceptionelle Erhöhung auf i&o Rth. far 
die sechs ältesten Witwen hingegen weder gerecht noch rathsam sei. 



ANWENDUNO DER WAHRSCHEI^LIGHEBTrSBECHNUNQ ETC. 137 

Unter solchen Umständen tritt die Wichtigkeit der Function des Vorsitsenden einer berathenden 
Körperschaft heryor, der die einzelnen Fragepnnkte scharf lu sondern, jeden an seinen rechten Plati lu 
stellen, und in lichtvoller alle Zweideutigkeit ausschliessender TVortfassung zur Berathung und Abstimmung 
itt bringen hat. 

Im vorliegenden Falle war es F. , ^ dem als zeitigem Prorector dieses Geschäft oblag. Er setzte im- 
ter dem 22. Julius das Bescript, das KBiTTBt'sche Outachten und das P.'sche P.M. bei sämmtlichen Pro- 
fessoren in Umlauf, mit einer Aufforderung, welche ich in F.'s eignen Worten vollständig hieher setze: 
Sie möchten sich schriftlich darüber erklären , ob Sie dem ganzen Vorschlage P.'s beitreten, oder 
über die einzelnen Fragepunkte, nemlioh i) in welchem Maasse die Erhöhung der Pensionen 
gerecht und rathsam scheine ? 2) Ob die Verlängerung der Dauer der Pension nach der Eltern 
Tode bis zum 20'^° Jahre des j Ängsten Kindes gewünscht werde? 3) Die von Königlicher Re- 
gierung in Vorschlag gebrachte Erhöhung der jährlichen Beiträge auf 10 Thl. C. M. genehmigt 
werde, ohne Bedingimg; oder unter der Bedingung von Nr. 2. 
Man sieht, dass der letzte Artikel von P.'s P. M. (oben S. [ise]) mit keinem Worte erwähnt ist. 
leb salbst habe nun zwar keinen Zweifel , dass F. denselben (vielleicht die schwere Wichtigkeit 'dieses Um- 
Standes' nicht genug würdigend) als ein schon in seinem Nr. 1 mitenthaltenes Anhängsel betrachtet haben 
mag: aber eben so wenig zweifle ich, dass diese Nichterwähnung, zumal im Contraste zu der präcis logischen 
Form, in welcher F. seinen dritten Fragepunkt auftreten läset, sehr dazu beigetragen hat, jene Hauptfrage 
Ar viele, vielleicht für die meisten Votanten in den Hintergrund zu rücken. Ich habe daher geglaubt, diese 
an sich gerigfügigen Nebenumstände hier mitberühren zu müssen, weil dadurch die sonst so auffallende Er- 
scheinung erklärlicher wird, dass von 41 Votanten auch nicht ein einziger sich in eine Discussion über jenen 
Hauptfragepunkt eingelassen hat (wenn man nicht E.'s Votum S. [139] dafftr gelten lassen will); ja dass er 
Ton den meisten Votanten gar nicht, und eigentlich nur von zwei Votanten auf ganz unzweideutige Art 
überhaupt erwähnt ist. 

Diese schriftlichen Verhandlungen (vom 22. Julius bis 6. August) sind sehr voluminös , und manche 
einzelne Abstimmungen sehr ausitüulich ; allein sie drehen sich fast ausschliesslich um die F.'schen Frage- 
punkte 2 und 3, welche, besonders der letzte, vielfachen Widerspruch fanden; imgleichen um einige neue 
im Laufe der Verhandlung eingebrachte Vorschläge , namentlich den einer Aufhebung der biriierigen Frei- 
heit, erst später imter doppelter Nachzahlung der Beiträge in die Witwenkasse eintreten zu können, wel- 
cher Vorschlag von einigen Votanten unterstützt, von ändern nachdrücklich zurückgewiesen wurde. Ich 
weide von diesen Abstimmungen nur einige wenige anführen, die mit meinem Oegenstande in näherer 
Verbindiing stehen. 

R. erklärt sich überhaupt allen Veränderungen abgeneigt, will aber den Beschlüssen der Mehriieit 
beitreten. Den P.'schen Art. 8 erwähnt er zwar gar nicht, wohl aber die Principfrage, welche demselben 
tum Orunde liegt, und in Beziehung auf welche er der von P. bei der frühem Abstinunung aufj^tellten 
Behauptung (oben S. [133] Z. [21]) sehr entschieden entgegentritt. 

Er könne, sagt er, sich nicht von der Richtigkeit des Orundsatzes überzeugen, dass bei Erhöhung 
der jetzigen Witwenpension darauf gesehen werden müsse , dass in der Folge nicht etwa die Nothwendig- 
keit entstehe , sie zu vermindern , und den künftigen Witwen weniger zu geben , als die jetzigen erhalten. 
Dieser Grundsatz würde allerdings richtig sein , wenn (wie bei andern Witwenkassen) die Existenz der Kasse 
bloss auf die Beiträge basirt wäre. Allein, da die Professoren-Witwenkasse ein Beneficium sei, die Bei- 
träge £sst f&r Nichts zu rechnen, und die Theilnahme an dem Beneficium f)ir jeden Professor eine Bedin- 
gung seiner Vocation : so gelte , weit natürlicher , der Orundsatz 

Jede Witwe ech&lt die möglichBt hohe Pension, die der Fond« bei ihrem Lebzeiten verttattet. 

20 



138 VA(mLA88. 

Bei dietem Onnidsatte habe memand Unache rieh zu beklagen, der Fonds steige, oder falle. Sage man, 
et ktane sein, dass die kfinftigen Witwen weniger erhalten, wenn der Fonds sinkt, so antworte er (R), 
es könne sein, dass die jetzigen Witwen weniger erhalten, als die kfinftigen, wenn der Fonds steige, wel- 
cher letztere Fall wahrscheinlicher sei als der erstere. 

R. stellt demnach, wie man sieht, der P/schen Behauptung, die kfinftige T^twe werde l&dirt, wenn 
rie weniger erhalte als eine firOhere erhalten hat, implicite die Ennderung entgegen, dass man dann, genaa 
mit demselben Recht, behaupten könne, die jetzige Witwe werde lAdirt, wenn rie weniger erhalte als eine 
künftige. 

ScH« wiederiiolt den eben angef&hrten Grundsatz ('Jede Witwe erhält die möglichst u.s.w.') mit dem 
Znsatz : <H. H. R. , deucht mich , hat diesen Satz zur Evidenz gebracht, darauf ich mich beriehe. Auch liegt 
derselbe tri Nr, % des P, sehen Vorschlags stun OrutM, Nachdem Sch. auch noch den Umstand henrorgeho- 
ben hat, dass die- Kasse ein Beneficium, eine pars salarii, und die Theilnahme daran mit einer Art von, wie- 
wohl gelindem und gerechtem, Zwange verbunden sei, fthrt er fort: 

Aus diesem Unterschied ergibt rieh unter andern, dass der Satz *wir rind den gegenwärtigen Wit- 
wen so viel schuldig, wie den kfinftigen und umgekehrt' wenn das so niel das numeräre aus- 
drficken soll, hier nicht anwendbar seL Die Kasse hat etwas actienmftssiges , das, unter der 
Gewalt der Conjunotnren stehend, steigt und ftllt. 

Erhöhung der Witwenpenrionen : die Maasse derselben {so wie auch der VemUndenrnp) hat Hr. 
C. R. P. durch eine unwandelbare Regel bestimmt. 
Ich habe diese zwei Stellen wörtlich abgeschrieben, weil daraus, und namentlich aus den beiden von mir 
doppelt unterstrichenen, ganz unwidersprechlich hervorgeht, dass Sgh. den P.'schen Art. Nro. 3 in dem 
Sinn der ersten Interpretation (oben S. [129]) anfge&sst hat. Mehrere andere Nachvotirende, wie B., H., 
O., R., T,, haben, obwohl ohne Specification der Fragepunkte , dem Scn/schen Votum beigestimmt. An- 
dererseits erkennt man hingegen in dem [auf folgender S.] anzuföhrenden E.'schen Votum die zweite In- 
terpretation , welche auch seit 1837 in der Prasus befolgt ist, und ich meine daher, dass die Wortftissung 
der Progresrionsnormirung, die wie die Vergleichtmg zeigt ohne Veränderung in das Rescript vom 20. No* 
vember 17 94 fibergegangen ist, sehr ftlglioh eine unklare genannt werden kann. 

Ausser Sch. hat nur noch M. unsers Fragepunkts (P.'s 3) ausdrficklioh und unzweideutig erwähnt: 
er sagt aber nichts weiter darfiber, als dass das von P. angerathene Festseteen einer Norm ftr das kfinf- 
tige Steigen der Pension vorzfiglich wichtig scheine. Man könnte sagen, dass genau genommen hierin nur 
eine Billigung des Zwecks aber noch nicht bestimmt die Billigung des von P. proponirten Mittels liege, 
eben so wenig wie eine Erklärung, in welchem Sinn M. letzteres aufgefasst habe. Ohne indess darauf ein 
Gewicht zu legen , will ich nicht unbemerkt lassen, dass Msuibbs in seinem bekannten Werke fiber die Ver- 
fassung und Verwaltung deutscher Univerritäten S. 95 die bestehende Progresrionsnormirung auch eben so 
wie BsAxnxB (S. oben S. [129]) mit den Worten anftlhrt: so lanffe die Zahl der Witwen nicht fiber I5 
hinausgehe. 

Von P. selbst liegt fiber unsem Fragepimkt nichts weiter vor, als der oben S. [1 36] mitgetheilte Art. 3. 
Darf ich noch einen Augenblick bei der Frage verweilen, in welchem Sinn denn P. selbst ihn verstanden 
hat, so mache ich darauf aufmerksam, dass die Worte 'Es ist klar dass man diess thun kann' nur auf 
zwei Arten ausgelegt werden können; nemlich entweder ist P.'s Meinung gewesen, eine solche Erhöhung 
solle nur so^ «lange gfiltig sein, als die Zahl 15 noch nicht fibersohritten sei, nach dem Ueber- 
schreiten aber entweder wieder cessiren oder auf angemessene Weise modificirt werden 
oder P. hat die Ueberschreitung der Zahl 15 fOr unmöglich, wenigstens für so sehr unwahrscheinlich ge- 
halten, dass die Berücksichtigung eines solchen Falles ganz unnöthig sei. 



ANWENDUKG DER WAHBSCHEINUGHKEITSBECHNUNG ETC. 139 

Eine subtile Wortkritik könnte vielleicht Gründe auffinden, die ftkr die erste Hypothese sprechen 
würden, wobei ich mich aber um so weniger aufhalten will, da ich selbst diese Hjrpothese fflr zulissig 
nicht halten kann, und swar hauptsAchlich aus dem Grunde, weil sonst P. mit seinen eignen Grundsfttsen 
(oben S. [183]) in Widerspruch stehen wflrde. Ich glaube vielmehr, dass er, verleitet durch das KaiTTSR'sche 
Outachten, — oder, wie man auch sagen kann, und wie ich bald umstftndlich seigen werde, durch seine 
unrichtige Auffassung dieses Gutachtens — die Zahl von 15 Pensionen wie. eine unübersteigllche oder fast 
UDÜbersteigliche Schranke betrachtet habe, unter deren Sohutx er seinen Plan mit voller Sicherheit ma- 
chen könne. 

Einen Abglanz ähnlichen Vertrauens finde ich in dem Votum E.'s wieder, welches sich dadurch aus- 
seichnet, dass es das einiige ist, welches der &talistischen Zahl 15 erwähnt, und dessen wesentlicher In- 
halt, so weit er hieher gehört, in folgendem besteht. 

Die beiden F.'schen Fragepunkte i und 2, sagt £., müssten ihre Entscheidung allein durch den 
wirklichen Fonds und dessen Ertrag verglichen mit den erprobten von H. P. sehr einleuchtend vorgelegten 
Grundsätzen erhalten. Es könne sein, dass die verlängerte Dauer der Waisenpensionen verursache, dass 
die höchste Zahl der Witwen von 16 überstiegen werden müsse, was doch als mit der Sicherheit der Kasse 
unverträglich schlechterdings nie geschehen dürfe. Er halte daher für rathsam, die Verlängerung der Wai- 
senpensionen nur mit der ausdrücklichen Beschränkung lu bewilligen, so ku^ge die Anaahl der Petuumen 
dadurch niehi Über 15 geeteiffert werde. Diese Einschränkung scheine desto nothwendiger, weil die Berech- 
nung der Verhältnisse der Kinder keine so gewieee Erfahrung für sich habe, wie die beobachtete Propor- 
tion der Witwen. Ich verstehe dies so : E. , dessen Auffassung des P.'schen Plans offenbar der Scn.'schen 
gerade entgegengesetzt ist» halte zwar nach der KxiTTSR-P.'schen Theorie für gewiss, dass die Anzahl der 
Witwen nie über die berechnete Zahl (also 13) gehen könne; es sei aber nicht eben so gewiss, dass nicht 
mehr als 2 Waisenpensionen dazu kommen könnten, und für den Fall, dass diess doch geschehe, und die 
Gesammtzahl der Pensionen dadurch über 1 5 getrieben werden würde , müsste die Beschränkung der Wai- 
senpenstonen vorbehalten werden. 

Aehnliche Besorgnisse, dass die Anzahl der Waisenpensionen zu geringe angeschlagen sein möchte, 
waren auch von einigen andern Votanten geäussert; indessen ist weder denselben in dem Finalbeschlusse 
Folge gegeben, noch haben sie sich durch die Erfahrung bisher bestätigt. In der That haben von Errich- 
tung der Witwenkasse bis jetzt noch niemals mehr als zwei Waisenpensionen gleichzeitig bestanden, wobei 
ich jedoch nicht unbemerkt lassen will, dass während eines kurzen Theils des Jahrs 1776 die Anzahl auf 
3 gestiegen sein würde, wenn die Erstreokung der Waisenpensionen bis zum vollendeten 20*^° Jahre schon 
damals Statt gefunden hätte. 

Ganz anders aber verhält es sich mit der WitwewuM. Die vermeinte Gewissheit, dass diese nicht 
über 13 steigen könne, ist durch die neuem EriÜEdirungen zerstört, indem sie schon einmal auf 22 gestie- 
gen ist , und sogar der Durchschnittswerth während der letzten 8 Jahre etwas über 1 9 betragen hat. Schon 
lange vor 1794 war die Anzahl der Witwen (nemlich gleichfalls, ohne die Waisenpensionen mitzuzählen), 
einmal auf 14 gestiegen, und hatte während eines fün^ährigen Zeitraums (1774 — 177 9) den Durchschnitts- 
werth 1 3 behauptet. Diese Thatsache , die wohl dem Curator aber freilich nicht den votirenden Professo- 
ren bekannt sein konnte, hätte, aus dem allein zulässigen oben S. [l3o] Z. [4] angedeuteten Gesichts- 
punkte betrachtet, schon damals zum Beweise der Unrichtigkeit der P.-E.'schen Voraussetzung dienen können. 

Da nun aber die Annahme der Zahl 1 3 für die höchste Witwenzahl auf dem KxiTTBB'schen Gutach- 
ten beruhet , in welchem die Hälfte der Zahl der stehenden Ehen als maassgebend für das Maximum der 
Witwenzahl aufj^estellt ist, so scheint der Schluss natürlich, dass Fehler in demselben sein möchten, und 
ich bin demnach an dem Punkt angelangt, wo ich dieses Gutachten selbst der Kritik unterwerfen muss. 



140 NACHLASS. 

Um diese vollkommen ventftndlich lu machen, bin ich genöthigt, einige Entwicklungen vorautnuchicken, 
in welchen mir zu folgen mancher vielleicht beschwerlich finden könnte , wenn von vorneherein noch nicht 
abzusehen ut, auf was sie hinauslaufen werden. Es wird deshalb, deucht mir, angemessen sein, wenn ich 
die vornehmsten Ausstellungen, welche das KaiTTBB'sche Gutachten und die daraus gezogenen Folgerun- 
gen treffen, gl^ch hier an die Spitze stelle. 

i) Die Anwendbarkeit des Verhältnisses von i TVitwe gegen 2 stehende Ehen, auf die hiesige Pro- 
fessoren-Witwenkasse , ist nicht sicher; es ist vielmehr, wie schon oben S.[l83] Z. [6] bemerkt 
ist, wahrscheinlich, dass nach den Verhältnissen dieser Kasse etwas mehr an Witwen gerechnet 
werden müsse. 

2) Ejuttbb's Behauptung [Z. lo des Abdrucks] ist, auch wenn sie unabhängig von diesem vor- 
ausgesetzten Verhältnisse 2 : i vorgetragen wird , nemlich man könne annehmen, dass ein Durch- 
schnitt von 10 Jahren immer schon hinreiche, das wahre für die Umstände der Kasse gültige 
Verhältniss sehr nahe anzugeben, ist durchaus falsch, und die Unrichtigkeit dieses Satzes ist 
auch ohne Berufung auf Erfahrungen, schon aus theoretischen Gründen nachzuweisen. 

3) Weit wichtiger als diese beiden Ausstellungen ist der Umstand, dass P. das KjuPTBs'sche Gutach- 
ten falsch ausgelegt hat, indem das, was P. unter Maximum der Witwenzahl verstand, und das, 
was man mit diesem Worte bezeichnet, wenn ein bestimmtes Normalveriiältniss zwischen ste- 
henden Ehen imd Witwen aufgestellt wird, und was auch in Kuttsb's Gutachten eigentlich 
gemeint ist, 

zwei iehr verschiedene Dinge eind» 
Hierzu kommt noch der eben so wichtige Umstand 

4) dass die numerischen Resultate, die für eine Gesellschaft von einem gewissen sich immer nahe 
gleich bleibenden Umfange zulässig waren, wesentlich abgeändert werden müssen, wenn dieser 
Umfang sich bedeutend erweitert, wie diess schon oben ausführlich abgehandelt ist. 



Ich fange an mit der (fingirten) Aonahme, dass durch das Zusammentreten einer sehr grossen An- 
zahl von Ehepaaren aus den verschiedensten Altersstufen eine Gesellschaft gebildet worden sei. Alljähr- 
lich wird eine Anzahl von Ehen durch den Tod des einen oder des andern Theils getrennt werden : die- 
ser Abgang werde dadurch ersetzt, dass jährlich eine bestimmte Zahl neuer Ehepaare hinzutritt, so viele, 
dass im Ganzen der Bestand der Gesellschaft ungeändert bleibe. Von den im Laufe eines Jahres durch 
den Tod des Ehemannes entstehenden Witwen wird, da die Gesellschaft als sehr gross vorausgesetzt wird, 
ein verhältnissmässiger sehr kleiner Theil schon während desselben Jahres wieder absterben , wodurch mit- 
hin die Anzahl der apa Ende des Jahres wirklich vorhandenen Witwen etwas modificirt wird. Ungefthr 
eben so viele neue Witwen werden am Ende des zweiten Jahres hinzugekommen, dagegen aber von den 
aus dem ersten Jahre herrührenden Witwen ein Theil schon wieder verstorben sein , so dass am Ende des 
zweiten Jahres die Anzahl der Witwen nicht ganz doppelt so gross sein wird, als am Ende des ersten. 
Am Ende des dritten Jahres sind wieder ungeföhr eben so viele neue Witwen hinzugekommen, dagegen 
wird der Bestand, welcher zu Anfang des dritten Jahres vorhanden war, einen fast doppelt so grossen 
Abgang erlitten haben , als die Bilanz des zweiten Jahres ergeben hatte. Man sieht, dass auf diese Weise 
die Zahl der Witwen zwar fortwährend wächst, aber immer langsamer, bis sie zuletzt so gross geworden 
ist, dass der einjährige Abgang durch den Tod der Witwen, dem Zugang durch Absterben von Ehemän- 
nern aus der Gesellschaft , das Gleichgewicht hält : dann wird also der Beharrungszustand eintreten, indem 
die Witwenzahl ihr Maximum erreicht hat, und von da an ungeändert bleibt. 

Fügen wir den obigen Voraussetzungen noch die bei, dass sowohl die Anzahl der in jedem Jahre 



ANWENDUNG DER WAHBSCHEINLICHKEIT8RECHNÜN0 ETC. 141 

neohinzukommenden Ehepaare, als das Verhältniss , nach welchem in einer solchen Gruppe die Terschie- 
denen Altersstufen gemischt sind, Jahr für Jahr sich gleich bleibt, imgleichen, dass das Absterben genau 
mit den Mortalitfttstafeln gleichen Schritt hftlt, so wird jener Beharrungszustand seinen Namen nach aller 
Strenge verdienen ; sowohl die Anzahl der Ehepaare in der Gesellschaft wird ganz ungeändert bleiben, 
als die Anzahl der Witwen , nachdem diese ihren höchsten Werth einmal erreicht hat. Es ist femer klar, 
dass, wenn man sich eine zweite fthnliche Gesellschaft vorstellt, in welcher die neubeitretenden genau in 
demselben Verhältnisse gemischt sind, wie in der ersten, welche aber doppelt so viele Ehepaare umfaast, 
die höchste Witwenzahl auch doppelt so gross sein werde; oder, um es allgemein auszudrücken, das Ver- 
h&ltniss der stehenden Ehen zu der Zahl der Witwen, nach eingetretenem Behammgszustande, wird nicht 
von dem Umfange der Association (insofern er nur als constant bleibend betrachtet wird), sondern bloss 
von dem Verhältnisse abhängen, nacH welchem die verschiedenen Altersstufen der neu beitretenden ge- 
mischt sind, und, wenh letzteres Verhältniss vollkommen bekannt wäre, würde ersteres sich a priori durch 
Rechnung bestimmen lassen. Eintreten wird übrigens der Beharrungszustand, wo nicht früher, doch je- 
denfalls dann , wenn die Stammtheilnehmer alle ausgestorben sind, was, wenn die extremsten Fälle berück- 
sichtigt werden sollen, möglicherweise sich bis so Jahre nach dem ersten Zusammentreten verzögern könnte. 
Indessen kann man annehmen, dass schon nach 45—50 Jahren der wirkliche Zustand dem Beharrungszu- 
stande sehr nahe gekommen sein wird*). Um die Vorstellungen mehr zu fixiren, will ich beispielshalber 
bestimmte Zahlen nennen, welche jedoch, da sie nur zur Erläuterung des sonst abstracten Vortrags die- 
nen sollen, auf vollkommen scharfe Angemessenheit keinen Anspruch machen. Die Gesellschaft bestehe aus 
2600 Ehepaaren, zu denen jährlich 130 neue hinzutreten^ während durchschnittlich eben so viele abgehen, 
und zwar 70 durch den Tod des Mannes, 60 durch den Tod der Frau. Von den während eines Jahres 
entstehenden 7 Witwen stirbt eine schon in demselben Jahre, so dass am Schluss des ersten Jahres 69 
Witwen vorhanden sind. Von diesen sind am Ende des zweiten Jahres weitere 2 verstorben , dagegen wie- 
der 69 neue Witwen hinzugekommen, folglich zusamen 136 vorhanden. Von diesen sterben während des 
dritten Jahrs 4, und indem die neu hinzugekommenen wieder 69 betragen, ist die Gesammtzahl am Schluss 
des dritten Jahres 301. Auf diese Weise immer langsamer fortschreitend mag die Zahl der Witwen nach 
10 Jahren e^oo, nach 20 Jahren looo, nach 30 Jahren 1200, nach 40 Jahren 1280, nach 46 Jahren 1294, 
nach 50 Jahren 129S betragen, zu welchen später noch ein paar hinzukommen, und das wirkliche Maxi- 
mum 1 800 hervorbringen. Hier hätten wir demnach das Verhältniss der stehenden Ehen zu der höchsten 
Witwenzahl wie zwei zu eins. 

In einer wirklichen Gesellschaft, wo die geforderten Bedingungen nicht in ihrer scharfen Strenge, 
sondern nur durchschnittlich gelten, wird es natürlich nicht so regelmässig hergehen können, wie in der 
fingirten. In jener werden jährlich nicht genau 130 neue Ehepaare beitreten, sondern in einem Jahre et- 
was mehir, in einem andern etwas weniger. Eben so werden die verschiedenen Altersstufen der neu bei- 
tretenden in einem Jahre etwas anders gemischt sein , als in einem andern , oder als in der idealen Gesell- 
Bchaft angenommen war , zum Beispiel , das Durchschnittsalter der Männer, oder das der Frauen, oder der 
durchschnittliche Unterschied beider wird einmal etwas grösser , ein andermal etwas kleiner sein. Endlich 
wird auch von einer gegebenen Personenmenge das Absterben nicht genau nach den Mortalitätstafeln er- 
folgen, sondenm in einem Jahre werden ^ese etwas zu wenig, in einem andern etwas zu viel angeben. 
Der Erfolg von allem dem wird sein, dass in der wirklichen Gesellschaft zu einer Zeit die Zahl der Wit- 
wen etwas grösser sein wird, als in der idealen, zu einer andern etwas kleiner. Ein eigentlicher Behar- 
ningszufttand im strengsten Sinn wird in jener niemals eintreten, sondern ein Fluctuiren um einen Mittel- 



*) Keittxb begnügt sich, in seinem Gutachten, schon mit 40 Jahren. 

21 



142 NAGHLAS8. 

zustand her. Zu der Zeit also» wo die Witwenzahl in der idealen Oesellschaft das Maximum 1300 ganz 
oder fast ganz erreicht haben wärde, wird in der wirklichen ein Auf- und Abschwanken über und unter 
diese Zahl hinaus, Statt finden. Es werden zu einer Zeit i35o; auch wohl 1360, da sein können, zu einer 
andern 1250, auch wohl nur 1240. Allein ganz unmöglich ist es, hier scharfe Grenzen zu setzen, und 
▼on irgend einer Zahl, man wähle welche man wolle, mit Bestimmtheit zu behaupten , dass diese zwar noch 
erreicht , die nftchst höhere aber nicht mehr erreicht werden könne. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, in 
ihrem heutigen Zustande , lehrt solche Schwankungen^ auf ein bestimmtes Maass zurückführen, welches aber 
nicht Ton dem Extrem hergenommen wird , sondern yon der Berücksichtigung aller Zwischenstufen und ih- 
rer relativen Wahrscheinlichkeit. Natürlich ist hier durchaus nicht der Ort, diese Theorie weiter zu ver- 
folgen ; auch hängt ihre Anwendbarkeit auf concreto Fälle davon ab, dass man entweder eine mathematisch 
präcise Kenntniss von den bedingenden Elementen habe (wie bei Glücksspielen z. B, gewöhnlich der Fall 
ist), oder dass ein zureichender Reichthum von Erfahrungen zu Gebote stehe. Beides trifit aber in Bezie> 
hung auf solche Gegenstände , wie Witwenkassen sind , nicht zu , so dass a priori für eine solche Bemes- 
sung nichts geschehen kann. Aber das lehrt doch die Theorie: aus den Schwankungen, die in einem Falle 
vorgekommen sind, auf diejenigen zu schliessen, die mit gleichem Recht in einem andern qualitativ glei- 
chen aber quantitativ verschiedenen Falle erwartet werden müssen. Nach ihrer absoluten Grösse werden 
in einer grossen Gesellschaft die Schwankungen grösser sein , als in einer kleinen ; nach der relativen aber 
wird es sich umgekehrt verhalten. Wenn also z. B. eine Gesellschaft von obigem Zuschnitt zu einer Zeit 
bis 60 Witwen mehr, zu einer andern bis 60 weniger Witwen gezählt hätte, als die Durchschnittsgrösse 
1300, so jedoch, dass die Zahl 1360, oder eine ihr nahe kommende, mit einiger Andauer vorgekommen 
wäre, und eben so die Zahl 1240 oder eine ihr nahe liegende, so würde man schliessen dürfen, dass in 
einer andern Gesellschaft, die bei sonst ähnlichen Verhältnissen durchschnittlich nur 26 Ehepaare zählt, die 
Normalwitwenzahl eben so leicht um 6 vermehrt oder vermindert erscheinen könne. Oder, etwas anders 
ausgedrückt: Eben so gut, wie in der grossen Gesellschaft zwischen 13€0 unn 1240, wird die Witwenzahl 
in der kleinen zwischen 7 und 19 auf und absehwanken können; das absolute Schwanken ist, wenn der 
Umfang der grossen Gesellschaft loo mal grösser ist wie der Umfang der kleinen, in der grossen zehnmal 
so gross wie in der kleinen ; mit dem relativen Schwanken , welches in der grossen Gesellschaft (nach obi- 
gen Zahlen) 4-rV Procent betragen würde und bei der kleinen 46-,^ Procent, verhält es sich gerade um- 
gekehrt. 

So viel von der Sache. Was den Namen betrifft, so habe ich, eben, fQr die Zahlen der Beispiele 
1300 und 13, anstatt der weitschweifigen Umschreibung 'Durchschnittszahl der Witwen nach eingetretenem 
Beharrungszustande' die Benennung ' Normalwitwenzahl' gebraucht, welche man leicht als nicht unpassend 
gelten lassen wird: aber üblich ist sie meines Wissens nicht. Es ist vielmehr ganz gewöhnlich, jenen Be- 
griff kurzweg mit höchster Wittcenzahl zu bezeichnen , wobei von den regellosen Fluctuationen ganz abstra- 
hirt, und nur der Beharrungszustand im Allgemeinen im Gegensatz zu der vorhergegangenen Zeit berück- 
sichtigt wird» Für einen einigermaassen Sachverständigen wird hiebei ein Misverständniss nicht leicht mög- 
lich sein ; jedenfalls aber ist so viel gewiss , und aus dem Gutachten , wenn man es nur mit einiger Auf- 
merksamkeit lieset, sogleich zu erkennen, dass ELbitteb in demselben die höchste Witwenzahl in diesem Sinn 
und nur in diesem Sinn verstanden hat. P. hingegen dachte sich dabei etwas ganz anderes , nemlich die 
Zahl, über welche die Anzahl der Witwen nach höchster Wahrscheinlichkeit niemals sollte hinausgehen 
können. Beide Zahlen vermengen , ist ungefähr dasselbe , als wenn man den Durchschnittspreis eines Han- 
delsartikels mit dem höchsten Preise verwechselte. Es ist hiedurch die oben S. [140] unter 3 gemachte 
Ausstellung hinreichend bewiesen. Was aber eine Frage nach der höchsten Witwenzahl im P.'schen Sinne 
des Worts betrifft , so ist sie eine solche , auf welche eine bestimmte Antwort sich gar nicht geben lässt. 



ANWEia>UyO DER WAHBSGH£>NLICHKEIT8RECHNUN0 ETC. 143 

Aus den firflhem Erfahrungen jedoch [S. 139 unten] hätte man, unter Berücksichtigung des Umstandes, dass 
in den ersten Decennien die Gesellschalt einen viel kleinem Umfang hatte als 17 04, und dass jene Erfah- 
rungen einer Zeit angehörten , wo der entsprechende Beharrungszustand als noch nicht gans erreicht ange- 
sehen werden muss , schliessen können , dass man forUin eine die Durchschnittszahl 1 3 weit Qherschreitende 
Witwenzahl für sehr wohl möglich halten mOsse. (Bass bei allem, was ich hier gesagt habe, die nach 
KaiTTini's Gutachten noch erforderliche Yergrösserung um \, wegen der Waisenpensionen, noch nicht mit 
einbegriffen ist, wird man nicht übersehen dürfen). 

Die £.]UTTXB'sche S. [140] Nr. 2 gerügte Behi^uptung ist zwar durch die Erfahrung genugsam wi- 
derlegt: es ist jedoch nicht überflüssig, zu der eigentlichen etwas versteckt liegenden Quelle des Irrthums 
hinaufznsteigen. Bei aller Anwendung des Calbüla sowohl auf Gegenstände der Natur als auf sociale Ver- 
hältnisse, pflegen die Erfahrungsdata selten in der reinen Gestalt, wie man sie eigentlich braucht, aufzu- 
treten, sondern fast immer mehr oder weniger behaftet mit Störungen oder Schwankungen, die in ihrem 
^^'echsel keiner Kegel gehorchen, und man sucht dann, wie jedermann weiss, den daraus entstehenden 
Nachtheil wenn auch nicht au&uheben, doch so viel thunlich zu vermindern, dass man aus vielen einzel- 
nen Resultaten das Mittel nimmt. Man rechnet darauf, dass bei einer solchen Benutzung einer grossen 
Zahl von Fällen die zuf^ligen Schwankungen einander grösstentheils compensiren, und legt dann dem Mit- 
telwerthe eine desto grössere Zuverlässigkeit bei, je mehr partielle Resultate zugezogen sind. Dieses ist auch 
im allgemeinen vollkommen richtig, imd durch consequente weitere Entwicklung und umsichtige Ausbeutung 
dieses Princips sind besonders in den Naturwissenschaften nicht selten die belohnendsten Früchte, selbst 
glänzende Resultate , gewonnen. Allein die Sicherheit des Grundprincips beruhet auf einer wesentlichen Be- 
dingung, die, häufig genug, auch von Gelehrten vom Fach ausser Acht gelassen wird, und die darin be- 
steht, dass die an den einzelnen Beobachtungen oder Erfahrungen haftenden regellosen Störungen oder 
Scbwankimgen von einander ganz unabhängig sein müssen. Das Urtheil , ob eine solche Unabhängigkeit 
vorhanden sei oder nicht, kann zuweilen sehr schwierig und ohne tiefes Eindringen in das Sachverhältniss un- 
möglich sein, und wenn darüber Zweifel zurückbleiben, so wird auch das den Endresultaten beizulegende 
Gewicht ein precäres sein. 

W'äre z. B. die Rede von einem meteorologischen Elemente etwa von der Menge des an einem be- 
stimmten Orte jährlich iSallenden Regens, so ist diese bekanntlich in verschiedenen Jahren sehr ungleich; 
der durch die allgemeinen örtlichen Verhältnisse des Platzes bedingte Normalwerthwird aber an einem Durch- 
schnitt von zehn Jahren mit viel grösserer Sicheriieit erkannt, als wenn man sich bloss an ein einzelnes Jahr 
halten wollte. Der Grund ist aber der, weil zwischen den in den einzelnen Jahren vorkommenden Abwei- 
chungen %'on dem Normabverthe kein besonderer Zusammenhang ist, vielmehr, wie auch die Erfahrung be- 
stätigt , eine grosse Minus- Abweichung eben' so leicht in einem Jahre vorkommen kann , welches unmittelbar 
auf ein Jahr mit grosser Plus- Abweichung folgt, wie in jedem andern. 

Allein jene wesentliche Bedingung fehlt bei den gezählten Witwen aus auf einander folgenden Jahren, 
eben weil der Uebergang von einer Zahl zu einer bedeutend verschiedenen nur allmählich geschehen kann. 
Wenn z. B. in der oben zur Erläuterung angeführten grossem Gesellschaft, wo der durchschnittliche jährliche 
Zugang zu 69 angenommen ist, und eben so gross, nach erreichtem Beharrungszustande, der jährliche Ab- 
gang, der Bestand einmal auf i240 heruntergekommen ist, oder dermalen die negative Abweichung — so 
Statt tindet, so ist die grösste an Unmöglichkeit grenzende UnWahrscheinlichkeit da, dass im Jahre darauf 
eine positive Abweichung vom Normalwerthe Statt haben werde. Bei einer kleinen Gesellschaft wie die 
unsrige sind sehr oft die gezählten Witwen des folgenden Jahres noch ganz die nämlichen wie im vorangegan- 
genen, und selbst nach lo Jahren mrd in der Regel nur der kleinere Theil erneuert sein. Eine Durch- 
schnittszahl aus 1 auf einander folgenden Jahren ist daher noch kein Mittel aus i o von einander ganz unab- 



144 NACHLASS. 

hftngigen Erfahrungen , und* kann über die eigentliche Normalzahl noch keinen viel sicherem Aufschluss ge- 
ben, als die Erfahrung von einem einzelnen Jahre. Um das yergrösserte einem Durchschnittswerthe beizule- 
gende Gewicht schätzen zu können , kommt es .wesentlich darauf an , von wie vielen von einander ganz unab- 
hängigen Gruppen die Erfahrungen hergenommen sind. Da nun die durchschnittliche Dauer eines Witwen- 
thums gegen 20 Jahre beträgt, so würde bei empi^scher Bestimmung der Normalzahl selbst ein vierzigjähri- 
ger Durchschnitt noch gar keine sehr sichere Bürgschaft für Elimination der Schwankungen gewähren. Dass 
vierzig Jahre nach einander die Witwenzahl beständig unter dem den allgemeinen Verhältnissen der Gesell- 
schaft entsprechenden Normalwerthe bleibe , ist im Grunde eben so wenig fdr eine ganz ausserordentliche 
Erscheinung anzusehen , als wenn ein Pharaospieler zweimal nach einander gewinnt, und die Lehre, welche 
man hieraus ziehen muss, ist, dass von der andern Seite in jener Beziehung auch 40 ununterbrochen ma- 
gere Jahre eben so leicht möglich sind, wie 40 ununterbrochen fette. *^ 

Das Zahlenverhältniss zwischen stehenden Ehen und Mltwen. welches für die Professsoren-Witwen- 
kasse in Kbfttbb's Outachten wie 3 : l vorausgesetzt ist, wird ftlr Gesellschaften, welche verschiedenen Le- 
benskreisen angehören, ein sehr verschiedenes sein können. Vergleichen wir z. B. eine Witwenkassenge- 
sellschafb wie die unsrige mit der Gesammtheit aller stehenden Ehen und Witwen in einem ganzen Lande 
zunächst nur in Beziehung auf den allgemeinen [S. !40 oben] angegebenen Bestimmungsgrund, so sieht 
man leicht, dass in jener verhältnissmassig mehr Witwen gegen eine bestimmte Zahl von Ehen gerechnet 
werden müssen als in dieser. Bei der grossen Masse der Landeseinwohner fallen durchschnittliL'h die Ver- 
heirathungen in ein früheres Alter, und der Unterschied des Alters von Mann und Frau ist nach dem 
Durchschnittswerthe geringer y als bei Universitätsprofessoren*}. Dazu kommt, dass in unsere Witwenkasse 
manche Mitglieder 'fohon verheirathet eintreten, während in die Listen von einem ganzen Staate die sämmt- 
lichen Ehepaare gleich von ihrer Verheirathung an eingerechnet werden. Allein die Wirkung dieser bei- 
den Ursachen ist nur eine geringe im Vergleich zu dem Einfluss eines andern Umstandes, welcher oben 
S. [140 ff.] bei der abstracten Behandlung der Sache noch bei Seite gesetzt wurde, nemlich, dass Abgang 
der Witwen nicht allein durch den Tod \ sondern auch durch eine Wiederverheirathung erfolgen kann. In 
einer Witwenkasse , wo eine sich wieder verheirathende Witwe allen weitem Anspruch auf die Pension ver- 
liert, pflegen Wiederverheirathungen der Witwen selten vorzukommen, und namentlich zählt unsre Wit- 
wenkasse in dem ganzen Zeiträume ihres Bestehens nur einen einzigen Fall der Art; für ein ganzes Land 
hingegen nimmt man der Erfahrung zufolge an, dass aus dem ganzen Bestand der Witwen etwa der 
dreissigste Theil alljährlich durch Wiederverheirathung ausscheidet, und hieduroh wird das Verhältniss der 
stehenden Ehen zu den Witwen wesentlich abgeändert. Endlich hat auch in einem Lande, dessen Bevöl- 
kerung schon seit längerer Zeit im Zunehmen begriffen gewesen ist, diese Zunahme einen wesentlichen Ein- 
fluss auf das Verhältniss der eoexistirenden Ehen und Witwen, indem sich dann mehr stehende Ehen ge- 
gen Eine Witwe vorfinden werden, als ohne jenen Umstand da sein würden. 

Als Erfahrungssatz wird gewöhnlich aufgestellt, dass fär ein ganzes Land vier stehende Ehen ge- 
gen eine Witwe zu rechnen seien. Die von Qubtelet für Belgien angegebenen Zahlen stimmen mit die- 
sem Verhältniss fast genau Überein. Für das ganze Königreich Hannover ergeben die Zählungen von 
1833—1842 eine etwas kleinere Zahl, nemlich 3,74 stehende Ehen gegen eine Witwe; unterscheidet man 
aber die einzelnen Landestheile , so zeigen sich sehr grosse Ungleichheiten , es sind z. B. 



*) Aus unsrer Witwenkasse liegen mir die Data für das Alter nur von 62 Ehepaaren vor, wonach 
der durchschnittliche Unterschied 9 Jahre beträgt. Bei der Gesammtheit der Einwohner eines ganzen Lan- 
des wird man schwerlich auch nur einen halbsogrossen durchschnittlichen Unterschied annehmen können. 



ANWENDUNG DER WAHBSCHEINIJCHXEITSBECHNUNG ETC. 145 

in der Landdiostei Stade 4,2 t 

in der Landdrostei Aurioh },3S 

in der Berghauptmanntohaft Clausthal .... 2,56 
stehende Ehen ^gen eine Witwe. 

In der zweiten H&lfte des vorigen Jahrhunderts hat man manche Witwenkassen zu Ghrunde gehen 
sehen» weil sie auf die (ohigen Bemerkungen zufolge ganz falsche) Voraussetzungen gegründet waren*), 
dass das Verhftltniss der stehenden Ehen zu den Witwen, welches sich aus ZAhlungen für ein ganzes Land 
ergibt, auch für Witwenkassen ab maassgebend betrachtet werden dürfe. KuTTan war einer Ton denen, 
welche nicht ermüdeten, solche falsche Orundsätze zu bekämpfen. So oft er aber in seinen Schriften mit 
positiven eignen Angaben auftritt, heisst es entweder nur, dass man tum aUerwenigsten Eine Witwe auf 
zwei Ehen rechnen müsse (z. B. Kuttsb's Vorstellung des bisherigen Erfolgs u.s.w. S. 22); oder er ver- 
wählt aich ausdrücklich (Prüfung eines Aufsatzes in der Berliner Monatsschrift S. 2e), dass das Veihtit- 
oiss 2 : t nur alsdann angenommen werden dürfe , wenn der sechste Theil aller Witwen sich wieder ver^ 
beiiathe, und ihre Pensionen damit erlöschen; oder er gibt Zahlen an, die eben bedeutend mehr Witwen 
als die halbe Zahl der stehenden Ehen erbringen^ z, B. 

in der eben angeführten Schrift S. 27 ist eine Rechnung geführt, wonach g^gen 3203 Ehepaare 
1931 Witwen kommen, 

Prüfung einer kleinen Schrift u. s. w. S. 17, wo auf loo Ehem&nner so Witwen gerechnet werden. 
Eben dieses Verhftltniss ist aufgestellt in 

Sammlung dreier AufUitze über die Calenbergische, Preussische und Dünisehe Witwenversorgungs- 
anstalten S. 30—35. ' r- 

Sammmlung wichtiger Erfahrungen u.s.w. S. 35, wo Kbittbb auf 460 Ehem&nner 290 Witwen 
rechnet. 
Uebrigens hat Kbittbb seine Angaben niigends auf wirkliche directe Erfahrungen gestützt (derglei- 
chen von genügender Art auch schwerlich aus Deutschland damals zu beschaffen waren), sondern auf die 
Mortalitfttstafeln und auf gewirae Voraussetzungen rücksichtlich der durchschnittlichen Altersverfaftltnisse der 
in die GeseUschaft eintretenden, Voraussetzungen, die jeden&lls nicht ungünstiger gewfthlt sind, als sie 
lieh bei unserer Professoren-Witwenkasse wirklich finden« 

Wirkliche Erfahrungen aus einem ausgedehnten und mit unsrer Witwenkasse wohl ungefiüir auf 
gleiche Linie zu stellenden Kreiw finde ich in Paics Observstions on reversionary payments, S. 70. 200. 27 6 
(nach der dritten Ausgabe dieses Werks von 177 8), wo für die Oesammtheit der Pfarrer und Professoren 
in Schottland nach I7j&hrigem Durchschnitt die Zahl der stehenden Ehen zu 667 , und die der Witwen 
ZD sae angegeben wird, also sehr nahe in dem Verhftltniss von 7 zu 4. Es wird zugleich bemerkt, dass 
jene Standesklassen dort durchschnittlich mit dem Alter von 27 Jahren in den Qenuss des Einkommens 
von ihren Stellen kamen, abo gewiss früher, als durchschnittlich bei den Professoren deutscher Universi- 
tftten angenommen werden darf; auch waren bei jenen Witwen die Wiedervwheirathungen nicht so selten, 
wie bei den Witwen Oöttingischer Professoren» 

Aus den eignen directen Erfahrungen bei unsrer Oeselisohaft Iftsst sich, auch abgesehen von der 
Kleinheit ihres Umfanges, schon deswegen das für sie gültige Normaiverhftltniss nicht aUeiten, weil die 
Bewegung der Anzahl der stehenden Ehen in denelben eine unbekannte Grösse ist; diese Anzahl ist nem- 
lieh nur für zwei Zeitpunkte , aus der ganzen hundertjfthrigen Dauer der Anstalt , bekannt, für den gegen- 
wftrügen Augenblick, und nach der P.'schen Angabe (oben S. 132) für den Zeitpunkt der Verhandlungen 



*) Manche allerdings auch in Folge von noch grobem Fehlem. 

22 



146 KAGHLASS. 

Yon 17 94. Hätte man, in Beziehung auf sämmüiche 204 der Witwenkaaae bis jetzt beigetretene Professo- 
ren regelmässig aufgezeichnet, ob und während welches Theüs ihrer Genossenschaft sie verehelicht gewe- 
sen sind, zugleich mit der genauen Altersangabe für sie selbst und ihre Frauen, so würde dieses vermit- 
telst der Mortalitätstafeln zu einer sehr genauen indirecten Bestimmung des fraglichen Verhältnisses benutzt 
werden können« Von allem dem ist aber, meines Wissens, Klchts geschehen. Je mehr diess jetzt be- 
klagt werden muss, desto zuversichtlicher darf wohl gehofft werden, dass durch zweckmässige wenigstens 
von jetzt an zu treffende Maassregeln, demjenigen, welcher, wieder nach loo Jahren, begutachten wird, 
eine gleiche Klage erspart sein wird. 

Soviel über das KniTTBB'sahe Outachten, oder vielmehr über denjenigen Theil desselben, der mit 

dem Gegenstände meiner gegenwärtigen Kritik in unmittelbarer Verbindung steht; auf den zweiten Theil 

des Gutachtens, der di6 aus den Wusenpensionen entspringende Vergrdsserung der Ausgaben betrifft, 

werde ich in der zweiten Abtheilung dieser Denkschrift zurückkommen. Dass in jenem ersten Theile des 

KBiTTBB'schen Gutachtens eben nur die Oberfläche des Gegenstandes berührt ist, wird, meine ich, durch 

die vorstehenden Entwicklungen zur Genüge dargethan sein. Betrachtungen oder Vennuthungen darüber, 

wie es zugegangen , dass Kbittbb nur ein so oberflächliches , nicht einmal mit seinen sonstigen Öffentlichen 

Äusserungen übereinstimmendes Gutachten ausgestellt hat, würden mich hier zu weit fähren. Indess möchte 

ich glauben, dass, wenn man, anstatt sich auf die Verlegung von zwei Specialfhigen zu beschränken, 

wovon zudem die eine, in dem Sinn wie der Fragesteller meinte, eine bestimme Antwort gar 

nicht zuliess, den p. Kbittxb, gleichviel in welcher Form, an den weitem Deliberadonen hätte 

Theil nehmen lassen, oder ihn wenigstens über die Angemessenheit des Plans, den man aufsein 

Gutachten gründen zu können vermeinte, unter vollständiger Mittheilung aller Sachverhältnisse 

zu Rathe gezogen hätte, 

die Frage über die Norminmg aller künftigen Pensionserhöhungen nicht so, wie geschehen , über das Knie 

gebrochen sein würde*). Das ist aber unterblieben. Kbxttbb erhielt aus der Witwenkasse ein Honorarium 

von 4 Tbl. 24 mgr. für sein Gutachten, so wie P., in dem Ministerialrescript vom 20. November 17 04, 

eine Belobung seiner wohlausgeärbeiteten Denkschrift. 

In diesem Rescript wurden die gemachten Vorschläge genehmigt, wegen der Erhöhung der Pensio- 
nen jedoch be?orwortet, dass, wenn wider Verhoffen ungUkkUche Vmatände demnächst eine Verminderung 
der Pensionen nothwendig machen sollten, die alsdann vorhandenen Witwen sich solches gefallen lassen 
müssen; auch wurde für die künftig der Progressionsnermirung gemäss vorzunehmenden Pensionserhöhungen 
die jedesmalige Ratification vorbehalten. Es scheint bemerkenswerth, dass hier nur einer solchen Noth- 
wendigkeit gedacht ist, die aus unglücklichen Umständen, nicht aber derjenigen, die mÖgUcherweise aus 
einer zu grossen Witwenzahl hervorgehen könnte. Hat man einen solchen Fall für unmöglich gehalten, 
oder hat man das Regulativ in demselben Sinn wie Sch. aufgefasst, und, dass in einem solchen Fall die 
Pension wieder herabgehen müsse, als sich von selbst verstehend betrachtet? Übrigens wurde bei Ratifi- 
cation der ersten Erhöhung (1709 Mai 23) derselbe Vorbehalt wiederholt, aber nur im Allgemeinen von 
Umständen, die die Wiederverminderung nothwendig machen könnten, gesprochen, ohne die Qualification 
von unglücklichen. In den spätem Ratifloationsfällen ist, so viel ich habe finden können, die Reservation 
nicht wiederholt. 



*) Die Zahl der im Laufe meines obigen Berichts angeführten oder angedeuteten Züge von laxer Ge- 
schäftsbehandlung hätte leicht noch vergrössert werden können , was ich jedoch für so unnöthig wie unerfreu- 
lich gehalten habe. 



ANWENDUNG DER WAHBSOmBNUGHKEITSBECHNUNG ETC. 147 

Es bleibt mir jetst noch übiig, einige zum Theil Bohon oben berOhrte Funkte noch etwas nfther su 
betrachten. 

Man hat oben gesehen, wie über ein Qrundprincip P. und R. ganz entgegengesetste Ansichten ge- 
habt haben (8. [i33] und [i37]. Wenn der letztere S. [13S, oben] von einem Steigen oder Sinken des 
Fonds spricht, so vermuthe ich, dass er eigentlich nur den JErirap des Fonds gemeint hat. Denn das 
scheint mir , insofern die Anstalt ein Beneficium ist , die strenge Pflicht der Verwaltung su sein , daf^ zu 
aorgen, dass die Substanz, aus welcher das Beneficium fliesst, in ihrer Integrit&t erhalten werde. Dies 
kann aber schon wegen der bei Kapitalausleihungen von Zeit zu Zeit bei aller Vorsicht nicht abzuwenden- 
den Verluste mit Sicherheit anders nicht geschehen, als wenn man neben der Erhaltung auch einige all- 
mthlige Vermehrung sich zum Ziele setzt, wobei man denn immer lieber etwas zu viel als zu wenig thun 
mOge. Auf diese Weise wird die Oesammthiü der Percipienten in der spätem Zeit gegen die Oesammt- 
heit der frühem nicht zu kurz kommen, sondern vielmehr eher besser daran sein, was aber die dermali- 
gen Percipienten jenen um so eher gönnen können, da sie selbst die Früchte einer ähi^ichen Enthaltsam- 
keit ihrer Vorg&nger gemessen. Ausserdem erfordert die Billigkeit, dass man sich bestrebe, das unver- 
meidliche und bei einer kleinen Gesellschaft verhflltnissmässig sehr grosse Sohwankeii der Zahl der Perci- 
pienten durch zweckmfissige Maassregeln vo viel thunlich auszugleichen. Dagegen aber scheint mir P.'s 
Forderung, dass niemals ein künftiger einzelner Percipient weniger erhalten solle, als irgend ein früherer 
erhalten hat, bei einer Gesellschaft, die wie Sch. sehr richtig bemerkt hat, immer etwas AotienmAssiges 
behalten wird, im Hechte nicht begründet; jedenfalls aber, und diess ist der Hauptpunkt auf den es an- 
kommt, lässt sich einer solchen Fordemng, wenn sie wie eine unbedingte gelten soll, gar nicht genügen 
ohne die offenbarste Unbilligkeit gegen die dermaligen Percipienten. Es liegt auf der Hand : je grössere 
Sicherheit man verlangt, dass jener Fall niemals eintreten müsse, desto weniger darf man den jetzigen 
Percipienten verabreichen. Man müsste die extremsten Fälle für die mögliche Zahl der Percipienten be- 
rücksichtigen , wovon , wie oben gezeigt ist , P.'s Ansätze weit entfernt waren. Noch viel schlagender tritt 
dies hervor durch die weiter unten S. [l50] aufgestellten Überschläge auf den Grund der erweiterten In- 
teressentenzahl, einer Eventualität, die doch auch schon 1794 unter die Zahl der künftighin nicht bloss 
möglichen, sondern sogar wahrscheinlichen Fälle hätte aufgenommen werden können. ' Denn damals war 
die Zahl aller Univeiütätsprofessoren 45*}, ftmfzig Jahre früher nur 25, und welche Grenzen die fortwäh- 
rend gesteigerten Zeitbedürfhisse finden werden, ist unmöglich im Voraus festzusetzen. 

Der zweite Punkt betrifft die Auslegung der Progressionsnormimng in Sgh/s Sinn. Wenn Sob. sagt, 
[S. 13S. Z. I9j P. habe das Maass der Erhöhung und eben so der Verminderung durch eine unwanddbare 
R^el bestimmt, so setzt diese zwar nothwendig die erste Interpretation S. [i2d] voraus, aber doch räumt 
ScB. damit zu viel ein. Eine unwandelbare Regel ftir die Verminderung fand sich darin nur in so weit, 
als bestimmt wurde, wann Verminderung eintreten müsse (nemlioh, nach jener Auslegung, sofort nachdem 
die Zahl von 1 5 Pensionen überschritten) , aber noch nicht für die OrOsse der Verminderung, Diese Un- 
▼oUständigkeit hätte, deucht mir, nach damaliger Lage der Sache, am füglichsten durch eine Bestimmung 
in folgender Fassung ergänzt werden können: 

So oft das Kapitalvermögen um 5000 Rthl. gestiegen ist, tritt eine Eriiöhung der Pensionen ein, 
welche für jede einzelne Pension lo Rthl. beträgt, wenn und so lange nicht mehr als 15 Pen- 



*) Einer davon, K. , starb noch vor Beendigung der Verhandlungen 17 94 August 21. Jetst (im 
Herbst 1S45) sind 57. Aber die Anzahl der verheiratheten Mitglieder der Witwenkasse ist in viel stär- 
kerm Veihältniss gestiegen von 2S im Jahr 17 94 auf 42 im Jahr 184 5. 



148 XA0HLA6S. 

sionen bestehen, sonst aber die auf die einzelnen Pensionen gleiehmftaeig lu vertheilende Oe- 
sammtsumme von 150 Rthl. Dasselbe gilt von jeder folgenden Erhöhung. 
Auf diese Weise hfttte man gar nicht einmal nöthig gehabt, den Anfang einer Erhöhung von der Bedin- 
gung einer nicht über 15 hinausgehenden Pensionenzahl abh&ngig zu machen. Und in dieser Beziehung 
hfttte diese Bestimmungsart sich sogar als yortheilhafter fQr die Witwen gezeigt, weil bei einer andauernd 
bestehenden kleinen Überzahl der Verlust, welcher aus der Verpflichtung entsteht, die bisherige Erhöhungs- 
sunmie mit mehrern theilen zu müssen , bald durch eine neue Erhöhung eompensirt oder mehr als compen- 
sirt würde, während in einem solchen Fall eine neue Erhöhung nach der P.'schen Nozmirung und in der 
zweiten Interpretation gar nicht zulässig ist. 

Ich möchte übrigens glauben, dass die obige abgeänderte Fassung, wenn damals jemand daran ge- 
dacht hätte, sie in Vorschlag zu bringen, auch P. hätte zufrieden stellen müssen. Denn entweder war 
seine Voraussetzung, 15 sei die höchste Pensionenzahl, die vorkommen könne, ^ richtig, oder sie war un- 
richtig : im ersten Fall war die Abänderung ganz wirkungslos , mithin gleichgültig , im zweiten aber noth- 
wendig. 

Die Folge einer solchen Normirung wäre gewesen, dass man sich gewöhnt haben würde, die Pen- 
sion wie aus zwei Theilen zusammengesetzt zu betrachten, einem unveränderlichen Theile und einer Zulage, 
die von Zeit zu Zeit mit dem Kapitalvermögen wachsen, möglicherweise aber auch dabei wieder etwas zu- 
rüdtgehen könne, letzteres aber dann nach einer wirklich unwandelbaren einfachen Regel, wonach jede 
Witwe Leicht selbst die Controle führen konnte. Auf den Unterschied zwischen einem solchen gesetzlichen 
Zurückgehen, und dem, nach der Quittungs-Clausel in Folge des Unvermögens der Kasse eintretenden habe 
ich schon oben 8. [i3l] aufmerksam gemacht. 

Drittens scheint es wohl der Mühe werth zu sein , die Ursachen anzugeben, welchen man das rasche 
und ununterbrochene Steigen der Prosperität der Witwenkasse während eines Zeitraums von mehr als vier- 
zig Jahren zuzuschreiben hat. Ich finde, dass diess Steigen ganz vorzüglich begünstigt ist durch das Zu- 
sammenwirken von zwei Umständen, auf deren einen 17 94 gar nicht gerechnet war, auf den andern aber 
wenigstens nicht gerechnet werden durfte. 

Die erste Ursache ist das Steigen des Zinsfusses, welehes schon wenige Jahre nach jener Epoche an- 
hob. Man hatte, wie ich nachgewiesen habe, damals mit Sicherheit nur auf 3 Proc. rechnen zu dürfen ge- 
glaubt. Aber schon I7ft9 bemerkte das Curatorium in dem schon oben angeführten Eescript vom 23. Mai, 
dass Gelegenheit zu sicherer Unterbringung zu 4 Proc. gar nicht selten sei, und bot sogar die eigne Mit- 
wirkung dazu an. Etwas später aber erhob sich der Zinsfuss allgemein auf 6 Proc, und beharrte för den 
grössten Theil der Kapitalien der Witwenkasse während einer langen Reihe von Jahren auf dieser Höhe. 

Die zweite Ursache ist der Umstand , dass die Zahl der Pensionen während jenes langen Zeitraums 
unter dem zu erwartenden Mittelwerthe (i5) geblieben ist« ja man muss sagen heiräehtUeh unter dem zu 
erwartenden Mittelwerthe, wenn man dafür nach dem plausiblem Anschlage S. [l45] die Zahl 17 annimmt 
(nemlich tX26 Witwen mit Zusatz von \ wegen der Waisen). Dass man diese Erscheinung gar nicht wie 
etwas sehr ausserordentliches zu betrachten habe, ist schon oben S. [l44 Z. 7] erwähnt: allein eben so 
wenig wäre es etwas ausserordentliches gewesen , wenn gerade das Oegentheil eingetreten, und z. B. schon 
30—25 Jahre nach jener Epoche von 1794 die Mittelzahl auf der andern Seite bedeutend und andauernd 
überschritten wäre. In einem solchen Falle würde an die Stelle des raschen Steigens des Vermögens der 
Kasse ein sehr langsames getreten sein, ja vielleicht ein Stillstand oder sogar die Nothwendigkeit zu der 
Quittungsklausel die Zuflucht zu nehmen, falls sich zugleich ein tiefes Herabgehen des Zinsfusses dazu ge- 
sellt hätte. 

Höhere Witwenzahl ist nun bereits seit einer Anzahl von Jahren eingetreten S. [i26 Z. 23] und 



ANWENDUNG DER WAHRSCHEINLICHKBITSRECHNUNG ETC. 149 

• 
S. [iSS Z. 29]; der Zinsfuss aber, obwohl von seiner frQhem Hohe sehr herabgegangen , noch immer hoch 

genug, dass die Kaaae jener hohem Pensionenzahl noch gewachsen bleibt. Überhaupt ist diese hohe Zahl, 
selbst wenn sie noch um eine oder ein paar Pensionen mehr gestiegen wäre , an sich , und in so weit man 
darin nur das Vorkommen eines ungewöhnlich hohen Schwankens Aber den Mittelwerth i& oder 17 lu er- 
kennen hat, lange nicht von einer so schweren Bedeutung, ' wie i/tr Umstand, zu welchem ich jetzt übergehe 
dass der Mittelwerth der Pensionenzahl, möge man 15 oder 17 wie den plausibelsten betrachten, 
nur so lange gültig ist, als die Genossenschaft keine grössere Ausdehnung erhftlt, als sie 1794 
hatte, und dass diese Gültigkeit jetzt, wo die Ausdehnung, mit dem Maassstabe der Zahl der 
Terheiratheten Mitglieder gemessen , um mehr als so Procent grösser ist, als zur Zeit jener Epoche, 
ganz aufgehört hat. 
Für die Zwischenzeit zwischen 1794 und 1845 lässt sich dieser Maassstab nicht anwenden, weil die 
Kenntniss der Zahl der yerheiratheten Mitglieder fehlt. So viel sich aber aus der Bewegung der Gesammt- 
zahl aller Mitglieder schliessen Iflsst , ist die Ausdehnung der Genossenschaft im Ganzen und abgesehen von 
einigem hin und her Schwanken bis etwa 1831 nicht grösser, sondern eher etwas geringer gewesen ab 1794, 
und Uhr bedeutend ist die Vei^rösserung erst seit wenigen Jahren geworden. Mit der hohen Witwenzahl in 
der letzten Zeit steht daher die erweiterte Ausdehnung der Genossenschaft durchaus nicht in ursachlichem Zu- 
sammenhange, wie bereits oben [S. 128] bemerkt ist. 

Der vierte hier noch zu betrachtende Punkt und gleichsam der Schlussstein der ersten Abtheilung, 
ist , einen Überschlag der künftigen Bewegung der Witwenzahl im AUgemeinen zu machen , so weit nem» 
lieh ein solcher auf dem bisher eingeschlagenen Wege erreicht werden kann. Die Anzahl aller Professo- 
ren ist jetzt 57; davon nehmen an der Witwenkasse Theil 51, und unter diesen sind 42 verehelicht. Macht 
man, zuerst, den Überschlag nach der Hypothese, die den Verhältnissen der hiesigen Professorenwitwen- 
kaase am meisten angemessen scheint, dass auf 7 stehende Ehen 4 Witwen zu rechnen sind, so gibt die 
Rechnung 24 Witwen, und die Bedeutung davon ist, dass nachdem die Gesellschaft von jenem Umfange 
den Behanrungszustand erreicht hat, die durchschnittliche Witwenzahl 24 sein wird. Wegen der Waisen- 
pensionen müsste nach Kbittbb's Gutachten noch ein Seehstel zugesetzt werden ; ich will jedoch nur ein 
Achtel in Rechnung bringen, also die durchschnittliche Pensionenzahl im Beharrungszustande = 27 setzen. 
Allerdings soll man den Beharrungszustand erst nach 45—50 Jahren erwarten; man würde sich aber sehr 
täuschen , wenn man diese weite Entfernung für einen starken Beruhigungsgrund hielte. Denn schon lange 
vorher ist man dem Grenzzustande so nahe gekommen, dass der Unterschied nicht viel mehr bedeutet. 
Man vergleiche die oben S. [l4l] für allmähliges Steigen der Witwenzahl mitgetheilten Ansätze, die ohne 
Anspruch auf strenge Genauigkeit zu machen, doch einigermaassen eine Idee von dem Hergange geben 
können. Wenn man dann dabei überlegt, dass der frühere Umfang der Gesellschaft schon 17 Pensionen 
als Normalzahl (bei dem Verhältniss 7:4) für die Pensionen gegeben hatte , und es also hier sich nur um 
die allmählige Entwicklung der auf lo angeschlagenen Veigrösserung handelt, so wird man mich leicht 
verstehen, wenn ich behaupten muss, dass schon nach etwa 25 Jahren man auf 25 JPensionen als MüUU 
sohl gefasst sein müsse. Hierzu kommt nun noch die Erweiterung des Spielraumes wegen der Schwankun- 
gen, denen scharfe Grenzen zu setzen unmöglich ist. Soviel ist aber gewiss, dass ein Schwanken von 7 
Pensionen, auf und ab vom Mittelwerthe , wie etwas gar nicht ausserordentliches in den Oberschlag mit 
angenommen werden muss, da ein verhältnissmässig wenigstens eben so grosses Schwanken nach frühem 
Präcedentien factisch ist. Das Resultat dieser Erwägungen ist also, dass man erwarten muss, um das Jahr 
1870 die Pensionenzahl zwischen 18 und 32 zu finden, ohne dass man im Stande ist, im voraus zu bestim- 
men , we innerhalb dieses weiten Spielraumes ; daas das Erreichen des einen oder des andern Extrems nicht 
wie etwas sehr ausserordentliches betrachtet werden darf; endlich, dass späterhin diese Zahlep noch ein 

23 



150 KAGHLASS. 

wenig YergrÖ8«ert werden müssen, so dass nach längerer Zeit der Spielraum durch 20^34 beseichnet wer- 
den muss. Das ist alles, was die Wahrscheinlichkeitsrechnung lehren kann, so lang« man dU GeseUsehaft 
gkiehsam nur maasenweise betrachtet. Vielleicht meint mancher, das sei wenig! Ich dächte doch nicht. 
Es ist sehr wichtig, dass man das Maass der Erwartungen , die man su haben befugt ist, kennt, und sich 
nicht einer unbegründeten Sicherheit überlässt. Erwägen wir die beiden Extreme. Es ist möglich , dass 
nach 25 Jahren die Pensionenzahl noch nicht die Zahl 18 Überschritten hat, und sich auch noch eine ge- 
raume Zeit länger auf dieser oder einer sehr wenig grossem Höhe erhält. Die Pensionenzahl kann auch 
vorher von ihrer jetzigen Höhe (l9) erst noch herabsteigen, und so von jetzt bis 1870 durchschnittlich nicht 
unbeträchtlich unter 18 sein. Auf diese Weise kann die Kasse Kräfte sammeln, mit denen sie, wenn erst 
nach langer Zeit das Blatt sich wendet, auch den extremen Fällen der andern Seite die Spitze bieten kann. 
Das schlimmste wäre eigentlich , wenn diese günstigen Voraussetzungen gar sich noch weiter realisirten ; ich 
meine, wenn in dieser Zwischenzeit die Pensionenzahl erst noch einmal unter 16 herabginge, und so die 
Kasse in Folge der bestehenden Satzung noch mit neuer Pensionserhöhung von lO, 20, vielleicht gar von 
30 Rthl. belastet würde. — Würde, umgekehrt, was aber eben so wohl möglich ist, die Pensionenzahl 
schon nach 25 Jahren auf oder nahe auf die Höhe von 32 gestiegen sein, so bedarf es nur eines rohen 
Überschlages , um sich zu überzeugen , dass abgesehen von -ganz ausserordentlichen Zuflüssen , die Kasse 
solchen Anforderungen nicht gewachsen sein , sondern , vermuthlich schon früher, zur Erklärung ihres Un- 
vermögens genöthlgt sein wird. 

Dass die Überschläge sich etwas günstiger gestalten, wenn man anstatt des Verhältnisses 7 : 4 das 
von 2 : 1 annimmt, versteht sich von selbst. Man würde dann nach 25 Jahren den Spielraum von is->2S 
Pensionen und nach noch längerer Zeit den von 18—30 zu erwarten haben. - 

Endlich muss ich noch bemerken, dass hiebei stillschweigend vorausgesetzt ist, dass der Umfang 
der Genossenschaft auf seiner gegenwärtigen Höhe fortan bleibt. Nimmt er noch weiter zu, so muss man 
sich auf verhältnissmässig noch grössere Zahlen gefasst machen; vermindert er sich hingegen wieder, so 
wird auch von obigen Resultaten einiger Abzug gemacht werden dürfen. Nach der Natur der Sache aber 
ist es wohl wenig wahrscheinlich , dass eine bedeutende Verminderung anders als nach Verlauf längerer Zeit 
eintreten könne. 



Zweite Abtheilung. 

Da ich die zu der Aufstellung der Bilanz der Witwenkasse einzuschlagenden Wege bereits in mei- 
nem Votum vom 8. Januar d. J. umständlich beschrieben, und bei der Ausführung der Arbeit zu Abän- 
derungen keine Veranlassung gefunden habe, so kann ich mich nur auf jenes beziehen, und will hier nur 
bemerken, dass das Wesen der Methode in der Ermittelung des gegenwärtigen Geldwerths der Obliegen- 
heiten der Kasse besteht, nach den drei Bubriken 

Obliegenheiten gegen die jetzigen 19 Witwen, 

Obliegenheiten gegen die Witwen (und Waisen) der jetzigen 51 Theilnehmer , 
Obliegenheiten gegen die Witwen und Waisen der künftig beitretenden, 
wobei für die zweite und dritte Rubrik der gegenwärtige Qeldwerth der Gegenleistungen durch die Bei- 
träge, in Abzug zu bringen ist. Ich schicke hier zuvörderst einige allgemeine Erläuterungen voraus. 

Als Epoche , auf welche alle künftigen Leistungen durch Discontirung bezogen werden , ist der i . 
Ootober 1845 gewählt, und vorausgesetzt, dass die Witwen und Interessenten ihre bis dahin fUlig gewor^ 
denen Pensionen und Beiträge schon resp. empfangen und geleistet haben. 



AKWENDDNO DEB WAHBSGHEDlLKiHKEITSBBCHNinfO ETC. 



151 



Zu der Rechnung habe ich die höchst sohätsbaren MortalitfiUtafeln angewandt, wdehe Brühb aus 
den bei der preussischen Witwenkasse an 31500 Ehepaaren gemachten Erfahrungen abgeleitet hat. Nur 
tta das Absterben der Männer* im höchsten Lebensalter sind diese Tafeln mangelhaft, da die Registratur 
der Witwenkasse dazu keine hinreichende Daten enthielt , und ich habe daher Torgezogen, das Absterbeii 
der Männer Aber 80 Jahr nach denselben Verhältnissen zu rechnen, welche die Tafeln für das weibliche 
Geschlecht angeben. Zur Berechnung der Modificationen , welche der Werth der Witwenpensionen durch 
Berücksichtigung der minderjährigen Kinder, wo solche vorhanden sind, erleidet, habe ich f&r letztere 
die Mortalitätstafeln von Dbpabczxüz angewandt. Übrigens hat die Wahl der Tafeln, sowohl ftkrdieMor» 
talität der Kinder, als für die der Männer im höchsten Lebensalter auf die Rechnungsresultate nur sehr 
geringen Einfluss. 

Alle Resultate sind wesentlich abhängig von dem dabei zum Grunde gelegten Zinsfuss ; und ich habe 
daher, um hier nichts zu wünschen übrig zu lassen, sämmtUche Rechnungen sowohl nach dem Zinsfuss 
▼on 4 Procent, als nach dem von 34- Procent durchgeführt, obgleich dadurch die Arbeit gerade verdop- 
pelt wurde. Die Münzen sind immer als Oold zu verstehen. Die Rechnung ist durchgehends auf Brüche 
des Thalen genau geführt , diese Brüche aber sind in gegenwärtiger Abschrift weggelassen. Daraus wird 
hin und wieder ein Unterschied von einer oder ein paar Einheiten in den Summationen erscheinen können, 
welchen geringfügigen Umstand ich hier bloss deswegen bemerke , damit nicht jemand , der etwa die eine 
oder die andere der Summationen nachrechnet, solche Unterschiede für Zeichen von ungenauer Rechnung 
hslte, da sie vielmehr gerade umgekehrt die Folge der in der Rechnung beobachteten grossem Schärfe sind. 

L Berechnung des auf den 1. October 1845 reducirten Oeldwerths der Witwenpensionen. 

Die Zahl aller seit Errichtung der Witwenkasse bis jetzt eingetretenen Pensionirungen ist es, und 
ich habe dieselben, um in meiner Arbeit die leichteste Übersichtlichkeit zu gewinnen, mit fortlaufender 
Nnmerirung bezeichnet. Die Ansätze in dem folgenden tabellarischen Abrisse drücken die Summen aus, 
welche den einzelnen Witwen ausgezahlt werden müssten, wenn sie für ihre Ansprüche abgefunden werden 
sollten, oder umgekehrt, die Summen, welche die Witwen einzahlen müssten, wenn sie eine solche Be- 
rechtigung, wie ihnen jetzt zusteht, sich erst erkaufen wollten. Der Rechnung liegt der jetzige Pensions- 
satz von 250 Rthl. zum Grunde, mit Ausnahme der Nr. 58, wo er 200 Rthl« beträgt. Die Witwen 50. 
53. 58. 64. 68 haben Kinder unter 20 Jahren, die bei der Rechnung genau berücksichtigt sind, eben so 
wie der Umstand, dass die Pensionen immer noch für den vollen Monat, in welchem ein Abgang statt 
findet, ausgezahlt werden. 



*9 
31 
41 
44 
50 
51 
5» 
53 
55 
57 



Jetziger Werth 
der Pension. 




L. 


957 Thl. 


S. 


1756 .. 


w. 


1122 ,, 


F. 


»543 f» 


H. 


3987 .. 


S. 


735 .» 


P. 


»35» »1 


M. 


»789 »» 


H. 


a8i3 „ 


S. 


X798 »» 



94z Thl 

1708 

IIOI 

2448 

3759 

7»5 
2270 

2676 

2698 

1748 



ff 
ff 
ff 
f» 
ff 
ff 
ff 
ff 




58 

59 
60 

62 

63 

64 

65 
66 

68 



Jetziger Werth 
der Pensionen. 



G. 


3172 Thl. 


W. 


2850 „ 


8. 


2606 „ 


B. 


Z648 „ 


G. 


"13 ff 


M. 


4170 „ 


H. 


3026 „ 


H. 


1916 „ 


M. 


4175 ff 



3000 Thl. 

273» 
2507 
1605 
2045 

393» 
2894 

1859 

3936 



>i 
fi 
ff 
ff 

ff 
ff 
f* 

ff 



Summa 46529 Thl. I44582 Thl. 



152 



NACHLASS. 



II. Evaluirung des jetsigen Oeldwerths der Verbindlichkeiteii der Witwenkasse gegen ihre gegenwftr- 
tigen Theünehmer. 

Wie die Witwen, so habe ich auch alle Interessenten der Witwenkasse nach der Reihefolge ihres Bei- 
tritts mit fortlaufender Numerirung bezeichnet. Indem ich ganz den a. a. O. vorgezeichneten Weg verfolge, 
habe ich zuvörderst die 43 verheiratheten Theünehmer in Betracht ;eu ziehen, und zunächst (was gleichsam 
den Kern der Untersuchung bildet) den gegenwärtigen Geldwerth theils von deji Beiträgen, zu welchen 
sie verpflichtet sind , theils der Pensionen welche ihre dermaligen Ehefrauen im Fall des Überlebens zu ge- 
messen haben werden, nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung und den Mortalitätstafeln zu 
ermitteln. Ich concentrire hier auf Einer Seite die Resultate einer langen Arbeit in einem tabellarischen 
Abrisse. 



Nro. 



109 

»35 
13« 

«39 

X40 

141 
X47 
149 
151 
153 
15s 
156 
160 
i6x 

164 
167 
x68 
169 

170 
171 

173 



Jetzige 
verhei- 
rathete 
Theil- 
nehm. 



Zinsiuss 3|- Proc. 



Jetziger Geldwerth 

der 
Pensionen! Beiträge 



Zinsfuss 4 Proc. 



Jetziger Qeldwerth 

der 
Pensionen! Beiträge 



L. 

O. 

C. 

ü. 

H. 

L. 

R. 

G. 

O. 

B. 

K. 

8. 

H. 

B. 

W. 

8. 

K. 

Z. 

R. 

C. 

F. 



Thl. 
175a 
1509 
1846 

937 

145 1 
X091 

X441 
1717 

X051 

86$ 

9»S 

853 
1376 

876 

»359 

995 

1345 
XX18 

X541 

"93 
xxao 



Thl. 

59 

85 
70 

109 

xo6 

93 

105 
xox 

X30 

X09 
1x4 

"4 

123 
lao 

12a 

140 

135 
134 

99 

105 

127 



Thl. 

1634 
1386 

1706 

854 

1310 
X004 

1301 

1545 

933 

790 

840 
776 

X22I 

795 
1209 

878 

"73 
988 

1397 
X084 

998 



Thl, 

58 

83 
68 

104 

lOI 

90 
xox 

97 
xa3 

104 
109 
X09 
X17 

"4 

X17 

13» 
xa8 
127 

96 
xox 

I2X 



Nro. 



Jetzige 
verhei- 
rathete 
TheU- 
nehm. 



Zinsfuss 3f Proc. 



Jetziger Geldwerth 

der 
Pensionen! Beitrftge 



Zinsfuss 4 Proc. 



Jetziger Geldwerth 

der 
PensionenlBeitrfige 



174 

175 
X77 

x8o 

183 

184 

187 
x88 

X89 

X90 

19X 

X92 

X93 

195 
X97 

X98 

X99 

aoo 

201 

203 

204 



H. 

R. 

W. 

T. 

V. 

B. 

W. 

S. 

H. 

H. 

D. 

R. 

G. 

D. 

R. 

W. 

F. 

L. 

W. 

B. 

£• 



Thl. 

"75 

"54 
X117 

X064 

943 
X023 

9x7 

867 

X138 

936 

892 

943 

1047 

98X 
9x6 

1072 
XX27 

86x 
X073 

932 

787 



Thl. 

xao 

X42 

131 
X32 

148 
X46 

134 

134 
X29 

X42 

X23 

X39 

148 

X40 

154 

144 

X27 

X53 

»45 

127 

X46 



Thl. 

1053 

XC07 

99X 

944 
824 

893 

8x7 

774 

XOXI 

825 

804 

848 

907 

866 

79X 

936 

X005 

749 
935 

835 

729 



Thl. 

"4 
134 

"5 

139 

137 
X27 

127 

122 

»34 

"7 

»31 
X40 

13a 

145 
X36 

xao 
»44 

«37 
121 

138 



Summa Thaler | 47324 | 5203 | 42366 | 4945 



Den Totalwerth der Witwenpensionen vexgrössere ich um seinen sechsten Theil wegen der Watsen- 
pensionen , nicht sowohl deswegen , weil Kbzttxb in seinem Gutachten dieses Verhältniss angenommen hat, 
als weil dasselbe sehr nahe aus meiner eignen Discussion der Erfahrungen bei unsrer Witwenkasse hervor- 
geht [S. 154]. Sodann wird der Totalwerth der Beiträge abgezogen, wodurch sieh der reine Werth der 
Verbindlichkeit der Kasse gegen die 42 verheiratheten Mitglieder ergibt. Für die 9 jetzt un verheiratheten 
wird endlich schlechthin pro rata zugesetzt. Diese Rechnungen stehen dann folgendermaassen : 

Zinsfuss 3| Proc. 
Witwenpensionen der 42 verheiratheten Mitglieder 47324 Thl. 
Waisenpensionen 7887 „ 

Pensionen 552" i» 

Beiträge 5203 „ 



Zinsfuss 


4 Proc. 


42366 Thl. 


706z 


»f 


494*7 


>» 


4945 


li 



A17WENDUNG DER WAHBSGHmNUCHKEITSBIBGHNUNa ETC. 153 



ZiüBiuM 31^ Proo. 
lUine Verbindlichkeit der Kasse gegen 42 verheirathete Mitglieder 50008 Thl. 
Danach yerhältnissmAssig gegen unrerheirathete Mitglieder .... 10716 



Totalwerth der zweiten Rubrik 60714 



9$ 



f> 



Zinsfuss 4 Proc. 
44481 Thl. 

953» M 
54014 »» 



Dass einer solchen Evaluirung nicht ganz dieselbe ZuTerlilssigkeit beigelegt werden kann, wie der 
Berechnung der Verbindlichkeiten der ersten Bubrik , habe ich schon in meinem mehrerwfthnten Outachten 
beTorwortet. Es finden nemlich bei unsrer Witwenkasse mehrere Umstände Statt, deren Wirkung einer Vor- 
aosberechnung gar nicht fähig ist, von welcher aber auch, in Ermangelung einer solchen Buchführung für 
die frühere Zeit, wie S. [l45 unten] erw&hnt ist, nicht einmal eine Schätzung gemacht werden kann. 
Als den einflussreichsten dieser Umstände bezeichne ich die Wiederverheirathung Ton Mitgliedern nach dem 
Tode ihrer Ehefrauen. Das Ableben der Frauen vor den Männern ist nemlich schon ein Theil der in der 
Rechnung berücksichtigten Chancen, und so ist jede Wiederverheirathung eine ausserhalb der Rechnung 
liegende neu hinzukommende Belastung des Kassen-Conto« Von der andern Seite kommt diesem Kassen- 
Conto wie eine nicht veranschlagte Entlastung zu Oute jeder anderweitige Abgang eines verheiratheten 
Mitgliedes , s. B. durch eine auswärtige Vocation. Auch der Umstand , dass solche verwitwete Mitglieder, 
die sich mcht wieder verheirathen, doch nach dem Tode der Frauen wenigstens eine Zettlang die Beiträge 
fortzuzahlen pflegen, gehört in dieselbe Kategorie, obwohl er von geringer Erheblichkeit ist. Endlich ist 
vielleicht die Rechnung für die dermalen unverheiratheten Theilnehmer nach dem Durchschnittsresultate für 
die Verheiratheten, etwas zu hoch. Der jedesmalige Bestand der tmverheiratheten Mitglieder wird ge- 
wChnlicfa so zusammengesetzt sein, dass mit Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann, ein oder der 
sndere davon werde sich überall nicht verheirathen : diess wird jedoch , wenigstens zum Theil, wieder da- 
durch aufgewogen, dass, je später Verheirathung erfolgt, desto mehr mit Wahrscheinlichkeit das künftige 
Überleben der Frau und ein langer Witwenstand präsumirt werden muss. 

Bei der Unmöglichkeit, die Wirkung dieser verschiedenen Umstände im Voraus in Zahlen zu ver- 
anschlagen, darf man doch für wahrscheinlich halten, dass sie einander grossentheils compensiren. 

m. Evaluirung des jetzigen Oeldwerths der Verbindlichkeiten der Kasse gegen alle künftig bei- 
tretenden Mitglieder. 

Für diese dritte Rubrik bieten die bisherigen Erfahrungen der Kasse ein sehr schätzbares Hfilfin 
mittel dar; ja ohne diese Erfahrungen würde eine Veranschlagung ganz unmöglich sein. Mein Verfahren 
ist folgendes. 

Ich habe für jeden der bis Michaelis 1804 beigetreteneu Theilnehmer, bis einschliesslich Nro. loS*}, 
sowohl den Werth der Beiträge, als den Werth der von ihren Hinterbliebenen bezogenen Pensionen auf 
den Zeitpunkt ihres Beitritts reducirt, und nach zweierlei Zinsfuss discontirt, jedoch mit folgenden, für den 
Gebrauch, der von diesen Rechnungen gemacht werden sollte, nothwendigen Modificationen : 

1) Die jährlichen Beiträge und die Pensionen sind in Rechnung: gebracht, nicht wie sie wirklich ge- 
zahlt nnd, sondern nach ihrer jetzigen Höhe, nemlich 19 Rthl. für jene, 250 Rthl. für diese. 

i) Die Waisenpensionen, welche bis 17 04 nur bis zum vollendeten 12^° Jahre des jüngsten Kindes 
verabreicht wurden, sind so gerechnet, als ob sie noch 8 Jahre länger gedauert hätten. Durch Nachfor- 



*) Dass ich gerade soweit und nicht weiter gegangen bin, ist mit Vorbedacht geschehen, es würde mich 
aber zu weit führen, Wenn ich die Oründe hier ausführlich entwickeln wollte. 

24 



154 NACHLASS. 

sohung im Oerichtsarchiv iqt ermittelt, dasB die betreffenden jüngsten Kinder das Alter von sa Jahren alle 
wirklich erreicht haben. Es kann indess sein , dass auf diese Weise immer noch etwas zu wenig gerechnet 
ist, da möglicherweise bei dem Tode eines oder des andern verwitweten Professors oder einer Professor- 
witwe noch Kinder zwischen 12 und 20 Jahren vorhanden gewesen sein können, die mithin nach jetziger 
Einrichtung pensionsberechtigt und also in meine Rechnung mit aufzunehmen gewesen sein würden: we- 
nigstens haben die Oerichtsakten nicht in allen Fällen das Gegentheil zur Gewissheit gebracht. Indessen 
würde doch jedenfalls keine erhebliche Vergrösserung der Totalsumme dadurch hervorgebracht werden können. 

3) Unter jenen ios Theilnehmem befinden sich 7, deren Witwen noch jetzt am Leben sind^ Für 
diese habe ich zu den Pensionszahlungen, welche sie bisher genossen haben, auch noch den schon oben 
nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung evaluirten künftigen Betrag beigefügt , nachdem derselbe von der 
Epoche 1845 October 1 auf das Moment des Beitritts der resp. Ehemänner zurückdiscontirt war. Ohne 
dieses Verfahren hätte ich nicht bloss diese Interessenten ausschliessen , sondern consequenterweise anstatt 
der Theilnehmer 1 — 10s mich auf die 1 — 60 beschränken müssen, was ich jedoch hier nicht weiter ent- 
wickeln kann. 

Zur Ersparung des Raumes setze ich die Resultate der 108 Rechnungen nicht einzeln hieher, son- 
dern nur den Totalbetrag von allen. Es findet sich 

nach dem Zinsfuss 



3f Proc. 



Summe der discontirten Beiträge 13909,00 Thl. 

— — — Witwenpensionen 67915,80 „ 

— — — Waisenpensionen 10945,04 „ 
Summe aller discontirten Pensionen . . . 78860,84 ,, 



4 Proc. 



13115,94 Thl. 
590x9,67 „ 

9878*34 n 
68898,01 



t§ 



Es folgt hieraus zuvörderst, dass der (reducirte) Betrag der Waisenpensionen sehr nahe dem sechsten 
Theile des (reducirten) Betrages der Witwenpensionen gleich zu setzen ist : in der That ist jener bei dem 
Zinsfuss 3|^ Proc. etwas kleiner, bei dem Zinsfuss 4 Proc. hingegen etwas grösser als dieses |. Es Hesse 
sich leicht nachweisen , dass diese kleine Verschiedenheit des Resultats nach Maassgabe des Zinsfusses voll- 
kommen in der Natur der Sache begründet ist; da jedoch der Umfang der Erfahrungen zu klein ist, als 
dass dem Resultate überhaupt eine minutiöse Schärfe beigelegt werden könnte, so habe ich in der obigen 
Rechnung S. [152] mich schlechthin an das einfache Verhältniss 1:6 gehalten. 

Man kann femer sagen, dass die Gesammtrechte aller jener 108 Interessenten, nach jetziger Höhe 
der Pensionen und Beiträge tazirt und auf die Zeiten ihrer respectiven Eintritte redudrt, den Oeldwerth 
hatten von 64951,84 Thalern bei dem Zinsfuss von 3I Proc. 

55782,07 Thalem bei dem Zinsfuss von 4 Proc. 
oder, so weit eine so ausgedehnte Erfahrung maassgebend sein kann, dass nach dem Durchschnittswerth, 
der Eintritt in die Kasse für jeden einzelnen den Geldwerth von 6 01, 40 Thalem, oder von 5 16, so Tha- 
lem hat, jenachdem man z^ oder 4 Proc. Zinsen rechnet. 

Mancher, der mit Gegenständen dieser Art wenig bekannt ist, wird sich vielleicht über die Klein- 
heit dieses Resultats wundem. Allein das Auffallende verschwindet grösstentheils, wenn man erwägt, dass 
dabei die Reduction auf den Zeitpunkt des Eintritts jedes einzelnen zum Grunde liegt, und dass jede 
Geldsumme, durch Discontirung für eine beträchtliche Anzahl von Jahren, enorm vermindert erscheint. 
Ich will diess durch das Beispiel von Hetkb erläutern, welcher 48 Jahr Beitrag geleistet, und dessen Witwe 
21 Jahr 11 Monat Pension genossen hat. Nach meinen Rechnungsgrundls^en stellt sich also die Summe 
der Beiträge zu 480 Rthl. und die Somme der Pensionsbezüge zu 547 9 Rthl. 4 Ggr. heraus, mithin der 



ANWENDUNG DER WAHHSCHEINLICHKEIT8RECHNUNG ETC. 165 

fMM Gewinn der Familie durch die Aufnahme in die Kasse (nicht wie er wirklich gewesen ist, sondern 
wie er bei jetziger Höhe der Beiträge und Pensionen gewesen sein wOrde) zu 4999 Rthl. 4 Ogr. Werden 
aber jene Summen durch Discontirung ä 4 Pjoc auf den Zeitpunkt des Beitritts, Michaelis 17S3, zurQok- 
geführt, so reduciren sich 

die Beiträge auf 21 i Rthl. 23 Ggr. 

die Pensionsbezüge auf 527 „ lO „ 
und mithin jener grosse Gewinn, nach seinem Geldwerth fftr diese Epoche, auf die geringe Summe von 
315 Rthl. it Ggr. Eine Rechnungsprobe würde haarscharf ergeben, dass dieses kleine Kapital, jährlich 
durch die Zulegung von l o Rthl. und durch die Zinsen zu 4 Proc. vermehrt, und so fortwährend sich ver- 
grössemd, am Schluss des Jahres 1S12 eine solche Grosse erlangt haben würde, dass von da an durch 
die fernem Zinsen und theilweise durch Einziehen des Kapitals die Pension genau bis Endiß November 
IS 34 gedeckt war. 

Aus diesem Grunde , so wie noch aus andern , deren Entwicklung mich hier zu weit führen würde, 
ist der mittlere Geldwerth der Aufnahme in die Gesellschaft, in dem Sinn wie er hier verstanden wird, 
gar nicht vergleichbar mit dem durchschnittlichen Geldwerth der Ansprüche aller in einem bestimmten 
Zeitpunkte ooezistirenden Mitglieder, von denen immer ein grosser Theil schon sehr lange in der Gesell- 
schaft gewesen ist. 

Träte nun jedes Jahr £in neues Mitglied ein, dessen Berechtigung durchschnittlich zu obigem Geld- 
werth angeschlagen werden müsste, so ist )dar, dass zur Deckung dieser sich immer neu gebärenden An- 
sprüche die Zinsen eines eisernen Kapitals erforderlich und zureichend sein würden , dessen Höhe 

bei dem Zinsfusse von 3^ Proc. zu i7x82,86Thalem 
bei dem Zinsfusse von 4 Proo. zu 11911,50 Thalem 
angenommen werden müsste. 

Bis hieher ruhet die Rechnung auf einer sichern Grundlage. Es fehlt nun aber zur Vollendung der- 
selben noch ein wesentliches Element, für welches jede im Voraus gewagte Schätzung nach der Natur der 
Sache nur eine sehr precäre Geltung haben kann, ich meine die Durchschnittszahl der künftig jährlich neu 
beitretenden Theilnehmer. Befragt man die Erfahrung, so zeigt sich in der neuem Zeit eine sehr starke 
Vergrösserung dieses Elements. Für die ersten achtzig Jahre des Bestehens der Anstalt kann man die 
Durchflchnittszahl der jährlich beitretenden nahe zu 1^ annehmen; allein seit den letzten 20 Jahren sind 
überhaupt 64 Beitritte*} erfolgt, wovon 23 auf das Decennium 1825—1835, und 4i auf das Decennium 
1835 — 1845 kommen. Das Mittel aus den letzten 20 Jahren wäre demnach 3^, oder, wenn man G. nicht 
mitzählen will, 3^-- Eür die letzten 10 Jahre allein ist dies Mittel 4^, und für die letzten 5 Jahre 
allein, während welcher 27 neue Mitglieder eingetreten sind, sogar b\. Man erkennt hieraus, ein wie 
misslichea Unternehmen es ist, hienach ein Prognosticon für die Zukunft zu stellen. Aber geringer als 
if würde ich doch nicht wagen « die künftige jährliche Durchschnittszahl anzunehmen, und dieses Ver- 
hiltnisB würde auch wie ganz harmonisch zu der jetzigen Interessentenzahl 51 betrachtet werden kön- 
nen, insofern die bisherigen Erfahrungen 20 Jahre oder etwas weniges mehr als durchschnittliche Dauer 
der Theilnahme herausgestellt haben. In dieser Hypothese stellt sich also der gegenwärtige Geldwerth 



*) Unter denselben ist G. mitgezählt, dessen Witwe Pension geniesst , der aber selbst eigentlich nicht 
reciptrt gewesen war. Wenn man aber voraussetzen muss, dass in einem ähnlichen künftigen Falle auch wie- 
der abseiten der Verwaltung ein ähnlicher Beschluss gefasst werden wird, so dürfen solche, wenn auch seltene, 
Fälle nicht unberücksichtigt bleiben, sondern müssen in einer langem Reihe von Erfahrungen als auch mög- 
liche Chancen mitgezählt werden. 



156 KACHLA88. 

der Verpflichtungen der Kasse gegen alle künftigen Interessenten, oder der Veipflichtangen der dritten 
Rubrik dar: 

EU 42957 Thfllem bei 3I- Proc. Zinsfuss 
zu 32281 Thalem bei 4 Proc. Zinsfuss. 
Wollte man aber die jährlichen Beitritte durchschnittlieh zu 3 veranschlagen, so wfirde man für 
diese Rubrik, je nach dem Zinsfuss, 8591 oder 6456 Thaler m§hr ansetzen müssen. 

Fassen wir endlich die Resultate der bisherigen Anschläge zusammen, so ergibt sich aus den drei 
Rubriken 



3i Proc. 

Verpflichtungen gegen die jetzigen Witwen 46529 Thl. 

Verpflichtungen gegen die Hinterbliebenen der jetzigen Interessenten 60724 
Verpflichtungen gegen die künftigen Interessenten 42957 






4 Proc. 
44582 Thl. 
54014 » 
3**81 ff 



Totalsumme aller Verpflichtungen 150210 Thl. | 130877 Thl. 

Von Nebenkosten will ich hier nur folgende Rubriken nach dem Durchschnitt der letzten 15 Jahre 
in Rechnung bringen (alles auf Oold reducirt): 

Bau- und Reparaturkosten, jährlich 43 Rthl. 

Processkosten nach Abzug der Erstattungen 39 ,, 

Kosten der Rechnungsführung 124 ,, 

Zusammen 206 Rthl. 

Die Bau- imd Reparaturkosten sind vielleicht nach diesem Durchschnitt zu niedrig angeschlagen» 
In dem oben S. [i33] angeführten P. M. werden sie für einen Zeitraum von 24 Jahren (1 7 es— 1791) zu 
1844 Thaler Cassenmünze (i975 Thl. 17 Ogr. Gold) angesetzt, was also einen jährlichen Durchsohnittsbe- 
trag von 82 Thalem ergeben würde: ich will jedoch bei obigem Mittel stehen bleiben. Diese 206 Thaler 
jährlicher Ausgabe repräsentiren ein Kapitalbedürfnbs von 5S86 oder von 5150 Thalem je nach dem Zinsfuss. 

£s darf nicht übersehen werden, dass das bei allen Rechnungen zum Ghrunde liegende Interusu- 
rlenprincip nur in soweit gültig ist, als aUe Zinsen zu rechter Zeit eingehen und sofort wieder benutzt wer- 
den. In der Praxis ist diess aber nicht auszuführen, sondern es ist immer ein gewisser bald kleinerer bald 
grösserer TheU des Vermögens müssig. Man könnte den mittlem Betrag dieser Geldsumme zur Abkür- 
zung Betriebsfonds nennen, obwohl diese Benennung genau zu reden nur auf denjenigen Theil desbaaren 
Geldwerths passt, der bereit gehalten werden muss, damit die Kasse ihren eignen Zahlungsverpflichtungen 
pünktlich genügen könne. Es muss aber dazu auch eingerechnet werden das zeitweilig müssig liegende 
Geld, wenn sich nicht gleich Gelegenheit zu sicherer und vortheilhafter Belegung darbietet, und die aua- 
stehdnden Rückstände. Wie viel nun diess zusammen nach wirklichem mittlem Durchschnitte beträgt, läset 
sich aus den 'Jahresrechnungen nur unvollkommen entnehmen , da dieselben nur angeben, was im Laufe des 
Jahres eingenommen und verausgabt ist, nicht aber, an welchem Datum (dass diess cum Theil aua den 
Belegen, und auch aus diesen nicht ohne Ungewissheit, ergänzt werden kinnte, kommt hier nicht in Be- 
tracht). Ich habe indessen diesen Betrag aus den Rechnungsabschlüssen der letzten 1 1 Jahre ^ so gut es 
geschehen kann abzuleiten gesucht, und danach gefunden: 2636 Thaler als mittlem Betrag des nicht zins- 
tragenden Vermögenstheils. 

Ich lasse nun die Vereinigung dieser verschiedenen Artikel hier folgen: 



*) Früher stellten die Rechnungen den Vermögensstatus gar nicht auf. 



ANWENDUNG DER WAHB8GHEIN]:JCHKETr8BECHNUNe ETC. 157 



3t Proc. 
Verpflichtungen gegen Witwen, jetsige und künftige Interessenten 150110 Tbl. 
Fonds zur Bestreitung der Bau-, Process- und Rechnungskosten . . 5886 
Unveninslieher Fonds 2636 






4 Pioo. 

130877 Thl. 

5150 n 

»636 M 



TotaLsumm^ X5S732 Thl. | 138663 Thl. 

Oegenaber zu stellen ist nun der Kapitalbetrag der Einnahmequellen der Witwenkasse. Da der 
Betrag der Beitrftge der Mitglieder bei obigem ersten Ansätze bereits in Abzug gebracht war, so bleibt 
hier nur das GeldvermOgen und die Apothekenpacht zu veranschlagen« 

Das Vermögen ist in dem letzten Rechnungsabschlüsse, also für 1845 Juli 1, zu 116369 Thl. 17 Ogr. 
4 Pf. ausgeworfen. Um es aber auf den 1. Oct. der oben S. [l49] angeführten Rechnungsgrundlage ge- 
misa zu reduciren, muss abgezogen werden der halbjAhrige auf Michaelis 1S45 flillig gewordene Betrag der 
Witwenpensionen mit 2350 Thl. ; hinzugefügt hingegen die Beiträge der Mitglieder fQr das Jahr tS44— 1845, 
nemlich an vollen Beiträgen 480 Thl. und an Stackzahlungen 18 Thl. 17 Ggr. 4 Pf., femer die halbjäh- 
rige Michaelis 1845 ftllig gewordene Apothekenpacht mit 600 Thl. Um niehts zu übexgehen, mAssten auch 
Doch die während der drei Monate 1. Juli bis 1. Oct. eingegangenen Zinsen hinzugerechnet werden, de- 
ren Betrag mir unbekannt ist j es wird aber wohl nicht viel gefehlt sein , wenn ich dafür den vierten Theil 
der Zinseinnahme des letzten Jiihres unter Abzug der Einziehungskosten, mit 1153 Thalem in Rechnung 
bringe. Hienach setze ich mit Weglassung der Bruchtheile das Vermögen der Kasse am 1. Oct. 1845 zu 
116171 Thalem an. 

Die Apothekenpacht bei ihrer jetzigen Hölie von 1000 Thl. repräsentirt ein Kapitalvermögen von 
2S571 Thl. oder von 25000 Thl. je nach der Höhe des vorausgesetzten Zinsfusses. £s ist folglich das ef- 
feetive Vermögen der Kasse: 

144742 Thl. oder 141171 Hil. , jenachdem man 3^ oder 4 Proc. annimmt. 

Es ergibt sich hieraus schliesslich die Bilanz der Kasse 

als ein Ihfidt von isooo Thl. für Zinsfuss ^ Proc. 
als ein Überachtus von 2508 Thl. für Zinsfuss 4 Proc. 

Dass der in der zweiten Voraussetzung sich ergebende Überschuss bei weitem kleiner ist, als die bei 
den einzelnen Bestandtheilen der Rechnung flbrig bleibenden Unsicherheiten , braucht wohl kaum bemerkt 
zu werden: ein einziger Todesfall kann leicht auf einmal die ganze Bilanz um 8000^3500 Rthl. zum Nach- 
theil der Kasse abändern. Ausserdem darf man aber auch nicht übersehen, dass ich gar nichts für mög- 
liche Verluste, durch Insolvenz der Schuldner, angesetzt habe: ich habe dies unterlassen, weil jede prä- 
sumtive Veranschlagung höchst precär bleiben muss. Es würde interessant, aber bei der Form der Rech- 
nungsführung der Jahresrechnungen, zumal in den frühem Zeiten, nicht ohne einen sehr grossen Zeitauf- 
wand ausführbar sein, alle seit der Stiftung eingetretenen Verluste zusammenzustellen: ich selbst habe, 
um doch einigermassen eine Idee davon zu erhalten, mich mit einer Zusammenstellung der letzten 14 Jahre 
begnügen müssen, die (falls ich nichts übersehen habe) den Totalverlust 1720 ThL 14 Ogr. 1 Pf., also den 
durchachnittlichen jährlichen Verlust = 123 Thl. 13 Ogr. ergeben hat. Kapitalisirt beträgt diess je nach 
dem Zinsfuss 3530 Thl. oder 3088 Thl., und dürfte man diesen Durchschnitt als maassgebend betrachten, 
so würde die Bilanz sich für beide Zinsfüsse wie ein Deficit herausstellen, nemlich 

von 17 520 Thl. bei dem Zinsfuss von 3|- Procent 
von 5 so Thl. bei dem Zinsfuss von 4 Procent. 

Göttingen 1845 November 2. C. F. Oauss. 

25 



.» 



158 NACHLAS8. 

[HL] 

[ Commis9ionsheriehU2 

Die für die Witwenkassen- Angelegenheit ernannte Commission beehrt sich, das Resultat ihrer Be- 
rathung hiemit vorzulegen. 

Es kam zuerst in Frage, welcher Zinsfuss als Grundlage för die zu treffenden Maassregeln anzu- 
nehmen sei. 

Die Capitale der Witwenkasse sind zwar gegenwArtig dem grössten Theile nach noch zu höherm 
Zinsfuss als 3^ Procent belegt, jedoch so, dass bei richtiger Wflrdigung der Verhjdtnisse der mittlere Zins- 
fuss jedenfalls wie niedriger als 4 Procent stehend betrachtet werden muss. In Erwftgung aber von fol- 
genden Gründen: 

l) dass ganz unverkennbar der Zinsfuss in aUea Ländern Europas , einzelner Fluctuationen ungeach- 
tet , die Tendenz zu weiterm Herabsinken zeigt *) ; 

3) dass jede vom Zinsfüsse wesentlich abhängige Anstalt, wenn sie nicht für eine durchaus unsichere 
gelten soll, nicht auf dem augenblicklich bestehenden, sondern auf einem etwas niedrigem Zinsfuss basin 
werden muss; 

3) dass auch die Regulirungen von 17 94 uns in so fern mit einem guten Beispiele vorangegangen 
sind, als man damals wenigstens die Intention hatte, die Gasse für den Zinsfuss von 3 Procent sicher zu 
stellen ; 

h&lt die Commission die Zugrundelegung eines hohem Zinsfusses als Z^ Proc. nicht für zulftssig, und da- 
her für unumgänglich nothwendig, dass man sich die Deckung des bei diesem Zinsfusse resoltirenden De- 
ficits von 17 520 Thalern zum Ziele setze. 

Wenn man vermeinte, dass die auch bei den bisherigen Einrichtungen zur Zeit noch 8tatt finden- 
den jährlichen Überschüsse ^ schon an sich Schritte zur Deckung des Deficits seien, und dass dieses ge- 
tilgt sein werde, sobald nur das jetzige Vermögen sich um 17520 Thaler vergrössert haben würde, so 
würde eine solche Meinung nur auf einer Begriffsverwirrung und auf einer gänzlichen Verkennung der Be- 
deutung des Deficits beruhen. Im Geiste des Calcüls, durch welchen die Grösse des Deficits eruirt ist, 
liegt in dem Resultate implicite schon die volle Berücksichtigung der jetzt noch Statt findenden jährlichen 
Ersparnisse mit, und diese wie Schritte zur Deckung betrachten, würde dasselbe sein, als wenn man sie 
zweimal in Rechnung brächte ***). Die Genossenschaft möge sich also keine Illusion über die Wahrheit 

*) Einer der erleuchtetsten Staatsmänner, namentlich im Fache der Finanzverhältnisse, der Orossherz. 
Badensche Minister Nebehius sagt in seinem bekannten Werke Über die Herabsetzung der Zinsen der Öffentli- 
chen Schulden, S. 129: 'Das allmählige weitere Sinken des Zinsfusses , welches bei längerer Fortdauer des 
Friedens nicht ausbleiben kann, wird zuletzt überall, hier etwas früher, dort etwas später, die Reduction auf 
drei Procent herbeiführen, oder sie wenigstens als eine nur von dem Entschlüsse der Regierung abhängige 
Maassregel erscheinen lassen'; und an einer andern Stelle S. 31 : 'Einer Periode grösserer Regsamkeit in pro- 
ductiven Unternehmungen, die das Sinken des Zinsfusses eine Zeitlang aufhält, folgt um so gewisser ein ra- 
sches Sinken des Zinsfusses nach.' 

**) Die Jahresrechnung 1944—1845 ergibt keinen Überschuss; denn 

für 1844 Juli 1 war das Geldvermögen ausgeworfen zu 11637 5 Thl. 14 Ogr. 6 Pf. 

für 1845 Juli 1 aber, nur zu 116360 „ 17 ,, 4 ,, 

Da jedoch im laufenden Jahre drei Witwen weniger sind, so wird in demselben wieder auf Überschuss zu 
rechnen sein , der auch wahrscheinlich noch eine Zeitlang fortdauern wird. 

***) Da ähnliche Ansichten dem Vernehmen nach hie und da geäussert sind , in diesem Bericht aber 
zur Beseitigung derselben nicht der Ort sein würde , so ist in der Anlage noch eine nähere Beleuchtung des 



ANWENDUNO DER WAHBSGEEEINUGHKEITSRBOTNUNO ETC. 159 

machen: Deckung des Deficite kann und muss gans allein durch zweckm&ssige Abftnderungen in den bis- 
herigen Einrichtungen bewirkt werden. 

Ea ist von selbst klar, dass schwache Mittel auch nur schwache Wirkungen hervorbringen können. 
Zu solchen w&re zu rechnen: die Verwandlung der bisher freiwilligen Theilnahme in eine gezwungene 
für alle kflnftig ernannte Professoren , und die Aufhebung der Freiheit, lu jeder Zeit wieder auszutreten. 
Da» die Wirksamkeit einer, solchen Maassregel nur eine sehr geringe sein könne , erhellet aus dem Um- 
stände, dass, nach einem sojfthrigen Durchschnitt, die mittlere Anzahl der nicht beitragenden obwohl zur 
Theilnahme berechtigten Professoren nur sc 4, 4 gewesen ist , also der Betrag der dadurch der Kasse jähr- 
lich entgehenden Einnahme, nach bisheriger Beitragshöhe =44 Thaler, was mithin nach Verschiedenheit 
des Zinsfusses einem eisernen Kapital von iioo oder von 1357 Rthl. gleichkonmit. Allein diess wird, 
wenn auch nicht ganz, doch grossentheils durch die Strafgelder aufgewogen, welche nach der bestehen- 
den sehr swedimAssigen Einrichtung bei verspfttetm Beitritten zu erlegen und zum Theil sehr beträchtlich 
gewesen sind, wie aus folgenden Proben zu ersehen ist: Es haben doppelt nachgetragen 

L. far 12 Jahre, R. fCür 1 3 Jahre , L. fllr 19 Jahre, S. für 29 Jahre, C. f&r 30 Jahre. 

Die Oommission ist daher der Meinung, dass ein so geringer und zweifelhafter Vortheil, .wie aus 
der Verwandlung des Instituts in eine Zwangsanstalt fOr die Kasse hervorgehen könnte , gegen die Zei^ 
Störung des bisherigen liberalen Charakters dieser Stiftung nicht in Betracht kommen dfirfe. 

Ein paar andere Mittel von gleichfalls nur schwacher oder unsicherer Wirksamkeit werden am 
Schlttsa dieses Berichts erw&hnt werden. 

Als wirklich krftftige Mittel können demnach nur betrachtet werden: 

i) Erhöhung der Beiträge. 

2) Herabsetzung der Pensionen. 

3) Verbindung beider Mittel. 

Die in der Denkschrift aufgestellte Bilanzrechnung gew&hrt die Möglichkeit, genau anzugeben, in 
welchem Maasse diese Mittel in Anwendung gebracht werden mflssen, wenn der Zweck erreicht werden, 
d.i. die Bilanz um 17520 Rthl. gebessert erscheinen soll. Details darüber würden hier nicht an ihrem 
Platze sein; das Endresultat aber ist: 

i) Wenn das Deficit bloss durch Erhöhung der Beitrftge gedeckt werden soll, so müssen diese all- 
gemein, d. i. für aüe jetzigen und künftigen Mitglieder, auf 4^ Louisd'or erhöhet werden. 

2) Soll die Herabsetzung der Pensionen allein die Deckung bewirken, so müssen dieselben auf 
223 Rthl. reducirt werden (wobei die der Professorin G. auf 200 Rthl. bestehen bliebe). 

3) Bei einer Vertheilung der Last auf Beitragende und Pensionirte kftme es darauf an, welches 
Verh&ltniss der Theilung man wählte: sollen z. B. erstere f , letztere ^ übernehmen, so würden die Bei* 
trige Sf Louisd'or, die Pensionen -241 Rthl. betragen müssen. . Sollen die Beiträge nur auf 3 Louisd'or 
erhöhet werden, so können, wenn das Deficit wirklich gedeckt sein soll, nur 235 Rthl. Pension verab- 
reicht werden. 

Bei allen diesen Rechnungen ist vorausgesetzt, dass die gewählten Änderungen von Michaelis 1845 
an in Wirksamkeit treten , und dass im zweiten oder dritten Falle die Pensionsherabsetzungen sämmtliche 
Witwen, die gegenwärtigen wie die künftigen trefien. Sollten, ohne alle Beitragserhöhung und ohne Her- 
absetzung der Pension für die gegenwärtigen Witwen, die künftigen Witwen die Last allein tragen, so 
könnte für diese nur die Pension zu 213^ Rthl. gewährt werden. 



Gegenstandes beigefügt, obwohl dieselbe für alle, welche die Denkschrift schon mit der nöthigen Aufmerk- 
samkeit gelesen und erwogen haben, ganz überflüssig sein wird. 



160 NAGHLA88. 

Sollen nun aber die AbAnderungen für jetzt auf das Aussente Minimum des ZulAssigen gestellt wer- 
den, so ist die Commission der Meinung, dass diess auf die möglich schonendste Weise durch folgenden 
Plan geschehen kann, welchen sie daher, bedingungsweise, zur Annahme empfiehlt. 

I. Die jährlichen Beitrftge werden auf 3 Louisd'or erhöhet« 

II. Die Pensionen bleiben für jetzt auf der Höhe von 250 Rthl. bestehen, so lange die Zahl der 
Witwen*), ohne die Professorin G. mitzuzählen, nicht aber 18 hinausgeht, welches die gegenwärtige An- 
zahl ist. Im entgegengesetzten FaUe wird die Pension so bestimmt, dass zu 200 Rthl., als festem Theile, 
noch 4ie Dividende hinzukommt, welche auf jede einzelne Witwe f&llt, indem man »oo Rthl. (als ts mal 
50 Rthl.) unter die yorhandenen gleichmässig vertheilt. Bei der höchsten Witwenzahl, welche bisher yor- 
gekommen ist, nemlich 21 (ohne die Prof. O.) würde also die Pension noch 242 Rthl. 20 Ögr, 7 Pf. 
Gold betragen. 

Man erachtet leicht, dass bei dieser £inrichtuD|; das Deficit noch nicht yöUig gedeckt ist: in der 
That ei^bt die Rechnung, dass, den Anfang der Wirksamkeit vom i. Oct. t845 an yorausgesetzt, noch 
2063 Rthl. ungedeckt bleiben, bei späterm Anfang de^ erhöheten Beitrags also nach Yerhältmss mehr. 
Wenn jedoch der zur Zeit noch bestehende höhere Zinsgenuss yorerst noch ohne erhebliche Schmälerung 
fortdauern wird, und sonst keine bedeutenden Verluste eintreten, so könnte man hoifen, dass jener Defi- 
citsrest nach einer massigen Anzahl von Jahren yon selbst zur Deckung gelangen werde. Die Gesellschaft 
darf jedoch, wenn sie jenen Plan annimmt, sich nicht verhehlen, dass die Witwenkasse unter so sehr knap- 
per Anmessung der Mittel zu den Obliegenheiten einem Schiffe gleicht, welches schwerbelastet in seich- 
tem Fahrwasser geht, und seine Sicherheit nur in fortwährendem wachsamen Sondiren findet. 

Die CommiBsion hält daher für unumgänglich nothwendig, dass mit obiger Regulirung noch ver- 
bunden werde 

III. eine in angemessenen Zeitintervallen (etwa aller i o oder 5 Jahr) zu vriederholende sorgfiütige 
neue Bilanzrechnung, und dass je nach deren Ergebnissen eventuell weitere Nachhülfe vorbehalten bleibe. 
Als eine nothwendige vorbereitende Maassregel dazu würde von jetzt an eine solche pünktliche Buch- 
führung über die für die Witwenkasse relevanten persönlichen Verhältnisse aller Interessenten, wie bereits 
an mehrem Stellen der Denkschrift angedeutet ist, einzuführen sein. 

Die Commission hält es nicht für nöthig, die Vortheile, welche diese Regulirung darbietet, hier 
weitläuftig zu entwickeln , und macht nur auf Folgendes aufmerksam. Findet sich nach der ersten oder 
zweiten Revision, dass die Bilanz sich nicht nur gebessert, sondern viel mehr gebessert habe, als man 
hatte hoffen können, so wird man die Pensionen weiter erhöhen dürfen von 250 Rthl. auf 260 Rthl. für 
den Fall einer Witwenzahl unter 1 8 , oder für den Fall der hohem Witwenzal^ die ganze Zusatzdividende 
von 900 Rthl. auf loso Rthl. (d. i. 18 mal^ 60 Rthl.}. Findet sich hingegen bei der Revision eine Ver- 
schlechterung der Bilanz, so wird man sich einige weitere Anstrengung gefallen lassen aber zugleich um 
so mehr Glück wünschen müssen, 1840 nicht die Hände in den Schooss gelegt zu haben. In beiden Fäl- 
len aber wird man die weitem Maassregeln mit Bewusstsein der Sicherheit oder der Nothwehdigkeit tref- 
fen können. 

Dass mit Annahme dieser Regulirung der Anfang des §. l o des Regulativs , der in seiner unklaren 
Fassung als eine Hauptquelle des jetzigen Übels betrachtet werden muss, von selbst wegfällt, braucht nicht 
erinnert zu werden. 

Bei der Anwendung der in diesem Plane enthaltenen Nörmimng darf abseiten der Witwenkasse kein 



*) Es werden hier der Kürze wegen immer nur Witwen genannt, es versteht sich aber von selbst, dass 
immer eine Waisenpension wie eine Witwenpension gezählt werden muss. 



ANWENDUNG DER WAHSSGHEINUCHKBIT8RECHNUKO ETC. 161 

Unterschied zwischen den jetzigen Witwen und den künftig hinzukommenden gemacht werden, denn nur 
imter Voraussetzung einer ganz gleichen Behandlung ist es möglich geworden, das Deficit auf den massi- 
gen Best von 2963 Rthl. herabzuhringen. Zudem wflrden die neuen Witwen, wenn den fHihem eine ex- 
ceptionelle Bevorzugung aus der Kasse gewährt würde, sich für l&dirt halten, da die Möglichkeit, bei so 
sehr gelinden Modificationen der Pensionen stehen zu bleiben , bloss durch die Erhöhung der Beitrftge be- 
wirkt wird , an welcher die Ehemänner der neuen Witwen Theil genommen haben werden , die der frühem 
sbe^ nicht. Da jedoch, von der andern Seite, als wflnschenswerth erscheint, dass jeder wenn auch im 
Rechte nicht begründeten Unzufriedenheit der gegenwärtigen Witwen vorgebeugt werde, so schlägt die 
Commission vor 

dass von Seiten der Universität an das h. Cnratorium die Bitte gerichtet werde, fClr die Zeit, 
wo in Folge obiger Regulirung der Pensionsbetrag unter 250 Rthl. herabgehen wird, den ge- 
genwärtigen Witwen, so viele dann nod^ am Leben sein werden, das an 250 Rthl. fehlende aus 
der Universitätskasse ergänzen zu lassen. 
Eine solche Bitte würde sich mit nahe liegenden Gründen unterstützen lassen. Auch ist leicht zu 
übersehen, dass eine solche Beihülfe der Universitätskasse keine grosse Last auflegen könne. Unmöglich 
wäre es sogar nicht, dass der Fall der Beihülfe memals einträte. Aber noXLte sie auch, wenn früher eine 
neue Witwe hinzukommt, ehe eine der bisherigen abgegangen ist, bald schon erforderlich werden , so wird 
doch voraussichtlich fQr geraume Zeit der Zuschuss ftir jede einzelne Witwe nur wenige Thaler betragen 
können* In späterer Zukunft, z. B. nach ao Jahren, könnte wenn^wir Beispielshalber einen der extrem- 
sten Fälle annehmen, dass nemlich bis dahin gar keine Erhöhung der Pension zulässig geworden und die 
Zahl der Witwen auf 30 gestiegen wäre, die Grösse des Zuschusses für eine Witwe 20 Rthl. betragen: 
allein dann werden wahrscheinlich von den jetzigen Witwen nur noch wenige am Leben sein. 

Die Commission glaubt hier noch ein paar andere Einrichtungen , die als Mittel zur Verbesserung der 
Bilanz zur Sprache gebracht sind^ erwähnen zu müssen , ohne jedoch einen Antrag darauf richten zu wollen. 
Es ist zuvörderst in Frage gekommen, ob nicht einige Verbesserung der Bilanz dadurch erreicht 
werden könne, dass den künftig eintretenden ausserordentlichen Professoren nur der Anspruch auf eine 
geringere Witwenpension beigelegt würde. Diese würden sonach eine zweite Klasse von Interessenten bil- 
den, aus der sie bei ihrer Bef&rderung zur ordentlichen Professur von selbst in die erste hinaufirückten : 
die Beiträge der Mitglieder zweiter Klasse sollten dagegen ihre bisherige Grösse von 2 Louisd'or behalten. 
Den jetzigen ausserordentlichen Professoren sollte die Wahl gelassen werden , ob sie in der ersten Klasse 

bleiben oder in die zweite übertreten wollten , so jedoch , dass im letztem Fall ein Rücktritt in die erste 

« 

Klasse nicht zulässig wäre, so lange sie ausserordentliche Professoren blieben. 

Zu richtiger Würdigung dieses Gedankens ist zuvorderst wohl zu bedenken, dass in dem oben 
S. [f«o] aufgestellten Hauptplan die Reduction des Deficits von 17 520 Rthl. auf 2963 Rthl. wesentlich 
von der Voraussetzung abhängt, dass die Beiträge alier Mitglieder, der jetzigen wie der künftigen von 2 
auf 3 Louisd'or erhöhet werden , und dass mithin jener Hauptplan gar nicht bestehen kann , wenn diese 
Voraussetzung einen wesentlichen Abgang erleidet, ohne dass daftir anderweit ein vollständiger und siche- 
rer Ersatz eintritt. Durch diese Betrachtung wird eine sonst durch ihre Einfachheit sick empfehlende Art, 
die Pension der zweiten Klasse niedriger zu normiren, von selbst als unzulässig ausgeschlossen, die nem- 
lich, dass man den Witwen sweiter Klasse nur den fixen Theil der Pension, nemlich 20 o Rthl. einräumen, 
oder sie völlig der Professorin G. gleichstellen sollte. Denn in der That ist leicht zu übersehen, dass da- 
durch sehr wahrscheinlich die Kasse gar keinen Ersatz für jene Einbusse an Beiträgen eriialten, und nur 
die Witwen erster Klasse etwas besser gestellt werden, indem die Zusatzdividende unter eine geringere 
Zahl von Partidpanten vertheilt würde. 

26 



162 NAOHLASS. 

Eher könnte als zulässig erscheinen die Einrichtung, dass f&r die Witwen zweiter Klasse, neben 
gleichmässiger Theilnahme an der Zusatzdividentle , der fixe Theil. der Pension niedriger als 2do Bthl. 
z. B. zu 150 Rthl. festgesetzt würde. Erw&gt man jedoch, 

dass die Einbusse an Beiträgen sogleich anfängt, sobald die z^veite Klasse constituirt ist, und dann 
fortwährend zunimmt , je mehr neue ausserordentliche Professoren ernannt werden ; 

dass jetzt unter den 5 1 Mitgliedern der Witwenkasse 20 ausserordentliche Professoren sich befinden, 
und folglich , wenn auch in Zukunft ein ähnliches Verhältniss bleibt , von der im Hauptplane vorausgesetz- 
ten Beitragserhöhung ein nach und nach bis zu f anwachsender Theil ausbleibt; indess dagegen 

der Ersatz aus eintretenden geringem Pensionirungen aller Wahrscheinlichkeit nach erst nach lan- 
ger Zeit anfangen, und bei der sehr geringen Mortalität, die demjenigen Alter zukommt, in dem die Mehr- 
zahl der ausserordentlichen Professoren zu stehen pflegt, auch, durchschnittlich, selten sein wird 

so bleibt es sehr problematisch, ob die Bestimmung des festen Theils der Pension zu 150 Rthl. für 
die zweite Klasse zureichen würde, der Kasse auch nur den vollen Ersatz für den Verlust durch die ge- 
ringem Beiträge zu gewähren. Noch viel weniger aber dürfte man eine solche Maassregel als entschieden 
zum VortKeü der Kasse gereichend annehmen. [Dazu wäre man nur berechtigt, wenn man entweder die 
Beiträge in der zweiten Klasse eben so hoch wie in der ersten beibehielte, oder die Pension noch erheb- 
lich unter 150 Rthl. herabsetzte; allein das eine wie das andere würde so sehr wie eine Härte erscheinen, 
dass die Commission sich nicht dafür erklären kann.] 

Eine andere Maassregel, durch welche zuweilen der Kasse einiger Vortheil zuwachsen könnte, wäre 
die Aufhebung der im lo. Artikel des Regulativs enthaltenen Bestimmung, nach welcher dio Witwenpen- 
sion durch eine Wiederverheirathung der Witwe ganz erlischt. Der Zweck dieser Verordnung kann nur 
gewesen sein, dass man in der Voraussetzung, solche Fälle würden öfters vorkommen, der Kasse einen 
Gewinn hat zuwenden wollen. Allein dieser Zweck wird so gut wie ganz verfehlt, da der Erfahrung zu- 
folge Wiederverheirathungen der Witwen unter diesen Umständen etwas fast Unerhörtes sind. (Es ist schon 
in der Denkschrift bemerkt, dass in mehr als loo Jahren nur Ein solcher Fall vorgekommen ist.) Zweck- 
mässiger ist ohne Zweifel die bei andern Witwenkassen bestehende Einrichtung, dass die Witwenpension 
während eines zweiten Ehestandes nur ruhet, aber wieder auflebt, wenn die Wiederverheirathete zum 
zweiten Male Witwe wird. Man vergleiche die Statuten der Hof- und Civil -Diener Mltwenkasse §. 25, 
der Prediger- Witwenkasse §.24, der Schiülehrer- Witwenkasse §. 22. Der Fall, wo der zweite Ehemann 
wieder ein hiesiger Professor ist, würde wohl ausgenommen werden müssen, da es unzulässig scheint, aus 
unsrer Witwenkasse Einer Witwe (oder Einer Familie) zwei Pensionen zu gewähren. Dagegen aber dürfte 
es rathsam sein , von weitem Beschränkungen der Reviviscenz Umgang zu nehmen , imd namentlich die 
volle Professorenwitwenpension auch für den Fall wieder zuzuführen, wo die Witwe durch ihre zweite Ver- 
heirathung z. B. mit einem Prediger oder andern Staatsdiener eine Pension aus einer andern öffentlichen 
Kasse erhielte. Man muss nemlich erwägen, dass von einer Abänderung des bisherigen Statuts nur in so 
weit eine Wirkung erwartet werden kann , als die Abänderung nicht wieder durch Ausnahme-Verfügungen 
aufgehoben ist. Dass übrigens in dem Falle, wo aus der ersten Ehe Kinder unter 20 Jahren vorhanden 
sind , die Waisenpension auch während der zweiten Ehe in demselben Maasse wie bisher fortdauern müsste, 
versteht sich von selbst. 

Note zum Commüsionsherichte. 

Wenn die Ausdrücke Bilanz und Deficit in Beziehung auf das Finanzbudget eines Staats gebraucht 
werden, so versteht man unter ersterer die Vergleichung der Ausgaben und Einnahmen, wie sie für Ein 
Jahr, oder fUr eine kleine Anzahl von Jahren, die eine Finanzperiode bilden, nach präsumtiver Veran- 



ANWENDUNG DER WAHBSCHEJNUCHKEITSRECHNUNO ETC. 163 

schlagung erwartet werden , und unter Deficit den Unterschied i wenn für die Ausgabe eine grössere Summe 

sich ergibt, als für die Einnahme. In einem solchen Zusammenhange sind Überschüsse und Deficit ein- 

■ 

ander gerade entgegengesetzt, und das eine schliesst das andere von selbst aus. 

Von einer solchen Rechnung unterscheidet sich diejenige, welche in der zweiten Abtheilung der 
Denkschrift für die Witwenkasse geführt ist, in zwei wesentlichen Stücken, 

i) Die letztere vergleicht nicht die Ausgaben und Einnahmen für Ein Jahr, oder für einige Jahre, 
sondern umfasst beide für die ganze unbegrenzte Zukunft, so weit und so genau, als es möglich ist, die^ 
selbe im Voraus zu veranschlagen. 

2) Sie summirt nicht die Gelder selbst, in der Grösse wie sie werden verausgabt oder vereinnahmt 
werden (was auch wegen der Unbegrenztheit ohne Sinn sein würde), sondern deren nach bestimmtem Zins- 
fuss auf den Anfangszeitpunkt discontirte oder redueirte Werthe. In diesem Sinne Ifisst sich auch eine ohne 
Begrenzung fortlaufende Reihe von Ausgaben oder Einnahmen doch zu einem bestimmten endlichen Re- 
sultate summiren, und diese Möglichkeit leuchtet leicht ein, wenn man bedenkt, dass eine Geldsumme 
durch Piscontirung für einen sehr langen Zeitraum ganz enorm zusammenschmilzt, wie z. B. eine nach 422 
Jahren zu leistende Zahlung von '7000 Rthl. nach dem Zinsfusse von 3^ Procent jetzt nur den Werth von 
tinem Pfennig hat. Noch leichter kommt man zu demselben Resultate durch die Erw&gung, dass der jetzige 
Geldwerth einer ohne Auf hören 'jährlich in gleicher Grösse zu leistenden Zahlung nichts anderes ist, als 
die Kapitalsumme, welche nach dem gewählten Zinsfusse jährlich einen eben so grossen Zins abwirft. 

Es ist nun zwar schon von selbst klar, dass wenn nach den factLschen Grundlagen einer solchen 
fiechnung die Ausgaben in späterer Zeit grösser sein werden als jetzt, die ausser den Xapitalzinsen aber 
noch Statt findenden Einnahmen hingegen in der Rechnung nicht als steigend angenommen werden dürfen, 
das Resultat der Rechnung ein Deficit sein wird, falls jetzt Einnahme gegen Ausgabe keinen Überschuss 
gibt. Allein es lässt sich nicht ohne Weiteres umgekehrt behaupten, dass wenn jetzt Überschüsse von der 
Einnahme gegen die Ausgabe Statt finden , kein Deficit in der Totalrechnung sein werde , denn dazu inrd 
nicht nur das Dasein von Überschüssen sondern eine hinlängliche Grösse derselben erfordert. Hat eine 
richtige Total-Bilanz-Rechnung als Endresultat ein Deficit ergeben, so steht dadurch fest, dass die jetzi- 
gen jährlichen Überschüsse zu klein sind, um die in späterer Zeit bevorstehenden Ausfälle zu decken. Die 
richtige Rechnung hat die gegenwärtigen zeitweiligen Überschüsse schon als Bestandtheile der Bilanz mit 
berücksichtigt, und dieselben dürfen der Anstalt nicht xweimal in Einnahme gestellt werden. 

Eben sofaisch, wie die Einbildung, dass jetzige zeitweilige Überschüsse ein jetzt vorhandenes 'De* 
fieit vermindern werden , ist die Vorstellung , dass dies Deficit dann getilgt sein werde, sobald das Vermö- 
gen eine dem Betrage des Deficits gleichkommende Vergrösserung erhalten habe. Ein solcher Schluss ist 
nur in dem einzigen Falle zulässig, wenn die Vergrösserung des Vermögens sogleich uüd zwar durch ^emd« 
in der Bilanz nicht schon enthaltene Zuflüsse bewirkt wird. Gesetzt z. B. das Vermögen der Witwenkasse 
habe sich nach 20 Jahren (etwa theilweise unter Mitwirkung von neuen Zuflüssen die aber nicht fortdauern- 
der Art wären) um 17 520 RthL vergrössert, so wird darum alsdann doch das Deficit nicht gehoben sein, 
«ondem es kann dann möglicherweise grösser sein als jetzt. Die Bilanz am i. Oct. 1865 wird nemlich her- 
Torgehen aus Vergleiohung des dann vorhandenen Kassenvermögens mit dem auf diesen Zeitpunkt disoon- 
tirten Betrage aller von da an bevorstehenden Ausgaben , welcher Betrag viel grösser sein wird, als der 
ähnliche Betrag für den i. Oct. 1S45, und zwar aus dem einfachen Grunde, weil 1865 der Zeitpunkt der 
viel grossem jährlichen Ausgaben so viel näher gerückt sein wird, ja höchst wahrscheinlich diese alsdann 
schon in bedeutendem Maasse eingetreten sein werden. 



164 NACHLASSr 

[IV.] 

Bilanz zwischen den Verpflichtungen und den Mitteln der Professoren - Witwenkasse zu Göttingen. 

In Folge des ron der Univenitäts-Kirchendeputatioii Tor einigen Monaten mir erOifoeten Wunsches 
habe ich mich der jieuen Berechnung der Bilanz der Professoren -Witwenkasse unterzogen und diese Arbeit 
jetzt vollendet. Ich werde meinen Bericht darüber so ianordnen , dass ich zuerst die nöthigen allgemeinen 
Erlftuterungen Toransschicke ; hiemAchst die Biianzrechnung selbst In einer concisen leicht flbenichtlichen 
Form aufstelle ; sodann die einzelnen Posten der Rechnung näher erörtere, und endlich die Vorschlige fSr 
die nftohst bevorstehende Periode daran knüpfe. 



Die Büansaufstellung für ein solches Institut wie unsre Witwenkasse muss sich offenbar auf einen 
bestimmten Zeitpunkt beziehen. Dass ich dafür diesmal den i.'October 1851 gewählt habe, wird keiner 
weitläuftigen Rechtfertigung bedürfen. Die erste Bilanzrechnung war für den i.October 1845 gestellt ge- 
wesen: aus nahe liegenden Gründen muss die Zwischenzeit zwischen zwei auf einander folgenden Prüfun- 
gen eine volle Anzahl von Jahren umfassen , um das Resultat reiner hervortreten zu lassen ; endlich, wenn 
in Folge der neuen Prüfung eine Modification der bisherigen Pnnktationen als angemessen erscheinen sollte, 
so wird man bei dem Beschluss offenbar viel lieber sich auf den neuesten Zustand stützen wollen , als auf 
denjenigen, welcher vor einem Jahre Statt gefunden hat. Die jetzigen Statuten schreiben zwar aller fünf 
Jahre eine neue Revision vor: allein der Zeitpunkt, wo die Aufforderung an mich gelangte, Hess eine an- 
dere Wahl nicht mehr zu ; auch ist durch diese Erstreckung des fün^ährigen Zeitraumes auf einen sechs- 
jährigen nicht nur nichts verloren, sondern vielmehr eine noch etwas entschiednere Ausprägung der Zu- 
standsänderung gewonnen. 

Das Wesen der ganzen Bilanzrechnung der jetzigen wie der von 1845, besteht darin, dass nicht für 
das nächste Jahr und nicht für einige Jahre, sondern für alle Zukunft, einerseits die Obliegenheiten des 
Instituts, andererseits seine Hülfsmittel auf den äquivalirenden Capitalwerth zurückgeführt werden. Nur 
auf diesem Wege ist es möglich , einer Anstalt , die nur zum kleinsten Theile auf Beiträge, und dem gröss- 
ten Theile nach auf ihren Vermögensbesitz basirt, und in den letzten Decennien an Theilnehmerzahl so 
sehr vergrössert ist, die Haltbarkeit für alle Zukunft zu sichern. 

Obgleich diesmal eben so wie 1845 alle Rechnungen doppelt geführt sind, nemlich nach dem Zins- 
fuss von '6\ und nach dem von 4 Procent, so habe ich es doch für hinreichend gehalten, hier nur die Re- 
sultate nach ersteren aufzuführen. Ein Theil des Vermögens trägt wirklich nur 3f Procent; von einem 
andern jetzt höher verzinsbaren Theile ist eine Zinsherabsetzung in nicht zu grosser Feme nicht unwahr- 
scheinlich : jedenfalls aber ist eine Forderung der Vorsicht, bei derartigen Rechnungen immer einen etwas 
niedrigem Zinsfuss zum Gründe zu legen, als dermalen gangbar ist. 

Als Mortalitätstafeln , so weit die Rechnungen davon abhängig sind , habe ich auch diesmal die von 
Bbürb benutzt, die zuverlässigsten, die überhaupt vorhanden sind. 

Diejenigen Rechnnngselemente , welche nur aus den bei der Witwenkasse selbst gemachten Erfah- 
rungen abgeleitet werden können, und also an Zuverlässigkeit gewinnen, wenn diese Erfahrungen einen 
grossem Zeitraum umfassen, habe ich für die jetzige Bilanzrechnung sämmtlich neu bestimmt, indem ich 
die frühem Erfahrungen mit den neu hinzugekommenen verknüpfte. Bei den einzelnen Positionen wird 
dies näher angegeben werden. 

Endlich bemerke ich noch , dass bei aUen Geldangaben Goldwähmng zu verstehen ist, und dass die 
Originalrechnungen zwar durchgehends auf Bruch theile des Thalers genau geführt, diese Brachtheile aber 
in gegenwärtigem Auszüge weggelassen sind. Aus diesem Umstände hat man einige scheinbare kleine Dia- 



ANWENDUNO DER WAHBSCHEINLICfHKEITSBECHNUNG ETC. 



165 



cordanwn bei den angesetiten Summationen zu erklftren, die hin und wieder eine oder ein Paar Einheiten 
betragen können. 

Biktfuarechnung der Wüwtnkaue ßtr i. October 185 1. 



Schuld. 

Thaler 
Capitalwerth des festen Theils der Pen- 
sionen 
I. ftlr die jetzt Torhandenen Witwen . • 18786 
1. fikr Witwen und Waisen der jetzigen 

Genossen 58463 

3. für Witwen und Waisen der künftig bei- 
tretenden Genossen • . • . . 40711 

4. Capitalwerth des beweglichen Theils der 

Pensionen nach jetziger Normirung . . 157x5 

5. Capitalwerth der sonstigen Ausgaben . . . 11907 



Snnuna Thaier 166581 



6. 

7- 
8. 



Gut. 

Thaler 
Capitalwerth 

des Ertrags der Apotheke 1857t 

der Beiträge der jetzigen Genossen . . . 8961 

der Beitrftge aller künftig eintretenden 

Genossen 13596 

Geldvermögen der Witwenkasse 111190 

Summa Thaler 173419 

Das Resultat der Bilanzrechnung ist also 
ein ÜherschfUB von 6837 Thalem. 



Die einzelnen Positionen der vorstehenden Bilanzrechnung begleite ich mit folgenden nfthem Er- 
örterungen« 

Zu (1). Der Capitalwerth der W^twenpensionen ftür sämmtliche 16 jetzt Torhandene Witwen nach 
dem festen Bestandtheile (zu 200 Thaler für jede) ist die Summe der jetzigen Capitalwerthe dieser Pensio- 
nen für jede einzelne Witwe nach ihrem Lebensalter berechnet, mit Berücksichtigung OTentueller Waisen«* 
Pensionen, wo minorenne Kinder jetzt vorhanden sind. Ich setze diese Werthe einzeln hieher: die Wit- 
wen sind numerirt nach der yollstftndigen Reihenfolge seit Stiftung der Anstalt. 



3» 


SCH. 


1066 Thaler 


55 


H. 


1834 Thaler 


65 


H. 


1003 Thaler 


44 


F. 


1611 


58 


G. 


1730 


66 


H. 


X171 


50 


H. 


1849 


59 


W. 


1861 


68 


M. 


1913 


5* 


P. 


1479 


61 


B. 


X003 


69 


D. 


1897 


53 


M. 


1811 


63 


G. 


1309 


70 


L. 


iiH 



Die Zahlen (3) imd (7) sind durch folgendes Verfahren ermittelt, dessen Rechtfertigung in der Denk- 
schrift von 1845 zu finden ist. Unter den 53 Mitgliedern, welche ' gegenwärtig die Genossenschaft aus* 
machen, sind zur Zeit 47 verheirathet. Für jedes derselben ist, nach Maassgabe des Alters des Mannes 
und der Frau , der jetzige Capitalwerth sowohl der von ersterm zu leistenden Beitr&ge (zu 1 5 Thaler jähr- 
lich), als der der letztem im Fall des Überlebens zu Theil werdenden Witwenpension nach ihrem festen 
Theile (zu 100 Thaler} berechnet. So verstanden, ergibt sich die Summe der Beiträge zu 7047 Thaler, 
die Summe der Pensionen zu 45364 Thaler. Um die 6 jetzt unverheiratheten Mitglieder mit zu berück- 
sichtigen, werden diese Zahlen mit f| mtdtiplicirt, woraus die Beiträge =8061 Thaler, und die Pensio- 
nen =r 51156 Thaler hervorgehen: erstere Zahl ist obige Position (7}. Letztere, der Waisenpension we- 
gen um -f Tergrössert, ergibt 58463 Thaler, die Position (2). 

Die Rechtfertigung der Annahme des Bruches ^ tCa die Waisenpensionen, anstatt des 1845 ange- 
wandten Bruches •^, wird bei der Nachweisung der Positionen (3) und (s) gegeben werden. 

Ich setze noch die Resultate obiger Rechnung ftbr die einzelnen 47 Terheiratheten Mitglieder hie- 
her. Die Numerirung ist die Reihefolge des Eintritts in die Anstalt; die Zahlen der dritten Columne 
«nd die Beiträge, die der vierten die Pensionen. 

27 



16t) 










KAGHLA8S. 


• 










135 


0. 


loa Thl. 


1179 Thl. 


170 


R. 


124 Thl. 


126X Thl. 


»99 


F. 


167 TW. 


937 Thl. 


138 


C. 


82 


1402 


171 


C. 


132 


955 


200 


L. 


211 


748 


139 


u. 


X37 


730 


173 


F. 


168 


931 


201 


W. 


194 


749 


140 


H. 


134 


"99 


174 


H. 


163 


1354 


202 


M. 


201 


991 


HI 


L. 


"3 


833 


175 


R. 


195 


996 


203 


B. 


167 


751 


147 


R. 


»33 


1188 


176 


L. 


190 


1122 


204 


E. 


201 


697 


M9 


G. 


i»7 


1439 


177 


W. 


176 


936 


205 


H. 


195 


790 


151 


0. 


173 


870 


180 


T. 


177 


887 


206 


H. 


188 


854 


153 


B. 


154 


1271 


185 


W. 


198 


919 


207 


W. 


200 


783 


X55 


K. 


145 


727 


186 


H. 


169 


"34 


208 


E. 


175 


1278 


156 


v.S. 


146 


662 


187 


W, 


x8o 


748 


209 


B. 


154 


Z051 


160 


H. 


161 


"73 


189 


H. 


172 


953 


211 


S. 


195 


Z164 


161 


B. 


156 


682 


192 


R. 


188 


782 


212 


T. 


181 


895 


164 


W. 


159 


"55 


193 


G. 


206 


896 


213 


W. 


200 


811 


167 


S. 


190 


835 


195 


D. 


191 


822 


214 


B. 


x88 


915 


169 


z. 


180 


943 


196 


B. 


207 


968 











>1 



tt 



Zum Verständniss der Positionen (3) und (8) dient Folgendes« Das älteste der jetzigen Mitglieder 
hat die Numerirung 135: die ersten 134 sind sämmtlich Terstorben oder auf andere Weise ausgeschieden. 
Für jedes dieser 134 ausgeschiedenen Mitglieder ist berechnet: der Betrag der ron demselben geleisteten 
Beiträge, und, wo Hinterbliebene Pensionen erhalten haben, der Betrag der Witwenpensionen und der 
Waisenpensionen. Alle diese Zahlungen sind aber nicht nach ihrer wirklichen Grösse in Ansatz gebracht, 
sondern nach den gegenwärtig bestehenden Sätzen, nemlich 15 Thaler filr jährlichen Beitrag, und 200 Thaler 
als jetziger Betrag der festen Pension: ausserdem aber sind sämmtliche gezahlten oder empfangenen Gel- 
der durch Discontirung auf das Zeitmoment des Eintritts des betreffenden Mitgliedes reducirt. Rflcksicht- 
lich der Modificationen , welche an diese Rechnungen noch angebracht werden mussten bei denjenigen aus 
diesen 134 Mitgliedern, von welchen die Witwen noch am Leben sind, beziehe ich mich auf meine Denk- 
schrift von 1S45. 

So verstanden, beträgt für alle diese 134 Mitglieder 

die Summe aller Beiträge 25506 Thaler 

die Summe aller Witwenpensionen 66771 

die Summe aller Waisenpensionen 9604 
woraus sich die Durchschnittswerthe ergeben: für die Beiträge 190,35 Thaler, für die Witwenpensionen 
499,29 Thaler, für die Waisenpensionen 71,67 Thaler. Im Jahr 1845, wo die bis dahin ausgeschiedenen 
Mitglieder sich in ununterbrochener Folge nur bis zu Nr. 10s erstreckten, hatte ich für diese eine ganz 
ähnliche Rechnung ausgeführt, welche fCbr die Durchschnittswerthe, wenn sie in dieselbe Form gebracht 
werden, eigeben hatte: 193,18 Thaler; 503,08 Thaler; Si,07 Thaler. Man erkennt hieraus mit BeMedi- 
gung, dass die bisherigen Erfahrungen sich schon sehr wohl zur Feststellung von Durchschnittswerthen 
eignen , und darin der Abschätzung der künftigen Bedürfnisse eine werthvolle Grundlage geben. Nach dem 
neuen Resultate ist das Verhältniss der Waisenpension zur Witwenpension durchschnittlich sehr nahe ^, 
welches zur Feststellung der Position (2) benutzt ist (man vergl. S. [165] am Schluss). 

Da nun ferner den allmähligen Leistungen jedes neu eintretenden Mitgliedes einerseits, und den Pen- 
sionsbezügen durch seine Relicten andererseits, die Summen 190,35 und 569,96 Thaler, im Zeitpunkte des 
Eintritts einmal in die Kasse eingezahlt und resp. aus derselben ausgezahlt, nach den Durchschnittswert 
then äquivaliren : so brauchte man, wenn jedes Jahr Ein neues Mitglied einträte, nur diese beiden Zahlun- 
gen jedes Jahr wiederholt zu denken, und sie nun zu capitaUsiren , d. i. ein für allemal der Kasse theils 
die Capitalsumme 6439 Thaler als Einnahme zuzuweisen, theils die andern 16285 Thaler als Ausgabe an- 
zurechnen , um den Verpflichtungen und Berechtigungen aller künftig beitretenden Mitglieder Rechnung zu 
tragen. Diese Summen müssen nun aber noch mit derjenigen Ziffer multiplicirt werden, welche die Durch- 



ANWENDUNQ DER WAHfiSGHEINUGHKEITSBBCHNUKG ETC* 167 

schnittsMhl der jährlich neu beitretenden Mitglieder ausdrückt. In der Denkschrift von 1S45 habe ich 
dafür 1^ angenommen, ohne zu verschweigen, dass dieses Element ein sehr Ungewisses ist: alles wohl er- 
wogen, habe ich dieselbe Ziffer auch diesmal beibehalten zu müssen geglaubt, und so haben sich die in 
der Bilanzrechnimg angesetzten Positionen (8) und (3) ergeben. 

Die Position (4) ist die capitalisirte jährliche Ausgabe yon ,900 Thalem, woTon der bewegliche Theil 
der Witwenpension zu bestreiten ist. Diese Summe wird unter alle berechtigten Witwen zu gleichen Thei- 
len Tertheilt, wenn deren Anzahl 18 oder mehr beträgt; ist die Anzahl kleiner, so erhält jede 50 Thaler. 
Es erhellet hieraus, dass im letztem Falle (der auch in diesem Augenblick Statt findet) die Kasse eine 
Erspamiss macht, welche in der Bilanz nicht mit berechnet ist, und für etwas längere Zeit auch gar nicht 
im Voraus berechnet werden kann: jedenfalls aber ist diess nur ein vorübergehender Vortheil, welcher in 
späterer Zeit , wenn die Folgen der jetzigen grossen Ausdehnung der Genossenschaft sich erst entwickelt 
haben werden, selten oder vielleicht niemals wieder vorkommen wird. 

Als Durchschnittswerthe der Nebenausgaben habe ich angenommen 

28 Tbl. 4 Ogr — Pf . für Processkosten, soweit sie nicht erstattet, 
61 „ s „ „ für Baukosten 
133 „ 9 „ 5 „ für KeohnungsfOhrung und Copialien 
136 „ 6 „ 3 ,, für Verluste 
Zusammen 359 Tbl. 4 Ggr. 5 Pf. 
Diese Ansätze gründen sich auf die Erfahrungen der letzten 21 oder 20 Jahre. Bei der Rechnung 
Ton 1845 hatten nur Erfahrungen von is oder 14 Jahren zum Grunde gelegt werden können, welche die 
Totalsumme 323 Tbl. 13 Ggr. ergeben hatten. Die erstere Zahl, capitalisirt, erbringt 10262 Tbl. loGgr. 
Dieser Betrag unter ZufQgung von 2644 Tbl. 4 G^. (als mittlerm Werthe des unproductiven Vermögenstheils 
nach 17 jährigem Durchschnitt) bildet die Position (5). Für die letztere Zahl war übrigens in der Rechnung 
von 1845 nach 1 1 jährigem Durchschnitt der nahe gleiche Werth 2635 Tbl. is Ggr. 4 Pf. angenommen worden. 
. Die Position (6) entsteht aus der Capitalisirung der jährlichen Einnahme aus dem Pachtzins der 
Universitäts- Apotheke (1000 Thaler}. 

Die Position (9) bedarf auch noch einiger Erläuterungen. In der Xahresrechnung für 18S0 — 1851 
ist das Geldvermögen der Kasse für den 1. Julius 1851 zu 125076 Tbl. 1 Ggr. 11 Pf. angesetzt, wovon 
die verzinslichen Capitale 123372 Tbl. 2 Ggr. 7 Pf. ausmachen; das übrige besteht in dem haaren Geld- 
vorrath, den Bückständen, und einem dem Universitätsapotheker bewilligten unverzinslichen Vorschuss. 
Die Capitale sind etwa zur Hälfte bei Privatschuldnem hypothekarisch, die übrigen in unkündbaren Staats- 
paineren angelegt, und diese letztem sind in der neuesten Jahresrechnung (eben so wie schon in mehrem 
vorhergehenden) schlechthin nach dem Nominaiwerthe in Ansatz gebracht Im Jahre 1845 waren hingegen 
diese Ansätze nach den Ankaufpreisen gemacht, und ich habe in meiner damaligen Rechnung dieselben 
ungeändert beibehalten , weil damals die Schwankungen in dem Werthe der Staatspapiere viel geringer wa- 
ren, als seit den letzten 3 bis 4 Jahren. Jetzt, wo ein beträchtlicher Theil der zum Vermögen der Witwen- 
ksase gehörenden Staatspapiere so sehr tief unter dem Nennwerthe steht , halte ich für nothwendig, in der 
Bilanzrechnung die Papiere nach dem zeitigen wirklichen Werthe, wie sie sich realisiren lassen, zu eva- 
luiren. Ich habe dazu die Börsencourse in Frankfurt und Hannover vom 1. October angewandt, weil doch 
ein bestimmtes Datum gewählt werden musste. Es sind die folgenden 



Oesterreichische i^ Metalliques . . 67|- 

— 4^ bei GoU .... 69j 

— 4| bei Bethmann 7i| 
Badensche 3|^ 87t 



Hannoversche 5 Proc. ... I04i- 

— 4 Proc. ... 102 

— 3f Courant 98-4 

— 3f Gold . . 97{ 



168 KACHLASS. 

Den Goldcoun habe ich angenommen i Louisd'or = 9 fl. 3S kr. und = fi|- Thaler Courant. TheO- 
weise sind übrigens die Course seitdem noch etwas, obwohl nur wenig, gewichen. 

Das Resultat dieser Reductionen ist , dass dieselben verzinslichen Capitale, welche nach dem Nenn- 
werthe zu 123372 Thaler angesetzt sind, nach dem zeitigen Börsencourswerthe nur 119044 Thl. 23 Ggr. 
erbringen, welcher Summe ich noch diejenigen 800 Thaler zusetze, für welche das vormals MüUersche Haus 
verkauft ist. So stellt sich unter Beifügung der andern Posten (baarer Geldvorrath u. s. w.) das Geldver- 
mögen der Witwenkasse fOi den 1. Julius 1851 auf 

121548 Thaler 22 Ggr. 

Um, so weit ich dazu im Stande bin, die Reduction auf den l. October 1851 abzuschätzen, ziehe 
ich von dieser Summe ab die auf Michaelis fällig gewordenen Witwenpensionen mit . 17 87 Thl. 12 Ggr. 
und setze hinzu 

den Betrag der Beiträge für das Jahr 1850 bis 1851 7 so 

den halbjährigen Pachtzins für die Apotheke 500 

und einen vierteljährigen Betrag der Zinseinnahme, unter Zugrundelegung der letzt- 
jährigen mit Abzug der Einziehungskosten 1248 ,, lo 

woraus dann obige Position (o) hervorgeht. 



ff 



In Erwägung des bedeutenden Plus, mit welchem die Bilanzrechnung abschliesst, erscheint eine 
Erhöhung der Pension für die nächst bevorstehende Periode als zulässig, und über die Grösse der Erhö- 
hung habe ich Folgendes zu bemerken. 

Wenn die Frage aufgestellt wird, um wie viel unter Beibehaltung aller übrigen Einrichtungen der 
bewegliche Theil der Witwenpension erhöhet werden muss, damit in der Bilanz Debet und Credit zur 
vollkommenen Gleichheit gebracht werden, so findet sich durch eine leichte Rechnung diese Erhöhung 
=: 13 Thl. 7 Ggr. Wählt man eine kleinere Erhöhung, so schliesst die veränderte Bilanz noch immer mit 
einem Plus ab, mit einem Minus hingegen, wenn eine grössere Erhöhung angenommen wird. Würde also 
der bewegliche Theil der Pension von jetzt an auf 60 Thaler normirt, so dass jede der daran berechtigten 
Witwen zusammen 260 Thaler erhielte, so lange deren Anzahl nicht 18 überschreitet, im entgegengesetzten 
Falle hingegen neben dem festen Theil zu 200 Thaler noch den betreffenden Antheil an der Totalsumme 
loso Thaler, so würde die auf gleiche Art wie oben geführte Bilanzrechnung noch mit einem Plus von 
1695 Thalem abschliessen. Man hat also zu dieser Maassregel nicht nur vollkommene Berechtigung, son- 
dern auch die Aussicht, dass nach wenigen Jahren eine abermalige Erhöhung wird Statt finden können, 
insofern keine groMe Verluste eintreten, der Genuss liöhem Zinsfusses noch fortdauert, und bei der jetzt 
nicht erreichten Anzahl der Witwen 18 von der in Rechnung gebrachten jährlichen Summe vorerst jähr- 
lich etwas erübrigt wird. 

Mit einem Minus von 877 Thalem hingegen würde die Bilanz abschliessen, wenn die Erhöhung auf 
15 Thaler, und mit einem Minus von 3448 Thalem, wenn dieselbe auf 20 Thaler festgesetzt würde. Ein 
so geringes Minus, wie das im erstem Falle sich ergebende, würde aus den eben angeführten Gründen 
schon nach kurzer Zeit sich ausgleichen , und daher die Normirung des beweglichen Theils der Pension auf 
65 Thaler (folglich bei mehr als 18 Witwen Yertheilung der Summe von 117 Thalem) an sich gar kein 
Bedenken haben : vielleicht aber würde man nicht gem von dem bisher immer beobachteten Gebrauch ab- 
weichen wollen, wonach die halbjährige Pensionssumme stets eine ganze Anzahl Pistolen betragen hat 
(welche kleine Bequemlichkeit allerdings von selbst wegfallen wird, sobald die Anzahl der Witwen über 
18 gestiegen ist). Schon jetzt aber den beweglichen Theil auf 7 Thaler «u setzen, würde ich schon des 



ANWENDUNG DEE WAHBSCHEIKUCHKEITSlffiCHNUNG ETC. l69 

Princips wegen nicht für gerathen halten, wenn ich auch unter den jetzigen günstigen Umständen gern die 
Hoffiaimg theile, dass das Minus von 3448 Thalem schon in den nächsten Jahren sich bedeutend vennin- 
dern würde. 

Ich glaube im Vorstehenden der Universitäts-Kirchendeputation das hinlängliche Material zusammen- 
gebracht zu haben , wonach mit bewusster Sicherheit ein Beschluss gefasst werden kann , bin aber gern zu 
weitem Erläuterungen bereit, wenn- solche für nöthig gehalten werden sollten. 

Oöttingen den 19. October 1851. C. F. Oaüss. 



[Berechnung der Mtttehoerthe der Beiträge und Pensionen, 

Die Anzahl der in ununterbrochener Iteihenfolge nach der Numerirung ihrer Beitrittszeit bis zum 
1. October 1851 verstorbenen oder auf andere Weise aus der Professoren- Witwenkasse ausgeschiedenen Mit- 
glieder beträgt 134. Für jedes dieser 134 ausgeschiedenen Mitglieder ist in folgender Tabelle zusammen- 
gestellt: das Jahr an dessen l. Oct. (und nur ausnahmsweise an dessen i. Apr. bei Nr. 134) der Beitritt 
erfolgte , die Anzahl der Jahre und Monate , während welcher die Beiträge oder die Witwen und Waisen-* 
Pensionen ein- oder ausgezahlt wurden , ebenso diejenigen welche vergingen bis zu dem Zeitpunkte von wo 
sn die Pension gerechnet wird. Aus diesen Daten sind die in den daneben stehenden Spalten enthaltenen 
Werthe bestimmt, welche im Zeitpunkte des Eintritts für den Zinsfuss von 3^ Proc. und 4 Proc. den 
jährlich mit lo Tbl. eingezahlten Beiträgen und den mit 250 Thl. ausgezahlten Witwen- und Waisenpen- 
lionen gleichkommen. Die Ansätze zu lo Thl. und 250 Thl. sind von Gauss wohl deshalb gewählt, weil 
hierfür schon der grösste Theil der Tafel im Jahre 1845 berechnet war. Für die am i. Oct. 1851 noch 
lebenden Witwen der Mitglieder Nr. 86. 103. 104. loo. 112. 114. 122 und 134 ist der Capitalwerth der- 
jenigen PensionsbezQge die nach jenem Zeitpunkte noch erfolgen mussten, mit Zuhülfenahme der Bsuss'- 
ichen Sterblichkeitstafeln bestimmt und unter der Voraussetzung dass die Zahlung am Ende jedes Jahres 
aber nur bis zum Schluss des Sterbemonats erfolgt. Die aus dieser Zusammenstellung sich unmittelbar 
ergebenden mittleren Capital werthe der Beiträge und Pensionen sind in der Bilanzrechnung von 1851 be- 
nutzt und zwar nachdem durch Multiplication mit einem Correctionsfactor der Umstand berücksichtigt ist, 
dass die Pensionen nicht jährlich sondern halbjährlich gezahlt werden. Für die Waisenpensionen ist hier 
angenommen, dass sie bis zum Schlüsse des Monats galten, in welchem das 20*^ Lebensjahr des Kindes 
vollendet vnirde. 

Die han|}schrifllidle Tafel enthält keine Überschrift der einzelnen Spalten wie hier der Abdruck.] 



28 



170 



NACHLASS. 



Nr. 


Nr. 




Jahr 


Bei- 






Anf. 
der 


Auf die Zeit des Eintritts nach dem 


des 
Mit* 


der 
Wit^ 


Name 


des 
Ein- 


trag 
gez. 


Witwe 


Waise 


Pens, 
nach 
Eintr. 


Zinsfuss von 3I Proc. von 4 Proo. discontirte 


gl. 


we 




tr. 


J.M. 


J. M. 


J. M. 


J. M. 


Beiträge Witw.P Wais J? Beiträge Witw.P Wais.P 


I 


z6 


Gebauer 


1742 


30 


5. 9 




30.9 


183.92 


391.82 




172.92 


333.20 




1 


I 


Treuer , 


X742 





18. 7 




0. 5 





3325.27 







3181.63 




3 




Oesner 


1742 


x8 








131.90 






X26.59 






4 




HoUmann 


1742 


39 








211.02 






195.84 






5 




Heumann 


X742 


18 








13X.90 






126.59 






6 




Crusius 


X742 


4 








36.73 






36.30 






7 




Oporin 


1742 


zo 








83.17 






81. XX 






8 


2 


Reinharth 


1742 





X. 6 




I 





346.14 







342.26 




9 


5 


Köhler 


1742 


n 


23. 8 




12. 9 


96.63 


2565.58 




9385 


2292.07 




lO 


18 


Richter 


1742 


30 


7 




31 


183.92 


526.20 




172.92 


444.85 




IX 




V. Haller 


X742 


2 








19.00 




• 


18.86 






Zft 




Y. Segner 


X742 


Z2 








96.63 






93.85 






«3 


IX 


Feuerlein 


X742 


»3 


6. 8 




H 


156.20 


640.78 




148-57 


560.68 




H 


20 


Ayrer 


X742 


31 


»4 


' 


3» 


187.36 


1335.21 




175.88 


1086.57 




15 


3 


Penther 


X742 


7 


5» 




7-3 


61.14 


4631.51 




60.02 


4091.28 




i6 




Kahle 


1742 


5 








45 -«5 






44.5» 






17 


8 


Brendel 


1742 


15 


24. 7 




15- 9 


115.17 


»371-13 




XIX. 18 


2084.67 




i8 




Wähner 


X742 


17 








X26.51 






121.66 






19 




RiboT 


X742 


16 








120.94 






116.52 






20 




Böhmer 


X742 


54 








241.13 






219.93 






21 




Claproth 


X742 


5 








45-15 






44.5» 






22 


4 


Kortholt 


1742 


9 




«5- 3 


9 


76.08 




2139.12 


74.35 




1976.36 


»3 


6 


Wahl 


1743 


XX 


14. 2 




12. 3 


90.02 


1807.60 




87.60 


1647.63 




*4 


7 


T. Mosheim 


1747 


7 


25.X1 




8. 9 


61.14 


3118.70 




60.02 


2829.65 




»5 




Pütter 


1747 


60 








H9-45 






226.23 






26 


27 


Michaelis 


1751 


39 


x6. 2 




40.3 


2X1.02 


762.94 




195.84 


605.26 




»7 


14 


Achenwall 


1751 


20 




x8. 5 


21. 


X42.I2 




1617-44 


135-90 




14x0.52 


28 




Weber, A. 


1751 


II 








90.02 






87.60 






29 




Förtsoh 


X751 


21 








146.98 






140.29 






30 


9 


Mayer, Tob. 


1751 


IG 


18. 2 




10. 9 


83.17 


2293.04 




81. II 


2089.04 




jx 


xo 


Röderer 


X751 


XX 




13. 


12 


90.02 




1704-54 


87.60 




155914 


3* 


19 


Vogel 


1754 


19 


33-IO 




20 


137.10 


2468.73 




131-34 


2095.65 




33 


H 


Walch 


1755 


«9 


3- 9 




29.9 


180.36 


310.4X 




169.84 


265.91 




34 




Büsching 


1754 


6 








53.29 






52.42 


g\ 




35 


»3 


Meister 


«755 


26 


H- 4 




27 


168.90 


1599-74 




159.83 


1332.82 




36 


17 


Matthiae 


1755 


17 


27. 8 




18 


126.51 


2360.69 




121.66 


2042.62 




37 


21 


Murray 


1755 


20 




15.10 


2a 9 


I42.X2 




X469/>5 


135-90 




1281.09 


38 




Kuhlenkamp 


1755 


20 








142.12 






135.90 






39 


»5 


Uamberger 


1755 


«7 


8.10 




17.9 


126.51 


1016.16 




121.66 


912.02 




40 




Kästner 


«755 


x8 








131.90 






126.59 






41 




Heilmann 


1758 


5 








45-15 






44.5» 






4* 




Battner 


1759 


xo 








83.17 






8i.it 


«h ^ 




43 


34 


Claprothy J. 


1759 


45 


16. I 


• 


45-9 


2H-95 


629.01 . 




207.20 


486.04 




44 


30 


Gatterer 


1759 


39 


7. 




4a 


21X.02 


386.09 




195.84 


3"-54 




45 




KlotTS 


1762 


2 








19.00 






18.86 










171 



Nr. 


Nr. 




Jfthr 


Bei- 






Anf. 
der 


Auf die Zelt de* Eintritt! nach dem 




de« 
Mit- 


der 
Wit- 


Nwne 


des 
Ein- 


trag 
gez. 


Witwe 


Waise 


Pen. 
nach 
Eintr. 


Ziiufuu 


TOn 3i Proc. von 4 Proc diicontirte 




^ 


we 




tr. 


J.H. 


J. H. 


J. M. 


J. M. 


Beitrage 


Witw.P 


WM».P|Britrige|\ritw,P 


Wai«.P 




46 


IT 




5 


19. 




5.6 


45 "5 


1835.9s 




44.5» 


1646.37 






47 


39 




48 






49- 3 


130.91 


694.88 




»11.95 


511.16 






4S 






17 








171.85 






163.30 








49 


13 




7 






7- 9 


61.14 


1814.S6 




60.01 


1588.00 






SO 
51 


d 




16 
•9 


14." 




17- 


168.90 

137.10 


«»3>'47 




'59-83 
>3»-34 


960.00 






53 














9.M 






9.61 








53 


37 




43 


15.10 




43- 9 


110.63 


933.65 




103.71 


7'5-73 






54 






9 








76.08 






74.3s 








SS 


aS 






4.6 




»3. 


151.67 


463-95 




'44-5« 


409.87 






56 






44 








111.83 






105.49 








57 


40 




44 


18.7 




4S- 3 


111.83 


711.M 




105.49 


548.16 






sS 






iS 








176.67 






166.63 








59 






5 








45-iS 






44-5» 








60 






39 














195.84 








61 


19 




18 


49- 3 




18.9 


176.67 


1168.49 




166.63 


1730.50 






fra 






6 


37. 1 




7- 3 


53-»9 


40.6.13 




51.41 


3608.17 






^ 


3S 




33 


I. 9 


II. 6 


33- 9 


193.90 


130-46 


688.13 


181.48 




563^ 




^ 






9 








76.08 






74-35 








^5 


38 


Meinen 


«77» 


37 


15.6 




38 


105.70 


79«-55 




191.43 


641.H 






66 


3» 


EyriBK 


»773 


19 


13. 




30 


180.J6 


1391-30 




169.84 


«4S-'S 






67 


33 


Omehn 


1775 


*9 


13. 1 




.9.6 


180.J6 






169.84 


1171.9s 






6S 




Koppe 


1776 


7 








6I..4 














^ 




Blnmenbadi 


1776 


63 








153-00 






118.87 








70 


S' 


Stromeyer 
Spittler 


1776 
1779 


54 

'7 


'7- 4 




54- 


141.13 
116.51 


500.51 




«9-« 
111.66 


370.77 






71 


41 


Wftldeck 


178. 


3* 


3»' 4 




33- 3 


190-69 


1517.31 




178.74 


1119.01 










Reu« 


1783 


S4 








141.13 






119.93 








74 




Böhjner,J.F. 


1784 


35 








100.01 






186.65 








75 




Meürter 


1784 


44 








111.83 






105.49 








76 




T. Märten« 


1784 


13 








156.10 






.48.57 








77 




PUnck 


1784 


« 








131.77 






113.41 








78 




MSckert 


1784 


7 








61.14 






60.01 








79 


36 


Bunde 


■784 


la 


14.8 




M. 9 


151.67 


1193.70 




"44.51 


11.9.91 






So 
Si 


" 


Tych«n 
Sextro 


1784 
I7»4 


5° 






50.6 


134.56 
19.00 


370-95 




114.81 
ig.86 


183.51 






81 




Volborth 


I7»4 


7 








61.14 






60.01 








<3 






1787 










19.00 






18.86 








4 




Orelhnann 


1787 


*4 








109.10 






105.63 








BS 




BuUe 


.787 










68.74 






67-33 








86 


66 


Heeren 


1787 


54 


P 




54.9 


141.13 


456.65 




119.93 


337-14 






S7 




Eelhom 


1788 


56 








144.10 














»S 




1788 


39 


7.10 




39- 




440.96 




195.84 


358.01 






S9 




Artiemann 


17S9 










96.63 






93-85 








9° 


ISeyffer 


1789 


^ 






109.10 




105.63 ( 1 





172 



NACHLA88. 



Xr. Nr. 

det • der 

« 

gl. ! we 



Name 



Jahr 


Bei- 






Ant 
der 


des 


trag 






Pens. 


Kin- 


gez. 


Witwe Wabe 


nach 
Eintr. 


tr. 


J.M. 


J. M. 


J.M. 


J. M.j 



Auf die Zeit des Eintritts nach dem 
Zinsfoss Ton 3|- Proc. Ton 4 Proc. discontirte 

Beitrage] Witw.P |Wai8.P|BeitrÄge( Witw.PjWais.P 



91 , 

92 i 

93 ; 
94 1 



95 
96 

97 
9« 

99 

100 



Ol 

02 

03 

<H 

05 
06 

07 
08 

09 

xo 



I 



28 Bfirger 
Sehrage 
StAudUn 
Marezoll 

45 Oslander 
Berg 
Althof 
T. Ammon 
Leist 

49 Sartorius 



Mayer 
j 48 Bouterweck 

Fiorillo 
31 Schönemann 

Martin 
61 llimly 

Thibaut 
60 Schrader 
70 JLangenbeck 

Pätz 



II 
12 

13 

14 

15 
t6 

«7 
18 

«9 

20 

21 

22 

»3 
»4 

»5 
26 

»7 
28 

*9 

30 

31 

3» 
33 
34 



55 

62 

57 



54 



4» 
5» 



67 



43 



64 
63 



Herbart 

Harding 

Benecke 

Bunsen 

Stromeyer 

Artaud 

Gauss 

Hempel 

Lüder 

Bergmann 

Wunderlich 

Planck 

Salfeld 

Hausmann 

Pott 

Bauer 

Heise 

V. Grell 

Schulze 

Bissen 

Eichhorn 
Schweppe 
Maller 
Göschen 



1789 

1790 
1790 
1790 
1792 

1794 
1794 
1794 
1795 

1797 

«799 
1799 

1799 

1799 
1803 

1803 

1804 

1804 

1804 

1805 

1805 
1805 
1805 
1805 
1806 
1806 
1807 
1807 
1809 
x8io 

1810 
z8io 
z8io 
1811 
1814 
1814 
1814 
1814 
1814 
1814 

1817 
1818 
1819 
1822 



4 

I 

36 

2 

*9 
6 

3 
10 

12 
31 

»9 

*9 
22 

2 

I 

33 

I 

3» 
46 



3 

*9 
16 

31 

*9 
28 

38 
26 

3 
34 

5 
21 

3 
37 
15 
«9 

3 

2 

18 
15 

XI 

3 
21 

15.6 



4- o 



5* 1 



i.ii 



9 
P 

8. o 



13-5 
? 



P 
14. 9 



17. I 



25. 2 
p 



I. 6 
«4- 5 



6. 2 

P 



»• 7 



4- I 



8. 8 



3- 3 



4- 9 


36-73 
9.66 




36. 3 


202.90 
19.00 


263.87 


29.9 


180.36 

53-a9 
28.02 

83.17 

96.63 


4x7-84 


31- 3 


187.36 
180.36 


155-45 


29. 3 


180.36 




22. 3 


151.67 


2465.51 


3. 


19.00 
9.66 


5469.38 


33-9 


193.90 


538.16 




9.66 




32. 6 


190.69 


867.28 


46. 9 


227.01 


559-31 




9.66 
28.02 




29. 3 


180.36 
120.94 


1610.43 


31. 9 


187.36 


1183.66 


29. 3 


180.36 
176.67 
208.41 


1039.03 


26. 9 


168.90 

28.02 

197. Ol 




5- 9 


45-15 


3394.86 


21. 6 


146.98 

28.02 

205.70 

115.17 


2113.17 


29. 


180.36 
28.02 


132.10 


2. 


19.00 
131.90 
115. 17 


2606.64 




90.02 






28.02 




21. 3 


146.98 


657.08 


15- 9 


118.06 


"53-55 



1695.53 



193.87 



34a-x3 



733-41 



36-30 




9.62 




189.08 


218.97 


18.86 




169.84 


356.78 


52.42 




»7-75 




81.11 




93.85 




175.88 


132.77 


169.84 




169.84 




X44-5I 


2051.41 


18.86 


4911.00 


9.62 




181.48 


447-97 


9.62 




178.74 


717.98 


208.85 


4»7-74 


9.62 




27.75 




169.84 


1316.31 


116.52 




175.88 


969-77 


169.84 


871.57 


166.63 




193.68 




159.83 




»7-75 




184.11 




44*5a 


3129.00 


140.29 


1793.60 


27.75 




191-43 




III. 18 




169.84 


114.14 


27.75 




18.86 


2495-03 


126.59 




III. 18 




87.60 




a7-75 




140.29 


583.26 


113.85 


1859.85 



2532.99 



163.80 



293.58 



630.52 



wm 




TAFELN 



ZUR BESTIMMUNG DES ZEITWERTHES 



VON EINFACHEN LEIBRENTEN 



UND 



VON VERBINDÜNGSRENTEN 



29 



174 



NACHLAS«. 



Frauen 



Anzahl 
der Lebenden 
log. decr. 



Leibrentenwerth 
beim Zinsfuss 



Yon 3|- proc. 
log. num. 



Ton 4 proc. 
log. num. 



Al- 



ter 



Männer 



Anzakl 
der Lebenden 



log. 



decr. 



Leibrentenwerth 
beim Zinsfuss 



von 31^ proc. 
log. num. 



von 4 proc. 
log. num. 



4,006x092 
4,0000000 
3,9940090 

3,98810 21 

3,98258 78. 

3.97717 47 

3.9719*49 
3,96679 8s 

3,96x80 06 

3,95688 85 

3,95201 71 

3»947»3 95 
3,94220 65 

3,93721 69 

3,9321692 

3,9270622 

3,9219465 
3,91676 97 

3»9"58 37 

3»9o^33 50 
3,90102 22 

3,89569 87 
3,89030 92 
3,88485 20 
3,87926 80 
3,87361 12 

3,8678798 
3,86201 20 
3,8560035 
3,8498492 
3,84348 19 

3,83689 35 
3,83007 52 
3,82295 22 

3.8153785 
3,8072644 

3.79858 16 
3,78922 8z 
3,7791634 
3,7682680 
3,7564840 



62092 
59910 
58069 

56143 

541 31 
52498 

51264 

499 79 
491 21 

48714 
48776 

493 30 

49896 

50477 
51070 

5" 57 

51768 
51860 

51487 
53128 

53*35 

53895 

545 7» 
55840 

56568 
57314 

58678 
60085 

61543 
63673 

65884 

68183 

71230 

757 37 
81Z41 
86828 

935 35 
100647 

108954 

117840 

1273 91 









19 




1,27772 


18.9548 


1,24326 17,5088 


20 


4, 


1,27625 


18,8909 


1,24210 17,4624 


21 


3, 


i,»745i 


18,8152 


1,24068 17,405* 


22 


3, 


1,27246 


18,7265 


1,23898 17,3372 


23 


3, 


1,27009 


18,6248 


1,23697 17,*57* 


*4 


3, 


1,26743 


18,5109 


1,23466 17,1656 


*5 


3, 


1,26450 


18,3865 


1,23209 17,0644 


26 


3, 


1,26127 


18,2504 


1,22923 16,9523 


*7 


3, 


i,»5777 


18,1037 


1,22612 16,8315 


28 


3, 


i,»54ö3 


17,9487 


1,22277 16,7019 


«9 


3, 


1,25009 


17,7864 


1,21922 16,5662 


30 


3, 


i,a4599 


17,6192 


1,21552 16,4256 


31 


3, 


1,24172 


17.4468 


1,21165 16,2800 


3* 


3, 


1,23726 


17,2688 


1,20761 16,1292 


33 


3, 


1,23261 


17,0848 


1,20338 15,9729 


34 


3* 


1,22769 


16,8923 


1,19889 15,8085 


35 


3) 


1,X2254 


16,6931 


1,19418 15,6379 


36 


3, 


1,21710 


16,4854 


1,18918 15,4589 


37 


3; 


1,21138 


16,2696 


1,18391 i5,*7*5 


38 


3, 


i»ao537 


16,0461 


1,17837 15,0790 


39 


3, 


1,19900 


15,8125 


1,17247 14,8755 


40 


3. 


1,19230 


15,5704 


1,16624 14,6637 


41 


3, 


1,18523 


15,3189 


1,15965 14,44*7 


4* 


3, 


1,17783 


15,0603 


1,15274 14, »148 


43 


3, 


1,17002 


14,7917 


1,1454* 13,9771 


44 


3, 


1,16175 


14,51*7 


1,13764 13,7*91 


45 


3, 


1,15306 


i4,**53 


1.1*944 13,47** 


46 


3, 


1,14390 


13^9*84 


1,12079 13,2067 


47 


3. 


1,134*3 


13,6216 


1,11163 12r,9309 


48 


3, 


1,12407 


13,3067 


1,10198,12,6468 


49 


3, 


1,11338 


12,9832 


1,09180 12,3537 


50 


3. 


1,10210 


12,6503 


1,08103 12,0511 


51 


3, 


1,09024 


12,3094 


1.06969 11,7405 


5* 


3, 


1,07789 


".964^ 


1,05786 11,4250 


53 


3, 


1,06508 


zi,6i6i 


1,04556 11,1062 


54 


3, 


1,05177 


11,2634 


1.03*77 10,^837 


55 


3. 


1,03799 


10,9142 


1,01951 10,4595 


56 


3, 


1,02371 


10,5612 


1,00574 10,1330 


57 


3, 


1,00897 


10,2086 


0,99150 9,8062 


58 


3, 


0,99373 


9,8567 


0,97677 9,479* 


59 


3, 



0000000 

997*990 
99458x1 

9918018 
9890046 

98618 93 
98331 05 
98041 25 

97744 9* 
9744196 

97132 22 
96810 92 
96468 38 
9609937 

9569844 

95*69 56 
9481194 

943*9 66 
938*6 95 

93303 15 

92762 70 

9*199 84 
91613 80 

91003 71 
90363 *5 

8969669 
8900296 
88275 22 
875 II 92 
86711 38 

85871 56 
8498492 
8404825 
83058 87 
8200700 

80881 84 
79678 24 
78390 36 
77011 53 
75534 1* 



27010 
27179 
27793 
27972 
28153 

28788 
28980 
29633 
30296 

30974 

3*130 

34*54 
36901 

40093 
42888 

45762 
48228 

50271 
52380 

54045 

56286 
58604 
61009 
64046 
66656 

69373 

7*7 74 
76330 
80054 
83982 

88664 

936 67 

98938 

1051 87 

1125 16 

1103 60 
1287 88 
1378 83 

1477 41 
1584 80 



,*9473 
,29068 

,28644 

,28205 

»*7745 

,27262 
,26760 
,*6233 
,25683 
,25110 

,24512 

1*3891 

,*3*57 
,22614 

,21966 

,*i309 
.20641 

,19957 
,19*5* 
,185*3 

,17764 
,16978 

,16163 

,15317 
,14443 

,13535 

.1*589 
,11608 

,10588 
,095*8 

,08425 
,07280 
,06091 

,04854 
,03574 



,02254 

,00893 

0,99489 

0,98041 

0,96547 



9,7118 
9.5*91 
9,3391 
9,1448 
8,9430 

8,7335 
8,5183 
8,2950 

8^0646 

7,0*71 

7,5840 

7,3344 
7,0832 

6,8323 

6,5830 

6,3338 
6,0844 

5,833* 
5.578* 

5,3189 

5,0536 

4,7837 
4,5087 
4,2290 

3,9455 

3,6569 
3,3625 
3.0641 
*.76o9 

*,453i 

2,1408 
1,8250 

1,5055 
1,1826 

0,8577 

0,5327 
0,2077 
9,8830 

9'559o 
9,*357 



,26069 

,*5704 

,*53i9 
,24920 

,24500 

,*4059 
.*3598 

.*3ii3 
,22606 

,22075 

,21519 

,20942 

**035i 
,19751 
,19147 

,18533 
,17910 

,17272 

,16612 

,159*9 

,15*17 

,14477 

,13709 
,12910 

,1*085 

.11**5 
, 10326 

,0939* 
,08422 

,07411 

,06355 

,05*59 
,04119 

,02932 

,01700 



8,2258 

8,0733 

7,9137 
7,7500 

7,579* 

7,4016 
7,2x80 
7,0268 
6,8292 
6,6246 

6,4131 
6,1963 

15,9775 
5,758* 
5.5407 

5,3**5 
5,1043 

4,8841 

14*6597 

4.4307 

4,1961 
3,956* 

3f7ii6 
3,4616 
3,2085 

*»9494 
2,6841 

*f4i43 
2,1400 

1,8608 

1.5758 

1,2874 

0,9949 
0,6985 

0.3993 



1,00427 10,0988 
0,99113 9,7978 
0,97756 9.4964 
0,96355 9,1950 
0,94909 8,8938 



^ACHLABS. 



175 



Frauen 









Aniahl 
der Lebenden 
log. decr. 



Leibrentenwerth 
beim Zinsfuss 



von 3|- proc. 
log. num. 



von 4 proo. 
log. num. 



,7564840 

,7437449 

»7*997 43 
,7x508 37 

,6989700 

,6815126 

,6625690 
,6419696 
,6194064 

.5946» 35 
.5674969 

,5380708 
,5062344 
,47173 17 
,4340896 
,3928727 

,3475» 5» 
,29754 17 

,24254 14 

,1829850 

."99x54 

,05461 30 
,98766 63 
,91750 55 
,84073 32 

»7535« 31 



2,65609 82 

».55x45 <» 
2,4424798 

a.33»43 85 
2,220x081 

2,1038037 
1,98227 12 

«»85733 »5 
1,72427 59 

1.57978 36 

I »41497 33 
1.2304489 

I.OOOOOOO 

0,6989700 

0,30x0300 



A73 91 
137706 
1489 06 
x6ii 37 

1745 74 
189436 

205994 
2256 32 
247929 
27x166 
294261 

318364 
345027 
376421 
4121 69 

4534 75 

499835 

550003 

595564 
630696 

653024 

669467 
701608 

767723 
87x5 Ol 

974849 

1046482 
1089702 
1100413 
1123304 
1163044 

12153 25 
12493 87 
1330566 

14449*3 
1648103 



0*99373 

0,97797 
0,961^6 

0,94478 
0,92730 
0,90922 

0,89053 
0,87126 
0,85157 
0,83160 
0,81130 

0,79047 
0,76898 

0,74686 

0,7*439 
0,70185 

0,67969 
0,65840 
0,63847 
0,61949 

0,60023 

0,57881 
0,55367 

0,5*541 
0,49709 

0,473*7 

0,45516 

0,4403* 
0,42591 

0,40746 

0,38481 

0,35819 

0,32708 

0,28570 
0,23416 
0,16881 



0,09036 

9,977*8 
9,82594 

3010300^' oi^ 

9*58712 

3979400^'^ 



1845244 
2304489 



9.8567 
9*505» 
9.1550 

8,8060 

8,4586 
8,1137 

7,7720 

7.4347 
7,1051 
6,7858 

6,4759 

6,1726 
5.8746 
5.58*9 
5.3014 
5.033* 

4.78*9 
4.5541 

4,3498 
4.1638 

3.983* 

3.7915 
3.5783 
3.35*8 
3.H" 
».9735 

2,8520 
2,7562 
2,6663 

»»5554 
2,4256 

2,2813 
2,1236 
1,9306 
1,7146 

1,4751 

i,*3«3 
0,9490 
0,6698 
0,3865 
o 



0,97677 
0,96150 

0,94568 
0,92928 
0,91229 
0,89468 

0,87647 
0,85766 
0,83842 
0,81889 

0,79901 

0,77858 

0,75749 
0,73576 
0,71367 
0,69148 

0,66965 
0,64869 
0,62908 
0,61042 

o,59H7 

0,57038 

0,54554 

0,51755 
0,48948 

0,46588 

0,44800 

0,43339 
0,41925 

0,40109 

0,37875 

0,35*47 
0,32174 

0,28075 

0,22962 

0,16471 

0,08672 

9.9741* 
9,82327 

9.58503 



9.479* 
9,15x6 

8.8242 

8,497* 

8,171* 
7,8466 

7.5*43 

7.*o55 
6,8932 

6,5901 

6,2952 

6,0059 

5,7212 
5.44*0 
5,1721 

4,9145 

4.6736 

4.4534 
4,2568 

4.0777 
3.9036 

3,7186 

3.5"9 

3,2927 

3,0866 
2,9233 

2,8054 
2,7126 
»»6257 
2,5182 
2,3919 

»,»515 

*.o977 
1,9087 

1,6968 

1,4612 

X,22IO 
0,9421 
0,6657 

0,3846 
O 



Al- 
ter 



Männer 



Anzahl 
der Lebenden 



log. 



decr. 



Leibrentenwerth 
beim SSnsfuss 



Yon 31^ proc. 
log. num. 



von 4 proc. 
log. num. 



59 
60 

6x 

62 

63 
64 

65 
66 

67 
68 

69 

70 
71 
7» 
73 
74 

75 
76 

77 
78 
79 

80 
8x 
82 

83 
84 

85 
86 

87 
88 

89 

90 
91 
9» 
93 
94 

95 
96 
97 
98 
99 



3.75534 1» 

3.73949 3» 

3.7»»55 17 
3,7044069 

3.6849351 
3,66398 35 

3.6413749 
3,6x68954 

3.590»8 44 

3.56133 99 

3.5»994 34 

3,49596 04 
3,4590908 
3,41896 38 
3» 37548 07 
3,32878 72 

3,2792105 
3,22711 51 
3, 17260 29 
3,1156105 

3,05576 05 

2,99211 15 
2,9232440 

»,85308 3» 
»»7763109 
2,68916 08 

*,59»67 59 

2,48702 77 

*. 37805 75 
2,26801 62 

2,1556858 

2,03938 14 
1,91784 89 
1,79291 02 

1.65985 36 
1,5153613 

1.35055 10 
1,16602 66 

0,93557 77 
0,63454 77 
0,2366077 



158480 
169415 
181448 
194718 
2095 16 
226086 

*447 95 
2661 10 

»89445 
313965 
3398 30 

368696 

401270 

4348 31 
466935 

4957 67 

5»o9 54 

5451 »» 

5699*4 
598500 

636450 

6886 75 
701608 
767723 

8715 Ol 

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1089702 
1x004 13 
XX233 04 
XX63044 



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0,934x6 

0,91770 

0,90069 

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0,79067 

0,77x72 
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0,7x663 

0,699x1 

0,68148 
0,66316 
0,64372 
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0,60036 

0,57689 

0,55367 
o,5»54i 
0,49709 

0,47347 

0,45516 
0,44032 
0,42591 
0,40746 

0,38481 



X2X53 25 >'358i9 
,.-«-«; o.3»7o8 
0,28570 
0,234x6 



X2493 87 
13305 66 

«4449 »3 
X648X 03 



1845» 44 
2304489 

30x0300 

3979400 



0,16881 

0,09036 
9,97728 
9,82594 
9,58712 



9.*357 
8,9144 
8,5933 
8,*737 
7,9559 
7,6414 

7,3315 
7,0280 

6,7335 
6,4494 
6,1755 

5,9118 
5,6608 
5,4261 

5.*o75 
5,0016 

4,8026 
4,6043 
4,4027 
4,1958 
3,9844 

3,7747 
3,5783 
3,35*8 
3.H" 
»,9735 

2,8520 
»,7562 
2,6663 

».5554 
».4*56 

2,2813 
2,1236 
1,9306 
1,7146 

1.4751 

i.»3i3 
0,9490, 
0,6698 
0,3865 
o 



0,94909 
0,93417 
0,91869 
0,90267 
0,88611 
0,86901 

0,85144 

0,83349 
0,8x530 

0,79697 

0,77850 

0,7599» 
0,74144 

o,7»339 
0,70587 

0,68869 

0,67140 
0,65342 
0,63432 
0,61376 
0,59162 

0,56846 

0,54554 
0,51755 
0,48948 
0,46588 

0,44800 

0,43339 
0,41925 

0,40109 
0,37875 

o,35H7 
0,32174 

0,28075 

0,22962 

0,16471 

0,08672 
9,97412 
9,82327 

9.58503 



8,8938 

8,5935 
8,2925 

7,9922 

7,693* 
7,396* 

7,1030 
6,8153 

6,5358 
6,2657 
6,0049 

5.7534 
5,5136 
5,2892 
5,0801 
4,8830 

4,69*4 
4,5021 

4,3084 
4,1092 

3,9050 

3,70»» 

3.5"9 

3,2927 

3,0866 
2,9233 

2,8054 
2,7126 
2,6257 
2,5182 
2,3919 

»,»515 
2,0977 

1,9087 
1,6968 

1,4612 

1,2210 
0,9421 
0,6657 
0,3846 

o 



176 



KACHLASS. 



+ 1 



Verbindungsren ten . 

Alter des Mannes zur Seite. Altersunterschied der Frau oben. 

ZinsfuBs 3} Procent 



— I 



— a _3 — ^ —5 



-6 -7 



-8 -9 



.10442, 
i. 20138 
[.19796 

•19417 
[.18999 

[.18541 
[.18047 
.175x3 
[.16946 
[.16349 

[.15713 
.15071 
'I44P2 
.13719 
.13021 

:. 12308 
[.11574 
[.10813 
.10023 
.09194 

[.08322 
.07408 

^06455 

•05455 
L.04406 

.03304 
[.01144 

.00925 
0.99647 
0.98302 

0.96887 
0.95402 
0.93855 
0.91146 

0.90574 

0.88849 
0.87065 
0.85225 
0.83317 
0.81368 



.20460 
.20177 
.19858 
.19504 
.19109 

.18672 
.18201 
.17687 
.17136 
.16550 

.15932 
.15290 
.14630 
.13958 

.13277 

.12577 
.11860 
.11116 

•10344 
•09539 

.08688 
.07799 
.06867 
.05894 
[.04876 

.03803 
[.01676 

•01493 
.00250 

0.98945 

0.97572 
0.96129 
0.94614 
0,93035 
0.91397 

0.89702 
0.87951 
0.86139 
0.84273 
0.82347 



.20191 

.19893 

[.19563 

.19193 

[.18780 
[.18329 

•17837 

•17305 

[.16735 

[.16x19 

•15494 

1-14843 
[.14180 

•13509 
[.11826 

[.Hill 

[.11398 
[.10641 
.09853 

.09017 
[.08159 
.07150 
[.06296 
•05307 

1.04264 
.03164 
1.01013 
[.00805 

0.99534 

0.98198 
0.96797 
0.95314 
0.93776 
0.91167 

0.90504 
0.88781 
0.87004 
0.85165 
0.83170 



.19910 
.19600 
.19151 

.18864 

.18435 
.17963 

'I7453 
,16901 

.163x1 
.15689 
.15045 
.14390 
►13718 

13054 
«11367 
.11655 
.10916 
.10143 

•09333 
.08488 

•07599 
.06668 

^•05697 

[.04681 
[.03611 
[.01488 
.0x310 
.00073 

0.98768 
0.97403 
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0.91885 

0.91150 
0.89560 
0.87810 
0.86001 
0.84133 



[.19605 

[.19178 1.19180 



.18911 
[.18507 
[.18057 
[.17566 

.17037 

[.16466 
.15859 
.15118 

[.1458X 
.13917 

[.13161 

M1583 

[.11886 

.11159 

.10405 

[.09610 

[.08779 

•07913 
.07001 

[.06051 

•05054 
.04011 

[.01916 

[.01765 

•00557 

0.99188 

0.97955 
0.96558 

0.95091 

0.93551 

0.91947 
0.90184 
0.88565 
0.86785 
0.84947 



[.18934 
[.18551 
[.18117 
[.17660 

.17150 

[.16599 
.16009 

•15391 

•14755 
[.14108 

•13449 

.11779 

.1109X 

•"379 
[.10635 

[.09857 
.09041 
.08x91 
[.07303 
[.06373 

[.0539^ 

:.0437i 

.03303 

[.01180 

.00999 

0.99759 
0.98459 
0.97093 
0.95661 
0.94161 

0.91596 
0.90963 
0.89170 
0.87510 
0.85709 



[.18935 
[.18571 
.18169 

.17725 
[.17137 

[.16706 
[.16138 

•15539 
.14917 

[.14180 

[.13618 
[.11964 
[.11184 
[.11581 
[.X0850 

[.10081 
[.09185 

[.08449 

•07575 
[.06667 

.057x0 

.04705 

[.03651 

•01555 
.01401 

1.00186 
a989i4 
0.97581 
0.96179 
0.94714 

0.93x87 
0.91 5 91 
0.89927 
0.88202 
0.86420 



[.18569 
[.18x85 
[.X7763 
.17299 

[.16789 
1.16239 
[.15661 

.15057 

•14434 

•13791 
^13134 
1.12461 

[.11764 
.11043 

[.10289 
.09501 
[.08681 
[.07820 
[.06925 

[.05989 
.0500X 
[.03969 
[.02888 
[.01759 

1.00571 
0.99324 
C.98018 
0.96647 
0.9521 X 

0.93718 
0.92161 
0.90535 
0.88839 
0.87081 



[.18171 
[.17768 

.17315 

[.16838 
[.16310 

•15751 
[.15168 

.14563 

[.13936 

:.i3i89 
[.12621 

.11931 

[.112x7 

.10471 

.09697 

[.08887 

[.08042 
[.07160 

[.06237 
[.05171 
[.04156 

.03194 
[.01080 

1.00915 
0.99694 
0.98412 
0.97068 
0.95663 

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0.91084 
0.89415 
0.87696 



•17757 

•17333 1.17317 



[.16867 
[.16361 

.15813 
[.15158 

[.14673 

.14063 

.13430 

.11771 

[.11087 

[.11378 

[.10638 
[.09871 
.09074 
[.08138 

.07371 

.06461 

[.05508 

[.04513 

.03468 

.01373 

:.oiii4 
.00016 

0.98770 

0.97449 
0.96071 

0.94635 

0.93139 
0.9x581 

0.89959 

0.88266 



.16870 
.16386 

.15870 

•15315 
.14758 

.14168 

.13551 

.11905 

.11130 
.11517 

10794 
,10033 

.09143 
.08410 

.07561 

[X>6666 

[.05713 

.04741 

.03716 

t.01637 

[.01506 
.00311 
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0.97791 
0.96435 

0.95016 

0.93559 
0.91018 

0.90437 

0.88779 



KACHLA88« 



177 



Verbindungsrenten. 

Alter des Mannes cur Seite. Altersunterschied der Frau oben. 

Zinsfuss 3^ Procent. 



I 



— IG — II 



I.1685O 
I.16384 
I.X5889 

1.153^ 
X.X482O 

X.Z4H7 

X.X3650 

J.X3021 
1.X1359 
1.11665 

1.X0936 
X.X0180 

«■09395 
XJ08578 

1^733 

X.06846 
X. 05918 
X.04946 
1.0393a 

X .01872 

1x0590 
0.99369 
0.98095 
0.9^63 

0-95375 
0.9393a 

0.91431 
0.90865 

0.89137 



— la — 13 — 14 — 15 — 16 — 17 — x8 — 19 — 



ao 



.1636a 
.15885 

.15384 
.14860 

.14307 
.I37a8 
.13119 
.12474 
.xi79a 

.xxo7a 
.i03ai 
.09540 
.08738 
.07888 

.070x2 
.06091 

•05133 
.04129 

.03080 

•0x98a 
X0831 
0.99637 
0.98365 
0.97053 

0.95689 
0.94267 
0.93790 
0.9x253 
0.89651 



.15855 

•1537« 
.14868 

.»4337 

.13777 
.13185 

.12558 

.X1892 

.11 185 
.10442 
.09666 
.08859 
.08034 

.07153 
.06344 

.05395 

.04305 
.03366 

.03179 
.0x046 
0.99857 
0.98613 

0.97313 

0.95969 

0.94570 
0.931x3 
0.91598 
0.90033 



.15338 

.14853 x.X48i9 



.14341 
•13803 
.13331 
.13631 
.11974 

.11383 
.10551 

.09783 
.08980 

^149 

.07384 
.06380 
.05440 

.04457 
.03431 

.01353 
.01330 

.00058 

0.98837 

0.97543 

0.96310 
0.94831 

0.93397 
0.9190a 

0.90349 



.'43*5 
.13806 

.13356 

.13666 

.13036 

.11363 
.10648 
.09891 
.09096 
.08368 

.07406 
.06506 

.05571 
.04598 
.03578 

.01398 

.00336 

0.99033 

0.97751 



0.96433 
0.95064 
0.93647 

0.93x74 
0.90640 



.14388 
.13787 
.13356 
.13687 
.13076 

.1x418 

.1073X 
.09980 
.09196 
Ä8377 

.075x7 
.06631 
.05690 
.04733 
.0371a 

x>a652 

.01549 
.00394 
0.99188 

0.97934 

0.96629 
0.95276 
0.93870 
0.92415 
0.90902 



.13744 
.13229 

.12679 

.12089 

• 

.11451 

.10770 

.10047 
.09278 
.08470 

.07618 
.06725 

.05797 
.04831 

.03825 

.02776 
.01679 
X)0536 
0.99338 
0.98093 

0.96803 
0.95461 
0.94069 
0.92624 
0.91 129 



.13184 
.12650 

.X2080 

.1x462 

.10799 
.10091 

.09340 
Ä8546 

.07705 
.06819 

.05894 

.04931 
.03929 

.02884 
X)i796 
.00658 

0.99471 
0.98233 

0.96952 
0.95626 
0.94245 
0.928x3 
0.91327 



.X2606 

.12052 

.11453 
.1081 X 

.10122 

.09386 

.08609 

.07782 
.06906 

.05987 
.05026 

X4026 

.02983 
X1898 
.00769 
0.99587 
0.98360 

0.97086 
0.95768 
0.94402 
0.92981 
0.91507 



x.xaoo3 

•xx4ao 

.10797 
.10x38 

.09410 
.08648 

.07839 
.06978 
.06070 

.05115 
X4xx6 

.03075 
.0x993 

X0867 

0.99693 

0.98469 

0.97305 

0.9589* 

0.94533 
0.93136 

0.9x663 



30 



.1x368 

.10759 
.10109 

.094x1 

.08668 

.07874 
.07039 

.06x34 

.05191 
.04x98 

U)3i58 

.03077 

.00954 

0.99783 

0.98569 

0.97309 
0.96006 
0.94653 
0.93353 
0.91805 



ao 

31 

33 

»3 
»4 

*5 
36 

37 

a8 
»9 

30 
31 
3» 

33 
34 

35 
36 

37 
38 
39 

40 
41 
4» 
43 
44 

45 
46 
47 
48 
49 

50 
51 
5» 
53 
54 

55 

56 
57 
58 
59 



178 



NACHLASS. 



Verbindungsrenten. 

Alter des Mannes zur Seite. Altersunterschied der Frau oben. 

Zinafuss 3^ Proeent. 



4-1 

0.81368 

0.79344 
0.77144 

0.75065 

0.71805 

0.70464 

0.68047 
0.65576 
0.63079 
a6o559 
0.57991 

0.55364 
0.51694 

0.50041 

0-47446 

044941 

0.41548 
040176 
0.38061 

0.35757 
0.33149 

0.30088 
0.16718 
0.11677 
ai8883 
ai6oo7 

0.14085 
0.11744 
0.X1331 
009415 
0.07051 

0x34346 
0.00766 
9.95813 
9.89154 
9.81 113 

9.69690 
9.53030 
9.18609 



0.81347 
0.80359 
0.78198 
0.76160 

0.73943 
0.71647 

0.69173 
0.66830 
0.64348 
0.61848 
0.59314 

0.56755 
0.54148 

0.51536 

048957 

046411 

043941 
0415 15 

0.39167 

0.36838 

0.3440X 

0.31710 
0.18704 
0.14769 
0.10607 
0.17170 

0.14853 
0.13319 
0.11178 
0.10510 
0.08353 

0.05816 
0.01977 
9.98701 
9-93«36 
9-85675 

9.77061 
9.63100 

944543 
9.18918 



— I 

0.83170 
0.81315 
0.79185 

0.77186 
0.75009 
0.71755 

0.70416 
0.68016 
0.65571 
0.63086 
0.60584 

0.58059 

0.55513 
0.51963 

0.50414 

047907 

045395 
041880 

040376 

0.37910 

0.35444 

0.31919 
0.30180 
0.16718 
0.11677 
0.18883 

0.16007 
0.14085 
0.11744 
0.X1331 
0.09415 

0.07051 
0.04346 
0.00766 
9.95813 

9-«9a54 

9.81 113 
9.69690 
9.53030 
9.18609 



— 1 

0.84133 

0.81107 
0.80114 
0.78149 

0.76009 
0.73795 

0.71507 
0.69151 
0.66740 
0.64183 
0.61795 

0.59191 
0.56788 
0.54199 
0.51813 
049346 

046851 
044306 
0417 II 
0.39089 
0.36483 

0.33944 

0.31447 
0.18151 

0.14594 
0.10933 

0.17706 
0.15116 
0.13481 
0.11874 
0.10193 

0.08064 
0.05507 
0.01021 
9.97711 
9.91696 

9-84345 
9.73109 

9.58848 

9.35668 



— 3 

0.84947 
0.83047 
0.81081 
0.79049 
0.76944 
0.74766 

0.71518 
0.70104 
0.67837 
0.65413 
0.62964 

0.60476 
0.57994 

0.55549 

0.53133 
0.50718 

048163 

045734 
043109 

040395 
0.37630 

0.34931 
0.31415 
0.19381 
0.16095 
0.11817 

0.19741 
0.16911 
014607 
0.11591 
0.10704 

008800 
0.06457 
0.03095 
9.98836 
9.93410 

9.86510 
9.76059 
9.61707 
940160 



— 4 

0.85709 
0.83839 

0.81900 

0.79894 

0.77810 
0.75676 

0.7346^ 
0.71 189 
0.68863 
0.66493 

0.64077 

061617 
0.59150 
0.56716 

0.54354 
0.51999 

049605 
047115 
044507 
041761 
0.38909 

0.36050 
0.33390 
0.30318 
0.17196 
0.14306 

o.ii6i8 
0.18933 
0.16179 
0.13701 
0.1x401 

0,09179 
007146 
0.03978 
9.99816 

9-94394 

9.88015 
9.77919 
9.64143 

942131 



— 5 

0.86410 
084576 
0.81665 
0.80684 

0.78637 
0.76514 

0.74345 
0.71106 

0.69819 

0.67491 

0.65118 

0.61701 
0.60164 
0.57856 

0.55505 
0.53191 

0.50857 
048418 
045858 
043130 

040H7 

0.37300 
0.34480 
031164 
0.18106 
0.15381 

0.13078 
0.10791 
0.18180 

0.15353 
0.11490 

0.09951 
0.07588 
0.04616 
0.00631 
9.95179 

9.88848 
9-79»»8 
9.95719 
944*63 



— 6 

0.87081 
0.85166 
0.83380 
0.81418 
079405 
0.77318 

0.75168 
0.72961 
0.70711 
0.68410 
0.66089 

0.63716 
0.61311 
058941 
0.56604 

0.543" 

0.51018 
049646 
047137 

0.44448 
041581 

0.38607 
0.35701 

0.3*331 
0.19033 

0.16276 

0.14135 
0.21118 

0.20114 

0.17331 

0.14111 

0.11017 
008130 
005016 
0.01111 
9.96019 

9.89630 
9.79903 
9.66781 
945406 



— 7 

0.87696 
0.85905 
0.84048 
0.81110 
0.80125 
0.78062 



— 8 

0.88166 
0.86501 
0.84668 
0.82767 
0.80796 
078758 



0.75937 0.76657 

0.73761 0.74505 

0.71541 0.71315 

0.69187 0.70091 

0.66994 0.67834 



0.64661 
0.613 II 
0.59975 
0.57666 
055387 

0.53111 
0.50780 
048317 

045697 
042870 

0.39915 
0.36981 
0.33517 
0.30080 
0.17185 

C.15008 
0.13163 
0.21513 
0.19134 
016070 

0.11614 
0.09171 
0.05619 
0.01568 
9.96541 



0.65540 
063119 
0.60935 
0.58669 
0.56417 

0.54154 
0.51839 

049414 

046Ä49 
044081 

041165 
0.38151 

0.34777 
0.31154 
0.18111 

0.15899 
0.141x6 
0.22531 
0.10511 
0.17838 

0.14540 
0.10848 
0.06643 
001150 
9.96854 



9-90*95 990755 

9-80593 9.81183 

9.67304 9.67904 

946118 946559 



— 9 

0.88779 
0,87050 
0.85141 
0.83364 
0.81419 
0.79405 

0.77331 
0.75201 
0.73036 
0.70841 
0.68614 

0.66354 
0.64081 
0.61818 
0.59604 
0.57394 

0.55158 
0.5*853 

0.50453 

047915 
045201 

04*345 
0.39470 

0.36018 

0.3*479 
0^9368 

0.26909 
0.44984 

o.»3354 
0.11481 
0.19173 

0.16165 
011711 
0.0^181 
0.03131 
9.97405 

9.91019 
9.81579 
9.6S410 
9-47081 






MA0HLAS8. 



179 









r 
< 


Verbindungsrenten . 














Alter des Mannes sur Seite. Altenuntersohied der Frau oben. 














Zinsfiias 3^ 


Prooent. 












— lO 


— IX 


— X2 


— X3 


— 14 


— 15 


— x6 


— X7 


— x8 


— X9 


-1-20 




0.89137 


0.89651 


0.90022 


0.90349 


0.90640 


0.90902 


0.91x29 


0.9x327 


0.91507 


0.91663 


0.9x805 


59 


0.87544 


0.87987 


0.88382 


0.88736 


0.89049 


0.89328 


0.89576 


0.89791 


0.89980 


0.90148 


0.90300 


60 


a8577o 


0.86248 


0.86673 


0.87050 


0.87389 


0.87689 


0.87953 


0.88189 


0.88394 


0.88570 


0.88734 


6x 


0.83917 


0.84449 


0.84888 


0.85293 


0.85656 


0.85980 


0.86265 


0.865x8 


0.86742 


0.86935 


0.87104 


62 


0.81994 


0.82531 


0.83023 


0.83462 


0.83852 


0.84199 


0.84508 


0.8478X 


0.85020 


0.85232 


0.854x7 


63 


0.80007 


0.80566 


0.81082 


0.81553 


0.81976 


0.82349 


0.8268X 


0.81977 


0.83236 


0.83463 


0.83666 


64 


0-77955 


0.78539 


0.79076 


0.79572 


0.80028 


a8o433 


0.80791 


0.8XX08 


0.8X39X 


0.8x636 


0.8x854 


65 


0.75852 


0.76458 


0.77020 


0.77536 


0.780x6 


0.78453 


0.78843 


0.79x85 


0.79488 


0.79757 


0.79993 


66 


0.737x0 


0.74340 


0.74924 


0.75465 


0.75964 


0.76424 


0.76845 


0.772x9 


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0.77836 


0.78094 


67 


0.71539 


0.72x90 


0.72800 


0.73362 


0.73886 


0.74365 


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0.752x3 


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0.75886 


0.76163 


68 


0.69340 


0.700x5 


0.70646 


0.7x233 


0.7x777 


0.72280 


0.72743 


0.73169 


0.73559 


0.73903 


0.74404 


69 


0.671 IX 


0.678x3 


a68469 


0.69076 


0.69644 


0.70x68 


0.70654 


0.7x099 


0.7x5 XX 


0.7x883 


a7iiX4 


70 


0-64873 


0.65605 


0.66286 


0.669x8 


0.67505 


0.68053 


0.68559 


C.69027 


0.69457 


0.69850 


0.701XX 


71 


0.62656 


0.63422 


0.64x33 


0.6479X 


0*65400 


0.65968 


0.66498 


0.66985 


0.67437 


0.67848 


0.68229 


74 


0.60472 


0.6x274 


a620X7 


0.62704 


0.63339 


0.63928 


0.64478 


0.64987 


0.65457 


0.65890 


0.66288 


73 


0.58303 


0.59144 


0.5992X 


0.60639 


0.6x302 


0.619x6 


0.62486 


0.63013 


0.63505 


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0.64375 


74 


0.56107 


0.56987 


0.5780X 


0.58553 


0.59246 


0.59887 


0.60480 


0.61026 


0.6x534 


0.62006 


0.62442 


75 


a53826 


0.54746 


0.55598 


0.56386 


0.57XIX 


0.57781 


0.58398 


0.58966 


0.5949» 


0.59980 


0.60436 


76 


0.51435 


0.52377 


0.53268 


0.54092 


0.54853 


0.55554 


0.56x97 


0.56788 


0.57335 


0.5784X 


0.583 XX 


77 


0489x1 


049861 


0.50773 


0.5x634 


C.52431 


0.53163 


0.53837 


0.54454 


0.55024 


0.55550 


0.56036 


78 


046234 


047x96 


048XX5 


048997 


049830 


0.50597 


0.5x304 


0.5x950 


0.54545 


0.53093 


0.53597 


79 


043430 


044427 


045358 


046247 


047x00 


047904 


048645 


049327 


049948 


0.50520 


0.5x045 


80 


040614 


04x663 


042629 


043529 


044388 


0452x2 


045989 


046703 


047358 


047958 


048506 


8x 


0.37206 


0.383x7 


0.39338 


040275 


0.4XX46 


04x978 


0.42778 


043529 


044220 


044853 


045428 


82 


0-33697 


0.34858 


0.35945 


0.36941 


0.37853 


0.3870X 


0.395x3 


040288 


04x0x9 


04x690 


042300 


83 


0.30576 


0.3x771 


0.32911 


0.33978 


0.34953 


0.35844 


0.36673 


0.37461 


0.382x9 


0.38932 


0.39582 


84 


028047 


0.29235 


0.304x2 


0.3x534 


0.32579 


0.33534 


0.34404 


0.352x0 


0.35982 


0.36720 


0.374" 


85 


0.25975 


0.27094 


0.28262 


0.29419 


0.30516 


0.3154X 


0.32470 


0.333x7 


0.34204 


0.34854 


0.35569 


86 


0.24x98 


0.25x64 


0.26259 


0.27404 


0.28532 


0.29607 


0.30602 


0.3x505 


0.32326 


0.33084 


0.33807 


87 


0.22273 


0.23086 


0.24025 


0.25092 


0.26205 


0.27307 


0.28349 


0.293x4 


0.30x85 


0.30974 


0.3x702 


88 


0.20x02 


0.20853 


a2x632 


0.22536 


0.23570 


0.24653 


0.25720 


0.26727 


0.27656 


0.28491 


0.2924X 


89 


0.17547 


0.X8424 


0.X9X28 


0.X9863 


0.20729 


0.2x728 


0.22774 


0.23804 


O.H77« 


0.25656 


a26448 


90 


0.14387 


0.X5603 


0.164x6 


0.X7060 


0.17746 


0.X857X 


0.19530 


0.20535 


0.215x9 


0.22437 


0.23272 


9» 


0.XOQ02 


0.X1594 


0.X273X 


0.13464 


0.X4043 


0.X4678 


0.15458 


0.16375 


O.X7334 


0.X8265 


0.X9X25 


94 


0.04629 


0.06380 


0^)7887 


0^)8924 


0.09568 


o*xoo77 


0.X0657 


O.XX394 


0.X2266 


0.X3X70 


0.1404X 


93 


9.98353 


9-99799 


0.0x474 


0.0287 X 


0.03793 


0.04339 


0.04775 


0.05306 


0.0600X 


0.06813 


0.07668 


94 


9-9»535 


9.94444 


9.93826 


9.95395 


9.96656 


9.97444 


9.97882 


9.98*51 


9.98736 


9.99384 


0.00x49 


95 


9.8179X 


9.82275 


9.83H3 


9.84447 


9.8589X 


9.86994 


9.87635 


9.87971 


9.8828X 


9.88716 


9.89328 


96 


9.68740 


9.68900 


9.69356 


9.70172 


9.71374 


9.72658 


9-73571 


9-74055 


9.74499 


9.74563 


9.74970 


97 


9-47479 


947708 


9-47815 


948247 


948963 


949997 


9.51035 


9.5x696 


9.51017 


9.51181 


9.54405 


98 
99 



180 



NACHLASS. 



Verbindungsrenten. 




Alter des Mannes lur Seite« Altenunterschied der Frau oben. 

Zinsfuss 4 Procent. 



+ 1 



— I — a —3 —4 



—5 —6 —7 



— 8 



— 9 



20 
II 
21 

»3 

aS 

26 

»7 
28 

»9 

30 
3X 
$» 

33 
34 

35 
36 

37 
38 
39 

40 
41 
4* 
43 
44 

45 
46 

47 
48 
49 

50 
51 
5» 
53 
54 

55 

56 

57 
58 
59 



1.17536 


1.17543 
















*■ 


1. 17265 


X. 17293 


I.I7297 
















I.I6958 


X. 17009 


X.X7032 


X.I7033 














Z.I66I5 


X.X669X 


X.X6736 


X.X6756 


X.X6755 












I.I6233 


1.16331 


x.t640x 


X.X6446 


X.X6462 


X.X6455 










I.I58I3 


I.I593I 


X.X6025 


1.16093 


x.x6x3x 


x.x6x43 


x.x6x35 








X-I5357 


I.I5497 


1.X56XX 


X.I5700 


X.X5763 


1.15797 


X.X5807 


1.15794 






1.14860 


X.X502X 


X.X5X57 


X.X5265 


1.15350 


1.X5408 


1.15439 


1.15444 


1.154*7 




1.X4332 


X.I4509 


X.X4663 


I.I4793 


X.14897 


X. 14977 


1.15031 


X.X5057 


X.X5059 


X.X504X 


1.13773 


X.X3962 


X.X4X32 


X.X4280 


1.X4405 


X.X4504 


1.X4580 


X.X4630 


X.X4652 


X.X4652 I 


1.13x86 


I.I3384 


1.13565 


X.X3728 


X.X3872 


1.13993 


Z.X4086 


I.X4X57 


X.X4204 


X.X42H I 


1.12575 


X.X278X 


X.X2969 


X.I3X44 


1 13303 


X.13442 


X.13556 


X.X3645 


X.X37X3 


X.X3756 I 


1.11947 


X.I2X62 


1.X2358 


X.X254X 


X.X27XX 


X.X2863 


X.12996 


X.X3X05 


X.13191 


X.X3255 X 


1.11305 


I.XX530 


X.X1734 


X.XX926 


X.12X03 


X.X2266 


X.124X4 


X.X1540 


X.X2646 


1.12724 I 


1.10649 


X.X0890 


X.XIX03 


X.XX304 


X.XX489 


X.X1658 


x.xx8x6 


X.XX957 


i.X2o8x 


X.X2X79 X 


1.09978 


X.X023X 


X.X0460 


X.X067X 


X.X0863 


X.XX039 


1.XX204 


X.XX355 


X.XX492 


X.XX607 I 


X.09286 


1.09558 


X.09799 


X.X0025 


X.X0226 


X.X04XO 


X.X0581 


X.X0738 


X.X0885 


X.XX0X3 ' 


1.08570 


X.08858 


X.09XX7 


J.09355 


1.0957X 


1.09763 


1.09942 


1.X0105 


I.X0257 


X.X0396 X 


1.07823 


X .08x29 


X.08403 


X.08659 


1.08887 


1.09093 


xx>928o 


1.09450 


1.09607 


1.09752 X 


1.07038 


X. 07368 


1.07659 


X.07929 


X.08X76 


xx>8392 


1.08593 


X.0877X 


1.08934 


1.09085 I 


X.0621X 


x«o6562 


X. 06877 


1.07x63 


X.07423 


X.07657 


X.07868 


X. 08060 


X. 08231 


X.08388 X 


1.05344 


1.05717 


X .06053 


xx>6362 


X.06638 


X.06886 


X.07X13 


X.073X5 


1.07499 


ix>7663 I 


1.04438 


1.04830 


X.05X89 


1.055x9 


1.05917 


xx)6o79 


X.06320 


X.06538 


X. 06732 


Z.06908 X 


«.03483 


1.03903 


I.0428X 


1-04633 


X.0495X 


X.05236 


1.05490 


X.0572X 


1.0593 1 


X.061X5 I 


X.0248X 


r.02932 


X.03337 


1.03707 


1.04047 


1.0435 X 


1.04627 


XX4872 


X.05092 


X.05292 I 


X. 01426 


X. 01905 


X. 02342 


1.01737 


1.03097 


X.0342X 


X.037X4 


X .03981 


1x42x4 


X.Q4426 I 


X.00313 


X. 00824 


X.OI288 


X.OX7X4 


1.02097 


X.0244X 


1.01754 


1.03039 


X.03292 


1.03517 X 


0.99x41 


0.99688 


X. 00x83 


XJ00636 


X.OX049 


1.0x4x8 


X.0X748 


X.020J2 


1.02322 


X.02567 X 


0.979XX 


0.9849X 


0.9902X 


0.99504 


0.99945 


X.00342 


X.00697 


X. 0x0x6 


X.OI306 


X.OX567 X 


0.966x6 


0.97234 


0.97797 


0.983x4 


0.98784 


0.99207 


0.99590 


0.99933 


X.00238 


1.005x8 X 



0.95248 
0.93810 
0.923x0 

0.90747 

0.89X2X 

0.87442 

0.85703 
0.83909 
0.82056 
0.80x41 



0.95909 
0.94513 

0.93046 

.0.9x5x3 

0.89921 

0.8827X 
0.86566 
0.8480X 
0.82979 
0.8x097 



0.96509 

0.95x56 

0.93730 

0.92229 
0.90666 

0.89049 

0.87373 

0.8564X 

0.83847 
0.81995 



0.97058 

0.95741 
0.94357 

0.92897 
0.9x365 

0.89776 
0.88x31 

0.86427 
0.84664 
0.82839 



0.9756X 
0.96274 

0.94925 
0.93505 

0.920x3 

0.90455 

0.88838 

0.87x65 
0.85430 
0.83637 



0.980x3 
0.96760 

0.95441 
0.94055 

0.92603 

0.9x083 
0.89496 
0.87850 
0.86x46 
0.84380 



0.9842X 
0.97x96 
0.959x0 

0.94554 
0.93x36 

0.9x655 

0.90x06 
0.88488 
0.86809 
0.85072 



0.9879X 

0.97590 
0.96331 
0.95007 

0.936x7 

a92X7o 
0.90660 
0.89079 
0.87429 
0.85717 



0.99x20 
0.97946 
0.967x0 

0.95413 
0.94054 

0.92635 
0.91x57 
0.896x4 
o.88ooo 
0.863x6 



0.994x4 
0.98262 
0.97052 
0.95778 

0.94445 

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1.X4628 

.X41X7 
.X3769 

.13*90 
.X2783 

.X2255 

.X1703 
.XX126 
.Z052X 
X)9886 
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0.90525 

0.88979 

0.87367 



NAGHIiASS. 



181 



■■HB 



■MS 



mBssesmemoBm 



Verbindungsrenten. 

Alter des Mannes sor Seite. Altenuntenohied der Frau oben. 

Zinsfun 4 Procent. 



— 10 — II — 11 — 13 — 14 



— 15 — 16 — 17 — 18 — 19 — ao 



1.14188 

I.I375« 
1.13300 

1.12815 

I.IX308 

1.11773 
i.iiai6 
1. 10617 
1. 10005 
1.0935a 

IJ08664 

1-07949 
1.07106 

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1.05619 

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1.03901 
1.01974 
ia>ioo5 
IJO0990 



1.13747 
1.13186 

1.11811 

1. 11335 

1.11811 
I. II 181 
1.10711 
1.10106 
1^)9467 

1.08786 
z. 08076 

1-07338 
1.06568 

1.05771 

1.04940 
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1.01191 
1.01187 



.13454 
.11806 

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.11316 

.10774 

.10187 

.09561 

.08895 
.08193 

-07459 
.06693 

.0590z 

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/)1357 
.01361 



.11771 

.11311 1. 11183 



.11847 

•i»347 
.10814 

.IOH3 
.09636 

.08985 
.08195 
.07568 
.06807 
.06019 



Z.11816 

1.11346 
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1. 10181 
1.09691 

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1.08385 
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1.06131 



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.11340 
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.10196 

.09744 

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u>7oo8 
.06130 

.05414 
.04560 

.03671 

.01746 

.01781 



.11173 
.10797 
.10185 

.09735 

.09136 
.08495 
.07813 
.07085 
.06319 

•05510 

.04659 

•03774 
.01853 

.01891 



.10750 
.10154 
.09711 

.09144 
.08511 

.07854 

.07144 
x)639i 

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.01990 



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.09119 
.08517 
.07879 
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.03039 
.01081 



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1. 01166 



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,00041 1.00130 



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.08469 
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.07101 
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.03194 
-01145 



01149 
.00111 



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10 
11 
11 
43 
44 

45 
16 

47 
18 

49 

30 
3» 

3» 
33 
34 

35 
36 

37 

38 

39 

40 

41 

44 

43 
44 

45 
46 

47 
48 

49 

50 
51 
54 

53 
54 

55 

56 

57 
58 

59 



31 



182 



NACHLASS. 



Verbindungsrenten. 

Alter des Mannes sur Seite. Altenunterschied der Frau oben. 

Zinsfoss 4 Procent. 



59 
6o 

6i 

62 

63 
64 

65 
66 

67 
68 

69 

70 

71 
7* 
73 
74 

75 
76 

77 
78 
79 

80 
81 
82 

83 
84 

85 
86 

87 
88 

89 

90 

91 
92 

93 
94 



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Q.2880X 

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0.24448 
0.22835 
0.20982 
0.18695 

0.15809 
0^x2291 

ox)7777 
0.02752 
9.97050 

9.90694 

9.81187 

9.68163 
946872 



KACHLA8& 



183 



Verbindungsrenten. 

Alter des Mannet zur Seite. Altersunterschied der Frau oben. 

Zinsfuss 4 Proeent. 



— lO 

0.87812 
a86i63 
0.84434 
0.82624 

0.80743 
C.78798 

0.76788 

0.74725 
0.72620 
0.70487 
a68324 

0.66x31 
0.63926 
0.61743 
0.59591 

0.57453 

0.552S8 
0.53039 
0.50679 
048185 
045536 

042760 

0.39971 
0.36589 
0.33102 
0.29999 

0.27488 

oa543* 
a23672 

0.21766 

0.19616 

0.17085 
0.13950 
0.09591 
0.04245 

9.97997 

9.9x209 
9.8x498 
9.68483 
947270 



— IX 

0.88210 
0.86591 
0.84896 
0.83x21 
0.81266 

0.7934» 

0.77358 
0.75318 
0.73239 
0.71127 
0.68988 

0.66821 
0.64646 
0.62496 
0.60380 
0.5828X 

0.56x56 
0.53946 
0.5x609 
049123 
0.46488 

043748 
0410x3 

0.37693 

0.34156 
0.3x188 

0.28669 
0.26544 
0.24633 
0.22573 
0.20360 

0.17954 

0.15 159 
0.1 XI 79 

0.05995 
9.99441 

9.921x8 
9.81982 
9.68644 

947499 



— X» 

0.88569 
0.86974 
0.85308 
0.85567 

0.8x744 
0.79844 

0.77880 
0.75865 
0.73808 
0.71721 
0.69603 

0.67460 
0.653x2 
0.63x93 
0.6XXXO 
0.59047 

0.56959 
a54788 
0.52489 
0.50025 

047397 

0.44669 
04x969 

0.38704 

0.35334 
0.32320 

0.29838 

0.27705 
0.25 7« X 
0.23506 
0.2XX33 

0.X865X 
0.X5964 
0.X2307 
0.07493 
0.01XXX 

9-93497 
9.82848 
9.69099 
947606 



— 13 

0.88882 
0.873x8 
0.85676 
0.83963 
0.82x74 
0.80307 

0.78367 
0.76372 

0.74339 
0.72274 

0.70X8X 

0.68059 

0.65935 
0.6384X 

0.6x788 

0,59756 

0.57702 
0.55567 

0.53305 
0.50878 

0.4827X 

045550 
0.42860 

0.39632 

0.36321 

0.33378 

0.30952 
0.28854 
0.26858 
0.24566 
0.22032 

0.X9382 
0.16605 
O.X3037 
0.08527 
0.02506 

9.95065 
9.84x52 
9.69915 
9.48038 



— 14 

0.89x69 
0.87622 
0.86005 
0.843x4 
0.82552 
0.80717 

0.78809 
0.76837 
0.74825 
0.72784 
0.707x2 

0.686x4 
0.665x0 
0.64440 
a624xx 

0.60407 

0.58384 
0.56281 

0.54054 
0.51663 

049093 

046393 
0437x0 
040495 

0.37224 

0.34343 

0.3x989 
0.29946 
0.27983 
0.25676 
0.23062 

0.20244 
0.X7286 
0.136XX 
0.09165 
0.03424 

9.96322 

9.85594 
9.711x6 

9.48754 



— »5 

0.89420 
0.87890 
0.86294 
0.84629 
0.82890 
0.8x082 

0.79206 
9.77265 

0.75276 
0.73255 
0.71206 

0.69x29 

0.67049 

0.64997 
a6299o 

0.6x0x0 

0.590x3 
0.56938 

0.54743 
0.52386 

04985 X 

047188 

9445*5 
0413x8 

0.38063 

0.35225 

0.32933 
0.30960 

0.29047 
0.2677X 
0.24x40 

0.2x239 
0.18x09 
0.14243 
0.09672 
0.03966 

9.97108 
9.86695 
9.72398 
9.49788 



— x6 

0.89637 
0.88x28 
0.86550 
0.84905 
0.83x90 
0.81405 

0.79556 
0.77648 
0.75689 
0.73691 
0.7x662 

a696o6 

0.67547 
0.655x8 

0.63530 

0.6157X 

0.59596 

0.57547 
0.55378 

0.53050 

0.50548 

047920 
045292 
0.42107 
0.38864 
0.36045 

0.33796 
0.3x883 
0.30036 
0.27806 
0.25202 

0.22282 
0.19064 
0.X5022 
0.X0252 
0.04402 



— X7 

0.89829 
0.88337 
0.86778 
0.85x49 
0.83453 
0.81690 

0.79862 
0.77979 
0.76053 
0.74086 
0.71078 

0.70043 
0.68006 

0.65997 
0.6403 X 
0.62089 

0.60x35 
0.58108 

0.55963 
0.53662 

0.5XX88 

04S59X 

045999 

0.42852 

0.39634 
0.36828 

0.34597 
0.32724 

0.30933 
0.28764 
0.26203 

0.23306 
0.20065 

0.15934 
0.X0985 
0x493 X 



9.97544 9-979" 

9.87334 9.87669 

9.7331X 9.73794 

9.50825 9-5*487 



— x8 

0.90003 
0.88519 
0.86976 
a85366 
0.83687 
0.8x944 

0.80x38 

0.78275 
0.76372 

0.74435 
0.72458 

0.70445 
0.68427 

0.66440 

0.64494 

0.62574 

0.60636 
0.58627 
0.56503 

0.54115 
o 51777 

049209 
046647 

043536 
040358 

0.37579 

0.3536X 

0.33503 
0.3x747 
0.29630 

0.27x26 

0.24267 
0.2x045 
0.16890 
0.1x855 
0x35624 

9.98396 
9.87978 

9.74037 
9.51802 



— 19 

0.90153 
0.88683 
0.87x48 

0.85554 
0.83893 
0.82x65 

0.80378 
0.78538 
0.76656 

0.74743 
0.72796 

0.708x2 
0.688x4 
0.66845 
0.64920 
0.630x9 

o.6xxox 
0.59x07 
a57ooo 

0.54741 
0.523x5 

049772 

047139 
0441 6x 

04x021 

0.38284 

0.36093 
0.34245 
0.32500 
0.30414 
a27956 

0.25x48 
0.21958 

O.X78X7 
0.12757 
0.06444 

9-9904* 
9.88424 

9.74301 
9.5x972 



— 20 

0.90289 
0.88827 
0.87303 
0.857x6 
0.84070 
0.82360 

0.80588 
0.78766 
0.76905 
0.750x2 
0,73090 

0.71x36 
0.69x67 
0.672x9 

0.653 XX 

0.63430 

0.6x529 

0.59555 
0.57462 

0.552x9 

0.528x2 
0.5029X 

047781 
044731 

041626 
0.38928 

0.36778 
0.34955 

0.332x6 

0.3XX35 

0.28702 

0.25935 

0.22789 
0.18674 
0.13625 

ao7287 

9.99807 
9.89025 
9.74709 
9.52196 



59 
60 

6x 

62 

63 
64 

6S 
66 

67 
68 

69 

70 

71 
71 
73 
74 

75 
76 

77 
78 
79 

80 
8x 
82 

83 
84 

85 
86 

87 
88 

89 

90 

91 
92 

93 
94 

95 
96 
97 
98 






EINMCHTUNG UND GEBRAUCH DER TAFELN. 

[Den Zaklenangaben dieser Tafeln liegen die von Bbüss im i6. Bande des CRsujEschen Journals für 
Mathematik lusammengestellten Erfahrungen Aber die in der k. Preussischen allgemeinen l^twen- Ver- 
pflegungs-Anstalt wfthrend der Zeit von 1776 bis 1834 successive aufgenommenen 31500 Ehepaare zu Grunde. 
Es sind hier angegeben die Logarithmen der Anzahl der Frauen (log/m) und der Männer (log FM), welche 
unter loooo, die das Tollendete lo"^ Lebensjahr erreichten, bis zu dem Ende des in der Mitte bemerkten 
Altersjahres (m oder M) gelangten, jedoch mit der Abweichung Ton Bbuks, dass das Absterben der M&n- 
ner Über 80 Jahren nach demselben Verhältnisse gerechnet ist, welches jenen Erfahrungen gemäss bei dem 
weiblichen Geschleohte gilt; weil wie in der Bilanzrechnung von XS45 erwähnt wird, die Registratur der 
Preussischen Witwenkasse zur directen Bestimmung des Absterbens der Männer im hohen Alter keine hin- 
reichenden Daten enthält. Neben den Logarithmen der Lebenden stehen unter der Überschrift decr. die 
absoluten Werthe der Unterschiede jener Logarithmen (ioggm = log' ^^^^'^ und log Gm = log ^ ~'^ ) 
in Einheiten der siebenten Decimale ausgedrückt. Mit HOlfe der so erhaltenen Tafel fUr die Sterblichkeit 
hat Gauss die einfachen und die Verbindungsrenten bei dem Zinsfuss von 3{- Proc. und von 4 Proc. berechnet. 

Die sowohl in Logarithmen als in Zahlen {^fn,^M) dargestellten einfachen Leibrentenwerthegel- 
ten für das Ende des in der Mitte angegebenen Lebensjahres der Frau (ffi) oder des Mannes (If) als 
jetzigen Zeitmoment und unter der Voraussetzung, dass für den Fall des Erlebens des Endes jedes der 
nachfolgenden Jahre dann die Münzeinheit gezahlt wird, so dass also 

fm.ftn = p/(m + i)-h pp/(m-ha)+ pV(»» + 3)+ • • • 
^M.FM= pJP(lf+i)^-ppF(Jf+2) + p«JP(Jf-h3)+ • • • 

ist, wenn p den Disoontofactor (= }|4 bei 3^ Proc. und = f| bei 4 Proc.) bezeichnet. 

Die Tafel der Verbindimgarenten enthält die Logarithmen der Werthe ^{m, M), welche für den 
Zeitpunkt des zur Seite stehenden Alters (M) des Mannes solchen Renten, die am Schlüsse jedes 4»t fol- 
genden Jahre im Falle des gleichzeitigen Lebens des Mannes (vom jetrigen Alter = 3i) und der Frau 
(yom Altersunterschiede =: m — Jf) mit der Münzeinheit gezahlt werden , gleich kommen und also durch 

die Formel bestimmt sind: 

* 

^{fn,3f).fm.Fm = p/(m + 1) . i^(if + + P p/(m -f 2) . JP'Cif + 2) -|- p«/(»w + 3) • -FC-ä' + 3) + • • 



ANWBNDCKa DER WAHBSCHBINLICHKEITSKECHKÜNO ETC. 185 

Werthe von LmhrenUn und Lehenwerticherungen ßtr Männer, 
Die Tafel ffir die Leibrenten der liiänner hat Gauss zu einer genauen Berechnung des Einflusses 
benutst, den diejenige Bestimmung der Statuten, dass ein Wiederaustritt des lebenden lütgliedes nicht ge- 
stattet sein solle I haben würde. Er findet, dass für die 42 verheiratheten Mitglieder der Bilanzreohnung 
Tom z. Oct. 1845 der Zeitwerth der Beitrftge sich dadurch um 898 Thl. bei 34^ Proo. und um 665 Thl. bei 
4 Proc. vermehren würde. Ausserdem hat er mit Hülfe dieser Tafel einige Rechnungen über die Werthe 
Ton LebensTersioherungen ausgef&hrt und dabei für ein jetziges Mannesalter von M Jahren p — (z — p)<DJf 
als Zeitwerth der am Ende des Todesjahres auszuzahlenden Münzeinheit genommen.] 

Werth der bestehenden WUwenpßnsion Fm, 
m jetziges Alter der Witwe. 

9 m Werth der Pension wenn j&hrlich und nur an noch Lebende gezahlt wird. 

p Diseontofactor (= U ^^' 4 ^^oc. , = f |4 Air si Proc.) oder der Zinsfuss so verstanden, dass p 
nach einem Jahre auf t anwächst. 

fx Lebende des Alters x nach Angabe der Mortalitätstafel. 

[Die Bilanz wird fOr den x. October eines bestimmten Jahres berechnet und dieser Zeitpunkt hier 
überall nur kurz der jetzige genannt. Nach dem Regulative vom ix. October 1833 und den später ergan- 
genen Verfügungen die Professoren Witwenkasse betreffend wird die Pension in halbjährigen am 'i. April 

und am x. October jeden Jahres fiüligen Raten ausbezahlt und erlischt bei Witwen mit dem Sterbemonate, 

« 

welcher zu voll bezahlt wird. Mit Rücksicht hierauf ist für den wahrscheinlichen Jetztwerth Fm einer mit 
der Münzeinheit jährlich auszuzahlenden Witwenpension:] 

fm.Fm= Ap*{/m •f/(m + :,*r)+/(^ + A) + ..+/(«» + A)i 
+ iVp{/(m + A)+/(m+A)+ +/(m + H)l 

J + U.S.W. 

oder fm.Fm=2 |pV(«» + *) + ♦?/("» + H)+iP*/(»» + H)+ u. s.w. 

wofür genommen werden kann 

= P*/(»» + H) + ?*/{"»+«)+ II- «•^• 
Die Tafel gibt 

ftn.^m = p/(m + x) + pp/(m + a)+ . . . 



also 



jtn 



[wenn man die in obiger Tafel unter decr. in Einheiten der siebenten Decimale enthaltenen Werthe von 
log/(fn — x}'— log/m mit log.^m bezeichnet. Eine zur Berechnung von Hülfstafeln etwas bequemere 
Formel entsteht, wenn mim bei jeder ganzen Zahl n und jedem echten Bruche k für /(n + A) die Grösse 
(* — «!/•* + */(» -4- 1) »atzt, nemlich:] 

32 



186 NACHLASS. 

wo 48-ri = i9pi + 7p, 48Ä = 5p"~*--hi7-fi9p* + 7p 

und nahe genug A = {-l p " , B = p'^ 

fär 3|- Froc. log — =0.0x49403 Genau A = 0.52998474, log B = 9*9956901 

P 

die Näherungsformel gibt A = 0.5299694 , log ^ = 9.9956424 

Oerechnet war nach H + T*'* = ^ 

man kann also setzen P = pÄpo-.^(pA__p*) == p*-.^(i — p)p*-.^(i_p) 

also für 3i^ Proc. P = P*- ^Hf-P^-t+HK für 4 Proc. P = P*- tIt -?"*- ifir 

Beispiel: Nr. 65. H.. 4 Proc. m = 53.784 

log7(m — f{] 1.05488 log<pm .... 1.04830 Verbesserung des frühem Werthes P* 

comp.logp* 0.00426 logpÄ . . —0.00497 po— ^|||P*— ^^ 

B^m. . . . X1.Q492 Ü'f?*'^ = ii«7i79 
log^(m-hH)** • • • ■ 0'0044o HP* • • • • » 0-5^60 — 0.1314 5 

1.06354 — 0.009s 5 

P = 11.5755 "-575* ".5769 



Stehende Ehe. 

Alter des Mannes M, der Frau m zur Zeit von Oct. z. Sterblichkeitstafel lebende M&nner vom 
Alter X = Fx, Werth der Tl^twenpension = J2— Q. 

[Nach den Statuten nimmt die Pension mit dem Ablaufe des Gnadenquartals ihren Anfang , wird in 
halbjfthrigen am z. April und am i. October jeden Jahres ftlUgen Baten ausgezahlt und erlischt mit dem 
Schlüsse des Sterbemonats. Für den Zeitwerth R — Q einer etwa eintretenden Witwenpension welche jähr- 
lich die Münzeinheit beträgt ist demnach 

(It-Q).fm.Fm = Ap {j^m— P(m + i)| {/(m + A)-f/(m + A) -h/(m-f A)} 

+ AP {j^«-J^(»» + *)ii/(»»+TV)+/(m-|-«)-f/(m-fH)} 
+ AP*{j^m--P(m + l)}l/(m + «)+/(m-f «)+/(!» + «)} 
+ AP*{j^'»--f'(»» + t)ii/{»»4-H)+/(m + «)+/(m + H)} 

+ U.S.W. 



oder :] 



B.fm = ip/(m+H) + iP*/(»» + H)+iPP/('w+li)-f . . 
= pV(«-l-«) + P*/(m + «)-f . . 

Q.fm.Fm = pV(»» +«).i^(-af +|) + pV("» + «)-^(-M'+ V)+ • • 



ANWENDUNG DE» WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ETC. 187 

Werth der noch su zahlefiden Beiträge S, 

[RegulatiT vom ii. Ooto1>er 1833 und 24. November 1846. Jeder Theilnehmer an der Witwenkasse 
bat postnumerando jfthrlieh am 17. September den Beitrag an den Rechnungsführer su entrichten, und 
▼erden diese Beiträge von Michaelis zu Michaelis gerechnete — Wenn ein Mitglied der Witwenkasse in 
der ersten Uftlite des Beitragsjahres, mithin in den Monaten vom October bis incl. M&rs stirbt, so haben 
die Erben für das betreffende Jahr den Beitrag nicht mehr einzuzahlen; stirbt dagegen ein Mitglied in 
der zweiten Hftlfte des Jahres , so muss von den Erben am 17. September des Sterbejahres noch der volle 
Beitrag entrichtet werden. — Die Aufkündigung von Seiten der Theilnehmer muss mittelst schriftlicher 
• Erklärung vor dem 17, September des von Michaelis su Michaelis laufenden Beitrittsjahres geschehen, der 
an diesem Tage fiülig werdende jährliche Beitrag jedoch noch einmal zu voll bezahlt werden; wer diese 
Frist nicht einhält, muss für das ganze folgende Beitrittsjahr noch Zahlung leisten, bleibt dann aber bis 
dahin auch noch Mitglied. 

Für den Zeitwerth S der jährlich als Beitrag zu zahlenden Münzeinheit erhält man daher 1] 

S.fm.Fm = p./m.P(3f+*)-f pp./(m-»-i).-F(3f-f })+ . . 

Bezeichnet man also 

^(m,M).fm.Fm = p/(m-»-i)2?'(m + i) + pp/(m + i)JP(m-»-2)+ . . . 



80 ist 



/(m-,V) FjM^i) ^ 
^ fm FM 'P*4^(^~i4:>^-|) 

/(m— 1) F(M^\) ,, ,^ V 



Schreibt man noch 



F{M-^ 1) 



FM 



= QM 



so wird 






32* 



188 







NACUtiASS. 








Beispiel: Nr. 138 Conradi. 


if =65. 


02, m ^ 46.08 


4 Proc. 


3^ Proc. 


logp — — 0.0x70333393 für 4 Proc. 


log<pin .... 1.Z2875 


1.15233 


logp — — 0.0x49403498 für 3j Proc. 


Alogp —497 


-436 


für Q 


ftir 8 


13.2979 
^p* 0.0397 


14-0594 
399 


^ (46.04; 64(65) . • x8.6x 


4» (45.08; 64.52). . 19.44 


J2 = 13.3376 
für Q,log^ ... 0.809x2 
logffO . . ■ +897 


14.0993 
0.82183 

+ 897 


64 
65 


18.61 
0.82079 0.83374 
0,80284 0.81540 


19.44 
0.82251 0.83552 
0.80470 0.81732 


tlogp . , . —426 


— 374 


'^(46.56) ... 25 


^(46.08) ... 588 


Q = 6.5137 


6.7150 


0(65.33) ... 872 


0(65.27) . • . XX56 


B—Q = 6.8239 


7-3843 




für/S, log^ ... 0.81325 


0.82606 




loggO . . +1744 


4-1744 




S := 6.7716 


6.9743 













Bei der Aufstellung dieser Tafeln hat Gauss sich seiner fünfstelligen Tafel zur Berechnung des Lo- 
garithmus der Summe yon Ghrössen, die nicht selbst, sondern nur durch ihre Logarithmen gegeben sind, 
bedient, und deshalb bei jedem Zinsfuss und jedem Altersunterschiede mit der Bestimmung der Benten- 
werthe für die höchsten Lebensjahre den Anfang gemacht. Die einzelnen Zahlenangaben können aus die- 
sem Grunde auch abgesehen von der Verbesserung, welche die Sterblichkeitstaf^ durch erweiterte Erfah- 
rungen der Preussischen Witwenkasse schon seither erlitten hat , um einzelne Einheiten in der fünften De- 
cimale der Logarithmen ungenau sein. 

Einige Rechenfehler , auf die ich durch Bildung der Quotienten zwischen den 3I und 4 procentigen 
Rentenwerthen und der Differenzen der auf einander folgenden Quotienten aufmerksam geworden bin, habe 
ich beim Abdruck berichtigt. Li Einheiten der fünften Decimale des Logarithmus betragen diese Fehler 
an den Orten ihres Entstehens i +70 f^ das 77. Jahr der Frau in deren Leibrentenwerthen bei 4 Proc. 
femer für das 71. und 93. Jahr des Mannes und die resp. Altersunterschiede der Frau von + 1 und o Jahr 
bei $^ Proc. ; -)- 10 für das 76. Jahr des Mannes in dessen Leibrentenwerth bei $i Proc. Und ebenso viel 
für das 79. Jahr des Mannes und den Altersunterschied der Frau von —9 Jahr bei 4 Proc; — xo für 
das 28. 68. 9x. 94. und 94. Jahr des Mannes und die resp. Altersunterschiede von —8, — X3, — xx, — s, 
und --14 Jahr bei den resp. Procenten 4, 4.31-. 4 und 3|. Diese und einige andere Rechenfehler von 
geringerem Betrage haben auf die Bestimmung der Rentenwerthe für die zun&chst jüngeren Altersjahre ei« 
nigen Einfluss gehabt, der allmftlig und im &ussersten Falle erst für das Ende des zweiten Jahrzehnt ver- 
schwindet. Die Angaben der einfachen Leibrenten in Zahlen sind aus den Logarithmen abgeleitet und 
haben nach der angegebenen Berichtigung derselben hier auch eine entsprechende Abftnderung erfahren 
müssen. 

Die^ei den Anwendungen der Tafeln zu gebrauchenden Formeln und die Reehnungsbeispiele zu 
denselben sind den zerstreuten Notizen auf einzelnen Handblättchen entlehnt und hier durch einige Ein- 
schaltungen erläutert 

SCHBBDIO. 



ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 

DIE THEILE EINER GEGEBNEN FLÄCHE 

AUF EINER ANDERN GEGEBNEN FLÄCHE SO ABZUBILDEN 
DASS DIE ABBILDUNG DEM ABGEBILDETEN 

IN DEN KLEINSTEN THEILEN ÄHNLICH WIRD 



VON 



CARL FRIEDRICH GAUSS 



ALS BEANTWORTUNG DEB VON DER KÖNIOUCHEN SOCIETÄT DER WISSENSCHAFTEN 
IN COPENHAOEN FÜR UDCCCXXn AÜFOEOEBNEN PRISFRAGE. 



'Ab bis tIA sternitur ad maiora.* 



Astronomisclie Abhandlungen herausgegeben von H. G. Schumacher. 

Drittes Heft. Altona 1825. 



JJer Verfasser dieser Abhandlung hat die zweimalige Wahl der Aufgabe, die 
ihren Gegenstand ausmacht, als einen Beweis von der Wichtigkeit betrachten zu 
müssen geglaubt, welche die königliche Societät derselben beilegt, und ist da- 
durch aufgemuntert worden , dieser seine schon vor längerer Zeit gefundene Auf- 
losung vorzulegen, wovon ihn sonst die späte von der Preisfrage erhaltene Kennt- 
niss abgehalten haben würde. Er bedauert , dass der letztere Umstand ihn ge- 
nöthigt hat, sich fast nur auf das Wesentliche und auf die Andeutung einiger nä- 
her liegenden Benutzungen für Kartenprojectionen und für die höhere Geodäsie 
zu beschränken , da er ohne die Nähe des Schlusstermins gern die Entwicklung 
einiger Nebenumstände noch weiter verfolgt , und die vielseitigen Anwendungen 
in der höheren Geodäsie ausführlich bearbeitet haben würde, welches er sich nun 
fär eine andere Zeit und für einen andern Ort vorbehalten muss. 
Im December 1822. 



ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 

DIE THEILE EINER GEGEBENEN FLÄCHE 

AUF EINER ANDERN GEGEBENEN FLÄCHE SO ABZUBILDEN 
DASS DIE ABBILDUNG DEM ABGEBILDETEN 

IN DEN KLEINSTEN THEILEN ÄHNLICH WIBD. 



1. 

Die Natur einer krummen Fläche wird durch eine Gleichung zwischen den 
sich auf jeden Punkt derselben beziehenden Coordinaten <2?,y, z bestimmt. Ver- 
möge dieser Gleichung kann jede dieser drei veränderlichen Grössen wie eine 
Function der beiden andern betrachtet werden. Noch allgemeiner ist es , noch 
zwei neue veränderliche Grössen f, u einzufahren, und jede der x, y, z als eine 
Function von t und u darzustellen, wodurch, wenigstens allgemein zu reden, 
bestimmte Werthe von t und u allemal einem bestimmten Punkte der Oberfläche 
angehören, und umgekehrt. 

2. 
In Beziehung auf eine zweite krumme Fläche sollen X, F, Z, T, TJ ähn- 
liche Bedeutungen haben , wie resp. x^ y, z, t, u in Beziehung auf die erstere. 

3. 
Die erste Fläche auf der zweiten abbilden heisst. ein Gesetz festsetzen, nach 
welchem einem jeden Punkte der ersten Fläche ein bestimmter Punkt der zwei- 
ten entsprechen soll. Dieses wird dadurch geschehen, dass T und U bestimm- 
ten Functionen der zwei veränderlichen Grössen t und u gleich gesetzt werden. 

33 



194 ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DEB AUFGABE 

Insofern die Abbildung gewissen Bedingungen Genüge leisten soll, werden diese 
Functionen nicht mehr willkürlich sein dürfen. Indem dadurch auch X, Y, Z 
zu Functionen Ton t und u werden, müssen diese Functionen, neben der Bedin- 
gung , welche die Natur der zweiten Fläche vorschreibt , auch noch derjenigen 
Genüge leisten, welche in der Abbildung erfüllt werden soll. 

4. 

Die Au%abe der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften schreibt vor, 
dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich sein soll. 
£s kommt zuvörderst darauf an , diese Bedingung analytisch auszudrücken. 

Aus der Differentiation der Functionen von t, w, durch welche a?,y, z, X, F, Z 
ausgedrückt werden , mögen folgende Gleichungen hervorgehen : 

da? = ad*+adtt 
dy = bdt'\-Vdu 
dz = cdf +cdM 
dX = Adt^Adu 
dF= J5df+B'dtt 
dZ = Cdf+C'dtt 

Die vorgeschriebene Bedingung erfordert, erstlich; dass alle von Einem 
Punkte der ersten Fläche ausgehende und in ihr liegende unendlich kleine Linien 
den ihnen entsprechenden Linien der zweiten Fläche proportional sind, und zwei- 
tens, dass jene unter sich dieselben Winkel machen» wie diese. 

Ein solches Linear -Element auf der ersten Fläche wird 



= V((aa-^66H-cc)d<*4-2(aa-^6yH-cc)drdtt+(aVH-W'-hcc)du*) 

und das entsprechende auf der zweiten Fläche 

= V{(.1^+ J5J5-f CC) d^+ 2 (.1^'+ J?J5'+ CC)dt. du + (il'^'-f ^^-f CC^u^ ^ 

Sollen beide, unabhängig von dt und du, in einem bestimmten Verhältniss zu 
einander stehen , so müssen offenbar die drei Grössen 

aa-|-66-|-cc, aa'-f-66'-f-cc, aa'H-6'6'+cV 
respective den drei folgenden proportional sein : 



DIE THEILE EINER OEOEBNEN FLlCHE AUF EIKEB ANDEBK ABZUBILDEN ETC. 195 



44 + -BJ5+CC. AA-^-BB'+CC, AÄ-^-B'B'-^-C'C 

Wenn den Endpunkten eines zweiten Elements auf der ersten Fläche die Werthe 

f, u und *+8*, w+8m 

entsprechen , so ist der Cosinus des Winkels , welchen dasselbe mit dem ersten 
Elemente macht, 

und für den Cosinus des Winkels zwischen den cörrespondirenden Elementen 
auf der zweiten Fläche ergibt sich ein ganz ähnlicher Ausdruck, wenn nur 
a, 6, c, a , 6', c in A, J5, C, A\ B\ C verwandelt werden. Offenbar werden beide 
Ausdrücke einander gleich , wenn die obige Proportionalität Statt findet , und die 
zweite Bedingung wird daher schon mit in der ersten begriffen « welches auch bei 
einigem Nachdenken von selbst klar ist. 

Der analytische Ausdruck der Bedingung unserer Aufgabe ist demnach, dass 

AA-^BB^CC AA'-^BB'^-CC A'A'-^- B'B''\'C'C' 

aa'\' hh +CC- aa'4- hV -|-cc' a'a' -^ h' V -f c V 

werden muss, welches eine endliche Function von t und u sein wird, die wir 
= mm setzen wollen. Es drückt dann m das Verhältniss aus, in welchem die 
LineargrOssen auf der ersten Fläche in ihrer Abbildung auf der zweiten vergrössert 
oder verkleinert werden (je nachdem m grösser oder kleiner ist als 1). Dieses 
Verhältniss wird, allgemein zu reden, nach den Stellen verschieden sein: in dem 
speciellen Falle , wo m constant ist , wird eine vollkommene Aehnlichkeit auch 
in den endlichen Theilen , und wenn überdiess m = 1 ist , wird eine vollkom- 
mene Gleichheit Statt finden , und die eine Fläche sich auf die andere abwickeln 
lassen. 

5. 

Indem wir Kürze halber 

■ 

{aa+bb-^cc)df-\-2{ad-{-bb'-\-cc)dt.du-{-{aa-\-b'b'-\-c'c)du* = m 

setzen , bemerken wir , dass die Differentialgleichung <t> == zwei Integrationen 
zulassen wird. Indem man nemlich das Trinomium o> in zwei, in Beziehung auf 

33* 



196 ALLGEMEINE AUFLOSUNO DER AUFGABE 

d^ und du lineare, Factoren zerlegt, muss entweder der eine oder der andere 
Factor = werden, welches zwei verschiedene Integrationen geben wird. Die 
eine Integration wird der Gleichung 

= (aa + 66+cc)dr 

+ |aa+66'+cc'+iV((aa+66+ec)(aV+6'6'+cV)— (aa+66'+cc')*)|du 

entsprechen (wo i Kürze halber für ^ — 1 geschrieben ist, indem man sich leicht 
überzeugt , dass der irrationale Theil des Ausdrucks imaginär werden muss) ; die 
andere einer ganz ähnlichen Gleichung, wenn nur i mit — i vertauscht wird. 
Ist also das Integral der erstem Gleichung dieses : 

p-^iq = Const. 

wo p und q reelle Functionen von t und u bedeuten, so wird das andere Integral 

p — iq = Const. 

und die Natur der Sache wird es mit sich bringen , dass 

{dp'^%dq).{dp — idq) oder d/^^+d^* 

ein Factor von co , oder 

tt> = n{dp^-\^dq^ 

werden muss , wo n eine endliche Function von t und u sein wird. 
Wir wollen nun das Trinomium , in welches 

dX*+dF*+dZ* 

übeigeht, wenn för dX, dF, dZ ihre Werthe durch T, U, dT, du" substituirt 
werden , durch Q bezeichnen , und annehmen , dass auf ähnliche Weise, wie vor- 
her , die beiden Integrale der Gleichung Q = diese seien : 

P+iQ = Const. 

P—% Q = Const, 
und 

Q = i^(dP'+dQ*) 

wo P, Q, N reelle Functionen von Tund U bedeuten werden. 



DIE THEILE EINER GEGEBNEN FLÄCHE AUF EINER ANDERN ABZUBILDEN ETC. 197 

Diese Integrationen lassen sich (die allgemeinen Schwierigkeiten des Inte- 
grirens bei Seite gesetzt) offenbar vor der Auflösung unserer Hauptaufgabe aus- 
führen. 

Wenn nun für T, U solche Functionen von if, u substituirt werden, wo- 
bei die Bedingung unsrer Hauptaufgabe erfüllt wird , so geht Q in mmm über, 
und es wird 

(dP4-tdO).(dP-tdO ) mmn 

(d;» + idj). (dp — idj) ~ N 

Man sieht aber leicht , dass der Zähler im ersten Theile dieser Gleichung durch 
den Nenner nur dann theilbar sein kann , wenn 

entweder dP+»dQ durch d|>-j-idj^. und dP — idQ durch d/? — idiq, 
oder dP+«dQ durch djp — i^q, und dP — idQ durch d/i-f-idj^ 

theilbar ist. Im ersteren Falle wird demnach dP-j-idQ verschwinden, wenn 
d/?+idj = 0, oder P-j-iQ wird constant werden, wenn p-^iq constant an- 
genommen wird, d. i. P-^-iQ wird bloss Function von p-\-iq sein, und eben 
so P — » Q Function von p — iq. Im andern Falle wird P+ % Q Function von 
p — iq, und P — iQ Function von p-^iq sein. £s ist leicht einzusehen, dass 
diese Folgerungen auch umgekehrt gelten, nemlich dass, wenn für P-j-<Q, P — iQ 
Functionen von p-^iq, p — iq (entweder respective, oder verkehrt) angenommen 
werden , die endliche Theilbarkeit des Q durch (o , und sonach die oben erfor- 
derlich gefundene Proportionalität Statt haben wird. 

Man überzeugt sich übrigens leicht , dass wenn z. B. 

P^iQ==f{p^iq) 
P-iQ=/{p^iq) 

gesetzt werden , die Beschaffenheit der Function /' schon durch die von / be- 
dingt wird. Wenn nemlich unter den constanten Grössen, welche letztere etwa 
involviren mag, keine andere als reelle befindlich sind, so wird die andere /' 
mit der / ganz identisch sein müssen , damit jedesmal reellen Werthen von p, q 
reelle Werthe von P, Q entsprechen; im entgegengesetzten Falle wird sich/' 
von / nur dadurch unterscheiden, dass in den imaginären Elementen von / statt 
i flberall das entgegengesetzte — i gesetzt werden muss. 
Man hat hiemächst 



198 ALLGEIIEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 

P=-k/{p-\-iq)-{-if{p-ig) 

iQ = ^/ip-\-iq)-if{p-iq) 

oder, was dasselbe ist, indem die Function / ganz willkürlich angenommen wird 
(nach Gefallen mit Inbegriff constanter imaginärer Elemente) , wird P dem reel- 
len und %Q (bei der zweiten Auflösung — iQ) dem imaginären Theile von 
/(p+ij) gleich gesetzt, und hieraus sodann vermittelst der Elimination T und 
U in der Gestalt von Functionen vpn t und u dai^estellt werden. Hiedurch ist 
die voig^ebene Au%abe ganz allgemein und vollständig au%elöst. 

6. 
Wenn p-^-iq eine beliebige bestimmte Function von p-^-ig vorstellt (in- 
dem p\ q reelle Functionen von p, q sind) , so sieht man leicht , dass auch 

p'-f-ij' = Const. und p — iq == Const. 

die Integrale der Differentialgleichung a> ==: darstellen ; in der That werden 
jene mit den obigen 

p-|-»j = Const. und p — i j^ = Const. 

resp. ganz gleichbedeutend sein. Eben so werden die Integrale der Differential- 
gleichung Q = 

P'+ 1 Q' = Const und P — i Q' = Const. 

mit den obigen 

P-^iQ = Const. und F—%Qz=z Const. 

ganz gleichbedeutend sein, wenn P'-f-»Q' eine beliebige bestimmte Function 
von P+»Q vorstellt (indem P\ Q' reelle Functionen von P, Q sind). Es 
erhellet hieraus , dass in der allgemeinen Auflösung unsrer Au%abe , welche wir 
im vorhergehenden Artikel gegeben haben , auch p\ q die Stelle von p, q ; und 
P', Q' die Stelle von P, Q resp. vertreten können. Wenn gleioh die Allgemein- 
heit der Auflösung durch eine solche Abänderung nichts gewinnt , so kann doch 
zuweilen für die Anwendung eine Form zu diesem , die andere zu jenem Zweck 
bequemer sein. 



DIE THEILE EINER GEGEBNEN FLÄCHE AUF EINER ANDERN ABZUBILDEN ETC. 199 

7. 

Wenn die Functionen, welche aus der Differentiation der willkfirlichen 
Functionen /, f entspringen, durch 9 und 7' resp. bezeichnet werden, so dass 
d. /ü = 90. du, d./'ü = (p ü. du, so wird in Folge unsrer allgemeinen Auflösung 

dP + idQ / , . » dP— tdQ ,, . , 

also 

Das Vergrösserungsverhältniss bestimmt sich daher durch die Formel 

8. 

Wir wollen nun noch unsre allgemeine Auflösung mit einigen Beispielen er* 
läutern , wodurch sowohl die Art der Anwendung , als die Beschaffenheit einiger 
dabei noch in Betracht kommenden Umstände am besten ins Licht gesetzt wer- 
den wird. 

Es seien zuvörderst beide Flächen Ebnen , wo wir 

werden setzen können. Die Differentialgleichung 

gibt hier die beiden Int^rale 

<-j-it* = Const. , t — iu = Gonst. 

und eben so sind die beiden Integrale der Gleichung Q = d T^-^-^TP == 0, fol- 
gende : 

r+ % U = Const , P— % U = Const. 



ie beiden allgemeinen Auflösungen der Aufgabe sind demnach: 

I. r+fJ7=/{r-hiu), T—iü — f{t—iu) 
n. T^iü = f[t—%u), T—%U = f{t+%u) 



200 ALLGEMEINE AUFLÖSUNG DER AUFGABE 

Dieses Resultat lässt sich auch so ausdrücken : Indem die Charakteristik / eine 
beliebige Function bedeutet , hat man den reellen Theil von f[oc + iy) ffir X, 
und den imaginären Theil, mit Weglassung des Factors i, entweder ffir Y oder 
für — Y anzunehmen. 

Gebraucht man die Charakteristiken 9, cp' in der Bedeutung des Art. 7 
und setzt 

wo offenbar Z und r\ reelle Functionen von x und y sein werden , so hat man, 
in der ersten Auflösung, 

dX+idF= (£+it,)(dÄ?+idy) 
dX—idY={Z — iri){dx — tdy) 
und folglich 

dX = 5d<2? — r\dy 
dY = if]d<r+5dy 
Macht man nun 

£ = a . cos y , Tj = a . sin y 
diT = ds .cos^, dy =ds . siny 
dX=dS.cosG, dF=dÄ.8inG 

so dass d^ ein Linearelement in der ersten Ebne , ff dessen Neigiyig gegen die 
Abscissenlinie , d8 das correspondirende Linearelement in der zweiten Ebne 
und G dessen Neigung gegen die Abscissenlinie bedeutet , so geben die obigen 
Gleichungen 

dS.cos G := a.dÄ.cos(y4"T) 
dÄ.sin G = o.d5.sin(^4-y) 

und folglich , wenn man . was erlaubt ist , a als positiv betrachtet , 

dS = o.ds, G=y-^y 

Man sieht also (in Uebereinstimmung mit Art. 7), dass o das Verhältniss der Ver- 
grösserung des Elements d^ in der Darstellung d8 vorstellt, und, wie gehörig, 
von ff unabhängig ist; und eben so zeigt die Unabhängigkeit des Winkels y von 
ff , dass alle von einem Punkte ausgehende Linearelemente in der ersten Ebne 



DIB THEILE BINEB GEGEBNEN FLÄCHE AUF EINER ANDERN ABZUBILDEN ETC. 201 

durch £lemeixte in der zweiten Ebne dargestellt werden, die unter sich und, wie 
wir hinzufügen können, in demselben Sinn^ dieselben Winkel bilden, wie jene. 

Wählt man f£lr / eine linearische Function, so dass /\> = A^B\>, wo 
die Constanten CoSfficienten von der Form sind 

A = a+6i, B == c-^-ei 

so wird <pü = J5 = c + «« 

also o = ^(cc-{-ee), y = Arc.tangy 

Das Vergrösserungsverhältniss ist folglich in allen Funkten constant. und die 
Darstellung dem Dargestellten durchaus ähnlich. 

Für jede andere Function / wird (wie man leicht beweisen kann) das Ver- 
grösserungsverhältniss nicht constant sein , und die Aehnlichkeit also nur in den 
kleinsten Theilen Statt finden können. 

Sind die Plätze, welche einer bestimmten Anzahl von gegebnen Punkten der 
ersten Ebne in der Darstellung entsprechen sollen, vorgeschrieben, so kann 
man leicht nach der gemeinen Interpolationsmethode die einfachste algebraische 
Function / finden, wodurch diese Bedingung erfüllt wird. Bezeichnet man nem- 
lich die Werthe von ^-f-iy fär die gegebnen Punkte durch a, 6, cu.s.w., und 
die correspondirenden Werthe von X-^-iY durch -4, jB, C u. s. w. , so wird man 

/O = (o->)(»-«)... ,^^ (p«)(o-o)^ ^^ (»-a)(u->)... ^ 

setzen müssen, welches eine algebraische Function von o ist, deren Ordnung um 
eine Einheit kleiner ist, als die Anzahl der vorgegebnen Punkte. Für zwei Punkte, 
wo die Function linearisch wird , findet folglich vollkommene Aehnlichkeit Statt. 

Man kann von diesem Verfahren in der Geodäsie eine nützliche Anwendung 
machen , um eine auf mittelmässige Messungen gegründete Karte, die im kleinen 
Detail gut , aber im Ganzen etwas verzerrt ist , in eine bessere zu verwandeln, 
wenn man die richtige Lage einer Anzahl von Punkten kennt. Es versteht sich 
jedoch , dass man bei einer solchen Umformung nicht viel über die G^end hin- 
ausgehen darf, welche letztere Punkte umfassen. 

Wenn man die zweite Auflösung auf dieselbe Art durchführt, so findet man, 
dass der ganze Unterschied nur darin besteht , dass die Aehnlichkeit eine ver- 
kehrte ist , indem alle Elemente in der Darstellung zwar eben so grosse Winkel 
mit einander machen , wie im Dargestellten , aber in verkehrtem Sinn , so dass 

34 



202 AUiGEMEIME AUFLÖSUNG DER AUFGABE 



dort rechts liegt, yras hier links ist. Dieser Unterschied ist aber kein wesentli- 
cher , und verschwindet , wenn man in der einen Ebne diejenige Seite , welche 
man vorher als obere betrachtete , zur untern macht. Diese letztre Bemerkung 
lässt sich übrigens allemal in Anwendung bringen, wenn die eine der beiden Fla- 
chen eine Ebne ist , daher wir in den folgenden Beispielen dieser Art uns bloss 
auf die erste Auflösung beschranken können. 

9. 
Wir wollen nun (als zweites Beispiel) die DarsteUung der Fläche eines 
geraden Kegels in der Ebne betrachten. Als Gleichung der erstem nehmen 
wir an 

a7«r+yy — kkzz = 
wo wir ferner 

X =• ktcosu 

y = htÄSLU 

z = t 

und wie vorhin F=r, Y=i ü^ Z = setzen. 
Die Differentialgleichung 

<o = (**+!) d<*+**«dii* = 
gibt hier die beiden Integrale 

log<Hh»VnTi'^ ~ Const. 
Wir haben demnach die Auflösung 

d. i. es wird, indem / eine willkürliche Function bedeutet, fClr X der reelle 
Theil von 

und für F der imaginäre , nach Weglassung des Factors i, angenommen. 



DIB THBUiB BUIBB QBGBBNSN FLICHB auf KSSm AHDXBN AB2DBILDB9 btg. 203 



Setzt man fEü: / z. B. eine ExponentialgrOsse , nemlich 

/o = he^ 

wo h const^t ist und e die Basis der hyperbolischen Logarithmen bedeutet , so 
hat man die einfachste Darstellung 

X = Ä*cosv/j^-.tt. Y=htsm\/^^.u 

Die Anwendung der Formeln des 7 . Art. gibt hier 

n = (Äife+1)«. N= 1 

und, da 90 = f'o = he^ , 

<p(log<+<V*TTT.«).?'aog*-Wif]^.t*} = ÄÄ« 

folglich 

h 
m = 



also constant. Macht man also noch 

h = V(**H-0 
so wird die Darstellung eine voUkommne Abwicklung. 

10. 

Es sei drittens die Kugelfläche, deren Halbmesser = a , in der Ebne dar- 
zustellen. Wir setzen hier 

■ 

X = acosf.sinu 
jf = a sin < . sin ie 
z = acosti 

wodurch wir erhalten 

a> = aasin tt*d/*+aadii* 

Die Differentialformel o> == gibt folglich 

dfn:i.4^ = o 

•^ Bin« 

und deren Integration 

/+»logcotang-}-u = Const. 

34* 



204 AI^LGEMEIKE AÜFLÖSÜNO DER AUFGABE 

Es wird daher , wenn wir wiederum durch die Charakteristik / eine will- 
kürliche Funktion andeuten, X dem reellen und i Y dem imaginären Theile von 

f{t + i log cotang -J- u) 

gleich gesetzt werden müssen. Wir wollen ein Paar specielle Fälle dieser allge- 
meinen Auflösung anführen. 

Wählt man fär / eine lineare Function, indem man fo z= äo setzt, so wird 

X = kt^ F= A: log cotang ^1« 

Auf die Erde angewandt, ist dies, wenn man t die geographische Länge, 90^ — u 
die Breite bedeuten lässt, offenbar mit Mebcators Projection einerlei. Für das 
Yergrösserungsverhältniss geben hier die Formeln des 7. Artikels 



fn= 



a Sinti 



Nimmt man för / eine imaginäre Exponentialfunction, und zwar zuerst die 
einfachste /u = A:«*", so wird 

und 

X = Ätang^w.cos*, F= Artang^^M.sint 

welches , wie man leicht sieht , die stereogra{)hische Folarprojection ist. 
Setzt man allgemeiner /o = ke*^"^, so wird 

X = ktaxigi^u^.co8\t, F= Artangl^u^.sinXf 

Für das Vergifösserungsverhältniss erhalten wir hier 

n = aasinw*, iV=l, cpü = iXAre*^'' 
und hieraus 



m 

asmu 



Man sieht , dass hier die Darstellung aller Punkte , für welche u constant 
ist , in Einen Kreis, und die Darstellung aller Punkte, för welche t constant ist, 
in Eine gerade Linie fallt , wie auch , dass die allen verschiedenen Werthen von 
u angehörigen Kreise concentrisch sind. Dies gibt eine sehr zweckmässige Kar- 
tenprojection, wenn nur ein Theil der Kugelfläche darzustellen ist, und man thut 
dann am besten , X so zu wählen , dass das Vergrösserungsyerhältniss f^r die 



DIE THEHiE EINER GEOKBKEN FLXGHB AUF EDVEB ANIHEBK ABZUBILDEKT ETC. 205 

äassersten Werthe von u gleich gross wird, wodurch es gegen die Mitte zu seinen 
kleinsten Werth erhält. Sind diese äussersten Werthe von u diese u^ und u, 
so wird man demnach setzen müssen : 

% logsmti'— logsinu* 

log lang fu' — logtangl^ti^ 

Die Blätter von Herrn Professor Habdinq's Sternkarten Nr. 19 — 26 sind nach 
dieser Projection gezeichnet. 

11. 

Man kann die allgemeine Auflösung für das im vorhei^henden Artikel be- 
handelte Beispiel noch in einer andern Form aufstellen, die wir ihrer Eleganz we- 
gen hier noch beifOgen zu müssen glauben. 

In Folge des im 6. Art. Vorgetragenen wird, da 

tang f tt (cos / -|- i sin f ) 

eine Function von 

/ -4- » log cotang 4* tt 

ist, und 

tangi-u(co8*+.8m0 = nfe = T+T 

die aUgemeine Auflösung auch durch 

• -^ a-|-« "^ « + « 

dargestellt werden können , d. i. X muss dem reellen und i Y dem imaginären 
Theil von f^^r^ gleich gesetzt werden, indem / eine willkürliche Function be- 
zeichnet. Anstatt /^4-^ kann man, wie man leicht sieht, auch eine will- 
kürliche Function von ^^^*. oder von *-5^ nehmen. 

12. 
Wir wollen viertens die Darstellung der Oberfläche des Revolutions-Ellip- 
soids in der Ebne betrachten. Es seien a und b die beiden halben Hauptaxen 
des EUipsoids , so dass 

X = acostsinu 
y =^ aaintsinu 
z = bcosu 



206 AUiQBMKINE AUFLÖSUNG DBB AUFGABE 



gesetzt werden kann. Hier wird also 

0) = aasmu*d^^{aacosu*-\'bb8inu^du^ 

und die Diflferentialformel to = gibt, wenn wir Kürze halber \/{l — — ) = g 
setzen (insofern die Revolutionshalbaxe b<:^a), 

= df+tdtt.^(cotangii*-|-l — ßg) 
Setzt man hier 

^(1 — gg).tangti = tangia 

wo, bei der Anwendung auf das Erdspharoid, 90^ — w die geographische Breite 
und t die Länge vorstellen wird , so verwandelt sich diese Gleichung in 

= d*Xtdir. 7- ^""^V . 

deren Integration 

Const = *±tlog. {cotangiw.([=^^)**j 

gibt. Man hat daher , indem / eine willkürliche Function bedeutet, fdr X den 
reellen und für %Y den imaginären Theil von 

/(*4-nogjcotangi«,.(}^^)**}) 

zu nehmen. — Wählt man fElr / eine lineare Function, d. i. /o = Aro, so wird 

X = kt, Y= Arlogcotangf w — I^Äelog J^^^ 

welches eine der MERCATOBschen analere Projection gibt. 

Nimmt man hingegen für / eine imaginäre Exponentialfunction /o= Ä:«*^^, 
so wird 

2 ^1— 6COSK7' °* ^1— eoosw' 

welches, wenn man X = 1 setzt, eine der stereographischen Folarprqjection ana- 
loge , und allgemein , eine zur Darstellung eines Theils der Erdoberfläche, inso- 
fern man auf die Abplattung Rücksicht nehmen soll, sehr zweckmässige Pro- 
jection gibt. 

Was Über den andern Fall , wo i >* a ist , zu sagen ist , lässt sich zwar 
leicht aus dem vorhergehenden unmittelbar ableiten , wo , wenn man dieselben 



DI£ TBEILB EINEB GEGEBNEN FLÄCHE AUF EIKEB ANDEBN ABZUBIU>£M ETC. 207 

Bezeichnungen beibehSlt, 6 imaginär, aber (737^^^)** doch wieder reell wird. 
Der Vollständigkeit w^en wollen wit jedoch die Formeln ftlr diesen Fall noch 
besonders beifügen, und gleich Anfangs ^( "= ^ setzen. Man hat dann 



w durch die Gleichung 

^{l+ijt]).tangM = tangtc; 

zu bestimmen » und die Differentialgleichung 

= dfqptdir.7-3->i±^!V— 
wird das Integral 

Cons t, = < + 1 (log cotang i tr -|- ij Are tang. ij cos w) 

geben , so dass ^ fdr den reellen und i F fElr den imaginären Theil von 

/(<-|-* (logcotang-1- w+ij Are taug. 1] cos if;] ) 

wird genommen werden mflssen. Die Qegenstflcke der beiden obigen speciellen 
Anwendungen ei^ben sich hieraus von selbst. Nach der erstem wird 

X = kt, Y = Ar log cotang I- 11; -f-'q^ Are tang. 1] cos K? 

nach der andern 

X = *tangii£;\^-'^^^'^^^-'»^^^.cosX/ 
F= *tangiii;\e-^'^'^**^«-^^'".sinXf 

gesetzt werden mflssen. 

13. 
Als letztes BeisjHel wollen wir die allgemeine Darstellung der Oberflache 
des Umdrehungs-Ellipsoids auf der Kugelfläche betrachten. Für jenes wollen wir 
die Sezeichnungen des vorhergehenden Artikels beibehalten, den Halbmesser der 
Kugelfläche = A, und 

X. = A cos Tsin U 
Y^AsmTsinU 
Z = ^cos U 



308 ALLQEMEINB AUFLÖSUNG BEB AUFGABE 

setzen. Wenn man hier die allgemeine Auflösung des 5. Artikels zur Anwen- 
dung bringt, so findet man, dass, indem / eine willkürliche Function bedeutet, 
T dem reellen und ilogcotang^^ZJ dem imaginären Theile von 

/(/+.-log{cotangi«,.(i=^)*«{) 

gleich gesetzt werden muss *). 

Die einfachste Auflösung wird sein , yu = o zu setzen , wodurch 

wird. Dies bietet eine fflr die höhere Geodäsie überaus brauchbare Transformation 
dar, von welcher Benutzung wir jedoch hier nur einiges und nur kurz andeuten 
können. Wenn nemlich auf der Oberfläche des EUipsoids und der Kugel dieje- 
nigen Funkte als einander correspondirend angesehen werden, djie einerlei Länge 
haben, und deren Breiten resp. 90® — w. 90® — 17, vermöge der angeführten Glei- 
chung zusammenhangen, so entspricht einem System von, verhältnissmässig, klei- 
nen Dreiecken (und das werden diejenigen immer sein , die zur wirklichen Mes- 
sung dienen können), die auf der Oberfläche des Sphäroids durch kürzeste Linien 
gebildet werden , auf der Kugelfläche ein System von Dreiecken , deren Winkel 
den correspondirenden auf dem Sphäroid genau gleich sind, imd deren Seiten von 
grössten Kreisbogen so wenig abweichen, dass sie in den meisten Fällen, wo nicht 
die alleräusserste Schärfe verlangt wird , als damit zusammenfallend betrachtet 
werden können , so wie auch da , wo die grösste Genauigkeit gefordert wird , die 
Abweichung vom grössten Kreise leicht mit aller nöthigen Schärfe durch einfache 
Formeln sich berechnen lässt. Man kann daher das ganze System, nachdem man 
zuerst eine Dreiecksseite auf die Kugelfläche gehörig übertragen hat, ganz so, als 
wenn es auf dieser selbst läge , vermittelst der Winkel berechnen , nöthigenfalls 
mit der eben angedeuteten Modification , für alle Funkte des Systems die Werthe 
von T und U bestimmen , und von letztern auf. die correspondirenden Werthe 
von iio (am einfachsten vermittelst einer äusserst leicht zu construirenden Hülfs- 
tafel) zurückgehen. 



*) Wir flbergehen hier theils die zweite Auflösung des s. Artikels, die sich yon der obigen nur 
durch Vertaoschung von — T gegen + T unterscheiden und einer verkehrten Darstellung entsprechen 
würde, theils den Fall eines länglichen EUipsoids, dessen Behandlung nach dem, was im vorigen Art. 
vorgekommen, sich aus der des abgeplatteten von selbst ergibt. 



DIB THBOiB EIMEB QBGiaiMEK FLÄGHB AUF SDIBB AHDBIUI AB2UBILDBN BTC. 209 

Insofern ein Dreiecksnetz sich doch immer nur über einen sehr massigen 
Theil der Erdoberfläche erstreckt, lässt sich der erwähnte Zweck noch yollkomm* 
ner erreichen , wenn man die allgemeine Auflösung noch etwas generalisirt , und 
nicht /u = u , sondern /u = o -f- Canst. annimmt. Offenbar würde hiedurch 
gar nichts gewonnen , wenn man dieser Constante einen reellen Werth beilegte^ 
weil dadurch lediglich T und t um diese Constante verschieden, also nur die 
Anfangspunkte der Längen ungleich werden würden. Allein ganz anders verhält 
es sich , wenn man der C!onstante einen imaginären Werth beilegt. Setzt man 
dieselbe = — tlogA:, so wird 

r=r. tangil7=*tangi.«,.(i±i^f 

Um hier über den zweckmässigsten Werth von k entscheiden zu können, 
müssen wir vor allen Dingen das Vergrösserungsverhältniss bestimmen. 
Es wird hier, in den Zeichen des 5. und 7. Artikels 

n = aa sinn* 
N=AAsmU^ 
90 = 1 

Also 

"• annti amto'Vl* bbcusw; — a * coiit«>»(i— «co8to)*+**8inito»(i +toosii7)« 

welches Verhältniss also bloss von der Breite abhängt Die. möglich geringste 
Abweichung von vollkommner Aehnlichkeit erhält man, wenn man k so bestimmt, 
dass m fär die äussersten Breiten gleich grosse Werthe erhält, wodurch von selbst 
m bei der mittlem Breite seinem grössten oder kleinsten Werthe sehr nahe sein 
wird. Bezeichnet man die äussersten Werthe von w durch w^ und w\ so erhält 
man auf diese Weise 

^ _ 4 / (1— c t cos tg*')^+^* (1 - c t cos to'')i-^i* 
(l- eccona'*)*+** (l—üoos •«»••)*+*« 

Um zu erfahren , bei welcher Breite m seinen grössten oder kleinsten Werth er- 
hält, haben wir 

35 



1 



210 ÄLLdEMEIllB AUFLÖSUNG DER AUFOABB 

dm j. TT ^ ä. j I c c CO« 10. sin 117 .d 10 

— = cotangr7.dw— cotangi£;.di«;H ,_,,^,^ . 



und hieraus 



dU dfß esmto,du) (t—ce)dto 

sin U aitt» i — ttcosto* (i — cK0O8tr*)unti' 

dm (l — ee)dt0 

m " 



• ^'7"^°"' ,, . (cos U- cos tp) 

8int0(l — CEOOSfO') > ' 

Hieraus erhellt, dass m da seinen grössten oder kleinsten Werth erhalt, wo 
U= w wird; bezeichnet man den Werth von w an dieser Stelle durch W, 
so wird 

k = C-r±'^f oder coaW=±^, 

woraus man* W bestimmen kann , wenn k nach der obigen Formel berechnet 
ist. Für die Ausübung wird inzwischen auf die ganz genaue Gleichheit der 
Werthe von m an den äussersten Breiten wenig ankommen , und man kann sich 
begnügen, für 90® — W ungefähr die mittlere Breite zu wählen, und daraus k 
abzuleiten. Den allgemeinen Zusammenhang zwischen U und w gibt dann die 
Formel 

tangl- U = tang-l-v; ]}--. w^rrr- \\ 

o» o» ((i + ecos yr)(l — e cos tu)' 

Zur wirklichen numerischen Berechnung ist es jedoch yortheilhafter , Seihen an- 
zuwenden, denen man verschiedene Formen geben kann, bei deren Entwicklung 
wir uns aber hier nicht aufhalten. 

Da man übrigens leicht sieht, dass fELr w<^W, JT^w, also cos U — cosir 
und mithin auch ^ negativ; und fOr w'^W, U<^w, mithin ^ positiv wird, 
so ist klar, dass ^ w = U= W der Werth von m allemal ein Minimum wird, 
und zwar 

Wählt man also den Halbmesser der Kugel A = y^zr^^Tw*) ' ®^ ^* ^® ^^^" 
Stellung unendlich kleiner Theile des EUipsoids bei der Breite 90® — W dem Ur- 
bilde nicht bloss ähnlich, sondern gleich, bei andern Breiten aber grösser. 

Man kann den Logarithmen von m mit Vortheil in eine nach den Poten- 
zen von cos U — cos W fortlaufende Beihe entwickeln , deren erste f&r die Aus- 
übung zureichende Glieder diese sind 



DIE THEHiB EINEE QBOEBMEV FLÄCHE AUF EIMBE ANDBBK ABZUBIU>BN ETC. 211 

loghyp. I» = log jf V(l -eecos TT*) } + ^^^ . (cos U— cos TT)* 

-^^•(cosr7^cosTF)».... 

Wenn also z* B. die Dänische Monarchie ii;u>Qrhalb der Grenzen der Breite 
53® und 58® auf diese Weise auf die Kugelfläche fibertragen und W = 34® 30' 
gesetzt wird, so wird bei der Abplattung ^^^ die Darstellung an den Grenzen, 
linearisch gerechnet, nur um ^ , o^o o o vergrössert. 

Wir müssen uns hier damit begnfigen , nur eine kurze Andeutung von et- 
il^ Benutzungsart des Uebertragens der Figuren in der hohem Geodäsie gegeben 
zu haben, und eine angemessenere Ausführung für einen andern Ort versparen. 

14. 

Es bleibt uns noch übrig , einen in unsrer allgemeinen Auflösung vorkom- 
menden Umstand hier etwas ausführlicher zu betrachten. Wir haben im 5. Ar- 
tikel gezeigt, dass allemal zwei Auflösungen statt finden, indem entweder P^iQ 
einer Function von P'\'iq^ und P — iQ einer Function von p — iq gleich wer- 
den muss; oder P+»Q öiner Function von p — iq^ und P — %Q einer Function 
von p-^iq- Wir wollen nun noch zeigen, dass allemal bei der einen Auflösung 
die Theile in der Darstellung zugleich eine ähnliche Lage haben , wie im Darge- 
stellten ; bei der andern Auflösung hingegen verkehrt liegen ; zugleich wollen wir 
dasCriterium angeben, nach welchem dieses a priori unterschieden werden kann. 

Zuvörderst bemerken wir, dass von vollkommner oder verkehrter Aehnlich- 
keit nur insofern die Rede sein kann, als an jeder der beiden Flächen zwei Seiten 
unterschieden werden, wovpn die eine als die obere, die andere als die untere 
betrachtet wird. Da dieses an sich etwas willkürliches ist, so sind beide Auflö- 
sungen gar nicht wesentlich verschieden , und eine verkehrte Aehnlichkeit wird 
zur vollkommnen , sobald man bei der einen Fläche die vorher als obere betrach- 
tete Seite zur untern macht. Bei unsrer Auflösung konnte daher diese Unterschei- 
dung gar nicht vorkommen, da die Flächen bloss durch die Coordinaten ihrer 
Punkte bestimmt wurden. Will man auf diesen Unterschied eingehen, so muss 
zuvor die Natur der Flächen auf eine andere Art festgelegt werden , welche ihn 
mit in sich fasst. Zu diesem Zweck wollen wir annehmen, dass die Natur der er- 
sten Fläche durch die Gleichung ({/ = bestimmt werde , wo ^ eine gegebne 
einförmige Function von x, y^ z ist. In allen Funkten der Fläche wird also der 

35* 



212 aujGemeinb Auflösung der aufgäbe 



Werth von ^ verschwinden, und in allen Punkten des Baumes, welche der Fläche 
nicht angehören, wird er nicht verschwinden. Bei einem Durchgange durch die 
Fläche wird also , wenigstens allgemein zu reden, der Werth von ^ aus dem Po- 
sitiven ins Negative , bei dem entgegengesetzten aus dem Negativen ins Positive 
übergehen , oder auf der einen Seite der Fläche wird der Werth von ^ positiv, 
auf der andern negativ sein : die erstere wollen wir als die obere ^ die andere als 
die untere betrachten. Ganz eben so soll es bei der zweiten Fläche gehalten wer- 
den , indem ihre Natur durch die Gleichung V = bestimmt wird, wo W eine 
gegebne einförmige Function der Goordinaten X, F, Z ist. Es gebe femer die 
Differentiation 

d^ = eda? +^dy 4*^^^ 
dV= JSdX+GdF+JSTd^ 

wo e,g,h Functionen von x^y.z und J5, 6, JET Functionen von X, Y^Z 
sein werden. 

Da die Betrachtungen , durch welche wir zu dem vorgesetzten Ziele gelan- 
gen müssen, obwohl an sich nicht schwierig, doch etwas ungewöhnlicher Art sind, 
so wollen wir uns bemühen , ihnen die grSsste Klarheit zu geben. Wir wollen 
zwischen den beiden einander entsprechenden Darstellungen auf den Flächen, 
deren Gleichungen <p = und V = sind , sechs Zwischen-Darstellungen in 
der Ebne annehmen , so dass acht verschiedene Darstellungen in Betracht kom- 
men, nemlich 

indem all oorrespondirend be- 
trachtet werden die Punkte, 
deren Goordinaten resp. s 

1' das Urbild in der fläche, deren Gleichung ^ = . . or, y, z 
2' Darstellung in der Ebne x^ y^ 



3« 
4 

6» 

7» 



II II II 

8 

19 II I« 



«1 11 II 

II II II 



*, tt, 

p, q, 
P. Q, 
T, ü, 

X, T,0 



8' Abbildung in der Fläche, deren Gldchung V ^ . . X,Y,Z 

Wir wollen nun diese verschiednen Darstellungen unter einander lediglich 
in Beziehung auf die gegenseitige La^e der unendlich kleinen Linearelemente ver- 



DIE THEILE BIK£B GBQBBRSK FLÄCHE AUF EDTER ABDEBN ABZUBILDEN ETC. 213 

gleichen, indem wir das Ghrössenyerhältniss ganz bei Seite setzen; als ähnlichlie- 
gend Werden also zwei Darstellungen betrachtet, wenn von zwei aus Einein 
Punkte ausgehenden Linearelementen dem in dt^r einen Darstellung rechts Uzen- 
den auch in der andern das rechts liegende entspricht; im entgegengesetzten Falle 
werden sie verkehrtliegende heissen. Bei der Ebne, von Nro. 2 — 7 wird immer 
die Seite , wo die positiven Werthe der dritten Goordinate liegen , als die obere 
betrachtet; bei der ersten und letzten Fläche hingen ist die Unterscheidung der 
obem und untern Seite bloss von dem positiven oder n^;ativen Werthe von 
4> und V abhängig, wie schon oben festgesetzt ist. • 

Hier ist nun zuvörderst klar, dass fär jede Stelle der ersten Fläche, wo 
man bei ungeändertem x und y durph ein positives Increment von z auf deren 
obere Seite kommt, die Darstellung in 2 mit der in 1 ähnlichli^end sein wird ; 
dies wird also offenbar überall zutreffen, wo A positiv ist; und das Gegentheil 
wird bei einem negativen h eintreten, wo die Darstellungen verkehrt liegend sein 
werden« 

Auf dieselbe Weise werden die Darstellungen in 7 und 8 ähnlich liegend 
oder verkehrt liegend sein , jenachdem H positiv oder n^;ativ ist. 

Um die Darstellungen in 2 und 3 imter sich zu veigleichen , sei in der er^ 
Stern d^ die Länge einer unendlich kleinen Linie von dem Funkte, dessen Coor- 
dinaten <v, y, zu einem andern, dessen Coordinaten ^-f-do?, y+^y sind, und 
/ dessen Neigung gegen die Abscissenlinie wachsend in dem Sinn , in welchem 
man von der Axe der w zu der Axe der y fibeigeht , also 

d^ = d^ . cos/, dy = d^. sin / 

In der Darstellung 3 sei da die Ghrösse der Linie, welche der d^ entspricht» und 
ihre Neigung zur Abscissenlinie , wie vorhin verstanden , X , so dass 

dt = da.cosX, du = da.sinX 
Ifan hat also, in den Bezeichnungen des 4. Artikels 

d^.cos/ = da(acosX-f-a'sinX) 
d^.sin/ = da(6cosX4-&'8inX) 
folg^ch 

, 6oo8X-)-&'8inX 

Wngl aoosX + a'sinX 



214 AJJAXBMSasm AUFLÖSIIKG bEB AUFGABE 

Betrachtet man nun x und y als constant , und /, X als veränderlich , so gibt 
die Differentiation 

dl ^__ ab' — 6a' ^^_ / V h '\ ^^ 

dX — (acotX + a'sinX)* + (öcoaX + 6'ainX}* — ^^^ ^^^'d? 

Man sieht also, dass jenachdem ab' — ba' positiv oder n^ativ ist, / und X im- 
mer zugleich wachsen, oder sich entgegengesetzt ändern, und also im erstem 
Fall die Darstellungen 2 und 3 ähnlich liegend, im andern verkehrt liegend sind. 

Aus der Verbindung dieses Resultats mit dem vorhingefundenen etgibt sich, 
dass die Darstellungen in 1 und 3 ähnlich liegend oder verkehrt li^end sind , je 
nachdem — ^ — positiv oder negativ ist. 

Da auf der Fläche, deren Gleichung ^ = ist, 

^da?+^dy+Äd;? = 
also auch 

(^a+^6+Ac)d*+{^a'+^6'+Ac')dM = 

wird, wie auch immer das Verhältniss von d/ und du gewählt wird, so muss 
offenbar identisch 

werden, woraus folgt, dass e, g^ h resp. den Grössen bc' — cb\ cd — ac\ ab' — ha' 
{MToportional sind , also 

hc'^eV cä—ac' aV—ha' 

e ff h 

Man kann also , welchen dieser drei Ausdrücke man will , oder wenn man mit 
der ihrer Natur nach positiven Ghrösse ee-^-gg-^-hh multiplicirt , die sich erge- 
bende symmetrische Grösse 

ebc-j^gca'-^ hab' — ecV — gac — hbd 

als Criterium der ähnlichen oder verkehrten Lage der Theile in den Darstellun- 
gen 1 und 3 anwenden. 

Ganz eben so wird ähnliche oder verkehrte Lage der Theile in den Darstel- 
lungen 6 imd 8 von dem positiven oder negativen Werthe der Grösse 

BC'-CB ' CA-^-AC AB'^BA' 

B Ö H 



DIB THEILB SIHBB QOBaBBMlENr FLIGHB ADV EDIEB ANDEBN IBSDBILDBN ETC. 215 

oder wenn man lieber will , der symmetrischen 

EBC''\-GCÄ'^HÄB'—ECB'— OAC—HBÄ 

abhangen. 

Die Veigleichang der Darstellungen in 3 und 4 beruhet auf ganz ähnlichen 
Grfinden , wie die von 2 und 3 , und die ähnliche oder verkehrte Lage der Theile 
hängt von dem positiven oder negativen Zeichen der Grösse 

(äf)-Ö-(J-5).(J|) 

ab ; und eben so bestimmt das positive oder negative Zeichen von 

die ähnliche oder verkehrte Lage der Theile in den Darstellungen 5 und 6. 

Was endlich die Vergleichung der Darstellungen 4 und 5 unter sich be- 
trifft, 60 können wir uns auf die Analyse des 8. Artikels beziehen, aus welcher 
erhellet , dass jene m den kleinsten Theilen ähnlich , oder verkehrt li^nd sind, 
je nachdem man die erste oder zweite Auflösung gewählt , d. i. entweder 

P+iQ=f[p+iq) und P-^iQ =f{p-iq) 
oder 

P'\-iQ =f[p — iq) und P— t Q ^fip-^iq) 

gesetzt hat. 

Aus diesem allen ziehen' wir nunmehro den Schluss , dass man , wenn die 
Darstellung auf der Fläche , deren Gleichung V = ist , dem Urbilde auf der 
Flache , deren Gleichung ^ = ist , in den kleinsten Theilen nicht bloss ähn- 
lich, sondern auch ähnlich liegend sein soU, auf die Anzahl der negativen Ghrössen, 
welche unter diesen vier Grössen vorkommen , 

ah' "ha* ,d£v Aq. Ap. fdq. /dP. /dQv .dP. AQ. AB'—BA' 

h ' U<^vd«^~^«^^d<^ Ur^vdl7^ ^dl7^vd2'^ n 

Rücksicht nehmen muss ; ist gar keine oder eine gerade Anzahl darunter, so wird 
die erste ; ist eine oder drei n^ative unter ihnen , so wird die zweite Auflösung 
gewählt werden müssen. Bei entgegengesetzter Wahl findet allemal eine ver- 
kehrte Aehnlichkeit Statt. 



216 ALIiOEHSIMB AÜFIfÖSÜKG DBB AOFGABB DIB TBEXUR BINBR OBaEBNEN FLÄGBE BTC. 

üebrigens lässt sich noch zeigen , dass , wenn obige vier Grössen resp. mit 
r, s, 8, R bezeichnet werden , allemal 

wird, n und N in der Bedeutung des 5. Art. genommen; wir fibergehen jedoch 
hier den nicht schwer zu findenden Beweis dieses Theorems , da dieses filr un- 
Sern Zweck nicht weiter nöthig ist. 



IBandbemerkungen m Oaubs Mandextny^iar :'\ 

[Art. 10 neben der letiten Gleichung zur Bertimmung von X] oder X =r oostf*, wenn für « = u* 
der Minimolwerth [des VergrösserungsveVhältnUBes] Statt finden soll« 

[Art 12 neben der Gleichung, durch welche hier im Abdruck die Gröete w eingeitihrt wird] Das Zei- 
chen Ol ist gegen meine Absicht im Druck gebraucht : es sollte to sein« 

[Art. 13 neben den Gleichungen, die sich auf die durch die Function /u = u — »logü; bestimmte Ab- 
bildung beziehen, sind die entsprechenden Gleichungen fOr die Function /u = a^ — ilogk verseichnet, 
welche spftter in der ersten Abhandlung der Untersuchungen aber Gegenst&nde der hohem Geodfiaie au^- 
nommen wurden.] 



DISQUISITIONES GENERALES 



CIRCA SUPERFICIES CURVAS 



A ü C T O R E 



• CAROLO FRIDERICO GAUSS 



SOCIETATl REGIAE OBLATAE D. VIU. OCTOBR. MDCCCXXVÜ. 



Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. vi. 

Gottingae mdcccxxviii. 



36 



DISQUISITIONES OENERALES 



CIRCA SUPERFICIES CURVAS. 



1. 

Disquisitiones , in quibus de directionibus variarum rectarum in spatio agi- 
tor • plemmque ad malus perspicuitatis et simplidtatis fastigium evehuntur , in 
aoxilium vocando superficiem sphaericam radio = 1 circa centrom arbitrarium 
descriptam, coius singula puncta repraesentare censebuntur directiones rectarum 
radiis ad illa terminatis parallelarum. Dum situs omnium punctorum in spatio 
per tres coordinatas determinatur , puta per distantias a tribus planis fixis inter 
se normalibus, ante omnia considerandae veniunt directiones axium bis planis 
normalium : puncta superficiei sphaericae, quae has directiones repraesentant, per 
(1), (2)» (3) denotabimus; mutua igitur herum distantia erit quadrans. Ceterum 
axium directiones versus eas partes acceptas supponemus , versus quas coordina- 
tae respondentes crescunt. 



2. 
Hand in utile erit, quasdam propositiones , quae in huiusmodi quaestioni- 
bos usum frequentem offerunt, hie in conspectum producere« 

I. Angulus inter duas rectas se secantes mensuratur per arcum inter puncta, 
quae in superficie sphaerica illarum directionibus respondent. 

IT. Situs cuiuslibet plani repraesentari potest per circulum maximum in 
superficie sphaerica, cuius planum Uli est parallelum. . 

36* 



220 DISQUISmONES GENERALEB 

III. Angulus inter duo plana aequalis est angulo sphaerico inter circulos 
maximos illa repraesentantes , et proin etiam per arcum inter horum circulorum 
maximornm polos interceptum mensuratur. Et perinde inclinatio rectae ad pla- 
num mensuratur per arcum , a puncto , quod respondet directioni rectae , ad cir- 
culum maximum, qui plani situm repraesentat , normaliter ductum. 

IV. Denotantibus x^y, z\ x\ y\ z coordinatas duorum punctorum , r eo- 
rundem distantiam , atque h punctum , quod in superficie sphaerica repraesen- 
tat directionem rectae a puncto priore ad posterius ductae , erit 

X = a?-|-rcos(l)i, y =^-|-rcos(2)i, z' = ;?-|-rco8(3)i 

V. Hinc facile sequitur , haben generaliter 

co8(l)i*+cos(2)i'+cos(3)i*= 1 
nee non , denotante L' quodcunque aliud punctum superficiei sphaericae , esse 

cos(l)i.co8(l)i'+cos(2)i.co8(2)iy'+cos(3)iy.cos(3)iy'= cosLL' 

VI. Theobeha. Denotantibus L, L\ L\ L"* quatuar puncta in superßcie 
sphaerae, atque A angulum, quem arcus LL\ VU' in puncto concursus sui for- 
manty erit 

cobLL". cosLT"— cosLL"'. cosiX'" = ainLL'. AnUL". cos4 

Dem. Denotet litera A insuper punctum concursus ipsum , statuaturque 

AL=.t, AL! = t\ AU=t\ AL"=r 

Habemus itaque : 

cos LL" = cos * cos *"+ sin f sin*" cos -4 
cosI/X"'= cos*cos*"'+sin*'sinrcosul 
cos L L'" = cos t cos *'"+ sin * sin *"'cos A 
C08 L'L" = c08*'cos*"+sin*'sin*"co8-4 
et proin 

cos L L\ cos LL"— cosLL". cos LL' 

= cos A (cos t cos *" sin f sin *'"+ cos * cos *'" sin * sin *" 
— cos * cos ^'^ sin < 'sin*" — cos *' cos*" sin* sin <^) 
= cos A (cos * sin *' — sin * cos *' ) (cos *"sin *"' — sin * " cos *"' ) 
= cos^.sin(* — *).sin(*"— *") 
= cos ^ . sin X L. sin X"X"' 



CIRCA SUPERFICIES CDRVAS. 221 

Ceterum quum inde a puneta A bini rami utriusque drculi maximi proficiscan- 
tur , duo quidem ibi anguli fonnantur , quorum alter alterius complementum ad 
180^: sed analysis nostra monstrat, eos ramos adoptandos esse, quorum directio» 
nes cum sensu progressionis a puncto L ad L\ et a puncto L" ad L'" consen- 
tiunt: quibus intellectis simul patet, quum circuli maximi duobus punctis con- 
currant, arbitrarium esse, utrum eligatur. Loco anguli A etiam arcus inter po- 
los circulorum maximorum, quorum partes sunt arcus LL\ ITIT^ adhiberi pot- 
est: manifesto autem polos tales accipere oportet, qui respectu herum arcuum si- 
militer iacent, puta vel uterque polus ad dextram iacens, dum a h versus U 
atque ab IP versus U' procedimus , vel uterque ad laevam. 

VII. Sint X, U, U tria puneta in superficie sphaerica, statuamusque bre- 
vitatis caussa 

co8(l)Z/ =x, co8(2)i =y, cos(3)i =r 
cos (1) i' = ^, cos (2) L = y\ cos (3) L = z 
cos ( 1 ) U = x\ cos (2) i" = /. cos (3) i" = ^" 



nee non 



xyz"-\-xy'z'^x"ysi — a?yV — xyz" — x"yz = A 



Designet X polum circuli maximi , cuius pars est arcus LL\ et quidem eum, qui 
respectu huius arcus similiter iacet, ac punctum (1) respectu arcus (2) (3). Tunc 
erit, ex theoremate praecedente, yz' — y^? = cos(l)X.sin(2)(3).sinü', sive, 
propter (2)(3) = 90^ 

y z' — y'z = cos ( 1 ) X . sin ü', et perinde 
zod — zx = cos(2)X.8inü' 
xy — xy = cos (3) X. sin ü' 

Multiplicando has aequationes resp. per af, y'\ z et addendo , obtinemus adiu- 
mento theorematis secundi in Y prolati 

A = cos\L'\siiiLL 

lam tres casus sunt distinguendi. Primo, quoties L" iacet in eodem circulo 
maximo, cuius pars est arcus 'LL\ erit XL" = 90^ adeoque A = 0. Quoties 
vero L" iacet extra circulum illum maximum, aderit casus secundus, si est ab ea^ 
dem parte , a qua est X, tertitis , si ab opposita : in his casibus puneta L, L\ U 



222 DISQUISmOKES gemerai^es 

formabunt triangulum sphaericum , et qoidem iacebunt in casu secundo eodem 
ordine quo puncta (1), (2)« (3), in casu tertio vero ordine opposito. Denotando 
angulos iUius trianguli simpliciter per Zr« L\ U^ atque perpendiculum in super- 
ficie sphaerica a puncto U ad latuä LL' ductum per p^ erit 

%mp = sin i . sin LL" =^ sin L\ sin L'L", atque X Zr" = 9 0® + p 

valente signo superiori pro casu secundo, inferiori pro tertio. Hinc itaque colligimus 
-4- A = sin Zf . sin LL\ sin LL" = sin L\ sin LL'. sin L'L" = sin L". sin LL". sin LV 



Ceterum manifesto casus primus in secundo vel tertio comprehendi censeri potest, 
nulloque negotio perspicitur , + A exhibere sextuplum soliditatis pyramidis in- 
ter puncta L, L\ IT atque centrum sphaerae formatae. Denique hinc fadllime 
coUigitur, eandem expressionem +iA generaliter exprimere soliditatem cuius- 
vis pyramidis inter initium coordinatarüm atque puncta quorum coordinatae sunt 
^. y. ^; oi, y, z\ 0^, tf", z", contentae. 

3. 
Superficies curva apud punctum A in ipsa situm curvatura continua gaudere 
dicitur , si directiones omnium rectarum ab A ad omnia puncta superficiei ab A 
infinite parum distantia ductarum infinite parum ab uno eodemque piano per A 
transiente defiectuntur: hoc planum superficiem curvam in puncto A längere di- 
citur. Quodsi huic conditioni in aliquo puncto satisfieri nequit, continuitas cur- 
vaturae hie interrumpitur , uti e. g. evenit in cuspide coni. Disquisitiones prae- 
sentes ad tales superficies curvas, vel ad tales superficiei partes, restringentur, in 
quibus continuitas curvaturae nullibi interrumpitur. Hie tantummodo observa- 
mus, methodos, quae positioni plani tangentis determinandae inserviunt, pro 
punctis singularibus , in quibus continuitas curvaturae interrumpitur , vim suam 
perdere , et ad indeterminata perducere debere. 

4. 
Situs plani tangentis commodissime e situ rectae ipsi in puncto A normalis 
cognoscitur, quae etiam ipsi superficiei curvae normalis dicitur. Directionem hu- 
ius normalis per punctum L in superficie sphaerae auxiliaris repraesentabimus, 
atque statuemus 



CIRCA SUPSRFICIES CUBVAS. 223 

C08(l)i = X, C08(2)i = F, C0S(3)Ir = Z 

coordinatas poneti J. per x^y^z denotamus. Sint porro ^4~d^«y+dy» ^4~d^ 
coordinatae alius puncti in superficie curva Ä\ d^ ipsius distantia infinite parva 
ab A ; denique X punctum superficiei sphaericae repraesentans directionem ele- 
menü AÄ. Erit itaque 

d^=: d^.cos(l]X, dy = d^.co8(2)X, d^r = d^.C08(3)X 

et, quum esse debeat XZ = 90^ 

Xcos(l)X+ Fcos(2)X+^co8(3)X = 

E combinatione harum aequationum derivamus 

Xd^+Fdy+Zd» = 

Duae habentur methodi generales ad exhibendam indolem superficiei cur- 
vae. Methodus ^^ma utitur aequatione inter coordinatas <r,y, z^ quam reductam 
esse supponemus ad formam TF" = , ubi W erit functio indeterminatarum 
Xy jßy z. Sit di£ferentiale completum functionis W 

dTr=Pd^+Qdy + jBd« 

eritque in superficie curva 

Pda?+Qdy+jBd;r = 

et proin 

Pcos(l)X+(Jcos(2)X+JBcos(3)X = 

Qaum haec aequatio , perinde ut ea quam supra stabilivimus , valere debeat pro 
directionibus omnium elementorum d^ in superficie curva, facile perapide- 
mns , X, T, Z proportionales esse debere ipsis P, Q, R et prcnn , quum fiat 



erit vel 



XX+FF+Z^=l 



TT— ? y — 



^{PP+QQ+BIty -* — sf{PP+QQ + BBy ^ ~ ^(PP + QQ + ÄÄ) 

vel 



V^(PP+ QQ -hJRJR)' * ^{PP+QQ + RRy '^ — ^{PP^QQ-^tP^R) 



224 DisQuisrnoKEs oenerai^es 

Methodus secunda sistit coordinatas in forma funcdonum duarum variabi- 
lium p, q. Supponamus per differentiatxonem harum functionom prodire 

dx = adp-{-adq 
dy = bdp-^b'dq 
dz = cdp-^cdq 

quibus valoribus in formula supra data substitutis , obtinemus 

(aX+ftr+cZ)d;i+(aX+6'F+cZ)dg = 

Quum haec aequatio locum habere debeat independenter a valoribus di£Perentia- 
lium dp, dg, manifeste esse debebit 

aX+6F+cZ=0, aX+6'F+cZ=0 

unde colligimus , X, Y, Z proportionales esse debere quantitatibus 

b c — c b\ cd — a c\ a b' — bd 

Statuendo itaque brevitatis caussa 

sJ([bd—cb'f-^{cci—acJ+[aV—bdf) = A 

erit vel 

-wT he' — eh' -rr ca'^-ae' rw ah' — ha' 
A=— j— , r=: j— , Z = 5— 

vel 

XcV — he' TT- flc' — ea' rj ha'—ab' 
= — 3; — . -r = — 5 — , ^ = — 5 — 

His duabus methodis generalibus accedit tertia, ubi una coordinatarum, 
e. g. z exhibetur in forma functionis reliquarum x, y : baec methodus manifesto 
nihil aliud est, nisi casus specialis vel methodi primae, vel secundae. Quodsi 
hie statuitur 

dz = fda? + wdy 
erit vel 

vel 









CIRCA SUPEEFICIE8 CDRVA8. 225 

5. 

Duae solutiones in art. praec. inventae manifesto ad puneta superficiei 
sphaericae opposita, sive ad directiones oppositas referunt^r, quod cum rei natura 
quadrat, quum normalem ad utramyis plagam superficiei curvae ducere liceat. 
Quodsi duas piagas , superficiei contiguas , inter se distinguere, alteramque exte- 
riorem alteram interiorem vocare placet , etiam utrique normali suam soluüonem 
rite tribuere licebit adiumento theorematis in art 2 (VII) eyoluti , simulatque cri- 
terium stabilitum est ad plagam alteram ab altera distinguendam. 

In methodo prima tale criterium petendum erit a signo valoris quautitatis 
W. Scilicet generaliter loquendo superficies curva eas spatii partes , in quibus 
W Talorem positivum obtinet, ab iis dirimet, in quibus valor ipsius W fit ne- 
gativus. £ theoremate illo vero facile colligitur , si W valorem positivum obti- 
neat versus plagam exteriorem , normalisque extrorsum ducta concipiatur , solu- 
tionem priorem adoptandam esse. Ceterum in quovis casu facile diiudicabi- 
tur , utrum per superfidem integram eadem regula respectu signi ipsius W var- 
leat » an pro diversis partibus diversae : quamdiu coSfficientes P, Q, R valores 
finitos habent » nee simul omnes tres evauBscunt , lex continuitatis vicissitudinem 
vetabit. 

Si methodum secundam sequimur , in superficie curva duo systemata linea* 
rum curvarum concipere possumus , alterum , pro quo p est variabilis , q con- 
stans ; alterum , pro quo q variabilis , p constans : situs mutuus harum linearum 
respectu plagae exterioris decidere debet, utram solutionem adoptare oporteat. 
Scilicet quoties tres lineae, puta ramus lineae prioris systematis a puncto A pro- 
ficiscens cresoente p, ramus posterioris systematis a puncto Ä egrediens crescente 
q^ atque normalis versus plagam exteriorem ducta similiter iacent , ut , inde ab 
origine abscissarum, axes ipsarum x^y^ z resp. (e. g. si tum e tribus lineis il- 
Iis, tum e tribus his , prima sinistrorsum , secunda dextrorsum, tertia sursum di- 
recta concipi potest], solutio prima adoptari debet; quoties autem situs mutuus 
trium linearum oppositus est situi mutuo axium ipsarum x, y, z, solutio secunda 
▼alebit. 

In methodo tertia dispiciendum est, utrum, dum z incrementum positivum 
accipit, manentibus x ety invariatis, transitus fiat versus plagam exteriorem an 
interiorem. In casu priore , pro normali extrorsum directa , solutio prima valet, 
in posteriore secunda. 

37 



226 DISQUISrnONBS OENERAIiEB 

6. 

Sicuti, per translatam directionem normalis in superficiem curvam ad su- 
perfidem sphaerae, cuius puncto determinato prioris superficiei respondet punctum 
determinatum in posteriore, ita etiam quaevis linea , vel quaevis figura in illa le- 
praesentabitur per lineam vel figuram correspondentem in hac. In comparatione 
duarum figurarum hoc modo sibi mutuo correspondentium , quarum altera quasi 
imago alterius erit, duo momenta sunt respicienda , alterum , quatenus sola quan- 
titas consideratur , alterum , quatenus abstrahendo a relationibus quantitativis so- 
lum situm contemplamur. 

Momentum primum basis erit quarundam notionum , quas in doctrinam de 
superficiebus curvis recipere utile videtur. Scilicet cuilibet parti superficiei cur- 
vae limitibus determinatis cinctae curvaturam totalem seu inteffram adscribemus, 
quae per aream figurae illi in superficie sphaerica respondentem exprimetur. Ab 
hac curratura integra probe distinguenda est curvatura quasi specifica, quam nos 
mensuram curvaturae vocabimus : haec posterior ad punctum superficiei refertur, et 
denotabit quotientem qui oritur, dum curvatura int^;ra elementi superficialis 
puncto adiacentis per aream ipsius elementi dividitur , et proin indicat rationem 
arearum infinite parvarum in superficie curva et in superficie sphaerica sibi mu- 
tuo respondentium. Utilitas harum innovationum per ea, quae in posterum a no- 
bis explicabuntur , abunde , ut speramus , sancietur. Quod vero attinet ad ter- 
minologiam , imprimis prospiciendum esse duximus , ut omnis ambiguitas arcea- 
tur , quapropter haud congruum putavimus , analogiam terminologiae in doctrina 
de Uneis curvis planis vulgo receptam (etsi non omnibus probatam) stricte sequi, 
secundum quam mensura curvaturae simpliciter audire debuisset curvatura, cur- 
vatura integra autem amplitudo. Sed quidni in verbis faciles esse liceret , dum- 

* 

modo res non sint inanes , neque dictio interpretationi erroneae obnoxia? 

Situs figurae in superficie sphaerica vel similis esse potest situi figurae 
respondentis in superficie curva, vel oppositus (in versus); casus prior locum ha- 
bet, ubi binae lineae in superficie curva ab eodem puncto directionibus inaequa- 
libus sed non oppositis proficiscentes repraesentantur in superficie s^aerica per 
lineas similiter iacentes , puta ubi imago lineae ad dextram iacentis ipsa est ad 
dextram; casus posterior, ubi contrarium valet. Hos duos casus per siffnum men- 
surae curvaturae vel positivum vel negativum distinguemus. Sed manifesto haec 
distinctio eatenus tantum locum habere potest, quatenus in utraque superficie pla- 



CIBCA SUPERFICIES CUBVA8« 227 

gam determinatam eligimus , in qua figura concipi debet In sphaera anxiliari 
semper plagam exteriorem , a centro aversam , adhibebimus : in superficie curva 
etiam plaga exterior sive quae tamquam exterior consideratur, adoptari potest, vel 
potius plaga eadem , a qua normalis erecta concipitur ; manifeste enim respectu 
similitudinis figurarum nihil mutatur, si in superficie curva tum figura ad plagam 
oppositam transfertur , tum normalis , dummodo ipsius imago semper in eadem 
plaga superficiei sphaericae depingatur. 

Signum positivum vel negativum , quod pro situ figurae infinite parvae mm- 
surae curvaturae adscribimus, etiam ad curvaturam int^;ram figurae finitae in su- 
perficie curva extendimus. Attamen si argumentum omni generaHtate amplecti 
suscipimus, quaedam dilucidationes requiruntur, quas hie breviter tantum Uttin- 
gemus. Quamdiu figura in superficie curva ita comparata est, ut singulis punctis 
intra ipsam puncta diversa in superficie sphaerica respondeant, definitio ulteriore 
explicatione non indiget. Quoties autem conditio ista locum non habet, necesse 
erit , quasdam partes figurae in superficie sphaerica bis vel pluries in computum 
ducere , unde , pro situ simili vel opposite , vel accumulatio vel destructio oriri 
poterit. SimpHcissimum erit in tali casu , figuram in superficie curva in partes 
tales divisam concipere , quae singulae per se spectatae conditioni illi satisfaciant, 
singulis tribuere curvaturam suam integram , quantitate per aream figurae in su- 
perficie sphaerica respondentis , signo per situm determinatis« ac denique figurae 
toti adscribere curvaturam integram ortam per additionem curvaturarum integra-- 
rum, quae singulis partibus respondent. GeneraUter itaque curvatura integra 
figurae est =fkda, denotante da elementum areae figurae, k mensuram cur- 
vaturae in quovis puncto. Quod vero attinet ad repraesentationem geometricam 
huius integralis, praecipua huius rei momenta ad sequentia redeunt. Peripheriae 
figurae in superficie curva (sub restrictione art. 3) semper respondebit in superfi- 
cie sphaerica linea in se ipsam rediens. Quae si se ipsam nullibi intersecat, to- 
tam superficiem sphaericam in duas partes dirimet, quarum altera respondebit 
figurae in superficie curva , et cuius area , positive vel negative accipienda, prout 
respectu peripheriae suae similiter iacet ut figura in superficie curva respectu suae, 
vel inverse , exhibebit posterioris curvaturam int^;ram. Quoties vero linea ista 
se ipsam semel vel pluries secat , exhibebit figuram complicatam , cui tarnen area 
certa aeque legitime tribui potest , ac figuris absque nodis, haecque area, rite in- 
tellecta , semper valorem iustum curvaturae integrae exhibebit. Attamen überio- 

37* 



238 DIBQUISinONES GEKEBALE8 

rem huius ai^umenti de figuris generalissime conceptis expositionem ad aliam oc- 
casionem nobis reservare debemus. 

7. 
Investigemus iam formulam ad exprimendam mensuram curvaturae pro quo- 
vis puncto superficiei curvae. Denotante da aream elementi huius superficiei, 
Zd a erit area proiectionis huius elementi in planum coordinatarum x,y; et per- 
inde, si d2 est area elementi respondentis in superficie sphaerica, erit Zdü area 
proiectionis ad idem planum : signum positivum vel negativum ipsius Z yero in- 
dicabit situm proiectionis similem vel oppositum situi elementi proiecti : manifesto 
itaqtfe illae proiectiones eandem rationem quoad quantitatem , simulque eandem 
relationem quoad situm , inter se tenent , ut elementa ipsa. Consideremus iam 
elementum trianguläre in superficie curva, supponamusque coordinatas trium 
punctorum , quae formant ipsius proiectionem , esse 

^» y 

Duplex area huius trianguli exprimetur^per formulam 

dx.Sy — dy,8x 

et quidem in forma positiva yel negativa , prout situs lateris a puncto primo ad 
tertium respectu lateris a puncto primo ad secundum similis vel oppositus est si- 
tui axis coordinatarum y respectu axis coordinatarum «r. 

Perinde si coordinatae trium punctorum , quae forn^ant proiectionem ele- 
menti respondentis in superficie sphaerioa, a centro sphaerae inchoatae, sunt 

X, Y 

X+dX, F+dF 
X+8X, Y+8Y 

duplex area huius proiectionis exprimetur per 

dX.8F-dF.8X 
de cuius expressionis signo eadem valent quae supra. Quocirca mensura curva- 



CIRCA 8UPEBFICIK8 CURVA8. 229 

turae in hoc loco superficiei curvae erit 

d«.fty — dy .hx 

Qaodsi iam supponimus, indolem superficiei curvae datam esse secundum modum 
tertium in art. 4 consideratum , habebuntur X et F in forma functionum quan- 
titatum ^,>, undeerit 

dX = ©dar+(^)dy 

dF=(§f)d^+(^)dy 
8F=©8a.+(Jf)8y 

Substitutis bis valoribus , expressio praecedens transit in hanc : 



* "" (di")(d7)~(d7)(d5") 



Statuendo ut supra 



atque insuper 



dz . ds 

dx dy 



ddg rp dd« Yj ^^« T7 

dx* ^* d».dy — ^' d^ ~ ^ 



sive 



d* = rda?+ Udy, du = Udx-\- Vdy 
habemus ex formulis supra datis 

X = —tZ, F= — liZ, (l+«+iit*)ZZ = 1 



atque hinc 



siYe 



dX=— Zdf— *dZ 
dF=— Zdü— tidZ 

(l+«+tii«)dZ+Z(rd*+fidt*) = 

dZ = — Z*(rd*+i«dii) 

dX = — Z*(l+iifi)df+Z*ffidti 

dF = +Z**iidf— Z*(l+«)dfi 



230 DI8QUI8ITIOKE8 QENERALES 



adeoque 



JJ=z»(-(i+«i,)r+*«i7) 

J^ = Z'(-(l+titt)l7+f«F) 
^ = Z'{tuT-{l-\-tt)U) 

iT 



= Z\tuU—{l-^tt)V) 



quibus valoribus in expressione praecedente substitutis , prodit 

k = Z\TV- üü){\+tt-Jruu) ^ Z\TV- UU) = ^~^. 



8. 
Per idoneam electionem initii et axium coordinatarum facile effici potest, ut 
pro puncto determinato A valores quantitatum t, u, U evanescant. Scilicet duae 
priores conditiones iam adimplentur » si planum tangens in hoc puncto pro piano 
coordinatarum x^ y adoptatur. Quarum initium si insuper in puncto A ipso 
coUocatur , manifeste expressio coordinatarum z adipiscitur formam talem 

ubi Q erit ordinis altioris quam secundi, Mutando dein situm axium ipsarum 
X, tf angulo M tali ut habeatur 

tang2Jtf = r^l^y. 
facile perspicitur , prodituram esse aequationem huius formae 

z = ^Txx+^Vyy-^Q 

quo pacto etiam tertiae conditioni satisfactum est. Quibus ita factis , patet 

I. Si superficies curva secetur piano ipsi normali et per axem coordinata- 
rum X transeunte , oriri curvam planam , cuius radius curvaturae in puncto A 
fiat = -}t , signo positive yel negative indicante concavitatem vel convexitatem 
versus plagam eam , versus quam coordinatae z sunt positivae. 

II. Simili modo y erit in puncto A radius curvaturae curvae planae, quae 
oritur per sectionem superficiei curvae cum piano per axes ipsarum y, z transeunte. 



CIRCA BÜPEBFICIE8 COBYAS. 231 

IIL Statuendo <r = rco89, y =^ rsin^^ fit 

z = -Krcos^*-}- Fsincp*)r^+2 

unde colligitur, si sectio fiat per planum superficiei in Ä normale et cum axe 
ipsarum <r angulum cp efficiens, oriri curvam planam, cuius radius curvaturae in 
puncto A sit 



TV. Quoties itaque habetur T=: F, radii curvaturae in cwictis planis 
normalibus aequales erunt. Si vero T et F sunt inaequales , manifestum est, 
quum Tcoscp'-f* Fsin^^ pro quovis valore anguli 9 cadat intra Tet F, radios 
curvaturae in sectionibus principalibus , in I et 11 consideratis , referri ad cur- 
vaturas extremas , puta alterum ad curvaturam maximam , alterum ad minimam, 
si Tet F eodem signo affectae sint, contra alterum ad maximam convexitatem, 
alterum ad maximam concavitatem , si T et F signis oppositis gaudeant. Hae 
conclusiones omnia fere continent, quae ill. Euleb de curvatura superficierum cur- 
varum primus docuit 

V. Mensura curvaturae superficiei curvae in puncto A autem nanciscitur 
expressionem simplicissimam A = T F, unde habemus 

Theobeka. Mensura curvaturae in quovis superficiei puncto aequalis est 
/ractioni, cuius numerator unitas, denominator autem productum duorum radiorum 
curvaturae extremorum in sectionibus per plana normalia. 

Simul patet, mensuram curvaturae fieri positivam pro superficiebus concavo- 
concavis vel convexo-convexis (quod discrimen non est essentiale), negativam vero 
pro concavo-convexis, Si superficies constat e partibus utriusque generis , in ea- 
mm confiniis mensura curvaturae evanescens esse debebit. De indole superficie- 
rum curvarum talium, in quibus mensura curyaturae ubique evanescit, infra plu- 
ribas agetur. 



9. 
Formula generalis pro mensura curvaturae in fine art. 7 proposita, omnium 
simplicissima est, quippe quae quinque tantum elementa implicat ; ad magis com- 
plicatam , sdlicet novem elementa involventem , deferimur , si adhibere volumus 



232 DISQUBIXIONBS GBNEBALBB 

modum primum indolem superficiei curvae exprimendi« E^tinendo notationes 
art. 4 insuper statuemus : 

ddW p, ddW ^, ddW ™ 

dar» — •^' dy* — ^' d«» ~^ 

ddfT pn ddW Q„ ddW -n» 

dy.ds ' d^.ds ^ ' d«.dy 

ita ut fiat 

d P = P'dx+BTdy + Q'dz 
dQ = ird^+gd^ + PM;? 
d-K = Q"da?+P"dy + 12'd;? 

lam quam habeatur t = — ^, invenimiis per differentiationem 

RRdt = —RdP+PdR = {P<^—RP')dai-\- {PP"—RJRr)dy+{PR—RQr)dz 

sive, eliminata d;? adiumento aequationis Pdx^Qdy-\-'Rdz =z 0, 

]^dt = {—RRP'^2PRQr—PPR)dx^{PRP''+ QRQr—PQR—RRRr)dy 

Frorsus simili modo obtinemus 
I^du^{PRP''+QRQr—PQR—RRRr)da:+{—RRQ[+2QRP''—QQR)dy 

Hinc itaque coUigimus 

J8» r = — iJBPH-2Pi2 Q"- PPiJ' 
J2»Cr= PRP''+ QRQ"—PQR'—RRR'' 
I^V ='-RRQ+2QRP"—QQR' 

Substituendo hos valores in formola art. 7 , obtinemus pro mensora curvaturae Ar 
expressionem symmetricam sequentem : 

{PP-\-QQ-\-RRfk 

= PP(Q'JK'— P'P'') + QQ(P'JJ'— QrQr)-\-RR{P'Q^R''Rr) 

+ 2 QiJ(Q"iJ"— P'P") + 2PJK(P"U"— Q'Cr) + 2PQ(P"Cr— Ä'Ä") 



10. 
Formulam adhuc magis complicatam , puta e quindecim elementis con- 
flatam, obtinemus, si methodum generalem secundam, indolem superficierum 



GIBCA &ÜPEBFI0IE8 CUBVAS« 233 

curvarum exprimendi , sequimur. Magni tarnen momenti est , hanc quoque ela* 
borare. Betinendo signa art. 4 , insuper statuemus 

ddx ____ ddx r ddx » 

dp" ~ ^' d57d^~^* d?~^ 

ddy ____^ ^ ddy ^r ddy ^n 

"d^"^' dp.dq ~ ^' d? — ^ 

dds dds f dd« h 

d?" — T' dfTSq — T^' d^ '^y 
Praeterea brevitatis caussa faciemus 

bc'—cb' = A 
ca — ac = B 
aV — ha = C 

Primo observamus, haberi -4.da?+JBdy+C'd2?= 0, sive da? = — ^da? — ^dy; 
quatenus itaque 2r spectatur tamquam functio ipsarum x^y ^ fit 

d« . _ _A 

d2 B 

/ 

Porro deducimus, ex da? = ad/^+ady, dy = &d/^-|-&'d j^, 

Cd;> = ydo?— a'dy • 

Cdj = — 6da?-j-Ädy 

Hinc obtinemas differentialia completa ipsarum f, u 

CM«=(B^-Cj|)(6'd*-a'dj,)+(c5f-5j^)(Jd*-ady) 
lam si in his fonnulis substitiiimus 

d^ t t \ n ff ff 

g^=o7+ca— ay— ca 
^=:6'a+a6'--6a'— a'6 



=: oa-f-ao — oa — ao 

38 



^ = JV+aÖ"— Ja"— «'6' 



234 DISQUISmONES oeneeales 

atque perpendimus , valores differentialium dt, du sie prodeuntiam, aequales 
essedebere, independenter a differentialibus djr,dy, quantitatibus Tdof-^-üdjf, 
Udx-\- Vdy resp. inveniemus, post quasdam transfonnationes satis obyias: 

C*T= a Ab'b'-\- Ö S fc'6'+ 7 Cb'b' . 

— 2 a'-4 6 b'— 2 ß'Bb b'— 2 y'Cb U 
+arAbb'\-^''Bbb-\-fCbh 

C*U=—aA a'V— ßBa'b— y Ca'b' 

+ a'A {ab'-\-ba') + Ö'J5{afc'+ b d)-\-yC{ab'-\- ba') 

— a''Aab—n"Bab—fCab 
C*V= aAa'a'-^ 6 J5 a'a'+ y Ca'a' 

— 2a!Aa a — 2 t'Baä— 2 iCaa 
-ira"Aaa-^t''Baa-\-fCaa 

Si itaque brevitatis caussa statuimus 

Aa-\-B^ +Cj =D (1) 

Aa!+Bt'-\-Ci = D' (2) 

ila''+J5Ö''+ Cy" = D" (3) 

fit 

• C*T= Db'b'-^2D'bb'-\-irbb 

C*U = —Da'b'-{- D\ab'-\-ba')—D''ab 
C*V= Da'a^2D'aa'-\-D''aa 

Hinc invenimus , evolutione facta , 

C*{TV- Uü) = {DD''—D'D'){ab'—bay = {DD''—D'D')CC 

et proin formulam pro mensura cturvaturae 

, DD"—D'I)' 

"^ — (AA+SS + CC)* 

Formulae modo inventae iam aliam superstruemus , quae inter fertilissima 
theoremata in doctrina de superficiebus curvis referenda est. Introducamus se- 
quentes notationes : 



» 



cntcA süPBiaiciBS cobvas. 235 

aa-\-bb -\-ce =E 
aa'-\-bb'-\-cc' =F 
aä+b'b' -^cc' = G 

aa+66 H-cy =»« (4) 

aöC±b^'-\-cy =tn' (5) 

aa''4-6Ö"+c/=m" (6) 

a'a-\-b'ß -\-c'y =n (7) 

aa'+6'6' + cY = n' (8) 

a'ar-\-b'ß''-\-cY=n" (9) 

AA-\-BB-\-CC=EG—FF=^ 

EUminemus ex aequationibus 1, 4, 7, quantitates t, y, quod fit multipli- 
cando illas per bc — cb', VC — c'B, cB — bC, etaddendo: ita oiitur 

{A{bc'—cb')+a{b'C—c'B)-\-<i[cB—bC))a 
= D[bc'—cV) + m{b'C—c'B)-\'n{cB—bC) 

quam aequationem facile transformamus in hanc: 

AD = a^+a{nF—mG)-\-ti{mF—nE) 

Simili modo eliminatio quantitatum a, y vel a, 6 ex iisdem aequationibus sup- 
peditat 

BD = ■&^-\-b{nF—mG)-\-b\mF—nE) 
CD = y^-\-c{nF—mG)-\-e'{mF—nE) 

Multiplicando has tres aequationes per a", 'S", y" et addendo obtinemus 

Dir = (aÖ''+ÖÖ"+77'')A+«i"(ni?— mö)+n''(mJ?'— nl5) (10) 

Si perinde tractamus aequationes 2, 5, 8 , prodit 

AD' = a:^-\-a{nF—m'G)-{-aim'F—n'E) 
BD' = n'^-\-b{nF—m'G)-\-b'{m'F—n'E) 
CD' = y' ^ + c{n'F—m'G)-^c'{m'F—n'E) 

quibus aequationibus per a, 6', -f multiplicatis , additio suppeditat: 

DD' = {a'a'-{'ß'6'-\-y'y')^-\-m'{n'F—m'G)+n'{m'F—nE) 

38* 



236 D]0QuiamoiiB8 oBinauLBs 

Combinatio huius aequationis cum aeqnatione (10) producit 

DD"— DD' = (aa'+ÖS-'+YT''— a'a'— Ö'Ö— yY) A 

+ JB(nV— nn")+i^(nm"— 2mn+mii") + G?(mW— mm') 

lam patet esse 

AB ^ dS ^ , dF , , dF n ^ f dG ^, dO ^» 

47 = 2*^' 37 = 2^' d]r = ^+«' d7 = ^+*' 37 = 2«' d7 = ^^ 



sive 



- d^ ^'1 d-B ^n dF . dG 

= *df^ ^ = *d7* ^ — 57— Td7 

dP .d^ , .dG "_ idö 

* — d^~*d7' * — +57' * — *d7 



Porro facfle confirmator, baberi 



dn dn' dm" dm' 



aa+6Ö +yY_aa— 66-Y7 =___ = ___ 

dd^ . ddJ ddg 

*• dj* "T-dp-dy *• df 

Quodsi iam bas expresaiones diversas in fonnula pro mensura curvaturae in fine 
art. praec. eruta substituimus, pervenimus ad fonnulam sequentem, e solis quan- 
titatibus JP, JP, G atque earum quotientibus differentialibus primi et secundi or- 
dinis condnnatam : 

-i«F/i? 1? _ 1^ ^ 2— . — -1-4 — .— 2 — • — ^ 

"* 'dj» ' dq dq ' dp dq * dq •" dp ' dq dp dp* 

_ir'i^F dG Q d^ ^-'^_I_/^-^\*\ 

■^"^^d7•d7""^•d7•dF"*■^d^^ ' 



12. 
Quum indefinite habeatur 

da?*+d/+d^ = jBd/H- 2 JPd;^. d jr+ Gdg* 

patet , ^ [E dp* -|- 2 J'dp . d j -|- Gr d j* ) esse expressionem generalem elementi li- 
nearis in snperficie corva. Dooet itaque analysis in art. praec. explicata^ ad in- 
yeniendam mensuram curvaturae haud opus esse formulis finitis , quae coordina- 



CIBCA BÜPBKFICIE8 GUBVAS« 237 

tas x,y,z tamquam fimctiones indeterminatarum jp, q exhibeant, sed sufiicere 
expressionem generalem pro magnitudine cuiusvis elementi linearis. Frogredia- 
mur ad aliquot applicationes huius gravissimi theorematis. 

Supponamus, superficiem nostram curvam explicari posse in aliam superfi- 
ciem , curvam seu planam , ita ut ctuvis puncto prioris superficiei per coordina- 
tas x.jf.z determinato respondeat punctum determinatum superficiei posterio- 
ris , cuius coordinatae sint x\ y\ z. Manifesto itaque x\ y\ z quoque conside- 
rari possunt tamquam functiones indeterminatarum p^ q^ unde pro elemento 
^(daf'* + dy*+d/*) prodibit expressio talis 

denotantibus etiam JE?', F, G' functiones ipsarum p, q. At per ipsam notionem 
explicatumis superficiei in superficiem patet , elementa in utraque superficie cor- 
respondentia necessario aequalia esse , adeoque identice fieri 

E = E\ F=F, G=G 



rf • 



Formula itaque art. praec. sponte perdudt ad egregium 

Theobema. 8i superficies eurva in quamcunque aliam superficiem explicatur, 
mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet 

Manifesto quoque quaevis pars finita superfi^ curvae post eäifplicaiianem in 
aliam superficiem eandem curvaturam integram retinebit 

Casum specialem, ad quem geometrae hactenus investigationes suas restrin- 
xerunt, sistunt superficies in planum explicabiles. Theoria nostra sponte docet, 
taliiim superficierum mensuram curvaturae in quovis puncto fieri = 0, quodrca, 
si earum indoles secundum modum tertium exprimitur , ubique erit 

dds dd» f dd« ^* ^^ ^ 

di? 'dyS* VdTTdy^ — " 

quod criterium,. dudum quidem notum, plerumque nostro saltem iudicio haud eo 
rigore qui desiderari posset demonstratur. 

13. 
Quae in art. praec. exposuimus , cohaerent cum modo peculiari superficies 
considerandi , summopere digno , qui a geometris diligenter excolatur. Sdlicet 
quatenus superficies consideratur non tamquam limes solidi , sed tamquam soli- 



238 DiSQUisrrioNES genebales 

dum, cuius dimensio una pro evanescente habetur, flexile quidem, sed non ex- 
tensibile, qualitates superficiei partim a forma pendent, in quam illareducta con- 
cipitur, partim absolutae s\)ntf/atque invariatae manent, in quamcunque formam 
illa flectatur. Ad has posteriores, quarum investigatio campum geometriae novum 
fertilemque aperit, referendae sunt mensura curvaturae atque curvatura integra 
eo sensu , quo hae expressiones a nobis accipiuntur ; porro huc pertinet doctrina 
de lineis brevissimis , pluraque alia , de quibus in posterum agere nobis reserva- 
mus. In hoc considerationis modo superficies plana atque superficies in planum 
explicabilis, e. g. cylindrica, conica etc. tamquam essentialiter identicae spectan- 
tur, modusque genuinus indolem superficiei ita consideratae generaliter expri- 
mendi semper innititur formulae ^ {Edp^ + 2 Fdp .dq-\-Gdq^), quae nexum 
elementi cum duabus indeterminatis p, q sistit. Sed antequam hoc argumentum 
ulterius prosequamur, principia theoriae linearum brevisaimarum in superficie 
curva data praemittere oportet. 

14. 

Indoles lineae curvae in spatio generaliter ita datur, ut coordinatae x^y^z 

singulis illius punctis respondentes exhibeantur in forma functionum unius varia- 

bilis , quam per w denotal}imus. Longitudo talis lineae a puncto initiali arbi- 

trario usque ad punctum, cuius coordinatae sunt j?, y, z:, exprimitur per integrale 

/d.r,v/((J-i)'+(^)'+(J-i)*) 

Si supponimus, situm lineae curvae variationem infinite parvam pati, ita ut coor- 
dinatae singulorum punctorum accipiant variationes hx, hy, 8z, variatio totius 
longitudinis invenitur 

quam expressionem in hanc formam transmutamus : 

d« • Sx 4~ d y . (y -f ds . $2 
V^(d«»-f dy«-hdz») 

In casu eo, ubi linea est brevissima inter puncta sua extrema, constat, ea, quae 
hie sub signo integrali sunt, evanescere debere. Quatenus linea esse debet in su- 



GKGA SUPE3KFICIEB CUBVAS. 239 

perficie data, cuius indoles exprimitur per aequationem Pdjp-^ Qdjf^Rdz = 0« 
etiam variationes Ba, Sy> Bz suMSfktoere debent aeqnationi PS^4- Q^y + R8z = 0, 
unde per principia nota facilp jCoHSgitur , differentkÄft 

« 

j djp ^ dy »' , dg 

^ V(d«' + dy« + d«") ' ^ ^(dar* + dy« + d«») • ^(d«* + dy« +"d?) 

resp. quantitatibus P, Q, 12 proportionalia esse debere. lam sit dr elementum 
lineae curvae , X punctum in superficie sphaerica repraesentans directionem huius 
elementi , L punctum in superficie sphaerica repraesentans /lirectionem normalis 
in superficiem curvam ; denique sint ^, tj, C coordinatae puncti X, atqüe X, Y, Z 
coordinatae puncti L respectu centri sphaerae. Ita erit 

da? = 5dr, dy = ijdr, dz==Cdr 

unde colligimus, differentialia illa fieri d^, dTj, dC. Et quum quantitates P, Q, 22 
proportionales sint ipsis X, F, Z, character lineae brevissimae cdkisistit in ae- 
quationibus 

dl _ dt) _ dC 
X r z 

Ceterum facile perspicitur , \/ (d ^^ 4* ^ ''l' + ^ t^^Qu^ arculo in superficie sphae - 
rica, qui mensurat angulum inter directiones tangentium in initio et fine elementi 
dr , adeoque esse = — , si p denotet radium curvaturae in hoc loco curvae bre- 



dr 

vissimae; ita fiet 



pdS = Xdr, pdi] = Fdr, pdC = Zdr 



15. 
Supponamus , in superficie curva a puncto dato A proficisci innumeras cur- 
vas brevissimas , quas inter se distinguemus per angulum , quem constituit sin- 
gularum elementum primum cum elemento primo unius ex his lineis pro prima 
assumtae: sit f ille angulus, vel generalius functio illius anguli, nee non r Ion- 
gitudo talis lineae brevissimae a puncto Ä usque ad punctum, cuius coordinatae 
sunt «r, y» z. Quum itaque valoribus determinatis variabilium r, (p respondeant 
puncta determinata superficiei, coordinatae (K,y, z considerari possunt tamquam 
functiones ipsarum r, 9. Notationes X, L, ^, t], C, X, F, Z in eadem significa- 



240 DI8QUISITI0NBS 6ENERALE8 

tione retinebimus , in qua in art. praec. acceplae fuerunt, modo indefinite ad 
punctum indefinitum ciduslibet linearum brevissimarum referantur. 

Lineae brevissimae omnes , quae sunt aequalis longitudinis r, terminabun- 
tur ad aliam lineam , cuius longitudinem ab initio arbitrario numeratam denota- 
mus per v. Considerari potent itaque v tamquam functio indeterminatarum r, 9, 
et si per l! designamus punctum in superficie sphaerica respondens directioni ele- 
menti dt;, nee non per Z\ i]'* C coordinatas hidus puncti respectu centri sphae- 
rae, habebimus: 



dx ^ p# d« dy , dv dz mr dv 

d^ *'d9' d^ — ''l'd^' d^ — ^'df 



Hinc et ex 



dr "" ^' dr — ^' dr~ ^ 



sequitur 

dx dx I dy dy . ds ds /i.t.f , « , rr'\ dv % ^, dv 

d-;-d^ + d"7 T^ + rr-d-^ = (SS+ll + CC ).^ = COSXX. j^ 

Membrum primum hidus aequationis , quod etiam erit functio ipsarum r, 9, per 
8 denotamus; cuius differentiatio secundum r suppeditat: 

dS dd£ d«_, ddy dyj_dd« d« 1.1 ^^dr^ "^"vdr) "Kdr) ) 

dr dr* ' dip"» dr* * d^p"*" dr» 'dip » ** dy 

dr* dy ""dr * dy » dr * dy "* ** dy 

Sed 5S+i]tl + CC= 1, adeoque ipsius differentiale =0; et per art. praec. 
habemus, si etiam hie p denotat radium curvaturae in linea r, 



d| ___ JC d;5 r dC Z 

dr p » dr p ' dr p 



Ita obtinemus 



quoniam manifeste X' iacet in circulo maximo, cidus polus L. Hinc itaque oon- 
cludimus, 8 independentem esse ab r et proin functionem solius 9. At pro r=0 
manifeste fit 1; = 0, et proin etiam ^ = 0, nee non 8=0, independenter a y. 
Necessario itaque generali ter esse debebit Ä=0, adeoque co8XX' = 0, i.e. 
XX'= 90^ Hinc coUigimus 



CSCA SüPEBFiaiSS CÜBVA8. 241 

Thbobsiu. DucHs in superficie cUrva ab eodem puncto initiali innumeris lineis 
bremssimis aequalis Umgitudinis , Unea earum extremitates iungens ad illas singulas 
erit narmalis. 

Operae pretium esse duximus, hoc theorema e proprietate fundamentali' li- 
nearum brevissimarum deducere: ceterum eius veritas etiam absqae calculo per 
sequens raüocinium intelligi potest. Sint AB, AB' duae lineae brevissimae eius- 
dem longitudinis , angulum infinite parvuin ad A includentes, supponamusque, 
alterutrum angulorum elementi BB' cum lineis BA, B'A difierre quantitate 
finita ab angolo recto , unde per legem continuitatis alter maior alter minor erit 
angulo recto. Supponamus, angulnm ad B esse =90^ — co, capiamusque in 
linea BA punctum C, ita ut sit J3C = BJB'.cosecio: hinc quum triangulum 
infinite parvum BB'C tamquam planum tractare Uceat, erit CJ3' = JB C cos a>, 
et proin 

AC+CJ5' = 4C+J5C.co8tt) = -4J5— J5C.(l — cosü)) = AB'— J5C(1— coso)) 
i.e. transitus a puncto Asid B' per punctum C brevior linea brevissima. Q.E.A. 

16. 
Theoremati art. praec. associamus aliud , quod ita enunciamus« 8i in sU" 
perfide curva candpitur linea qualiscunque , a cuius punctis singulis proficiscantur 
sub anffulis rectis et versus eandem plagam innumerae lineae brevissimae aequalis Ion* 
gitudinis, curva, quae earum extremitates alteras iungit, illas singulas sub angulis 
rectis secabit. Ad demonstrationem nihil in analysi praecedente mutandum est, 
nisi quod 9 designare debet longitudinem curvae datae inde a puncto arbitrario 
numeratam, aut si mavis functionem huius longitudinis; ita omnia ratiocinia 
etiamnum valebunt, ea modificatione, quod veritas aequationis 8 =^0 pro r =: 
nunc iam in ipsa hypothesi implicatur. Ceterum hoc alterum theorema genera- 
lius est praecedente, quod adeo in illo comprehendi censeri potest, dum pro li- 
nea data adoptamus circulum infinite parvum circa centrum A descriptum. De- 
nique monemus, hie quoque considerationes geometricas analyseos vice fungi 
posse , quibus tamen , quum satis obviae sint , hie non immoramur. 

17. 
Revertimur ad formulam ^(£d|>*-4-2l^d/>.dj'+Gdjf*), quae indefinite 

39 



242 nwiujsfTiOBJEB ockeralb 

magnitndinem elementi linearia in saperficie corva exprimit, atque ante omnia 
«ignificationem geometricam coCfficientium E, F, G examinamus. lam in art. 5 
monoimoa , in anperficie cnrva concipi posse duo systemata linearum , alterum, in 
qnibns aingnlis sola p sit variabilis , q constans ; altemm , in qnibns sola q va- 
riabilis , p constans. Quodlibet ponctum snperficiei considerari potest tamquam 
intersectio lineae primi systematis cnm linea secondi : toncque elementum lineae 
primae hoic puncto adiacens et variationi dp respondens erit =^\jEAp, nee 
non elementum lineae secundae respondens variationi d^ erit = ^ G.dq; de- 
nique denotando per lo angulum inter haec elementa, facile perspicitur« fieri 
cos w = Teg ' -^^^ autem elementi parallelogrammatici in superficie curva in- 



ter duas lineas primi systematis, quibus respondent q^ ?+<l7t atque duas lineas 
systematis secundi, quibus respondent p.p-^-dp, erit \I[EG — FF)dp.dq, 

Linea quaecunque in superficie curva ad neutrum illorum systematum per- 
tiae... .rit^. d«.),et, c^ci,i,ml.x e»e fanctiones m>i^ ^ü>ili. ..vL. 
yel altera illarum functio alterius. Sit s longitudo talis curvae ab initio arbitra- 
rio numerata et versus directionem utramvis pro positiva habita. Denotemus per 
9 angulum, quem effidt elementum d* = ^(^d/>*4-2jPd/>.dy+Gdj^) cum 
linea primi systematis per initium elementi ducta, et quidem ne ulla ambiguitas 
remaneat , hunc angulum semper ab eo ramo ilUus lineae , in quo valores ipsius 
p crescunt, inchoari, et versus eam plagam positive accipi supponemns, versus 
quam valores ipsius q crescunt. His ita intellectis facile perspicitur haberi 

cose.d^ = yjEAp+yjG.co^^Aq = ^^^^/^^ 
sine.d« = VG.siniD.dj = >/(^^-^^)'^9 



18. 
Investigabimus nunc , quaenam sit conditio , ut haec linea sit brevissima. 
Quum ipsius longitudo s expressa sit per integrale 

s =f)J{Edp^-\-2FdpAq'\-Gdq^) 

conditio minimi requirit , ut variatio huius integralis a mutatione infinite parva 
tractus lineae oriunda fiat = 0. Calculus ad propositum nostrum in hoc casu 
commodius absolvitur, si p tamquam functionem ipsius q consideramus. Qao 



CIBOA SUPBKncm GUBVAB. 248 



pacto , si yariatio per characteristicam 8 denotatur , habemus 

J 0*!* 



2ds 

I 

constatque, quae hie sunt sub signo mtegrali, independenter a 8p evaaescere de- 
bere. Fit itaque 

= 2d*.d.\/J?.co8e = ^^^''— 2d*.de.\/£.sinÖ 



y/JB 

= {^^^^J^).(g.di, + |f .d^)-2V(£ö-FF).d^.de 

Hinc itaque nanciscimur aequationem conditionalem pro linea brevissima se- 
quentem : 

V(i?G-J'F).de = iJ.g.dp+i.J.if.d5+i.lf.d|,-^.d;,-i.||.dj 

quam etiam ita scribere licet 

V{^G-J'F).d6 = +J.d£+i.if.dp~if.d;,-i.^.dj 

Cetemm adiumento aequationis 

^^® "^ y/iEO'-FF) • d^ "+" )/{EO^FF) 

ex illa aequatione angulus 6 eliminari, atque sie aequatio differentio-differentia- 
lis inter p ei q evolvi potest , quae tarnen magis complicata et ad applicationes 
minus utilis evaderet,. quam praecedens. 

19. 

Formulae generales, quas pro mensura curvaturae et pro variatione directio- 

nis lineae brevissimae in artt. 11,18 eruimus, multo simpliciores fiunt, si quan- 

titates ji, q ita sunt electae , ut lineae primi systematis lineas secundi systematis 

ubique orthogonaliter secent, i. e. ut generaliter habeatur «o = 90^, sive 1^:=:::0. 

Tunc scilicet fit , pro mensura curvaturae , 

39* 



244 DISQCJISinONES OHSSBRAJJßß 

et pro variatione anguli 6 

Inter varios casus, in quibus haec conditio orthogonalitatis valet, primarium 
locum tenet is , ubi lineae omnes alterutrius systematis , e. g. primi , sunt lineae 
brevissimae. Hie itaque pro valore constante ipsius q, angulus 6 fit = 0, unde 

Ji ja 

aequatio pro variatione anguli 6 modo tradita docet» fieri debere -j- = , sive 
coSfficientem E a, q independentem , i. e. E esse debet vel constans vel functio 
solius p. Simplicissimum erit, pro p adoptare longitudinem ipsam coiusque li- 
neae primi systematis , et quidem , quoties omnes lineae primi systematis in ono 
puncto concurrunt, ab hoc puncto numeratam, vel, si communis intersectio non 
adest, a qualibet linea secundi systematis. Quibus ita intellectis patet, p et q 
iam eadem denotare, quae in artt. 15, 16 per r et cp expresseramus , atque fieri 
JS = 1 . Ita duae formulae praecedentes iam transeunt in has : 

^(?.de = -i.||.djr 
vel statuendo ^ 6 = m , 

7 1 ddm JA dm ^ 

*=-m-T^-^' de;=-^.d^ 

Generaliter loquendo m erit functio ipsarum jp, q atque m^q expressio elementi 
cuiusvis lineae secundi systematis. In casu speciali autem , ubi omnes lineae p 
ab eodem puncto proficiscuntur, manifeste pro p =- esse debet m = 0; porro 
si in boc casu pro q adoptamus angulum ipsum , quem elementum primum cu- 
iusvis lineae primi systematis facit cum elemento alicuius ex ipsis ad arbitrium 
electae, quum pro valore infinite parvo ipsius p, elementum lineae secundi sy- 
stematis (quae considerari potest tamquam circulus radio p descriptus), sit 
= pdq, erit pro valore infinite parvo ipsius p,m = p, adeoque, pro p = 
simul m == et T^ = 1 . 

dp 

Immoremur adhuc eidem suppositioni, puta p designare indefinite longitu- 
dinem lineae brevissimae a puncto determinato A ad punctum quodlibet su}>er- 



GIBCA SÜPBBFIGQeS CÜBVA8. 245 

ficiei ductum, atque q angulum, quem primum elementum huius lineae efficit 
cum elemento primo aliouius lineae brevissimae ex A profidscentis datae. Sit 
B punctum detenninatum in hac linea pro qua 9= 0, atque C aliud punctum 
determinatum superficiei , pro quo valorem ipdius q simpliciter per A designabi- 
mus. Supponamus , puncta JB, C per lineam brevissimam iimcta , cuius partes, 
inde a puncto B numeratas, indefinite ut in art. 1 8 per s denotabimus , nee non 
perinde ut illic, per 6 angulum, quem quodvis elementum d^ fadt cum elemento 
dp: denique sint 6^, 6' valores anguU 6 in punctis JB, C. Habemus itaque in 
superficie curva triangulum lineis brevissimis inclusum, eiusque anguli ad B et C, 
per bas ipsas literas simpliciter designandi aequales erunt iUe complemento an- 
guli 6® ad 180^ hie ipsi angulo 6'. Sed quum analysin nostram inspicienti fa- 
cile pateat« omnes angulos non per gradus sed per numeros expressos concipi, ita 
ut angulus 57^ 1 7' 4 5^ cui respondet arcus radio aequalis, pro unitate habeatur, 
statuere oportet, denotando per 2ir peripheriam circuli 

6^ = Tc— ß, 6'= C 

Inquiramus nunc in curvaturam integram huius trianguli, quae fit =ifkdts, de- 
notante da elementum superficiale trianguli; quare quum hoc elementum expri-- 
matur per mdp.dq, eruere oportet integrale ffkfndp.dq sitpra totam trianguli 
superficiem. Incipiamus ab integratione secundum p, quae propter Ar =^ — ~ . ^-^ , 
suppeditat dj^. (Const. — ^) pro curvatura integra areae iacentis inter lineas 
primi systematis, quibus respondent valores indeterminatae secundae q, q'\-dq: 
quum haec curvatura pro p =^ evanescere debeat , quantitas constans per in-^ 
t^rationem introducta aequalis esse debet valori ipsius ^ pro p^= 0, i. e. uni- 
tati. Habemus itaque dq{\ — j^), ubi pro j^ accipere oportet valorem respön- 
dentem fini illius areae in linea CB. In hac linea vero fit per art. praec. 
— .dg = — d6, unde expressio nostra mutatur in dg-{-d6. Accedente iam 
integratione altera a g = usque ^d q =^ A extendenda, obtinemus curvatu- 
ram int^ram trianguli = ^l-j-ö' — 6®= -A+JB+C' — w. 

Curvatura integra aequalis est areae eins partis superficiei sphaericae, quae 
respondet triangulo , signo positive vel negative affectae, prout superficies curva, 
in qua triangulum iacet, est concavo - concava vel concavo-convexa: pro unitate 
areae acdpiendum est quadratum , cuius latus est unitas (radius sphaerae) , quo 
pacto superficies tota sphaerae fit = 4 ic. Est itaque pars superficiei sphaericae 



246 DI8(tUISITIO]IB8 OBHERALES 

triangulo respondeiu^ ad sphaerae superficiem integram ut '^{A'\-B-\-C — r] 
ad 4 r. Hoc theorema , quod ni fallimur ad el^antissima in theoria superficie- 
rum curvamm referendum esse videtur , etiam sequenti modo enuntiari potest : 

Ewces9U8 sufumae angulorum irianguli a Uneis brevissimis in superficie curva 
cancavO'Concava/armati ultra 180^ vel defectus summae angulorum trianguli a li- 
neis brevissimis in superficie curva cancavo-canvexa formati a 180^ mensuraiur per 
aream parüs superßciet sphaericae, quae Uli triangulo per directiones narmalium 
respondet, si superficies integra 720 gradibus aequiparatur. 

Generalius in quovis polygono n laterum , quae singula formantur per li- 
neas brevissimas, excessus summae angulorum supra 2n — 4 rectos, Tel de- 
fectus a 2 n — 4 rectis (pro indole curvaturae superficiei) , aequatur areae poly* 
goni respondentis in superficie sphaerica, dum tota superficies sphaerae 720 gra- 
dibus aequiparatur, uti per discerptionem polygoni in triangula e theoremate prae* 
cedenti sponte demanat. 

21. 
Bestituamus characteribus p, q, E, F, G, u> significationes generales, qid* 
bus supra accepti fuerant , supponamusque , indolem superficiei curvae praeterea 
alio simili modo per duas alias variabiles p\ q' determinari , ubi elementum li- 
neare indefinitum exprimatur pej 

V(E'dp'*+ 2F'dp\ dq + G'dq^) 

Ita cuivis puncto superficiei per valores determinatos variabilium p, q definito 
respondebunt valores determinati variabilium p\ q\ quocirca hae erunt functio- 
lies ipsarum p, q, e quarum differentiatione prodire supponemus 

dp' = adp-^-ßdq 
dq = ydp'\-8dq 

lam proponimus nobis investigare significationem geometricam horum coSffiden- 
tium OL, 6, y, S. 

Q^aiuor itaque nunc systemata linearum in superficie curva concipi possunt, 
pro quibus resp. q, p, q\ p sint constantes. Si per punctum determinatum, cui 
respondent variabilium valores p, q, p, q\ quatuor lineas ad singula illa syste- 
mata pertinentes ductas supponimus, harum elementa, variatienibus positivis 



GOiCA SUPEBBICIES CUBVAS. 247 

ip, d 9 , dp\ d q\ respondentes eront 

\/E.dp. sjQ.dq. }JE'.dq\ \JG'.dq 

Angulos , quos horum elementorum directiones faciunt eum directione fixa arbi- 
tr&ria, denotabimas per M, N, M\ N\ nnmerando eo sensu, quo iacetsecunda 
respectu primae, ita ut sin(iV — M) fiat quantitas positiva: eodem sensu iacere 
supponemus (quod licet) quartam respectu tertiae, ita ut etiam sin(iV'' — M') sit 
quantitas positiva. His ita intellectis , si consideramus punctum aliud , a priore 
infinite parum distans , cui respondeant valores variabilium 

P+^Py ?4-d?. P+^P^ 9+^9 

levi attentione adhibita cognoscemus, fieri generaliter, i. e. independenter a 
Yaloribus variationum dp, dq, dp, dq\ 

)jE.dp.smM^\jG.dq.sinN=\/E'.dp.BmM'-\-\/G\dq\9inN' 

qnum utraque expressio nihil aliud sit, nisi distantia puncti novi a linea, a qua 
anguU directionum incipiunt. Sed habemus , per notationem iam supra intro^ 
ductam N — Af = co, et per analogiam statuemus N' — Jf' = co', nee non in- 
super N — M' =: <|/. Ita aequatio modo inventa exhiberi potest in forma sequenti 

\/JB.d;>.sin{Jlf — u) + (I;) + VG.d}.sin(Jlf'+(J;) 
= ^JB'.dp'.sinlf'+\/G'.d^.sin(ir+a)') 

Tel ita 

\/E.dp.Bm{N'—io — iü+^) + )jG.dq.sm{N'—tü-\-^) 

= >JE\ dp. sin {N'— co') + ^ G'. d ^, sin N' 

Et quam aequatio manifeste independens esse debeat a directione initiali , hanc 
ad lubitum accipere licet. Statuendo itaque in forma secunda JV' = , vel in 
prima M' = , obtinemus aequationes sequentes : 

^£'.sinw'.d|)'= \/£.sin(ci>4-cü'— (};).d/>+^G.sin(a>' — ^)'dq 
sjG'.sinw^'.dq = ^E.sia{^ — fo).dp'\-^G.Bin^.dq 

quae aequationes quum identicae esse debeant cum his 

dp =i ad/j+ödj 
d^ = ydp"\^Sdq 



248 DisQmarrioifBS obneralbs 

suppeditabunt determinationem coSfficientium a, 6, y, S. £rit scilicet 

^ J^ ■in(cD + fD'-~^;) -5 /Ö rin(a»'->4^) 

" — V:b'- SW » ^ ~ Vjj" Bin»' 

^ iE Bin(^^ — 0») ;; /Ö^ »nj^ 

T — Vö^- aincD' » *^ — Vö"'Bin«' 

Adiungi debent aequationes 

unde quatuor aequationes ita quoque exhiberi possunt 

a\J{E'G'—F'F') = v^i5G'-8in((D+co — (|;) 

y>J{E'G'—F'F') = \jEE\sm{^—iü) 
S\/{E'G'—F'F) = ^GJB'.sinf 

Quum per substitutiones d^ =adp4-^dj, dq' = ydp-\^idq trinomium 
E'dp'^+^Fdp.dq-{-G'dq'^ transire debeat in Edp^-{-2Fdp.dq-{-Gdq^, fa- 
cile obünemus 

EG—FF= {E'G'—FF){a8—ßy)* 

et quum vice versa trinomium posterius rursus transire debeat in prius per sub- 
stitutionem 

{a^ — €y)dp = 8dp — ßdq\ {a8—ty)dq = —yd^+ad^' 



mvenimus 






22. 
A disquisitione generali art praec. descendimus ad applicationem latissime 
pat^item , ubi , dum p et q etiam significatione generalissiina accipiuntur , pro 
p, t[y adoptamus quantitates in art. 1 5 per r, 9 denotatas, quibus characteribus 



CIRCA 8UPERFICIB8 CUBVA8. 249 

etiam hie utemur , scilicet ut pro quoyis puncto superficiei r sit distantia minima 
a puncto determinato , atque 9 angulus in hoc puncto inter elementam primum 
ipsius r atque directionem fixam. Itä habemus jE7'= 1, jP'=: 0, tt>'= 90^: 
statuemus insuper \jG'=^m, ita ut elementum lineare quodcunque fiat 
= ^(dr*+*»»»d9*). Hinc quatuor aequationes in art. praec. pro a, ö, y, 5, 
erutae, suppeditant: 

VJs.co8<«,-<i>) =5^ : (1) 

V^G'.cos<I,=J^ (2) 

V-B.8iii{<p-«.) = «.J-1 (3) 

VG.sin<|,=m.J-| (4) 

Ultima et penultima vero has 

E<^-FF=Ei%f-^F.'i/^^^G{^J (5) 

£x bis aequationibus petenda est determinatio quantitatum r, 9, ^ et (si 
opus videatur) m , per p et q: scilicet integratio aequationis (5) dabit r, qua in- 
venta integratio aequationis (6) dabit 9, atque alterutra aequationum (1), (2) 
ipsam ^ : denique m habebitur per alterutram aequationum (3), (4). 

Integratio generalis aequationum (5), (6) necessario duas functiones arbi- 
trarias introducere debet , quae quid sibi yelint facile intelligemus , si perpendi- 
mus, illas aequationes ad casum eum quem hie consideramus non limitari, sed 
perinde valere , si r et 9 acdpiantur in significatione generaliore art. 1 6 , ita ut 
sit r longitudo lineae brevissimae ad lineam arbitrariam determinatam normaliter 
ductae , atque 9 functio arbitraria longitudinis eius partis lineae , quae inter li- 
neam brevissimam indefinitam et punctum arbitrarium determinatum intercipitur. 
Solutio itaque generalis haec omnia indefinite amplecti debet , functionesque ar- 
bitrariae tunc demum in definitas abibunt, quando linea illa arbitraria atque 
functio partium, quam 9 exhibere debet, praescriptae sunt. In casu nostro cir- 
culus infinite parvus adoptari potest, centrum in eo puncto habens, a quo distan- 
tiae r numerantur, et 9 denotabit partes huius circuli ipsas per radium divisas, 

40 



250 DISQXJISinOKES QENERALB8 

unde facile colligitur, aequationes (5), (6) pro casu nostro complete sufficere, dum- 
modo ea, quae indeiinita relinquunt, ei conditioni accommodentur, ut r et 7 pro 
puncto illo initiali atque punctis ab eo infinite parum distantibus quadrent 

Ceterum quod attinet ad integrationem ipsam aeqüationum (5), (6), con- 
stat, eam reduci posse ad integrationem aeqüationum differentialium vulgarium, 
quae tarnen plerumque tam intricatae evadunt, ut parum lucri inde redundet. 
Contra evolutio in series , quae ad usus practicos , quoties de partibus superficiei 
modicis agitur, abunde sufficiunt, nullis difficaltatibus obnoxia est, atque sie for- 
mulae allatae fontem uberem aperiunt, ad multa problemata gravissima solvenda. 
Hoc vero loco exemplum unicum ad methodi indolem monstrandam evolvemus. 



23. 

Considerabimus casum eum, ubi omnes lineae, pro quibus p constans 
est, sunt lineae brevissimae orthogonaliter secantes lineam, pro qua 9 = 0, et 
quam tamquam lineam abscissarum contemplari possumus. Sit A punctum, 
pro quo r = , D punctum indefinitum in linea abscissarum , AD = p, B 
punctum indefinitum in linea brevissima ipsi AD in D normali, atque BD=z q, 
ita ut p considerari possit tamquam abscissa, q tamquam ordinata pimcti B ; ab- 
scissas positivas assumimus in eo ramo lineae abscissarum, cui respondet 7 = 0, 
dum r semper tamquam quantitatem positiyam spectamus; ordinatas positivas 
statuimus in plaga ea , ubi 9 numeratur inter et 1 8 0^. 

Per theorema art. 16 habebimus co = 90^ i^= 0, nee non G = t; sta- 
tuemus insuper ^JB = n. Erit itaque n functio ipsarum /», q, et quidem talis, 
quae pro ^ == fieri debet =: 1 . Applicatio formtdae in art. 1 8 allatae ad ca- 
sum nostrum docet, in quavis linea brevissima esse debere d6 = — j^.dj», de- 
notante 6 angulum inter elementum huius lineae atque elementum Uneae» pro 
qua q constans: iam quum linea abscissarum ipsa sit brevissima, atque pro ea 
ubique 6 = 0, patet, pro q = Q ubique fieri debere j- = 0. Hinc igitur 
colligimus, si n in seriem secundum potestates ipsius q progredientem evolvatur, 
hanc habere debere formam sequentem 

n=^\+fqq+gq^+hq^'\' etc. 
ubi /, g, h etc. erunt functiones ipsius p, et quidem statuemus 



etc. sive 



OIBCA SDPEBVICIES CUBVAS. 251 

/ =f+fp+rPP^- etc. 

9 =-9^-\-9P-\-9''TP-\- etc. 
A = Ä» + A';, + A>j» + etc. 

« = \-{-f<i<i-\-f'pqq-\-rppqq-\- etc. 

+/?* -\-9'f^ + etc. 

+ Ä"g'* 4" etc. etc. 



24. 
Aequationes art. 22 in casu nostro suppeditant 

. I dr I dr i d<s ■ dv 

n8m4» = g^, co8<|* = -f^, -ncoscl; = «i.jJ, siinl; = «.g^ 

«»» = '»»(d^)+{di)' »»»'•d^-dy+d^-d?^^^ 

I 

Adiumento harum aequationum, quarum quinta et sexta iam in reliquis contiiien- 
tiir, series evolvi poterunt pro r, 9, ^, m, vel pro quibuslibet functionibus harum 
qaantitatum , e quibus eas , quae imprimis attentione sunt dignae , hie sistemus. 
Quum pro valoribus infinite parvis ipsarum p, q fieri debeat rr = />/> + ??. 
series pro rr incipiet a terminis pp'\-qg: terminos altiorum ordinum obtine- 
mus per methodum coefficientium indeterminatorum *} adiumento aequationis 

scilicet 

^1] rr =pp-\-if''ppqq-\-ifp'qq Mif—^r/Vqq etc. 

+?? -\-i9''PP^+i9W 

+ {\h'-:^rr)PP9* 

Dein habemus , ducente formula rsin tj' = — . -^ , 

[2] rsi^if==p-\fpqq-\f'ppqq-[\f''+MT)p'M etc. 

—\9''P^ —\9'PP^ 

-{\h'—hrr)p^ 



') Cakulum , qui per nonnuUa artifioia panlluluin oontnhi potett, hie adseribere sttperflanm doziflni*. 

40* 



252 DISQUlftinOMBS OKKBRALEB 

nee non per formulam rco8(|; = i-.^ 

[3] rcoBif = q->r\fppq-\-\f'p\ ^{^f-^^ff>)p*q etc. 

-\-\fppqq-\-\9'p*qq 

Hinc simul innotescit angulus ^. Perinde ad computum anguli 9 ooncinnius 
evolvuntur series pro rcos^ atque rsiiKf, qnibus inserviunt aequationes diffe- 
rentiales partiales 

d . t* cot 9 • I • d tp 

— T — - = 9t COS 9 . sm (p — rsiiKp. j-^ 

d.rcoiv I d« 

— g — i = COS 9 .cosy — rsuKp. j-i- 

d.riin? • •_ j 1 d© 

— 2 — - = nsincp. sintp-j-rcos^. j-^ 

QmTW19 • I I d<P 

— g — ^= sincp. cosy+^^^os^-j-^ 
^cos(j;.^ + sm(|;.5j=0 

quarum combinatio suppeditat 



-^. — g — ^-{-rcosy. — g — ^ = rco89 
— ^. — g—i-j-rcosy. — g~-^ =r8incp 



Hinc facile evolvuntur series pro rcos^, rsincp, quarum termini primi manifesto 
esse debent p et q, puta 

[4] rcoH<f=p+\fpqq^^fppqqMM''—^ff)P^n etc. 

+iyV?^ +ih9PP^ 

[5] rAn^ = q-\rppq—\fpU -(iVr-Ä/YV? etc. 

— i/fl'??— Ar//?? 

E combinatione aequationum [2], [3], [4], [5] derivari posset series pro rrco8(4^+<p), 
atque hinc, dividendo per seriem [1], series pro cos (^4-?)» ^ Q^* ^ seriein pro 
ipso angulo ^+9 descendere liceret. Elegantius tarnen eadem obtinetar se- 



dfiOA SUPESnCIBS CDBVAg« 253 

quenti modo. Differentiando aequationem primam et secundam ex iis , quae ini- 
tio huius art. allatae sunt , obtinemus 



sin^^.J^+ncos^p.JI + siiKp.jl = 



qua combinata cum hac 

ncosij;. j^ + si^^'j^ = 
prodit 

n dq ' n dp * * dq 

£x hac aequatione adiumento methodi co6fficientium indeterminatorum facile eli- 
eiemus seriem pro <|>+9, si perpendimus, ipsius terminum primum esse debere 
^Tz. radio pro unitate accepto, atque denotante 2ir peripheriam circuli, 

[6] ^'\-^ = i^-f'pq—ifppq-{ir—ifT)p'q etc. 

-[h'-\rr)p^ 

Operae pretium videtur , etiam aream trianguli ABD in seriem evolvere. 
Huic eyolutioni inservit aequatio conditionalis sequens, quae e considerationibus 
geometricis satis obviis facile derivatur , et in qua 8 aream quaesitam denotat : 

_5!._+rcos^j^ =-^./ndg 

int^ratione a ^ = incepta. Hinc scilicet obtinemus per methodum co6ffi- 
cientium indeterminatorum 

[7] 8 = ipq-^fyq-^/yq -{^f-^fY)p'q etc. 

-(WA"-- .V/V>?* 



25. 

A formulis art. praec. , quae referuntur ad triangulum a lineis bieTissimis 
formatuiu rectangtilum , progredimiu ad generalia. Sit C aliud punctum in ea- 



^4 



254 DISQUISmOKES gembrales 

dem linea brevissima DB, pro quo, manente p, characteres ^, r , <p\ ^\ 8' eadem 
designent, quae q, r, 9, (p, 8 pro puncto JB. Ita oritur triangulum inter puncta 
A, B, C, cuius angulos per A, B, C, latera opposita per a, b, c, aream per 
denotamus 5 mensuram curvaturae in punctis A, B, C resp. per a, 6, y expri- 
memus. Supponendo itaque (quod licet), quantitates p, q, q — ^ esse positi- 
vas, habemus 

A^=<f — 9', JB = (p, C=TC — if\ a = q — q\ b = r\ c = r, o = S — 8' 

Ante omnia aream per seriem exprimemus. Mutando in [7] singulas 
quantitates ad B relatas in eas, quae ad C referuntur , prodit formula pro 8\ 
unde, usque ad quantitates sexti ordinis obtinemus 

— ihf'p {^pp+^qq■i-^qq'+^ q'q' ) 

-^Aq-hq'){^PP+*qq-\-*qq'+iq'q')\ 
Haec formula , adiumento seiiei [2] puta 

c8mjB=|>(l— i/V? — i/M^-f/?'— etc.) 
transit in sequentem 

— -ih/pi^pp— ^qq-\-Tq^-{-Tq^) 
'-^ff''{^ppq+^ppq'—^q*-\-*qqq'+*qq'q'-\-*q")\ 

Mensura curvaturae pro quovis superficiei puncto fit (per art 1 9, ubi m,p, q 
erant quae hie sunt n, q,p) 

= -i-^ = -^=^^4?ÄFr^^^ = -2/-6^j-(l2Ä-2//)jj- etc. 

Hinc fit, quatenus p, q oA. punctum B referuntur, 

Ö = -2f—if'p-%g^q-2rpp-Qg'pq-{lih^-1f'>f'')qq- etc. 

nec non 

r = -2/»-2/>-6/?'-2/>;,-6y';»j'-(l2Ä»-2/y»)^j'- etc. 



CntCA SUFBBVICIES ODBVAS. 



265 



Introducendo has mensuras curvaturae in serie pro a, obtmemus expressionem 
sequentem , usque ad quantitates sexti ordinis (excl.) exactam : 



^ac8inB\l-{-T-^a{ipp 

-\-Thry{^PP 



6qq + Qqq'-\-3^q') 

2??+ q^+*q^)\ 



Praecisio eadem manebit, si pro p, q, q' substituimas csin^. ccosf, ccos£ — a, 
quo pacto prodit 



[8] 



a = 4-ac8inJB{l+-i47rO^{3öa-|-4cc — 9accosjB) 

+T+TÖ(3a«+3cc — 12accosjB) 

+T4irT(4aa + 3cc — 9acco8JB)j 



Quum ex hac aequatione omnia, quae adlineam AD normaliter vä BC ductam 
referuntur, evanuerint, etiam puncta A, JB, C oum correlatis inter se permutare 
licebit , quapropter eiit eadem praecisione 



[9] 



[10] 



a = ^hcBmA\\-^ 
a = fa68iiiC{l + 



nhra(366 + 3cc— 126CCOS-4) 



4^6(366 + 4cc— 96cco8-ä) 



4^Y(466 + 3cc— 96ccosJ.)| 
fira(3aa + 466 — 9a6co8(7) 



nhr6(4aa + 366.— 9a6co8C) 
firT(3aa + 366— 12a6co8C)j 



26. 
Magnam utilitatem affert consideratio trianguli plani rectilinei, cuius latera 
aequalia sunt ipsi8 a,h,c\ anguli illiu8 trianguli, quos per J.*, JB*, C* de8igna- 
bimus, different ab anguli8 trianguli in superficie curya, puta ab A, B, C,^ quan- 
titatibus 8ecundi ordinis , operaeque pretium erit , has differentias accurate evol- 
vere. Calculorom autem prolixiorum quam difiiciliorum , primaria momenta ap- 
posuisse sufficiet. 

Mutando in formulis [1], [4], [5], quantitates, quae referuntur ad B, in eas, 
quae referuntur ad C, nanciscemur formulas pro rV, r cos 9 , r sin 9 . Tunc evo- 
lutio expressionis rr-^ rV — {q — q )* — 2 r cos 9 . r cos 9' — 2 r sin 9 . r sin <p\ quae fit 
= 66 -f- cc — aa — 2&ccosil = 26c (cos A* — cos A) , combinata cum evolutione 



1 



256 DiSQOisrnoMES oembbales 

expressionis r8in<p.rco89' — r cos 9. /sin 9', quae fit = bc Bin Ä^ suppeditat for- 
mulam sequentem 

Hinc fit porro , usque ad quantitates quinti ordinis 

■\-Mp{q-¥<i)-¥\h%qq-\-qq'-\-qq) 

Combinando hanc formulam cum hac 

2a = ap{l — if(pp-{-qq+qq-{-q'q'— etc.)) 

atque cum valoribus qnantitatum a, 6, y in art. praec. allatis, obtinemus usque 
ad quantitates quinti ordinis 

[11] 4*= 4-0 {ia+A64-iVT+-iV/>i»+ */?(?+?') 

-{.^h\-iqq—2qq'-\-Z^^) 

+^m*pp-'^iqq+i*qq'—iWq')\ 

Per operationes prorsus similes evolviuius 

[12] B'=5— o|-^a+i« + TVYH-:,V/>P+TV/;'(2?+?') 

—^/Ti'ipp+^qq-^qq'-\-^Wq')\ 

[13] C*= C— o|Vra+TVß-f ir+TV/>/'+-iVy>{g+2j) 

-^/'f\^PP-\-iiqq-6qq'-{-6q'q')\ 

Hinc simul deducimus , quum summa A*-\-B*-{-C* duobus rectis aequalis sit. 
excessum summae A-\-B-{-C supra duos augulos rectos , puta 

[14] A-\-B-\-C = Tz+a\ia-{-i€-{-iy-{-^/''pp-^ii,'p{q-\-q) 

Mih'-irr){qq-qq-hq'q')\ 

Haec ultima aequatio etiam formulae [6] superstrui potuisset. 



ODtCA SOPBIUnOIBS CDKVA8. 257 

27. 
Si superficies curva est sphaera . cuius radios = JR , erit 

a = Ö = 7 = -2/» = ^; /''=0. /=0. 6Ä»-/V*=0 sive ä"=^. 
Hinc formula [14] fit 

quae praedsione absoluta gaudet ; fonaulae 11 — 13 autem suppeditant 
sive aeque exacte 

N^lectis quantitatibas quarti ordinis, prodit hinc theorema notum a dar. Le- 
6ENDKE primo propositum. 

28. 
Fommlae nostrae generales , reiectis terminis quarti ordinis , persimplices 
evadunt, scilicet 

4* = ^— TV«(2ot+ ö H- 7 ) 

C*— C— ^o(a+ 6+2y) 

Angulis itaque A, B, C in superficie non sphaerica reductiones inaequales ap- 
plicandae sunt , ut mutatorum sinus lateribus oppositis fiant proportionales. In- 
aeqaalitas generaliter loquendo erit tertii ordinis, at si superficies parum a sphaera 
discrepat, illa ad ordinem altiorem referenda erit: in triangulis vel maximis in 
superficie telluris, quorum quidem angulos dimetiri licet, differentia semper pro 

41 



258 Dis^üisrrioNES genbbalbs gibca bupebfioies oübvas. 

insensibili haberi potest. Ita e. g. in triangulo maximo inter ea, quae annis prae- 
cedentibus dimensi sumns, puta inter puncta Hohehagen, Brocken, Inselsberg, 
ubi excessus summae ^ngulorum fait = 1 4^8534 8, calculus sequentes reductio- 
nes angulis applicandas prodidit: 

Hohehagen — 4''95113 

Brocken ..*... — 4,95104 
Inselsberg — 4,95131 



29. 

Coronidis caussa adhuc cömparationem areae trianguli in snperficie curva 
cum area trianguli rectilinei, cuius latent sunt a, 6, c, adiiciemus. Aream poste- 
riorem denotabimus per a*, quae fit = ^bcsinA* = ^acsinB* = 4^a&sin C* 

Habemus , usque ad quantitates ordinis quarti 

sin-4*= sin-4 — -iVocos-4.{2a+ö-t-Y) 
sive aeque exacte 

sin-ä = sinJ.*.(l+A^fc<?cos-4.(2a+ö+y)) 

Substitute hoc valore in formula [9] , erit usque ad quantitates sexti ordinis 

a = 4^6csinii^|l+TiTOt(366 + 3cc — 26cco8-4)+T4irö(366-|-4cc — 46CC0S-4) 

+Tl7rT(4^^-h3^^ — 4 6ccosJ.)} 
sive aeque exacte 
a = a*|l+T4ira(«ö+266 + 2cc)-|-xf?rö(2aa4-664-2cc) 

+T]hr7(2ö«+266-Hc^)} 

Pro superficie sphaerica haec formula sequentem induit formam 

o == a*(l+^a(aa4"^^+^ö)) 
cuius loco etiam sequentem salva eadem praecisione adoptari posse facile confirmatur 

^ — ^ ymhA*.mnB^.üaC^ 

Si eadem formula triangulis in superficie curva *non sphaerica applicatur, error 
generaliter loquendo erit quinti ordinis , sed insensibilis in omnibus triangolis, 
qualia in superficie teUuris dimetiri licet. 



UNTERSUCHUNGEN 



ÜBER 



GEGENSTÄNDE DER HÖHERN GEODAESIE 



EBSTE ABHANDLUNG 



VON 



CARL FRIEDRICH GAUSS 



DER KÖNIGL. SOCIETÄT ÜBERREICHT MDOCCXLIU OCT. XXIU. 



Abhandlnngen der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Band IL 

Gottingen 1844. 



41 



UNTERSUCHUNGEN 



ÜBER 



GEGENSTÄNDE DER HÖHERN GEODAESIE. 



Bei den, zum Theil von mir selbst, zum Theil unter meiner Leitung, aus- 
gefElhrten Aber das ganze Königreich Hannover sich erstreckenden trigonometri- 
schen Vermessungen sind, sowohl in Beziehung auf die Art, wie die Messungen 
angestellt wurden , als noch mehr in Beziehung auf ihre nachherige mathemati- 
sche Behandlung und ihre Verarbeitung zu Resultaten, Wege eingeschlagen , die 
von den sonst gewöhnlichen abweichen. Mein frfiher gehegter Vorsatz, nach völ- 
liger Beendigung der Messungen diese nebst allen von mir angewandten Verfah- 
rungsarten in einem besondem Werke darzulegen, hat, aus Ursachen, deren 
Auseinandersetzung nicht hieher gehört , bisher nicht zur Ausfährung kommen 
können , und ich wähle daher das Auskunftsmittel , das im theoretLschen Theile 
mir eig^enthfimliche in einer Reihe von Abhandlungen bekannt zu machen, um so 
lieber, weil ich auf diese Weise die Freiheit behalte, mit AusfBhrlichkeit manche 
Untersuchungen zu entwickeln, welche ein selbstständiges Interesse darbieten und 
mit den übrigen in enger Verwandtschaft stehen, auch wenn von denselben bei 
meinen Messungen keine unmittelbare Anwendung gemacht ist. Dies gilt na- 
mentlich von dem grössten Theile des Inhalts der g^enwSrtigen ersten Abhand- 
lang. 



262 UMTEBSUCHUNGEN ÜBRR GE0EN8TÄNDE 

1. 

Von der Au%abe : 

die Theile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Flache 
so abzubilden , dass die Abbildung dem abgebildeten in den kleinsten 
Theilen ähnlieh wird 
habe ich im Jahre 1822 eine allgemeine Auflösung gegeben, welche Herr Con- 
ferenzrath Sghumagheb im 3. Heft der Astronomischen Abhandlungen hat ab- 
drucken lassen. Bei der Anwendung dieser Au%abe auf die höhere Geodäsie, 
für welche sie eine vorzüglich ergiebige Hülfsquelle wird, macht sich das Bed&rf- 
niss fühlbar , Abbildungen , welche unter der ang^ebenen Bedingung stehen, 
durch eine besondere Benennung auszuzeichnen , und ich werde daher dieselben 
conforme Abbildungen oder Übertragungen nennen , indem ich diesem sonst va- 
gen Beiworte eine mathematisch scharf bestimmte Bedeutung beilege. 

In der angeführten Schrift ist die allgemeine Auflösung , welche eine will- 
kürliche Function einschliesst , auch auf mehrere bestimmte Flächen angewandt; 
das letzte dort behandelte Beispiel betrifft die conforme Übertragung der Ober- 
fläche des ümdrehungsellipsoids auf die Kugelfläche, und es ist [Art. 1 3] zugleich 
eine solche Bestimmung der arbiträren Function angegeben , die zu einer sehr 
brauchbaren Anwendung auf die höhere Geodäsie benutzt werden kann. Diese 
Benutzung war a.a*0. nur kurz angedeutet, und eine ausführlichere Entwicke- 
lung vorbehalten. Ich werde jedoch anstatt dieser speciellen Auflösung eine et- 
was abgeänderte und für die geodätischen Anwendungen noch viel mehr geeignete 
Methode zur conformen Übertragung der ellipsoidischen Fläche auf die Kugel- 
fläche in der gegenwärtigen Abhandlung entwickeln, und damit zugleich alles zu 
einer solchen Benutzung erforderliche verbinden. 



2. 

Die allgemeine Auflösung der Aufgabe , angewandt auf die ellipsoidische 
und sphärische Fläche , gibt folgende alle conformen Übertragungen der einen 
auf die andere um&ssende Formel (1) : 

r+.logcotgi U = /{t+ilog I cotgi«; . (J^^)** I) 
£s bezeichnen hier 



DER HÖHEBN GEODABSIB. ERSTE ABHANDLUNQ. 263 

e die Excentricität der Ellipse, ^urch deren Umdrehung um ihre kleine Achse 

die ellipsoidische Fläche erzeugt wird; 
t und 90^ — w die Länge und Breite eines unbestimmten Punkts auf dieser 
Fläche, mithin w den Winkel einer in diesem Funkte gegen die Fläche ge- 
zogenen Normale mit der kleinen Achse ; 
T und 90^-— 17 die Länge und Breite des entsprechenden Punkts auf der Ku- 
gelfläche ; 
i die imaginäre Einheit sj — 1 ; 

/ die Charakteristik fär eine willkürlich zu wählende Function. 
Die Logarithmen sind immer die hyperbolischen. 

Durch m wird dq.s Vergrösserungsverhältniss bezeichnet werden, so verstanden, 
dass jedes Linearelement auf der ellipsoidischen Fläche sich zu dem entsprechen- 
den Linearelement auf der Kugelfläche verhält wie 1 zu m: dieses Verhäitniss 
ist an jeder Stelle der einen und der andern Fläche ein bestimmtes, fär verschie- 
dene Stellen veränderlich. 

Die einfachste Auflösung erhält man, indem man die willkflrliche Function 
schlechthin ihrem Argumente gleich , oder 

/ü = u 

setzt , und diese Übefgangsart ist in der That auch die geeignetste , wenn die 
ganze Oberfläche des EUipsoids auf die Kugelfläche fibertragen werden soll. Ffir 
die Anwendung auf geodätische Bechnungen, wo immer nur ein vergleichimgs- 
weise sehr kleiner Theil der Erdfläche in Betracht kommt, ist es aber, wie schon 
a. a.O. bemerkt ist, viel vortheilhafter , der Function noch einen constanten und 
zwar imaginären Theil beizufügen, oder 

/u = ü — ilogA: 

zu setzen. Es lassen sich dann der Halbmesser der Kugel und die Constante k 
so bestimmen , dass die das Vergrösserungsverhältniss ausdrfickende Grrösse m, 
von deren geringer Ungleichheit innerhalb der Gh:^nzen der dargestellten Fläche 
die Bequemlichkeit der Anwendung auf geodätische Rechnungen vornehmlich ab- 
hSngt , fär den mittlem Parallelkreis = 1 , und bis zu einigen Graden Entfer- 
nung^ nach Norden und Süden kaum merklich von 1 verschieden wird ; die Ab- 
weichung von dem Werthe 1 ist nemlich von der zweiten Ordnung in Beziehung 



264 UMTEBSUCHUNGEN ÜBER G£GENST£KDE 

auf den Abstand vom mittlem Parallelkreise, und enthält ausserdem noch die Ab- 
plattung oder das Quadrat von e als Factor. 

Allein dieser Vortheil lässt sich noch sehr vergrössem . wenn man anstatt 
jener Bestimmung der willkürlichen Function eine etwas abgeänderte, für die 
Rechnung fast eben so bequeme wählt , indem man nemlich unter Zuziehung ei- 
ner zweiten Gonstante a, 

/ü = au — ilogA: 

setzt. Man hat dann in seiner Gewalt, durch zweckmässige Bestimmung der bei- 
den Constanten zu bewirken , dass die Abweichung des Vergrösserungsverhält- 
nisses m von dem Werthe 1 , in Beziehung auf den Abstand vom mittlem Pa- 
rallelkreise eine Grösse der dritten Ordnung wird» ungerechnet den auch hier 
bleibenden Factor ee. 

3. 
Die Formel 1 gibt , bei dieser Bestimmung der Function /, 

r=a* (2) 

tangil7=*tangiie;«(l±i^r (3) 

und fOr m findet man leicht, aus den in der mehrerwShnten Schrift entwickelten 
Gmndsätzen , den Ausdruck 

^ __ tt^8mCrv/(i->-ggoogto«) ,^v 

asmw ^ ' 

wenn durch a die halbe grosse Achse des Ellipsoids und durch A der Halbmes- 
ser der Kugel bezeichnet wird. 

Die Differentiation der logarithmisch ausgedrückten Gleichung 3 ei^bt 

ätlU sinw i — eew^w* 

oder 

d 17 a(l— ■gejrin U /.x 

dtr (l — «ecost^)8into ^ ' 

Ebenso eigibt die Differentiation der Gleichung 4 

dlogi» = cotg UäU— cotgipdwH — ^_^^^,„. 

(l — ee)costi7dt9 



= COtff ÜdU— ^'"'^''^'^^"^""^ 



DEB HÖHERN GB0DAB8IB. EBStB ABHAKDLUKG. 265 

# 

folglich, wenn man mit Hfllfe von 5 entweder dU oder du^ eliminirt, 

_ ^ 

d log tu (l — ##)(aco8l7' — oost^) 

dw (l — ##oosio*)8ini9 

dlogm M YT costo «coa C^— costg 



6.W (i — ##oosio*)8ini9 ^ ' 



-j-|^ = COtg £7 7-^ =1 r-5= (7) 

iiU ^ «Sin U «sin 17 ^ ' 

Durch eine nochmalige Differentiation der Gleichung 7 erhält man 

ddlogm t^ I coa Uco%w , sini» dw 

*~d^»~ — SIT* » asinr» «"JTriir^'dü^ 

1 , cos y cos to . , ( i — g#costp*)sintp* /«i 

«mlT* •" aainir» » aa(i~«»}8in{/* ^^' 

Soll nun fBr eine bestimmte Breite (Normalbreite) der Werth von m der 
Einheit gleich werden , für andere Breiten hingegen nur um Grössen der dritten 
Ordnung von 1 abweichen , die Breitenunterschiede als Grössen erster Ordnung 
betrachtet, so muss, wenn die Normalbreite auf dem EUipsoid mit P, die ent- 
sprechende auf der Kugel mit Q bezeichnet wird, für w = 90® — P, 17= 90® — Q 
in Gemässheit der Gleichungen 4, 7, 8 sein: 

A acoiP . f^y 

^ aooBQ)/{\^eemP*) ^^ 

asinQ = sinP (10) 

^ . ainPainO (i~#g8inP*)cosP* 

""" a aa(l — ee) 

oder, wenn man in letzterer Gleichung fUr sin Q seinen Werth aus 1 substituirt, 

aa= l^tl^^^ (II) 

Durch diese Gleichung ist demnach a gegeben, sobald fb P ^in bestimm- 
ter Werth gewählt ist; Q kann sodann durch Gleichung 10, und A durch Glei- 
chung 9 bestimmt werden; endlich ergibt sich k durch die Substitution von 
w=90^ — P, 17= 90® — Q in der allgemeinen Gleichung 3, nemlich 

k — tang(45*-hiP)« . i>-#rin Pxiq# /.«x 

^ t«ig(45« + iO) 'W + eeinPV ^ ' 



4. 

Die Berechnung der Gonstanten Ä, a, k und der Normalbreite auf der 
Kugel Q aus P und e wird man , da alle diese Grössen wie Grundlagen für die 

42 



266 WStTEBSOCBÜSQSS OBER GEQENBTANDB 

Anwendung auf eine gewisse Zone zu betrachten sind, gern mit besonderer Soi^- 
falt und Schärfe auszuf^ahren wünschen, und es verdienen daher einige dazu dien- 
liche Umformungen hier einen Platz : eine Umformung wird ohnehin nothwendi^, 
wenn man von einer bestimmten Normalbreite nicht auf dem Ellipsoid sondern 
auf der Kugel , also von einem gegebenen Werthe von Q ausgehen , und daraus 
die flbrigen Grössen berechnen will. 

Führt man drei Hülfswinkel 9, C, ij ein , so dass 

8in<p = « (13) 

tangC = taug <p cos P* (14) 

tangij = sinCtangP (15) 

so wird 

a= -^ (16) 

sinQ = cosCsinP (17) 

COSTJCOSQ = cosP (18) 

sini] = tangCtangQ (19) 

tangi-(P— Q) = tangfC.tangiTj (20) 

sin(2C — 9) = «cos2Q . (21) 

Die Gleichung 1 8 folgt leicht aus der Verbindung von 1 5 und 1 7 ; sodann 
19 aus der Verbindung von 15, 17, 18; femer 20 aus 17, 18, 19, endlich 21 
aus 14 und 17. 

Am schärfsten wird man rechnen , wenn man , in dem Falle wo P gege- 
ben ist, sich der Formeln 14, 15, 20 bedient, um der Reihe nach C i). Q zu 
bestimmen ; fOr den Fall hing^en, wo Q gegeben ist, vermittelst der Gleichun- 
gen 21, 19, 20 die Werthe von C, t], P ableitet: zur Controlle mag man dann 
noch eine oder einige der flbrigen Gleichungen benutzen. Führt man noch einen 
vierten Hülfswinkel 6 ein , nach der Formel 

sin6 = e8inP (22) 

so wird 

cos 9 = cos C cos T] cos (23) 

und die Formeln 9 und 12 erhalten folgende Gestalt: 

ocÖbTcosQ aooaO " cosO* i — •«ainP* 

* — tang(45*-hiPr 



DEE BÖHSBN OEODABSIE. ER8TB ABHAKOLÜNG. 267 

5. 

Ich begleite die Vorschriften dieser ganzen Abhandlung mit einer auf das 
schärfste durchgeführten numerischen Anwendung , welche andern « die zur Ver- 
arbeitung ihrer Messungen die hier vorgetragene Methode benutzen wollen, ent- 
weder als Bechnungsmuster zur Construction der erforderlichen Hfilfstafeln, oder 
auch schon unmittelbar als Hülfsapparat fGlr einen grossen Theil der gemässigten 
Zone dienen kann. In den meisten Fällen wird man übrigens sich mit einer viel 
geringem Schärfe begnügen können. 

Als Normalbreite wähle ich 52^40', welche ungeföhr dem mittlem Faral- 
lelkreise des Königreichs Hannover entspricht ; da es jedoch in einigen Beziehun- 
gen vortheilhafter ist , wenn für die Normalbreite auf der Kugel » als wenn für 
die auf dem Ellipsoid eine runde Zahl gewählt wird , so setze ich 

Q = 52^ 40' 0" 

Die Sechnung führe ich nach den neuesten von Bbssel aus den Gradmes- 
sungen abgeleiteten Erddimensionen (Astronomische Nachrichten 1 9. Band S. 11 6), 
wonach , die Toise zur Einheit angenommen , 

loga = 6,5148235337 
logcosf = 9,9985458202 

Es folgt hieraus , mit Hülfe der zehnzifrigen Logarithmen , 

^ = A^ ii' 9" 98262 
log« = 8,9122052079 

C = t® 43' 26" 80402 

1) = 2 15 42 34083 

P = 52 42 2,53251 

loga = 0,0001966553 

e = 3^43' 34^24669 
log^ = 0,0016708804 
log^= 6,5152074703 

Nimmt man das französische gesetzliche Meter als Einheit an , so wird 

logil = 6,8050274003 

42* 



268 üMTEBSircuuiiGEN Ober GnoEirsrliaiE 

Wählte man hingegeii den zehnmillionsten Theil des Erdquadranten selbst, nach 
obigen Dimensionen, zur Einheit, so wfirde sein 

logil = 6,8049902365 

6. 

Die Berechnung der Breite auf der Kugel aus der Breite auf dem Ellipsoid 
kann fSglich nach der Formel 3 geführt werden , wenn sie nur fär wenige Fälle 
gefordert wird; fOi ausgedehntere Anwendungen hingegen wird der Gebrauch 
einer Beihe vortheilhaft sein , zu deren Entwicklung hier die nöthigen Formeln 
gegeben werden sollen« 

Ich bezeichne eine unbestimmte Breite auf dem Ellipsoid , oder einen un- 
bestimmten Werth von 90^ — w, durch P-^-p, imd die entsprechende Breite 
auf der Kugel, oder den Werth von 90® — U durch Q+y. Nach dem Tat- 
LOBSchen Lehrsatze wird 



der ^ ddcr , , d«cr 8 - d*cr 4 • 

ßrentialauotienten dieienifiren bestimmten Werthe z 



w. 



wo fElr die Differentialquotienten diejenigen bestimmten Werthe zu substitoiren 
sind, welche zu p = 0, oder zu w = 90® — P, U= 90® — Q gehören. Die suc- 
cessive Entwicklung der unbestimmten Differentialquotienten ergibt 

d^ a(l— g#)rinl7 

dio (1 — 0eooBW*)9mw 

— 3 et (1 — ee) cos Z7(cosir — ^e (cos w* — 2 cos«? sinio*) ) 
+ 2 cosii;*+ sin w* — ee{A cos tr* — 2 sin tr*) 
+ ^*(2costt;* — cos IT* sin w*4- 6 cos«;* sin IT* )| 

Die beiden folgenden , welche ich gleichfalls entwickelt habe , setze ich um den 
Raum zu schonen in ihrer unbestimmten Form nicht hieher. 

Die Substitution von w = 90® — P, 1^=90® — Q eigibt dann, wenn 
zugleich 

anstatt asinQ der Werth sinP (nach Gleichung 10), und 
anstatt acosQ der Werth ca.P ^ ca.Qco«P /nach Gleichung 18,16,23) 
substituirt, und zur Abkürzung cosP = c, sinP = ^ geschrieben wird, 



DER HÖHEBN 0BODAESIE. EB8TB AI«AKDLUNG. 269 



dÜ oo«9 

dw cosO 



.CS 

j?(3cc — Zss^ee{12ccss + Zs^)) 



dir» cos«» 

d*V ggco sy 

dio» cos 

^ = 2|^.c«(l6-~««(49cc— 13««) — «•(66cc«*4-29«*)) 

^ = ?J^(— 16cc+1255+i?e(49c*— 378CC55+95*) 

+ e*(628c**Ä+174ccÄ*— 54«*)+tf*{268cV+220cC5*+33/)) 



i dieser Entwicklung von q in eine Reihe nach p ist stillschweigend vor- 
ausgesetzt , dass beide GrOssen in Theilen des dem Halbmesser gleichen Bogens 
ausgedrückt sind : soll dagegen q Secunden und p Grade bedeuten, so muss dem 
ersten Gliede der Beihe der Factor 3600, dem zweiten der Factor ^-j^ = 20 ic, 
dem dritten der Factor 3600 (j^) = ^^icic u.s.f. beigefügt werden. Unter die- 
ser Voraussetzung gibt die Anwendung der Formeln auf unser Beispiel folgende 
Zahlenwerthe, welche ich in eine solche Form setze, dass weitgestreckte Decimal- 
brflehe vermieden werden : 



00 



q = 359556"69447 .- 

4-3041,386524. (fC-V 

— 946.260563. (^)' 

— 4135.396057. (jf;)* 
+ 227.04342 .(^)" 

welche Keihe, da p in der Anwendung nnr wenige Einheiten betragen soll, 
immer sehr schnell conveigirt um fElr die Richtigkeit dieser Zahlen eine Be- 
Ht&tignng zu erhalten, habe ich die Bedmung fOr /> = — 6 und fiHr ^ =: -f- 6, 
d.i. f&r 

P+|)=t46* 42' 2*53251 und för 
P-|-;»=58 42 2.53251 



lUSgefBhrt. 



Reihe gibt 



270 UNTBBSOCHUNOEN ÜBBB GBGENfiTiirDE 

Q+5 = 46^ 40' 37"69794 
Q-\^q = 58 39 44.09285 

die endliche Formel hingegen 

Q-f-g = 46® 40' 37''69794 
Q-f-5 = 58 39 44,09283 

also so genau übereinstimmend , wie zehnzifrige I^(^;arithmen nur verstatten. 

7. 
Auf ähnliche Weise lässt sich der Logarithm von m in eine Beihe ent- 
wickeln , deren erste Glieder folgende sind : 

log« = - ^. . csp'—j^{cc+i 1 eess)p* 

-h7^5-5-.-(2cc— 3ää— ^^(40c* — 20ccss—6s^) 

' 120CO8B* e ^ ^ ' 

— ^*«*(l04c* + 22CM^4-3«*))|i* 

Auch das folgende Glied habe ich (auf einem andern W^e) entwickelt , jedoch 
nur nach dem Hauptbestandtheile des CoSfficienten , welcher von der Ordnung 
ee ist, und dafflr gefunden : 

^-^^.l(2c*-18cc^5-155V 

' 720 0080^* tC^ '* 

Der durch diese Reihe ausgedrückte Logarithm ist der hyperbolische, und 
p wird , wie oben, in Theilen des Halbmessers ausgedrückt verstanden : verlangt 
man den briggischen Logarithmen, indem man p Grade bedeuten iSsst, so muss 
noch der Modulus als Factor hinzukommen und ^ fdr p geschrieben werden. 
In dieser Gestalt wird ftlr unser Beispiel 

logm = _0,0049612433(^)' 
_0,001732g876(;^)* 
— 0,002393772 (j^)' 
-0.0124746 (^)" 



DER hShEBM COEODAESIB. KB8TS ABHAllDLtmO. 271 

Die Anwendung dieser Beihe auf die oben betrachteten einzelnen Fälle gibt 

für ;> = — 6, logm = +0,000001050448 
{Ol p = +6, logm = —0,000001096531 

Die endliche Formel 4 , welche man auch so schreiben kann 

_ a^coB(0-hg)v/(l— -<6iin(P + p)') 

aeos{P+p) 

oosTjcoj(Q + g)v/(t — €#rin(P+jp)*) 

"^ CO80cOB(P+i') 

gibt , mit zehnzifrigen L<^;arithmen berechnet , bis auf die zehnte Zifer genau 
dasselbe. 

8. 
Fftr die umgekehrte Au%abe, wo q gegeben und p gesucht wird« ist die 
Entwicklung in eine Reihe noch wesentlicher , da die endliche Formel 3 in die-^ 
sem Falle nur auf indirectem Wege zum Ziele fiähren könnte. Der TATLORsche 
Lehrsatz gibt 

dw ddto I d*i0 s r 

P = dü-^—Tdü^'^^-r^^^ü^'^ — u.s.f. 

wo feir die Differentialquotienten diejenigen bestimmten Werthe zu setzen sind, 
welche zu g = oder 17=90®— Q, ti;=:90''— P gehören. Fflr die unbe- 
stimmten Werthe der drei ersten Differentialquotienten ergeben sich folgende 
Ausdrücke 

dir (i^eeconuf*)tinw 

dÜ a(i — ee)aui U 

dd«p (t — ««cosw*)^inip 



dC* a« 



d*«0 



^iL^ZfJnU^^ 



dU* o*(l — eeyvxk U* ^ ^ ' ^ ' ' 

— 3a(l — ^«)cost7costr(l — ^€(costi;* — 28inir*)) 
-f-cosw* — sin«;* — e€{2cosw^ — 12co8w*8inw*-|"28inir*) 
+€*(costr* — llco8ie'^8inii;'-{-6co8ic;*8inir^)| 

Die beiden folgenden gleichfalls vollständig entwickelten CoSfiicienten setze 
ich um den Raum zu schonen , nicht hieher , da sie doch nur Zwischengrössen 
sind, um zu den Endresultaten zu gelangen. Diese finden sich nach der Sub- 



272 UMTEBSUGHUNCKN fiBEB GBGSN^TÄNDE 

■ 

atitution von 90^ — P» 90^ — Q anstatt w, U, und nach Anwendung der im 
6. Art. angegebenen Umformung von otcos U und a sin 17, indem zugleich zur 
Abkürzung c, $ anstatt cos P, sin P geschrieben wird , wie folgt : 

p C089' * 

3## 

— r i.csqq 



+ - — —. — ^Al^cc—\%ss-^eeUie* — 522cc««+81«*) 

' isooo8f*coa9* I ^ I \ I / 

— «*{538c*«Ä— 1536cc«*+126«') + e*(857c*«*— 1030cc*'4-57«')}j* 

-\- U.S. f. 

Die numerischen Werthe ftlr unser Beispiel finden sich daraus in ähnlicher 
Form wie oben , d. i. wenn p in Secunden , q in Graden au^drftckt wird , 

j> = 360443''852122(^) 

— 3052, 649780 (;^)* 

\100' 

+ 1002, 642506 (;f-)' 

H-41I9,589282(-f)* 
' »100/ 

— 43I,181623(-i-)* u.s.f. 



9. 
Auf ahnliche Weise ist der hyperbolische Logarithm von m in folgende 
nach Potenzen von q fortschreitende Reihe entwickelt, wobei der CoSfiicient von 
^ nur nach seinem Haupttheile auf anderm Wege abgeleitet ist : 

logw = - ,Jy*^, .cV 

— e*(59c*««— 8cc**+3**){ j^ 
+ .8«Jy*co.(>' -cl(^^*-^8ccff-~15^*)g' 



5 



DER HÖHEBN GEODAESIE. ERSTE A^ANDLUNG. 273 

Die Zahlenwerthe in unserlm Beispiele (ffir den briggischen Logarithmen, 
und q in Graden ausgedrückt) sind 

logw = —0,0049796163 94(^1^)* 

— 0,0016150307 6 (-^)* 

— 0,0023973954 (-iL) 

— 0.0125671 (-^)* 

Bei einer weitumfassenden Vermessung, wo die Übertragung vom Spha* 
roid auf die Kugel oder umgekehrt für sehr viele Punkte vorkommt, wird man, 
anstatt jedesmal auf die Formeln zurückzukommen , lieber ein für allemal eine 
ausgedehnte Tafel berechnen. Der Gebrauch einer solchen Tafel wird aber be- 
quemer sein, wenn man ihr die Breite auf der Kugel Q-f-9 zum Ai^ument gibt, 
als wenn man die Breite auf dem Sphäroid dazu wählen wollte, indem der 
Übergang von ersterer auf die andere viel häufiger erfordert wird , als der umge- 
kehrte. Für jeden Rechnungserfahmen wird übrigens die Bemerkung überflüssig 
sein , dass man behuf Construction einer solchen Tafel nur eine massige Anzahl 
von Gliedern direct berechnet, aus denen die übrigen mit eben so grosser Schärfe 
und sehr geringer Mühe durch ein angemessenes Interpolationsverfahren bestimmt 
werden. £s werden also dafür die im 8. und 9. Artikel mitgetheilten Reihen zur 
Anwendung kommen, und gerade deswegen ist es vortheilhaf t , dass nicht P, 
sondern Q eine runde Zahl sei. 

Ich füge am Schluss dieser Abhandlung eine solche Tafel bei, welcher der 
Nornaalwerth Q= 52^40' (wie dem bisher betrachteten Beispiele) zum Grunde 
liegt, und die durch zwölf Grade , von 46^40' bis 58^40'. far alle Werthe des 
Arguments Q+9 von Minute zu Minute fortschreitet. Sie gibt den zugehöri- 
gen Wer th von P -j-/? auf fünf Decimalen der Secunde genau ; ferner den brig- 
gischen Logarithmen von m auf zehn Stellen, nemlich in Einheiten der zehnten 
Decimale ; endlich auch noch, in Secunden ausgedrückt, den Werth von — — ^ ; 
der Gebrauch dieser letzten Columne wird weiter unten erklärt werden. Ich 
habe die Tafel deshalb mit so vielen Decimalen gegeben , damit sie auch für die 
allerschärfste Berechnung einer trigonometrischen Vermessung , nemlich für eine 

43 



274 UMTE»8UGHUKGfiN ÜBER GEGEKSTÄNDE 

Durchfährung derselben mit zehnzifrigen Logarithmen, vollkommen zureiche. 
Jeder , der diese Tafel zur Berechnung von Messungen innerhalb dieser Zone be- 
nutzen will , wird , wenn eine geringere Schärfe ihm genügt (und diess ist aller- 
dings der gewöhnlichste Fall) nach Gefallen einige der letzten Decimalen weglas- 
sen. In welcher Form man übrigens auch die Resultate einer Messung darstellen 
mag, so sollte diess, consequenter Weise, immer in einer Schärfe geschehen, die 
der Schärfe der Messungen selbst entsprechend ist , so dass man aus den Zahlen 
der Resultate immer rückwärts die beobachteten Grössen eben so scharf wieder 
finden kann, wie sie gemessen waren. Wählt man also dazu ausschliesslich die 
Längen und Breiten, so würde trigonometrischen Messungen selbst von nur massi- 
ger Schärfe, durchaus nicht ihr Becht widerfahren, wenn man die Resultate nur 
in solcher Schärfe ansetzen wollte , wie Längen und Breiten sich auf astronomi- 
schem W^e bestimmen lassen : man würde dadurch nur einen falschen Maass- 
stab fär die Güte der Arbeit erhalten , und sich oft gerade der durchgreifendsten 
Prüfungen dieser Güte entäussem. 



11, 

Die Benutzung der hier betrachteten conformen Übertragung der Ellip- 
soidfläche auf die Kugelfläche zur Berechnung trigonometricher Messungen kann 
auf mehr als Eine Art geschehen : in der gegenwärtigen Abhandlung wird nur von 
der unmittelbaren Benutzung die Rede sein ; andere abgeleitete Arten, sie zu je- 
nem Zwecke zu benutzen , sollen einer zweiten Abhandlung vorbehalten bleiben. 

Die unmittelbare Benutzung ist im Wesentlichen schon in der oben ange- 
fahrten Schrift kurz angedeutet. Ein auf der Oberfläche des Ellipsoids durch 
kürzeste oder sogenannte geodaetische Linien gebildetes System von Dreiecken 
wird auf der Oberfläche der Kugel durch ein Dreieckssystem daigestellt , worin 
die Winkel den entsprechenden auf dem Sphaeroid genau gleich sind, die Seiten 
hingegen, wenn sie nicht Meridianbögen sind, zwar nicht in aller Strenge Bogen 
Grösster Kreise werden , aber doch von solchen so wenig abweichen , dass sie in 
den meisten Fällen als damit ganz zusammenfallend betrachtet werden dürfen, 
oder dass wenigstens die Abweichung , da , wo die grösste Genauigkeit gefordert 
wird , mit aller nöthigen Schärfe leicht berechnet werden kann , immer voraus- 
gesetzt, dass 



DER HÖHERN GEODAESIE. ERSTE ABHANDLUNO. 275 

erstens die Dreiecke sich nicht gar zu weit von dem Normal -Parallelkreise 

entfernen, und 
zweitens, dass sie vergleichungs weise, nemlich nach dem Verhältnisse der 
Seiten zu einem ganzen Erdquadranten , klein sind , wie bei wirklich 
messbaren Dreiecken immer der Fall ist. 
Dieses genaue Anschmiegen der auf die Kugelfläche übertragenen Dreiecks- 
seiten an Grösste Kreisbögen findet nun bei der in Obigem betrachteten conformen 
Darstellung in noch viel höherm Grade Statt, als bei der a. a. O. vorgeschlagenen. 
Wo diese [nach Art, 1 3] bei einem Abstände von 24- Grad von dem Normal-Paral- 
lelkreise eine linearische Vergrösserung von gao^o^o ergab, würde die neue Me- 
thode nur eine Aenderung von ggoiooo geben. 

Man kann daher das ganze System , nachdem man zuvörderst eine Drei- 
ecksseite auf die Kugelfläche gehörig übertragen hat , ganz so , als wenn es auf 
dieser selbst läge , vermittelst der Winkel berechnen , nöthigenfalls mit der eben 
angedeuteten Modification, sodann für alle Punkte die Werthe der Breiten und 
Längen bestimmen, und von diesen vermittelst der oben g^ebenen Formeln, oder 
vielmehr was die Breiten betrifft , vermittelst einer solchen Hülfstafel, wie hier 
beigefügt ist , auf die Breiten und Längen auf der Ellipsoidfläche übergehen. 

12. 

Es bleibt demnach hier noch übrig, die Bestimmung der Abweichung einer 
auf die Kugelfläche übertragenen geodaetischen Linie von dem zwischen denselben 
Endpunkten enthaltenen Grössten Kreisbogen zu entwickeln , wonach sich zu- 
gleich in jedem Falle beurtheilen lässt, ob die Berücksichtigung dieser Abwei- 
chung nöthig werde. Man kann diese Au%abe auf mehr als eine Art behandeln : 
für den gegenwärtigen Zweck, wo die Beduction immer nur eine sehr kleine 
Grösse betragen kann , scheint folgende Methode die angemessenste zu sein. 

Es sei L die in Rede stehende geodaetische Linie auf dem EUipsoid in un- 
bestimmter Ausdehnung betrachtet, M ihre conforme Darstellung auf der Ku- 
geliiache , F und G die Eindpunkte eines bestimmten Stückes von M, endlich 
N ein durch diese beiden Punkte geführter GrÖsster Kreis. Jeder Punkt in N 
werde bestimmt durch seinen Abstand x von einem zunächst willkürlich auf N 
gewählten Anfangspunkte; jeder Punkt von M durch seinen senkrechten Ab- 
stand y von N und durch das dem Fusspunkte dieses Perpendikels zukommende 

43* 



276 ÜNTEBSÜCHÜKGEN ÜBER GEGENSTlirDE 

«r. Diese Coordinaten sind als in Theilen des Halbmessers ausgedrfickt verstan- 
den , und müssen demnach noch multiplicirt werden mit A , wenn man sie nach 
ihrer Lineargrösse, oder mit 206265", wenn man sie in B(^entheilen ausgedrfickt 
verlangt. 

Ein Element von M wird durch 

^(cos^doj^+d^) 
oder durch ^^.d<r ausgedrfickt, wenn man 

setzt , wo mithin ^ die Neigung des Elements gegen die Parallele mit N bedeu- 
tet. Um die Vorstellung zu fixiren , mag man sich die o? von der Rechten nach 
der Linken , die y von unten nach oben wachsend denken , wodurch also der 
Sinn positiSper ^ von selbst bestimmt ist. 

Das wie oben mit m bezeichnete Veigrösserungsverhaltniss beim Uebertra- 
gen der ellipsoidischen Fläche auf die Kugelfläche kann hier wie eine Function 
von X und y betrachtet werden : die Grösse des Elements von L, dem jenes Ele- 
ment von M entspricht , wird 

= T-.Cli» 

mcostf» 

sein , und wenn zur Abkfirzung 

logtang(45®+ij^) = u 

m 

gesetzt wird , wo mithin n gleichfalls Function von x und y , oder was auf Ei- 
nes hinausläuft , von oc und u sein wird , so hat man 

tang^p = 5^ 
und das Element von L 

An j 

= — r .a«r 

Die Natur der Linie M wird also durch die Bedingung bestimmt, dass zwi* 
sehen irgendwelchen bestimmten Grenzen das Integral f-^dx oder 



DER HÖHERN OEODAESIE. ERSTE ABHANDLUNG. 277 

ein Minimum werden soll , wofür nach den Kegeln der Variationsrechnung sich 
die Gleichung ergibt 

ndu 
dn . //. , dtt*v , , d« 



H-V(^ + di^)d^ = d.^d«^ 
oder 

dn d« -% • I 

du cos^ • 

Unter r- ist der partielle Differentialquotient verstanden. Diese Formel ist 
strenge und allgemeingültig. Für unsem Zweck aber, wo bloss das zwischen 
F und G liegende Stück der Curve M in Betracht kommt, in deren sämmtlichen 
Punkten u und ^ nur sehr kleine Werthe haben können , dürfen wir i anstatt 
cos^ und tangcp anstatt sin^ schreiben, mithin 

^.dj? = d.«tang<p 
oder 

dn 



n 



tang ^ = f^ diT + Const. 



setzen , zugleich aber auch in dieser Formel anstatt der Werthe , welche n und 
j^ in der Linie M haben , diejenigen anwenden , welche in den correspondiren- 
den Punkten der Linie N (für t* = oder ^ == 0) Statt finden , und folglich 
mit den Werthen von — und ^ = ^ übereinstimmen. 

m mmdti tntnay 

Zur bequemern Ausführung der weitem Entwicklungen sollen jetzt die Ab- 
scissen von dem Punkte JP an gezählt , oder in diesem Punkte o? = , in G 
hingegen a? = Ä gesetzt werden ; ich setze femer ^^^ = Z, welches im Allge- 
meinen zwar Function von «r und y ist , hier aber bloss nach seinem in der Li- 
nie iV oder für ^ = geltenden Werthe , also als Function von äp allein be- 
trachtet wird; endlich seien (|^®, m®, i®, die bestimmten Werthe von (p, m, / in 
dem Punkte F, und ^\ m\ V die in dem Punkte G. Die obige Formel wird 
hienach 

wo die Integration von o? = anföngt. Nehmen wir nun an , dass / und m in 
folgende nach Potenzen von o? fortschreitende Reihen 



278 ÜNTEBSUCHUNOKN ÜBER GEGENSTÄNDE 

/ = /®+Xir+^'^«*^+ U.S. w, 
m = jit®(t-[-jij?-|-.ji'j?j?-|- U.S.W.) 

entwickelt sind, so ergibt die Rechnung 
tang^ = (l+|A^+|A'*a?+ U.8.W.) tang^® 

und hieraus , weil u = /tang (|^ . d<r 
tt = (4r+i|A«^«*^+iP'''^'+ U.S.W.) tang^j;^ 

wo keine Constante hinzuzufügen ist , weil fflr «r = auch u = wird. Da 
nun auch fELr x = h, u = wird , so folgt aus dieser Oleichung 

tang4^^ = i/^Ä + (iX— tV'V)** + (iV^— TV^tA)Ä'+ U.8.W. 

Wird in der Gleichung fdr ^ auch anstatt <r der Werth A, und statt tang(|/° 
der eben gefundene substituirt , so ergibt sich 

tang4^'= -i/H-(iX+^/V)*Ä-(i^'+^^|it-^/VFt++'V')** ^.s.w. 

Da 

V =ZO+Xä+VäA+ U.S.W 

ot' = j»^(l + H'A+{i'AÄ+ U.S.W.) 
so wird 

+(i^'— TV^ji+Tir'Vl*— Vr'V)A' U.S.W. 

also in den beiden ersten Oliedem oder bis auf die Ordnung hh mit obigen Wer- 
then von tang ^^, tang ^' übereinstimmend : diese bequemen Ausdrücke können 
daher als hinreichend scharfe Werthe dieser Tangenten, oder unter Hinzufügung 
des Factors 206265'' als die Werthe der Winkel (j;®, ^' selbst angenommen werden. 
Die Lange der Linie L selbst, zwischen den Punkten auf dem EUipsoid, 
denen auf der Kugel die Punkte F, G entsprechen , ist das Integral 



DEB HÖHERN OBODABSIE. EB8TB iAHABDLDKG. 279 






von ^=0 his x = h ausgedehnt; es wird aber immer erlaubt sein, darin so- 
wohl cosy als cos ^=z \ zu setzen , und fdr m denjenigen Werth , welcher in 
der Idnie M oder fOr y = gilt , wodurch also das Integral 

= Af — 

= ^o(A— ilxAA+(i|x|i— Hi')A'- U.S.W.) 

wird. Es ist immer zureichend, den bis auf die Ordnung hh damit übereinstim- 
menden Werth 

Ah 

daffir anzunehmen. 

13. 
Die Bestimmung der Grössen /^, /' geschieht auf folgende Weise. Es sei 
1 der Winkel , welchen an irgend einer Stelle des Ghrössten Kreisbogens N die- 
ser in dem Sinne wachsender x mit dem Meridian in dem Sinne von Norden nach 
Süden genommen macht, den Winkel von diesem zu jenem in dem Sinne von der 
Linken nach der Rechten gezählt ; es sei femer 8 die Breite an jener Stelle , T 
die Länge von einem beliebigen Meridian an ostwärts gerechnet Man hat dann 
daselbst 

diS = — cosx.da?-f-sinx.dy 

dr=— ^,d^— 5?!^dy 

C08Ä •'^ QO%8 ^ 

und folglich den partiellen Differentialquotienten 

dm . dm coe^ dm 

mdy ^'mdÄ cos^S'mdT 

Da nun bei unserer conformen Uebertragung m von der Länge unabhängig 
oder -j-5, = ist , so wird 

7 • dm 

^ mdo 

Bezeichnet man die Werthe von ^ in den Punkten F und G mit F" und 
180®-+-F' (so dass nach gewöhnlichem Sprachgebrauche F^ das Azimuth des 
Gross ten Kreisbogens FG in F, und V das Azimuth des Grössten Kreisbc^ens 



280 OMTEBSOCHUNOEN ÜBER OEOEXSTÄNDE 

GF in G bedeutet); imgleichen die (immer negativen) Werthe von 12^'pl jn 
denselben Punkten mit — k^, — k', so wird 

206265"/^= — 2;t^inF® 
206265"/' =+2;t'sinF' 

Die im vorhergehenden Artikel gegebenen Ausdrücke für cj>^, ^\ in Secun- 
den verwandelt, werden daher, wenn man die von der Einheit hier nur unmerk- 
lich abweichenden Factoren ^^, v"^ weglässt, 

^^^= — 4^Ä(2ÄMnF® — Ä'sinF') 
f = —^h{2k' sinF'— ;t^inF^) 

Die dieser Abhandlung beigefügte Tafel gibt in der letzten Columne unter 
der Ueberschrift k die Werthe von A:®, k' für die entsprechenden Werthe von S, 
die in der ersten Columne unter der Ueberschrift Q + ? aufzusuchen sind ; da 
k immer positiv ist, und sinF^ sinF' immer entgegengesetzte Zeichen haben, 
so wird c[/® negativ, ^' positiv, wenn G westlich von F liegt und umgekehrt : 
bei der Berechnung erinnere man sich, dass in diesen Formeln A als in Theilen 
des Halbmessers ausgedrückt verstanden wird , also der in irgend einem Längen« 
maasse gegebene Abstand der Punkte F, G zuvor mit dem in gleichem Maasse 
ausgedrücktem Werthe von Ä zu dividiren ist. 

Da in unserer conformen Übertragung der EUipsoidfläche auf die Kugel- 
fläche ein Meridian auf jener wiederum durch einen Meridian auf dieser darge- 
stellt wird , so ist klar , dass jedes Element von L dieselbe Neigung gegen den 
Meridian hat wie das entsprechende Element von M, und dass folglich die Azi- 
muthe der geodaetischen Linie in ihren beiden Endpunkten resp. V^-^-^^ und 
F'-|-(p' sein werden: sind aber umgekehrt diese gegeben, so werden sie auf die 
Kugelfläche reducirt durch Anbringung von — cp^ — ^\ und für die Berechnung 
dieser stets fast ganz verschwindenden Keductionen ist es offenbar ganz gleich- 
gültig, wenn man in den obigen Formeln anstatt F®, F' die Azimuthe auf dem 
Ellipsoid anwendet. 

14. 
Um nach den gegebenen Vorschriften die Reductionen der Richtungen, be- 
huf der Übertragung vom Ellipsoid auf die Kugel oder umgekehrt, berechnen zu 



DBR RÖHEBK GE0DAB8IB. EBSTE ABHAKDLtJNG. 



281 



können, ist zwar eine genäherte Kenntniss der Orösse der Linien, der orientirten 
Azimuthe , und der Breiten der Endpunkte erforderlich, was nur durch eine vor- 
läufige Berechnung der Dreiecke zu erhalten ist : allein dieser Umstand ist durch- 
aus unerheblich, da eine vorläufige schon die Ausf&hrung der Messungen Schritt 
f3r Schritt b^leitende Berechnung ohnehin in vielen Beziehungen räthlich , und 
zur Centrirung der excentrisch gemessenen Winkel , so wie zur Bestimmung des 
sphärischen oder sphäroidischen Excesses der Winkelsumme jedes Dreiecks sogar 
nothwendig ist: ja für den ersten Zweck wird, bei der Geringfügigkeit jener Re- 
ductionen, schon eine ganz rohe Annäherung immer zureichen, während das 
scharfe Centriren zuweilen, bei etwas beträchtlicher Excentricität der Standpunkte 
eine viel weiter getriebene Annäherung erfordern kann. Ich habe die Vorschrif- 
ten deshalb entwickelt , damit man , wenn man jene Eeductionen berücksichtigen 
will , alles zu ihrer schärfsten Berechnung nöthige bereit finde , oder wenn man 
sie nicht berücksichtigen will , leicht und bestimmt übersehen könne , wie wenig 
man dadurch aufopfert. Bei dem ganzen Hannoverschen Dreieckssystem sind die 
Reductionen durchgehends so äusserst gering, dass ihre Berücksichtigung als 
gänzlich überflüssig erscheint, und in der ganzen Ausdehnung der Zone von zwölf 
Breitengraden , für welche ich den Hülfsapparat beifBge , bleiben sie noch unter- 
halb derjenigen Bogensecundentheile , auf welche man sich bei den meisten Mes- 
sungen in der Rechnung zu beschränken pflegt. Um diess recht evident hervor- 
treten zu lassen , füge ich hier noch die numerische Rechnung für ein Paar Bei- 
spiele bei. 

In dem Hannoverschen Dreieckssystem kommen die grössten Reductionen 

vor bei den Richtungen der Seiten des Dreiecks Brocken-Hohehagen-Inselsberg, 
welches Dreieck zugleich das grösste und das von dem Normal-Parallelkreise am 
entferntesten liegende ist; bei allen übrigen Dreiecksseiten überschreiten die Re- 
ductionen nirgends zwei Tausendtheile der Secunde , und die meisten erreichen 
nicht einmal den Werth 0"001. 
Es ist für diese Punkte 



1 


Breite 

auf dem Ellipsoid auf der Kugel 


k 


Brocken 

Hohehagen 

Inselsbei^ 


51" 48' 2" 
51 28 31 
50 51 9 


51" 46' 3" 
51 26 35 
50 49 16 


0''164 
0,303 
0.687 

44 



282 UNTER8ÜCHÜK6EN ÜBER GEGENSTÄNDE 

» 

Die Logarithmen der Seiten des Dreiecks in Toisen sind 

Hohehagen - Inselsbeig 4,6393865 
Inselsbeig- Brocken 4,7353929 

Brocken -Hohehagen 4,5502669 

Die Azimuthe sind 

Standpunkt Brocken 
Inselsberg 5® 42' 22" 
Hohehagen 58 49 8 

Standpunkt Hohehagen 
Brocken 238 9 2 
Inselsbeig 324 23 1 

Standpunkt Inselsberg 
Hohehagen 144 55 51 
Brocken 185 35 21 

Man braucht hiebei zwischen Werthen auf dem Sphaeroid und denen auf 
der Kugel nicht zu unterscheiden , da für die Logarithmen der Abstände erst in 
der achten oder neunten Decimale , fElr die Azimuthe erst in den Tausendtheilen 
der Secunde Ungleichheit eintritt, und für unsern Zweck Logarithmen mit vier 
Decimalen und Azimuthe in Minuten schon überflüssig genau sind. Die Rech- 
nung nach obigen Formeln gibt hiermit folgende Reductionen , wie sie mit ihren 
Zeichen zu den Azimutfaen auf dem Sphaeroid addirt werden müssen , um die 
Azimuthe auf der Kugel zu erhalten : 

Brocken - Inselsbeig + O" 5 5 

Brocken - Hohehagen +0,00196 

Hohehagen - Brocken —0,00238 

Hohehagen - Inselsberg —0,00332 

Inselsberg - Hohehagen -f- , 4 2 8 

Inselsberg - Brocken —0,00083 

Die Winkel des Dreiecks auf dem Sphaeroid (zwischen den geodätischen Li- 
nien) empfimgen also zur Reduction auf die Winkel des Kugeldreiecks (zwischen 
Grössten Kreisbögen) die Aenderungen 



DEB HÖHBatK GEOJDAESIE. E&8TB ABHAITOLUNQ. 



288 



Brocken 

Hohehagen 

Inselsbeig 



4-0 00141 

— 0,00094 

— 0,00511 



Ein zweites Beispiel entlehne ich aus der trigonometrischen Vermessung der 
Schweiz*), wo das grösste Hauptdreieck zwischen den Punkten Chasseral, Suchet, 
Berra eben an die Grenze der Ausdehnung unserer Hfilfstafel föllt. Wir haben 
für diese Punkte 





Breite. 




t 


auf dem EUipsoid 


auf der Kugel 


k 


Chasseral 


47" 8' r 


47" 6' 33" 


6"1 


Suchet 


46 46 23 


46 44 57 


6,{ 


Berra 


46 40 36 


46 39 11 


7,1 



Die Logarithmen der Dreiecksseiten in Metern sind 

Suchet-Berra 4,7474503 

Berra- Chasseral 4,7133766 
Chassseral- Suchet 4,7808768 

Die Azimuthe 

Standpunkt Chasseral 
Suchet 48*^ 36' 41" 

Berra 349 21 54 

Standpunkt Suchet 
Chasseral 228 10 40 
Berra 280 47 19 

Standpunkt Berra 
Suchet 101 18 40 
Chasseral 169 27 22 

Hieraus ergeben sich die Reductionen der Sphaeroid- Azimuthe auf die Ku- 
gel -Azimuthe 



*) Ergebnüse der trigonometrischen Vermessungen In der Schweiz , herausgegeben von J. EsciiiiAm. 

Zürich lft40. S. 7». 99. 199. 190. 196. 

44* 



284 UKTEBSUGHÜNGffir ÜBER aEGENBTiUIDE 

Chasseral - Sachet +0" 04536 

Chasseral-Berra — 0, 00966 

Suchet- Chasseral -f- , 6 2 2 1 

Suchet-Berra +0.01014 

Berra-Suchet — 0, 047 1 7 

Berra- Chasseral — 0,06039 
also auch hier ohne Einfluss auf die Rechnung , die in dem angefahrten Werke 
auf Zehntel der Secunde geführt ist. 

15. 

Die in den Artt. 1 2 und 1 3 behandelte Aufgabe ist zwar durch die gegebe- 
nen Vorschriften mit einer fUr die Anwendung überflüssig ausreichenden Genauig- 
keit aufgelöset; indessen ist es doch der Mühe werth, und zur gleichmässigen 
Vollendung einer in der Folge mitzutheilenden Untersuchung sogar nothwendig, 
für einen speciellen Fall die Genauigkeit noch um eine Ordnung weiter zu trei- 
ben : dieser specielle Fall steht unter der Bedingung , dass die Linie iV in einem 
zwischen F und G liegenden Funkte H den Normalparallelkreis treffe. Es ist 
in diesem Falle vortheilhafter . den Anfangspunkt der x , nicht wie oben in F, 
sondern in Jf zu setzen, wodurch bewirkt wird, dass bei der Entwicklung von / 
und m in nach Potenzen von x fortschreitende Reihen in der erstem das erste 
und zweite Glied , in der andern das zweite und dritte ausfallen , oder dass sie 
folgende Form haben : 



l = Xa?ir-|-Va?'+ u.s.w.* 
»I = l + |ia?'-|-K'^*H" U.S.W. 



Für unsem Zweck wird von den Co6fficienten in, diesen Reihen nur der eine 
\ erforderlich sein, wofür sich aus der im 9 Art. fttr logm gegebenen Formel 
verbunden mit den Entwicklungen des 1 3 Art. leicht folgender Ausdruck ablei- 
ten lässt: 

"^ cosfcosO 

in welcher e, P, 9, 6 ihre oben erklärten Bedeutungen behalten, und far x das 
in dem Punkte H Statt findende Azimuth des Bogens N zu setzen ist. 
Werden obige Reihen bei der Integration der Gleichungen 



DER HÖHBBN GB0OAE8IB. ERSTE ABHAin>LUNe. 285 



j tongj* __ 



Idx 
m . m 

du = tang^.d^ 



angewandt, so ergibt sich 



tangcp = 2l(l4-[AÄf*+|A'^+ u,s.w.) — ^Xa^ — ^Xx* — u.s.w. 

u = ®+a(^+i|i<r*+i|i'j?*+u.s.w.)— tV^«^*— tV^'«^— U.8.W. 

Die durch die Integration eingeführten Constanten , 9, Sd, lassen sich durch 
die Bedingung bestimmen, dass u = werden muss fflr die beiden Werthe von x, 
welche den Funkten F, G entsprechen. Es seien diese Werthe 4r= — -^{h — S) 

* 

und j? = +i(A+S), wo 8 denWerthvon 2a? in dem mitten zwischen F und 
G liegenden Punkte ausdrückt , und allgemein zu reden eine Grösse von dersel- 
ben Ordnung wie h ist , oder von einer hohem, wenn H dieser Mitte sehr nahe 
li^t. Man leitet hieraus leicht folgenden auf die Ordnung h^ (einschl.) genauen 
Ausdruck für 31 ab 

Substituirt man diesen in der Reihe für tangcp, und 1^ dann der Verän- 
derlichen äP die bestimmten Werthe — ^{h — 8), +i(Ä+8) bei, so ergibt sich, 
gleich&Us auf die dritte Ordnung genau , 

tang(^®= ^XÄ(ÄÄ — 2Ag+3ag) 
tangf =— ^XÄ(ÄÄ— 2Ä8+388) 

In dem speciellen Fall der in der Folge zu entwickelnden Untersuchung 
kommt übrigens zu der oben bezeichneten Bedingung noch der Umstand hinzu, 
dass der Normalparallelkreis mitten inne liegt zwischen den beiden Parallelkrei- 
sen , auf welchen sich die Punkte F, G befinden , und in Folge dieses Umstan- 
des werden schon die abgekürzten Ausdrücke 

tangcp® = Vr^*' 
tangf = — ^XA' 

auf die dritte Ordnung genau sein , wie sich leicht auf folgende Art zeigen lässt. 
Bezeichnet man die Breite von F mit Q+^, die von G mit Q — j, so geben 
die sphaerischen Dreiecke F, H , Pol und G, H, Pol die Gleichungen 



286 UNT£B8UGHUVOEK ÜBER ORG£M«t£KD£ 

8in(Q-|-j) = 8inQcos^(Ä — S) + co8Q8in4^(Ä — 8)cosx 
8in(Q — q) = snxQ coB\{h'\-h) — co8Q8in4^(Ä-f-Sjco8x 

und ihre Summe mit 2 cos Q dividirt 

tangQ.(co89 — CO84-Ä.CO84-8) = — cos }- A 8in 4^ S cos j^ 

Da nun offenbar cosj' — cosf A.cosj-S eine Grösse zweiter Ordnung ist, so 
wird auch sin 4- 8 cos x» und ^cosj^ von dieser Ordnung sein, mithin, da X den 
Factor cos^* implicirt, Xää8 von der vierten, und Xä88 von der fünften Ord- 
nung; hiedurch ist also die Weglassung dieser Glieder gerechtfertigt. 

Das Endresultat dieser Entwickelung ist demnach , unter der ang^ebenen 
Voraussetzung , in folgenden Formeln enthalten , wo anstatt der Tangenten von 
(p^, ^' die Bögen selbst geschrieben sind : 

« 

T 1 2 cos 7 cos Q 

1 r j^ e6 cos P sin P sin }^ cos v*ä* 

» ■" 1 2 cos ^ cos 9 

1 6. 
Die Berechnung des Dreieckssystems auf der Kugel zerföllt in drei Haupt- 
stücke : 

1 ) die Ausgleichung der Winkel nach allen den Bedingungsgleichungen , wel- 
che die Beschaffenheit des Systems darbietet. 

2) die Berechnung der sämmtlichen Dreiecksseiten. 

3) die Bestimmung der Längen und Breiten der Dreieckspunkte, in Verbindung 
mit der Orientirung der von jedem derselben ausgehenden Dreiecksseiten. 

Die Verwandlung der Längen und Breiten auf der Kugel in die wahren 
Längen und Breiten auf dem Sphaeroid geschieht dann fär die Längen durch die 
Division mit dem constanten Divisor a , für die Breiten vermittelst der hier bei- 
gefügten Hülfstafel, oder einer andern auf ähnliche Weise besonders construirten, 
wenn man einen andern Normal - Parallelkreis zu wählen Ursache hat. 

'Mit Übergehung der beiden ersten auf bekannten Gründen beruhenden Ge- 
schäfte föge ich hier noch einiges in Beziehung auf das dritte bei , welches sich 
auf die Auflösung der Au%abe reducirt*) : aus der in Bogentheilen ausgedrückten 

*) Da diese Aufgabe hier wie eine für sich bestehende betrachtet wird , so können ohne Nachtheil ei- 
nige Buchstaben hier in anderer Bedeutung als oben gebraucht werden. 



DER HÖHEBN GE0DAE8IE. ERSTE ABHANDLUNG. 287 

Grösse einer Dreiecksseite r, ihrem Azimuthe T an dem Anfangspunkte , und 
der Breite dieses Anfangspunkts 8, abzuleiten das Azimuth der Seite an dem an- 
dern Endpunkte r'+ 180^ die Breite desselben S" und den Längenunterschied 
beider Punkte X. Da dies nichts weiter ist als die Auflösung eines sphärischen 
Dreiecks , so verdient diese Au%abe nur deshalb hier einen Platz , weil die ge- 
wöhnlich gebrauchten Formeln hier einiger Umformung bedürfen , wenn man in 
den Resultaten (nach der Bemerkung im 1 Art.) dieselbe Genauigkeit erreichen 
will, in welcher r gegeben ist, ohne mehrzifrige Lc^rithmen zu Hfilfe zu neh- 
men. Um unter den verschiedenen Auflösungsarten nach jedesmaligem Bedürf- 
niss wählen zu können , setze ich zuvörderst diejenigen hieher , die auf den be- 
kannten elementaren Formeln der sphärischen Trigonometrie beruhen. 
Erste Methode 

tangf i= cosTtangr 

tangiS' = cosXtang(/S — s) 

frtt sin T cos iS 

sin i = ^7- 



Zweite Methode 



tang/8' = cos r'tang(jK — r) 

-v sinr sinl* sinr sinT' 
sm X = ^7- = 5— 

COSS COSiS^ 



Dritte Methode 



sin(45^-f-4.S')sini(rH-X) = sin(45^-t-i(S-f-r)) sin^T 
sin(45®+iS')co8i(r+X) = 8in(45®-f-i(Ä— r))cosir 
cos(45"-f-iS>ini(r— X) = cos (4 5^H- i(Sf+r)) sin 4^ r 
cos(45®-|-ifif')cosi(r— X) == cos(45®+4(i8f— r))co8ir 

In Beziehung auf die Kfirze der Bechnung hat die dritte Methode einigen 
Vorzug vor den beiden andern , während diese im Allgemeinen die Resultate ein 
wenig schärfer geben können, namentlich X immer mit völlig genfigender Schärfe : 
T' wird aber , wenn es einem rechten Winkel nahe kommt, durch die erste Me- 
thode veigleichungsweise nur ungenau bestimmt. Verlangt man aber alle drei 
Resultate mit gleichmässiger und , aus dem Gresichtspunkte des 1 Art. betrach- 



288 imrEssucHUNGEN übeb gegenstände 

tet , zureichender Schärfe , so ist zu einer directen strengen Auflösung folgende 
Umformung am vortheilhaftesten, wobei die beiden ersten Formeln dieselben blei- 
ben wie in der ersten Methode. 
Vierte Methode 

tang^ = cosTtangr 
tangX = *?5£|L«!L' 

tang t = sin r sin r tang {8 — s) 
sinx = sinT tang j-r sin Ä 
sin = tang t tang~4-X cos {8 — s) 
8' = 8— 8 — 

r=T—t—z 

Diese vierte Methode lässt för die Schärfe nichts zu wünschen übrig ; aber 
die unmittelbar in dieser Form geführte Rechnung erfordert ein etwas beschwer- 
liches Interpoliren bei Bestimmung der kleinen Bögen durch die Logarithmen der 
Tcmgenten oder Sinus ; man kann jedoch diesem Übelstande leicht ausweichen, 
indem man die trigonometrischen Functionen in Reihen entwickelt, wodurch man 
in den Stand gesetzt wird , ohne Nachtheil filr die Schärfe, die Rechnungen ver- 
mittelst der Logarithmen der Zahlen zu führen. Es wird zureichend sein, von 
dieser Verwandlung nur die Hauptmomente hieher zu setzen. 

Es sei 

rcosr=Ä® 
r sin r = V 

Es wird dann , wenn zur Abkürzung die Grösse des Bogens von einer Secunde 
in Theilen des Halbmessers oder der Bruch --^ — durch p bezeichnet und r wie 

648000 * 

eine Ghrösse erster Ordnung betrachtet wird , bis auf Grössen fünfter Ordnung 
(ausschliesslich) genau 

s = ^<>(i+^pprr — ipp/^^ = /(t4-4.ppüi;) 
Setzt man dann femer 

VtMi^[8—8) = t^ 

C08(S — «) 

SO wird 



DSB HÖHBlUf 6EOOASSIE. £B8TB iaBAMDIiUNO. 289 

* = t%l-ifprr — ipp*^') 
X = X«(l-ipp*V— i-pp*^0 

T = ipv/Cl+App«'^— iPP*^«^) 

fftr t und X auf die fünfte » für o und t auf die sechste Ordnung (ausschl.) genau. 
Noch bequemer und eben so genau ist es , hiebei sogleich die Logarithmen zu 
gebrauchen , wodurch die Formeln » wenn man zur Abkürzung das Product der 
Grösse iVpp ^^ ^^^ Modulus der briggischen Logarithmen mit |i bezeichnet, 
folgende Gestalt erhalten : 

log* = log«^ — 2|irr —A^t^t^ 

logX = logX^— 2|iäV— 4|x*^*^ 

logo = logipt?«^— |irr— 3ft^®«^— 3fA«^<® 

logT = logi^ fvs^-^ 6 ^rr — 6|x䮫® 

Diese fünf Formeln in Verbindung mit den vorhergehenden far $^,J^, X^ 
bilden eine fElnfie Auflösungsart , deren eigenthümliches es ist , dass genäherte 
Werthe der Grössen s, t, X, a, x durch kleine sehr leicht zu berechnende an den 
Logarithmen anzubringende Confectionen zu scharfen erhoben werden. Die hie- 
bei vorkommenden constanten Logarithmen sind 

logp =4,6855748668 (—10) 
logip = 4,3845448712 (—10) 
logjx =7,9297527989 (—20) 

oder wenn jene Correctionen sofort als Einheiten der siebenten Dedmale erschei- 
nen sollen 

log|i = 4,9297527989 (—10) 

von welchen Logarithmen jedoch hier nur die ersten Ziffern zur Anwendung 
kommen. 

17, 
Viel einfacher lassen sich aber die Relationen zwischen den Grössen 
r, Ä, 8\ T, T, X ausdrücken, wenn man von dem Mittel der beiden Breiten 

45 



290 UNTEBSUGHUN6EK CbEE CffiGENSTÄNDE DER HÖHEBN GEODAESIE. 

und der beiden Azimuthe ausgeht. Schreiben wir 

4.(5+«') = B, 4-(r+r) = A, 8—8' = b, T—T — a 
so haben wir zuvörderst die Formeln 

sin-|-r sinJ. = sin^-X cos£ 

sin^-rcos-A =cosfX8in4-6 

co8-|-r sin^-a = sin^-X sinB 

cos4^r cos^-a = cos^-X cosj-& 

wonach man also , wenn A, B, r als gegeben betrachtet werden , a und X durch 

die Formeln 

sin^ltangftangil^r = sin^^a 

und sodann b aus 

oder 

cos ^ sin fr « r 

bestimmt. Anstatt dieser Formeln wird man aber, wegen der Kleinheit von 
r, a, X, 6, lieber die folgenden anwenden , welche viel bequemer , und bis auf die 
ftlnfte Ordnung (ausschl.) genau sind: 

a^ = rsin-4. tang£ 

^0 __ rsin^ 
'^^ CO» JB 

b^ = rcosJ. 

loga = loga®+ {irr -\-^[ia^a^ 

logX = logX^— ^|irr +fitX^X« 

logJ = log6^+4^[xa^a^-h|iX«X« 
wo , wie man sieht , die dritte Correction der Summe der ersten und der doppel- 
ten zweiten gleich ist. 

Fflr unsere Aufgabe geben zwar diese Formeln keine directe Auflösung : in- 
dessen kann man sie als GontroUe oder als concentrirte übersichtliche Inhaltswie- 
derholung der directen Auflösung gebrauchen. Wer aber in numerischen Rech- 
nungen einige Gewandtheit besitzt , wird sie auch leicht zu einer indirecten Auf- 
lösung benutzen können , und dieser, zumal wo anderer Zwecke w^en eine grob 
genäherte schon vorangegangen ist, wegen ihrer Bequemlichkeit und Schärfe vor 
allen andern Auflösungen den Vorzug geben. 



TAFELN, 



45* 



293 




■ 



+ 9 



P+P 



logm 

+ 



Q+q 






♦6O40' 

4» 
43 
44 
45 
46 
47 
4» 
49 

50 
51 
5» 
53 
54 
55 
56 

57 
58 
59 



47 



o 

I 

2 

3 

4 

5 

6 

7 
8 



zo 

IX 
12 

13 

»4 

«5 

16 

17 
18 

19 

xo 

21 

22 

»3 

»4 

«5 
26 

»7 
iS 

*9 
30 



46* 



.w- 



41' 24-74900 

42 24.88515 

43 25.02x12 

44 »5- 1569» 

45 25.29255 

46 25.41799 

47 »5- 56317 

48 25.69837 

49 *5- 83330 

50 25.96805 



51 26.X0262 

52 26.23702 

53 26.37x25 

54 16.50530 

55 26.639x8 

56 26.77288 

57 26.9064X 

58 27.03977 

59 17-17195 
47 o 27.30595 

X 27.43878 

2 27.57x44 

3 17.70392 

4 27.83622 

5 27.96836 

6 28. X003X 

7 28.232x0 

8 28.36370 

9 28v495X4 
zo 28.62640 



75748 

88839 

019x3 

X4969 

28007 
4x028 

54031 

670x8 

79987 
91938 

05871 
X8788 
3x687 

4*569 

57433 

70179 
83x08 

95920 

087x4 
2X49X 
34250 



XI 


28. 


12 


28. 


13 


19- 


14 


19« 


15 
16 


19. 
19« 


17 

x8 


19- 
19- 


»9 


19- 


20 


a9- 


21 


30. 


22 


30. 


13 


30. 


H 


30. 


15 
26 


30. 
30. 


27 
28 


30. 
30. 



29 3x. 

30 31. 

31 31- 



10559 


7"x4i 


X0472 


■ 7. xox 


10385 


7.062 


10299 


7.0H 


102x3 


6.985 


XOI28 


6.946 


10043 


6.907 


9959 


6.869 


9875 


6.830 


9792 


6.792 


9709 


6.754 


9626 


6.7x6 


9544 


6.678 


9462 


6.640 


938X 


6. 602 


9301 


6.565 


9221 


6.527 


914X 


6.490 


9062 


6.452 


8983 


6.4x5 


8904 


6.378 


8826 


6.341 


8749 


6,304 


8672 


6.267 


8595 


6.230 


85x9 


6.194 


8444 


6.157 


8369 


6. X2I 


8294 


6.084 


82x9 


6.048 


8x46 


6.0x2 


8072 


5.976 


7999 


5-940 


7917 


5-904 


7855 


5.869 


7783 


5-833 


7711 


5.798 


7641 


5.762 


7570 


5-717 


750X 


5.692 


7431 


5.657 


7361 


5.622 


7193 


5.587 


7225 


5-553 


7157 


5.5x8 


7090 


5-483 


7013 


5-4*9 


6956 


5-415 


6890 


5.381 


6825 


5.346 


6759 


5-313 



47^ 30' 
31 
31 
33 
34 
35 
36 
37 
3« 
39 

40 
41 
41 
43 
44 
45 
46 
47 
48 

49 

50 
51 
51 

53 
54 
55 

56 
57 
58 
59 

480 o 

X 
2 

3 

4 

5 

6 

7 
8 

9 

10 

II 
12 

13 
14 

15 
x6 

17 
x8 

19 

20 



p+p 


logm 

+ 


k 


47** 31' Si"34i50 


6759 


s^sn 


31 3». 4699» 


6694 


5.179 


33 31-59717 


6630 


5.145 


34 31.71414 


6566 


5.2x1 


35 3i-85"3 


6502 


5.178 


36 31-97785 


6439 


5.144 


37 32.10440 


6376 


5. III 


38 31-13077 


6314 


5.078 


39 31-35696 


6252 


5.045 


40 31*48199 


6190 


5.012 


41 32.60883 


6129 


4-979 


41 31.7345» 


6068 


4.946 


43 32.86001 


6008 


4.9*3 


44 31.98533 


5948 


4.880 


45 33.1x048 


5888 


4.848 


46 33.13546 


5829 


4.816 


47 33-36016 


5770 


4.783 


48 33.48488 


57" 


4.751 


49 33-60934 


5654 


4-7»9 


50 33.73361 


5596 


4.687^ 


51 33-8577» 


5539 


4.655 


52 33.98165 


5482 


4.624 


53 34-10540 


5426 


4.59» 


54 34- »»«9« 


5370 


4.560 


55 34-35139 


5314 


4-5»9 


56 34.47561 


5159 


4.498 


57 34-59867 


5204 


4.466 


58 34- 71156 


5H9 


4.435 


59 34.84416 


5095 


4.404 


48 34.96680 


5042 


4*373 


I 35.08916 


4988 


4.343 


» 35. »"34 


4935 


4.312 


3 35.33335 


4883 


4.281 


4 35.45519 


4830 


4.251 


5 35-57685 


4778 


4.221 


6 35-69834 


4717 


4.190 


7 35-81965 


4676 


4.160 


8 35-94079 


4615 


4.130 


9 36.06x75 


4575 


4.100 


xo 36.18254 


4515 


4.070 


XI 36.30316 


4475 


4.04z 


12 36.42360 


4426 


4.011 


13 36.54387 


4377 


3.982 


14 36.66396 


43»8 


3-95» 


15 36.78388 


4180 


3-9»3 


x6 36.90362 


4131 


3.894 


17 37.02319 


4x84 


3.865 


18 37.14159 


4137 


3.836 


19 37.26181 


4090 


3.807 


ao 37.38086 


4044 


3.778 


11 37.49973 


3998 


3-749 



294 



21 
21 

*5 
26 

*7 
2S 

29 

30 

3» 
3» 

33 
34 
35 
36 

37 
38 
39 

40 
41 
4* 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 

50 
51 
5» 
53 
54 
55 
56 

57 
58 
59 



-P+JP 



logm 

+ 



49^ 



o 

I 

2 

3 

4 

5 

6 

7 
8 

9 

10 



4«^ »i' 37"49973 


3998 


3 '749 


22 37-61843 


395* 


3-7*1 


»3 37.73^5 


3907 


3.692 


24 37.85530 


3862 


3.664 


»5 37-97348 


3817 


3-636 


26 38.09x48 


3773 


3.608 


27 38.20931 


37*9 


3.580 


28 38.32696 


3685 


3-55* 


29 38.44444 


3641 


3-5*4 


30 38.56175 


3598 


3-496 


3z 38.67888 


3556 


3.469 


32 38.79583 


3514 


3-441 


33 38.9x262 


347* 


3-414 


34 39-02923 


3430 


3-387 


35 39-14566 


3389 


3.360 


36 39.26192 


3348 


3-333 


37 39-37801 


3307 


3.306 


38 39-4939* 


3*67 


3.*79 


39 39.60966 


3**7 


3.*5* 


40 39.72522 


3187 


3.226 


41 39-84061 


3^48 


3.199 


4» 39-95583 


3109 


3-173 


43 40.07087 


3070 


3.146 


44 40.18574 


3031 


3.Z20 


45 40.30043 


2993 


3-094 


46 40.4x495 


2956 


3.068 


47 40.549*9 


2918 


3.042 


48 40.64347 


2881 


3.017 


49 40.75746 


*844 


2.991 


50 40.87129 


2808 


2.965 


51 40.98494 


»77* 


2.940 


52 41.09841 


2736 


2.915 


53 41. 21 171 


2700 


2.889 


54 41.3*484 


2665 


2.864 


55 41-43780 


2630 


2.839 


56 41.55058 


*595 


2.814 


57 41.66318 


2561 


*.79o 


58 41.77561 


2527 


2.765 


59 41.88787 


*493 


2.740 


49 41-99996 


2460 


2.716 


I 42.ZI187 


2427 


2.692 


2 42.22360 


*394 


2.667 


3 4*-335»7 


2362 


2.643 


4 4*- 44655 


2329 


2.619 


5 4**55777 


2297 


*.595 


6 42.66881 


2266 


2.572 


7 4*- 77968 


2234 


2.548 


8 4*- 89037 


2203 


2.524 


9 43.00089 


2172 


2.50X 


10 43. 11124 


2x42 


*.477 


II 43.22141 


2112 


*.454 



Q + 9 



49° lo' 

II 

12 

13 

14 

15 
16 

17 
18 

»9 

20 
21 
22 

*3 

H 

*5 
26 

*7 
28 

29 

30 

31 
32 

33 
34 
35 
36 

37 
38 

39 

40 
41 
4* 
43 
44 
45 
46 

47 
48 

49 

50 
51 
5* 
53 
54 
55 
56 
57 
58 

59 

50 o 



P+P 



49^ 



jt. 



IX 43 22x41 

" 43-33141 

13 43.441*3 

14 43-55088 

15 43.66036 
x6 43.76967 
17 43.87880 

x8 43-98775 
X9 44.09653 
20 44,205x4 



2X 44. 

22 44. 

*3 44- 

*4 44- 

*5 44- 

26 44. 

*7 44- 

28 45. 

29 45. 

30 45- 

31 45- 
3* 45. 

33 45- 

34 45. 

35 45. 

36 45- 

37 46. 

38 46. 

39 46. 

40 46. 



31358 
42184 

52993 

63784 
74558 

85315 
96054 

06777 
17481 
28169 

38838 

49491 
60126 

70744 

81345 
91928 

OH94 
13043 
*3574 
34088 



50 



41 46.44584 

42 46.55063 

43 46-65525 

44 46.75970 

45 46.86357 

46 46.96807 

47 47-07199 

48 47-17574 

49 47-*793* 

50 47.38273 

51 47.48596 

52 47-58902 

53 47.69191 

54 47.79462 

55 47.89716 

56 47.9995* 

57 48:xoi72 

58 48.20374 

59 48.30559 
o 48.40726 

X 48'. 50876 



logm 

2XX2 
2082 
2052 
2023 

1994 

1965 

1937 
1908 

1880 
1853 

1825 

1798 

1771 

1745 
17x8 

1692 

x666 
1641 
16x5 
1590 

1566 

1541 
1517 

1493 
1469 
1446 
1422 

1399 

1377 
1354 

133* 
X310 

1288 

1267 

1H5 
1224 

Z203 

1x83 

1163 

1142 

1123 
1103 
1084 
1064 
1045 
XO27 
1008 
990 

97* 

954 
936 



*"454 

*-43i 
2.408 

2.385 

2.362 

2.339 

2.317 

2.294 

2.272 

2.250 

2.227 
2.205 
2.183 
.162 
.140 
.X18 
.097 
.075 

-054 
.033 

.012 

•991 
.970 

•949 
• 928 

.908 

.887 

.867 

-847 
.827 

.807 

-787 
.767 

-747 
.728 

.708 

.689 

.670 

.651 

.632 

.613 
•594 

•575 
.556 
-538 
.520 
.501 

.483 
.465 

.447 
.429 



295 



Q+q 


-P+JP 


logm 

+ 


k 


Q+q 


^ + P 


logm 

+ 


k 


so» »' 


50° x'48"5o876 


936 


i"4*9 


500 50' 


50« 5x' 53^36348 


305 


o"678 


X 


1 48.6x009 


919 


X..4XI 


5« 


51 53.456x8 


»97 


0.666 


a 


3 48^7"H 


90* 


1.394 


5* 


53 53.54870 


189 


0.654 


3 


4 48.8x121 


885 


X.377 


53 


54 53.64105 


i8x 


0,641 


4 


5 48.91303 


868 


»•359 


54 


55 53.733*3 


*73 


0.630 


5 


6 49.0x367 


851 


1.341 


55 


56 53.8*5*4 


»65 


0.6x8 


6 


7 49- "413 


835 


1.315 


56 


57 53.9x708 


158 


0.606 


7 


8 49- »144» 


8x9 


X.308 


57 


58 54.00874 


*5« 


0.595 


8 


9 49.31454 


803 


X.19X 


58 


59 54.X0013 


*43 


0.583 


9 


10 49.4x448 


787 


1.174 


59 


5x 54.X9X5S 


*36 


0.571 


lO 


XX 49.5x4*5 


77* 


X.157 


51 


I 54.18170 


119 


0.56X 


XX 


xa 49.6x385 


757 


X.14X 


x 


» 54.37367 


113 


0.550 


XI 


X3 49.7x3*7 


74» 


X.114 


1 


3 54.46447 


1x6 


0.539 


13 


14 49.8x153 


7*7 


X.108 


3 


4 54. 555 XX 


109 


0.518 


14 


X5 49.9xx6x 


7x1 


X.X9X 


4 


5 54.64556 


*03 


0.5x7 


15 


x6 50. 0x05 X 


697 


X.X75 


5 


6 54.73585 


«97 


0.506 


x6 


X7 50. X0915 


683 


I.X59 


6 


7 54*8*597 


19X 


0.496 


17 


x8 50.1078X 


669 


X.143 


7 


8 54.9X59X 


185 


0.485 


x8 


19 50.306x9 


655 


X.117 


8 


9 55.00568 


179 


0.475 


19 


10 50.40441 


64X 


X.XXl 


9 


xo 55.095*8 


X73 


0.465 


20 


IX 50.50H5 


618 


X.096 


xo 


XI 55.X847X 


167 


0.454 


11 


11 50.60031 


6x5 


X.080 


" 


XI 55- »7397 


161 


0.444 


21 


13 50.69801 


60X 


X.065 


XI 


X3 55.36305 


156 


0.435 


»3 


*4 50.79554 


589 


1.050 


X3 


X4 55.45x96 


X5X 


0.4*5 


H 


15 50.89190 


576 


X.034 


X4 


X5 55.54070 


146 


0.4x5 


»5 


16 50.99007 


563 


X.0X9 


X5 


x6 55.61917 


X4X 


0.405 


i6 


17 5 X. 08708 


55X 


X.004 


x6 


X7 55.7x767 


136 


0.396 


»7 


*8 5 X. 18391 


539 


0.990 


X7 


x8 55.80590 


'3» 


0.387 


i8 


19 5x. 18058 


5*7 


0.975 


18 


X9 55.89395 


X17 


0.377 


19 


30 51.37706 


5x5 


0.960 


»9 


10 55.98x83 


111 


0.368 


30 


3x 5x. 47338 


503 


0.946 


10 


IX 56.06955 


1x8 


0.359 


3« 


31 5X.S695» 


49* 


0.93X 


IX 


11 56.X5709 


XX3 


0.350 


3* 


33 Sx. 66549 


480 


0.9x7 


11 


13 56.*4445 


109 


o»34* 


33 


34 5x.76xa9 


469 


0.903 


»3 


14 56.33x65 


105 


0.333 


34 


35 5x. 85691 


458 


0.889 


*4 


15 56.41867 


xox 


0.3*4 


35 


36 5x. 95*37 


447 


0.875 


*5 


16 56-50553 


97 


0.3x6 


36 


37 5*. 04765 


437 


0.861 


16 


17 56.59111 


93 


0.308 


37 


38 51.X4176 


4*6 


0.847 


. »7 


18 56.67871 


89 


0.199 


38 


39 5*^*3770 


4x6 


0.833 


18 


*9 56.76506 


86 


0.19X 


39 


40 5»^ 33*46 


406 


0.810 


»9 


30 56.85x13 


81 


0.183 


40 


41 5*. 4*705 


396 


0.806 


30 


31 56.937*» 


79 


0.175 


4x 


41 5a-5*X47 


386 


0.793 


3X 


31 57.01305 


75 


0.167 


4A 


' 43 5*^6i57* 


376 


0.780 


3» 


33 57.10870 


7* 


0.160 


43 


44 5*^70979 


367 


0.767 


33 


34 57.X94X8 


69 


0.151 


44 


45 5*.8o369 


358 


0.754 


34 


35 57. »7950 


66 


0.145 


45 


46 5*. 8974* 


348 


0.741 


35 


36 57.36464 


63 


0.137 


46 


47 5*. 99098 


339 


0.718 


36 


37 57.44960 


60 


0.130 


47 


48 53-08436 


33X 


0.7x5 


37 


38 57.53440 


57 


0.113 


4S 


49 53-X7757 


3** 


0.703 


38 


39 57-6x903 


55 


o.ix6 


49 


50 53.17061 


3x3 


0.690 


39 


40 57^70348 


5* 


0.109 


50 


5x 53.36348 


305 


0.678 


40 


4X 57.78777 


50 


0.101 



■■MBBB 



296 



Q + q 


P 


+P 


logm 
+ 


k 


Q + q 


F 


+ P 


logm 


k 


51^40' 


51° 41' 


57"78777 


50 


o"202 


5»^ 30' 


5»" 3*' 


x"78428 





©"006 


41 


4» 


57.87x88 


47 


0. X96 


31 


33 


1.85986 




0.005 


4» 


43 


57.95582 


45 


o«x89 


3» 


34 


1.93528 




0.004 


43 


44 


58.03959 


43 


0. 183 


33 


35 


2. 0x053 




0.003 


44 


45 


58. 12319 


40 


0. X76 


34 


36 


2.08561 




0.001 


45 


46 


58. 20662 


38 


0.170 


35 


37 


2. 16052 




0.00X 


46 


47 


58. 28988 


36 


0.X64 


36 


38 


2.23526 




0.001 


47 


48 


58.37296 


34 


0. 158 


37 


39 


2.30982 




0.001 


48 


49 


58.45588 


3* 


0. X52 


38 


40 


2.38422 




0.000 


49 


50 


58. 53862 


31 


0.146 


39 


41 


a. 45845 




0.000 


50 


51 


58, 62x20 


29 


0.141 


40 


4» 


2.53251 




0.000 


51 


5» 


58.70360 


»7 


o.x3'5 


41 


43 


2.60640 




0.000 


5» 


53 


58.78583 


»5 


0.130 


4» 


44 


2.680x3 




O.OCIO 


53 


54 


58.86789 


H 


0. X24 


43 


45 


2.75368 




0.001 


54 


55 


58. 94978 


22 


0.1x9 


44 


46 


2, 82706 




0.001 


55 


56 


59.03150 


2X 


0.X14 


45 


47 


2.90027 




O.00I 


56 


57 


59.X1305 


20 


0.X09 


46 


48 


2.9733X 




0.002 


57 


58 


59* 19443 


x8 


P.X04 


47 


49 


3.046X9 




0*003 


58 


59 


59. 27563 


17 


0.099 


48 


50 


3.X1889 




0.0Q4 


59 


52 


59.35667 


x6 


0.095 


49 


51 


3- 19143 




0.005 


51 


I 


59- 43754 


15 


0.090 


50 


5* 


3,26379 




0.006 


z 


2 


59,51823 


14 


0.086 


51 


53 


3-33599 




0.007 


2 


3 


59.59876 


13 


0.081 


5» 


54 


3.40802 





0.008 


3 


4 


59.679XX 


X2 


0.077 


53 


55 


3-47987 




0.010 


4 


5 


59- 759»9 


XI 


0.073 


54 


56 


3-55156 




O.OIX 


5 


6 


59. 8393X 


xo 


0.069 


55 


57 


3.62308 




0.013 


6 


7 


59.9x915 


9 


0.065 


56 


58 


3.69443 




0.0x4 


7 


8 


59.99882 


8 


0.061 


57 


59 


3-76561 




0.0x6 


8 


10 


0. 07832 


8 


0.058 


58 


53 


3.83662 




0.0x8 


9 


XX 


0. 15765 


• 7 


0.054 


59 


X 


3-90747 




0.020 


10 


12 


0. 2368X 


6 


0.051 


53 


2 


3-97814 




0.023 


IX 


13 


0. 3x580 


6 


0.047 


x 


3 


4.04864 




0.0x5 


12 


14 


0. 394.62 


5 


0.044 


2 


4 


4.1 1898 




0.027 


13 


X5 


0,47327 


5 


0.041 


3 


5 


4. 18915 




0.030 


14 


16 


O' 55175 


4 


0.038 


4 


6 


4- »5914 




0.033 


15 


17 


0.63006 


4 


0.035 


5 


7 


4.31897 




0.036 


16 


18 


0. 70820 


3 


0.032 


6 


8 


4.39863 




0.038 


17 


19 


0. 786x7 


3 


0.030 


7 


9 


4.468x3 




0.041 


18 


20 


0.86397 


2 


0.027 


8 


10 


4.53745 




0.044 


»9 


2X 


0. 94x59 


2 


0.025 


9 


II 


4.60660 




0.048 


20 


22 


X. 0x905 


2 


0.023 


10 


12 


4.675^9 




0.051 


IX 


»3 


X. 09634 


2 


0.020 


IX 


13 


4.74440 




0.054 


22 


24 


X. 17346 




0.0x8 


12 


14 


4.8x305 


8 


0.058 


»3 


»5 


X. 25040 




0.0x6 


»3 


15 


4.88153 


8 


0.062 


H 


26 


X. 31718 




0.0x4 


14 


16 


4*94984 


9 


0,065 


»5 


27 


X. 40379 




0.0x3 


15 


»7 


5.0x798 


xo 


0.069 


26 


28 


X. 48023 




0.0XX 


16 


18 


5.08595 


XI 


0.073 


27 


29 


1-55649 




0.0x0 


17 


«9 


5.15376 


12 


0.078 


28 


30 


X. 63259 





0.008 


x8 


20 


5.22x39 


14 


0.082 


29 


3x 


X. 70852 




0.007 


19 


21 


5.28886 


14 


0.086 


30 


3» 


1.78428 





o*oo6 


20 


22 


5.356x6 


15 


0.091 



297 





Q+9 


^+P 


logm 


k 


Q + q 


-P+P 


logm 


k 




53' «o' 


53O22' 5"356i6 


15 


o"o9i 


54** lo' 


54« 12' 8"50704 


169 


o"46o 




2Z 


23 5- 4»3»9 


16 


0.095 


ZI 


13 8. 56579 


175 


0.471 




21 


H 5-490*5 


17 


0. 100 


Z2 


X4 8. 62438 


180 


0.481 




*3 


»5 5- 55705 


18 


0. Z05 


13 


15 8. 68279 


z86' 


0.492 




*4 


26 5. 62367 


20 


0. HO 


14 


z6 8. 74x04 


Z92 


0.502 




*^ 


27 5-^13 


21 


0. 115 


15 


17 8. 79913 


199 


0.513 




26 


28 5. 75642 


22 


0. 120 


16 


z8 8. 85705 


205 


0.524 




»7 


29 5. 82254 


*4 


0. 125 


17 


Z9 8. 9x480 


212 


0.535 




28 


30 5. 88849 


26 


0. 131 


z8 


20 8. 97238 


2X8 


0.546 




29 


31 5. 95428 


*7 


0. 136 


19 


2X 9. 02980 


225 


0.557 




30 


32 6. 01989 


»9 


0. 14a 


20 


22 9» 08705 


232 


0.569 




31 


33 «• 08534 


31 


0.147 


21 


43 9- 14413 


»39 


0.580 




3» 


34 6. 15062 


33 


0.153 


22 


24 9. 20105 


246 


0.592 




33 


35 6. 21573 


34 


0.159 


43 


25 9. 2578z 


*53 


0.604 




34 


36 6.28068 


36 


0.165 


H 


*6 9- 31439 


26X 


0.615 




35 


37 6. 34545 


38 


0. I7X 


*5 


27 9. 37081 


268 


0.627 




36 


3g 6. 41006 


4' 


0. 178 


26 


28 9. 42706 


276 


0.639 




37 


39 6. 47450 


43 


0.184 


27 


29 9-48315 


*84 


0.652 




38 


40 6.53877 


45 


0. 191 


28 


30 9*53907 


292 


0.664 




39 


41 6. 60288 


47 


0.197 


»9 


• 31 9- 59483 


300 


0.676 




40 


42 6.66681 


50 


a204 


30 


32 9. 65042 


309 


a689 




41 


43 6. 73058 


53 


a2ii 


31 


33 9*70584 


317 


0.701 




4» 


44 6.79418 


55 


0.2x8 


3» 


34 9.761x0 


326 


0.714 




43 


45 6. 85762 


58 


0.225 


33 


35 9. 8x6x9 


335 


0.727 




44 


46 6. 92088 


61 


0.232 


34 


36 9. 871ZZ 


344 


0.740 




45 


47 6.98398 


64 


a240 


35 


37 9-9*587 


353 


0.753 




46 


48 7. 04691 


67 


0.247 


36 


38 9.98046 


362 


0.766 




47 


49 7- 10967 


70 


0.255 


37 


39 10. 03489 


37* 


0.780 


1 


48 


50 7. 17227 


73 


0.262 


38 


40 10.089x5 


381 


0.793 




49 

• 


51 7. 23470 


76 


0.270 


39 


41 la 14325 


391 


a8o7 




50 


52 729696 


.79 


0.278 


40 


42 10. Z97X8 


40X 


0.820 




51 


53 7- 35905 


83 


0.286 


41 


43 10.25094 


4" 


0.834 




5» 


54 7-44098 


86 


0.294 


4» 


44 10.30454 


421 


0.848 




53 


55 7- 48273 


90 


0.303 


43 


45 10.35797 


43* 


0.862 




54 


56 7-5443» 


94 


0.311 


44 


46 10.4x124 


443 


0.876 




55 


57 7- 60575 


98 


0.3x9 


45 


47 xo. 46434 


453 


0.890 




56 


58 7. 66700 


102 


0.328 


46 


48 10.51727 


464 


0.905 




57 


59 7- 7*809 


106 


0.337 


47 


49 10.57004 


476 


0.919 




58 


54 7. 78901 


IZO 


0.345 


48 


50 10.62265 


487 


0.934 




59 


I 7. 84977 


114 


0.354 


49 


51 la 67509 


498 


0.949 




54 


2 7. 91036 


119 


0. 363 1 


50 


52 10.72736 


5x0 


0.964 




I 


3 7- 97078 


123 


0.373 


5» 


53 10.77947 


522 


0.978 


1 


2 


4 8.03103 


128 


0.382 


5» 


54 10.83x42 


534 


0.994 




3 


5 8.09111 


132 


0.391 


53 


55 xo. 88320 


546 


X.009 




4 


6 8. 15x03 


137 


0.401 


54 


56 XO.9348X 


559 


X.024 




5 


7 8. 21079 


142 


0. 411 


55 


57 10.98626 


571 


1.039 




6 


8 8. 27037 


147 


0.420 


56 


58 11.03754 


584 


1.055 




7 


9 8. 32979 


153 


0.430 


57 


59 11.08866 


597 


X.07X 




S 


10 8.38904 


158 


0.440 


58 


55 XI. X396X 


61 X 


1.086 




9 


ZI 8.44812 


163 


0.450 


59 


I XX. X9040 


6h 


1. 102 


. 


10 


12 8. 50704 


169 


0.460 


' 55 


2 XX. 24x02 


638 


X. XI8 



46 



298 



Q+9 


p+p 


logm 


k 


Q + q 


P+P 


logm 


k 




SS' o' 


55^ »' ii^s^ios 


638 


1^118 1 


55** 50' 


55** 52' 13^56267 


1598 


2^068 




I 


3 II. S914S 


651 


1. 134 


5» 


53 13.60493 


1624 


S.090 




2 


4 11. 34177 


665 


1-151 


52 


54 13-64703 


1650 


S*IIS 




3 


5 "-39190 


680 


1.167 


53 


55 13.68896 


1676 


2.134 




4 


6 11.44186 


694 


1.184 


54 


56 13-73074 


170s 


2.157 




5 


7 11.49166 


709 


I. 200 


55 


57 »3-77235 


17S8 


2.179 




6 


8 11.54x29 


723 


1.S17 


56 


58 13.81379 


1755 


S. SOS 




7 


9 11.59076 


73« 


1.S34 


57 


59 13- 85508 


178s 


S.SS5 




S 


10 11.64007 


754 


1.S51 


58 


56 13.89620 


1810 


2.247 




9 


II ti.689si 


769 


1.S68 


59 


I 13.93716 


1837 


S.S70 




lO 


IS 11.73818 


7«5 


1.S85 


56 


2 13-97795 


1865 


2.293 




it 


13 11.7S699 


800 


1.30s 


I 


3 14.01859 


1894 


2.317 




IS 


14 11.83564 


817 


1.320 


s 


4 14-05906 


19SS 


2.340 




»3 


15 11.8841S 


«33 


x-337 


3 


5 14-09937 


1951 


2.363 




14 


16 11.93S44 


«49 


x-355 


4 


6 14.13952 


1980 


2.387 




«5 


17 11.98059 


866 


1.37s 


5 


7 H. 17950 


S009 


S.4I1 




i6 


18 1S.0S858 


883 


1.390 


6 


8 14. S1932 


2039 


2.434 




17 


19 IS. 07640 


900 


1.408 


7 


9 14.25898 


S069 


2.45« 




i8 


so IS. 12406 


917 


1.426 


8 


10 14.S9848 


2099 


S.48S 




»9 


SI IS. 17156 


935 


x-445 


9 


II 14.33782 


2130 


S.506 




so 


SS IS. 21889 


953 


1.463 


10 


IS 14.37699 


S161 


2.531 




SI 


S3 IS. s66o$ 


971 


X.481 


11 


13 14.41600 


S19S 


2.555 




SS 


S4 IS. 31306 


989 


1.500 ; 


IS 


14 14-45485 


2223 


2.579 




»3 


S5 IS. 35990 


1008 


1.519 


13 


15 »4-49354 


2255 


S.604 




H 


26 IS. 40657 


ios6 


1.538 


14 


16 14.53S06 


2287 


s. 6s9 




»5 


»7 "-45308 


1045 


«•557 


»5 


17 14-57043 


2319 


2.654 




s6 


s8 IS. 49943 


1064 


1.576 


16 


. 18 14. 60863 


2352 


2.679 




»7 


S9 12.54561 


1084 


»•595 


17 


19 14. 64667 


2385 


2.704 




sS 


30 IS. 59163 


1104 


1.614 


18 


so 14-68455 


2418 


2.729 




S9 


31 IS. 63749 


11S3 


'•633 


«9 


21 14. 72226 


2452 


2.754 




30 


3s 12. 68318 


"44 


1.653 


20 


22 14-75982 


2486 


2.780 




31 


33 IS. 7S870 


1164 


1.673 


SI 


23 14^79721 


2520 


2.805 




3» 


34 12.77407 


• 1185 


1.69s 


SS 


24 14.83444 


2555 


2.831 




33 


35 IS. 81927 


1205 


1.71S 


23 


25 14-87151 


2589 


2.857 




34 


36 IS. 86430 


1226 


1.73s 


24 


26 14. 90842 


2625 


2.883 




35 


37 IS. 90918 


1248 


1.75s 


25 


27 14.94517 


2660 


2.909 




36 


38 12.95389 


1269 


1.773 


s6 


28 14-98175 


2696 


2.935 




37 


39 IS. 99843 


1291 


'•793 


27 


29 15.01818 


2732 


s. 961 




3« 


40 13. 04S82 


1313 


1.813 


s8 


30 15-05444 


2768 


S.988 




39 


41 13.08703 


1336 


1.834 


29 


31 15.09054 


2805 


3.014 




40 


4S 13.13109 


! 135« 


1.855 


30 


32 15. I264S 


2842 


3.041 




41 


43 13« 1749« 


! 1381 


1.875 


31 


33 15. 16226 


2880 


3-067 




4» 


44 X3.21871 


1404 


1.896 


32 


34 15.19788 


2917 


3- 094 




43 


45 13. 26228 


1428 


1.917 


33 


35 15.23334 


2955 


3. ISI 




44 


46 13. 30568 


1451 


1.939 


34 


36 15. 26863 


2994 


3.148 




45 


47 13.34892 


1475 


I. 960 


35 


37 15^30377 


3033 


3.176 




46 


48 13.39199 


1499 


1.981 


36 


38 15^33874 


3072 


3.203 




47 


49 13-43491 


1524 


a.003 


^Z 


39 15.37356 


3111 


3.230 




^ 


50 13.47766 


1548 


S.024 


38 


40 15. 40821 


3151 


3.25« 




49 


51 13.52024 


1573 


s. 046 


39 


41 15.44270 


3191 


3.286 




50 

• 


5s 13. 56S67 


1598 


S.068 


40 


42 15.47703 


3231 


3.314 





299 



Q+q 


-P+P 


logm 


h 


+ y 


P+P 


logm 


h 


56^40' 


56«> 4»' i5"47703 


323X 


3"3i4 


57^ 30' 


57« 32' x6"98962 


5719 


4^859 


41 


43 X5.51120 


3171 


3.34» 


3« 


33 X7.OX58X 


5778 


4.893 


4* 


44 15-545" 


33x3 


3.370 


3» 


34 X7. 04x85 


5839 


4-9»7 


43 


45 15-57906 


3355 


3.398 


33 


35 »7.0677» 


5899 


4.962 


44 


46 X5. 6x175 


3396 


3-4»6 


34 


36 X7. 09344 


5960 


4- 996 


45 


47 X5. 64627 


3439 


3.455 


35 


37 X7.XX900 


601X 


5.030 


46 


48 X5. 67964 


348X 


3.483 


36 


38 X7. 1444X 


6083 


5.065 


47 


49 i5-7"85 


35H 


3.5x1 


37 


39 X7. X6965 


6x46 


5. xoo 


4Ä 


50 15.74589 


3567 


3.541 


38 


40 X7. X9474 


6108 


5-135 


49 


5x X5. 77878 


36XX 


3.570 


39 


41 X7. 2x967 


627X 


5. X70 


50 


51 X5. 81150 


3654 


3-599 


40 


42 X7. 24444 


6335 


5.105 


51 


53 15.84407 


3699 


3.618 


41 


43 X7'»6905 


6399 


5.140 


5» 


54 X5. 87647 


3743 


3-657 


4» 


44 I7»935X 


6463 


5. »75 


53 


55 15-9087» 


3788 


3.686 


43 


45 17- 31780 


6528 


5.3" 


54 


56 15.94080 


3834 


3.716 


44 


46 X7. 34x94 


6593 


5-346 


55 


57 i5-97»73 


3879 


3.746 


45 


47 17.36593 


6659 


5-38» 


56 


58 I6.00449 


39»5 


3-775 


46 


48 17-38975 


6725 


5- 418 


57 


59 16.036x0 


397» 


3.805 


47 


49 17-4134» 


6792 


5-454 


58 


57 16.06754 


40x9 


3.835 


48 


50 X7. 43693 


6859 


5.490 


59 


I x6. 09883 


4066 


3.865 


49 


51 X7. 46028 


6926 


5.5»6 


57 


1 z6. Z2995 


4x13 


3.896 


50 


52 17.48348 


6994 


5-563 


z 


3 x6. 16091 


4x6x 


3.916 


51 


53 X7. 50652 


7063 


5-599 


1 


4 x6. X9X71 


4210 


3-956 


5» 


54 i7-5»940 


7x31 


5-636 


3 


5 z6. 11237 


4158 


3-987 


53 


55 17-55»" 


720X 


5.671 


4 


6 16.15286 


4307 


4.0x8 


54 


56 X7. 57468 


7270 


5-709 


5 


7 x6. 183x8 


4357 


4-049 


55 


57 17-59709 


734» 


5.746 


6 


8 x6. 31335 


4406 


4.080 


56 


58 X7. 6x935 


74" 


5-783 


7 


9 16.34336 


4457 


4. XXX 


57 


59 X7. 64x44 


7482 


5- 810 


8 


xo x6. 37310 


4507 


4.X42 


58 


58 X7. 66338 


7554 


5.858 


9 


XX x6. 40289 


4558 


4-173 


59 


X 17. 68516 


7626 


5.895 


10 


XI z6. 43141 


4609 


4.105 


58 


1 X7. 70678 


7698 


5.933 


xz 


X3 x6. 46179 


4661 


4.236 


X 


3 17,72825 


777X 


5.970 


XI 


X4 x6. 49x00 


4713 


4.168 


2 


4 17.74956 


7844 


6.008 


13 


X5 x6. 51005 


4766 


4-300 


3 


5 17.7707» 


79x8 


6.046 


14 


x6 x6. 54895 


48x8 


4-33» 


4 


6 X7. 79x71 


7993 


6.084 


15 


X7 x6. 57768 


487» 


4.364 


5 


7 X7. 81255 


8067 


6.111 


x6 


x8 x6. 60615 


49*5 


4.396 


6 


8 17. 83324 


8x43 


6.160 


17 


X9 x6. 63467 


4979 


4.4»8 


7 


9 17.85376 


8218 


6.199 


z8 


10 16. 66193 


5034 


4.46X 


8 


IG X7. 874x4 


8194 


6.137 


19 


IX x6. 69x01 


5089 


4-493 


9 


IX X7. 89435 


837X 


6.276 


ao 


11 16.7x896 


5144 


4-5*6 


xo 


X2 17.91441 


8448 


6.3x5 


%i 


13 x6. 74674 


5100 


4-559 


XX 


13 17.93431 


8526 


6.354 


%% 


14 x6. 77436 


5256 


4.59» 


12 


14 X7. 95406 


8604 


6.393 


»3 


15 x6. 80x81 


53x2 


4.615 


* 

13 


15 17.97365 


8682 


6.432 


»4 


16 x6. 819x3 


5369 


4-658 


14 


x6 17.99308 


8761 


6.471 


*5 


17 x6. 85617 


5416 


4.69X 


15 


17 18.0x236 


884X 


6. 511 


^ 


18 x6. 88316 


5484 


4.714 


x6 


x8 x8. 03x48 


892X 


6.550 


»7 


19 16.9x008 


554» 


4.758 


17 


X9 x8. 05045 


90ÖX 


6.590 


a8 


30 x6. 93675 


5600 


4-79» 


x8 


10 x8. 06925 


9082 


6.630 


»9 


3x x6. 96326 


5659 


4.815 


»9 


2X X8.0879X 


9x64 


6.670 


30 


31 16.98961 


5719 


4-859 


20 


11 x8. X064X 


9H6 


6.7x0 



46 



300 



Q + q 



P-\-P 



logm 



Q+g 



^+P 



logm 



58° ao' 
II 
12 
13 

»5 
26 

-7 
28 

29 

30 



58° 22' i8"xo64i 

23 18,12475 

24 18.14293 
2$ 18. 16097 

26 18. 17884 

27 18. 19656 

28 18. 214x2 

29 18.23153 

30 z8. 24879 

31 18.26588 

32 18. 28283 



9246 


6"7io 


9328 


6. 750 1 


94II 


6.790 


9*95 


6.830 


9578 


6.871 


9663 


6.9x2 


974« 


6.952 


9833 


6.993 


9919 


7.034 


10006 


7-075 


ZO092 


7. 117 



58<» 30' 
31 
3» 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 



58° 32' i8"28283 

33 18. 29961 

34 x8. 3x625 

35 18.33271 

36 18.34905 

37 18. 3652X 

38 x8. 38x13 

39 18.39708 

40 18. 41279 

41 18.42833 

42 18.44373 



X0091 


7 


'1x7 


10x80 


7- 


158 


X0268 


7. 


200 


10356 


7- 


241 


10445 


7- 


283 


10535 


7- 


3*5 


10625 


7- 


367 


107x5 


7- 


409 


10806 


7' 


451 


X0898 


7- 


484 


10990 


7- 


536 



UNTERSUCHUNGEN 



ÜBER 



GEGENSTÄNDE DER HÖHERN GEODAESIE 



ZWEITE ABHANDLUNG 



VON 



CARL FRIEDRICH GAUSS 



DER KÖNIGL. SOCIETÄT ÜBERREICHT MDOOCXIVI SEPT. 1. 



Abhandlangen der Eönigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Band IQ. 

Göttingen 1847. 



UNTERSUCHUNGEN 



Obbb 



GEGENSTÄNDE DER HÖHERN GEODAESIE. 



Die Aufgabe, aus der Grösse der Seite eines Dreiecks auf der Erdoberfläche, 
dem Azimuthe an dem einen Endpunkte , und der geographischen Breite dieses 
Endpunkts abzuleiten das Azimuth an dem andern Endpunkte, dessen Breite und 
den Längenunterschied beider Funkte , gehört zu den Hauptgeschäften der hö- 
hern Greodäsie. Für den Fall der Kugelfläche ist der Zusammenhang zwischen 
jenen sechs Grössen am Schluss der ersten Abhandlung in der einfachsten und 
zur schärfsten Rechnung geeigneten Form angestellt, welche auch leicht zu ei- 
ner bequemen Auflösung der Angabe selbst benutzt werden kann. Es wird da- 
durch das Verlangen nach dem Besitz einer analogen unmittelbar f&r die Ellip- 
soidfläche gültigen Auflösungsart erweckt, und der Zweck der gegenwärtigen Ab- 
handlung ist, eine solche zu entwickeln. Vorher soll jedoch erst die Auflösung 
für den Fall der Kugelfläche in ein noch helleres Licht gestellt werden. Des be- 
quemem Zurückweisens wegen lasse ich die Zahlenbezeichnung der Artikel sich 
an die erste Abhandlung anschliessen. 

18. 
Um den Grad der Genauigkeit , welcher durch die Formeln des 1 7 . Art. 
erreicht wird, besser beurtheilen zu können, werden noch die Glieder der nächst- 
folgenden Ordnung entwickelt werden mfissen; es ist jedoch wohl der Mfihe 



304 UNTERSUCHUNGEN ÜBEB GEGENSTÄNDE 

werth , das Verfahren anzugeben, nach welchem diese Entwicklung beliebig weit 
getrieben werden kann. 

Ich erlaube mir an den dort gebrauchten Bezeichnungen einige Abänderun- 
gen , theils des bequemern Drucks wegen , theils um den verschiedenen Bezeich- 
nungen in den einzelnen Theilen der gegenwärtigen Abhandlung etwas mehr Sym- 
metrie geben zu können. Zunächst bedeute hier 

r die Entfernung der beiden Funkte von einander, den Halbmesser der Kugel 

als Einheit angenommen. 
B-\-i^b und B — 4-6 die Breite am ersten und zweiten Endpunkte von r. 
T-^-^t und T — 4^^+180® das Azimuth des zweiten und ersten Endpunkts 

resp. vom ersten und zweiten aus. 
/ den Längenunterschied. 
Es wird angenommen, dass das Azimuth von Süden nach Westen zu gezählt und 
l als positiv betrachtet wird, wenn der zweite Punkt westlicher liegt als der erste. 
Es soll ferner gesetzt werden 

Ö = rcos T 

T = rsin r.tangJB 

% rBJnr 

welche Grössen dasselbe ausdrücken , was im 17. Art. mit 6^, a^ X^ bezeichnet 
war, nemlich die bis auf die dritte Ordnung (ausschliesslich) genauen Werthe 
von 6, /, /, und zwischen denen die Gleichung 

rr+TT = 66-j-XX 

Statt findet. Die Ordnungen werden hier immer so verstanden , dass r wie eine 
Grösse erster Ordnung betrachtet wird. 

Zur Abkürzung wird noch geschrieben 

2tang^r 

= tn 

r 
2 sin 4 r 

^- = n 

r 

Zu der beabsichtigten Entwicklung gelangen wir am leichtesten durch Benützung 
der Umwandlung der Formel 

^ = siny 



DER HÖHERN OEODAE8IE. ZWEITE ABHANDLUNG. 805 

in die Reihe 

welche man leicht aus der hekannten 

y = ^(l+ia?^+A-^*+-rh-^*+TBT^+ U.S.W.) 
ableitet. Wendet man dieselbe zuvörderst an auf die Gleichung 

tang£.sin T. tang j-r = sin 4-/ 
oder 

4-wiT = sin^-f 

indem man x = ^mx, y = ^t setzt, so wird (I) 

logf =logT+logm+ A<wmTT+T44ymV+TVaMnr^*'^*+ » ■ H > U a mV+u.s.w. 
Eben so , aus der Anwendung auf die Gleichung 

—- = sinA« 

oder 

•}-nX = sin-f^ 

eigibt sich (II) 

]0g/=logX+lognH-Vr««^^+T4+T«*X*+TViVrT«*^*+rrHHTT«VH-u.s.w. 

Die dritte Anwendung wird gemacht auf die Gleichung 

tangT * 

nachdem derselben vermöge der Substitutionen 

oobB 6 



tangT X 



folgende Gestalt gegeben ist 



116 1 1 



Es eigibt sich dann (III) 

47 



306 UNTERSUCHUNGEN ÜBER GEGENSTINDE 

logfc = log6 + logn+innXX+Vr»*^*+T4T»'>^'+TTjVTw'X*+ u.8.w. 
+ A öö(nn + i-n*XX+^n«X* + Virn*X* + u.8.w.) 

+ T+hr ö*(n*+4^n*XX+An*X*+ U.8.W.) 

+ -mWmr ^(n«+i-n*XX+ u.s.w.) 

+ »9H»Ioo ^V+ U.S.W.) 
+ u. s.w. 

oder , indem man die Glieder gleicher Ordnung zusammenfasst , 

logfe = log^+logn 

+ ^ n»(öe+3XX) 

+ TuSnr «* (11 6*+ 306ÖXX+45X*) 
+ ibAso n*(l9l6'+ 693ö*XX +945 ÖÖX*+945X«) 
+ 1» 8 ^ 04 ^^2^97 6^+ 11460g^XX+20790 6^X^+1890QggX^ 

+ 14175X*) 

U. 8. W. 



Um die Gleichungen I, II, III in eine ganz entwickelte Gestalt zu bringen, 
wird man in denselben noch substituiren 

logm = ^rr+TiVir^^+TifrWy-'+ 48UIoo ^'+ u.s.w. 
mm= 1 +^rr+-yVo-y^+ 1 oVs o r^+ u.s.w. 

I»* = 1+4-^^+ A^*+ U.S.W. 

!»• = l+4^rr+ u.s.w. 

u. 8. w. 
logn = — Ar^y— ytW^^— iftAio ^— Bortsoo ^^— u.s.w. 

nn= 1 — ^rr+T+TT^*— TTrfrö-^*+ u.s.w. 

n* = 1 — 4^rr + Vtr^* — u.s.w. 

n* = 1 — i rr + u. s. w. 

u. 8. w. 

Wir erhalten demnach für die Logarithmen von t, /, 6, oder vielmehr fOx die 
Unterschiede dieser Logarithmen von den genäherten Werthen logt, logX, log 6, 
zusammengesetzte Reihen , welche fortschreiten 

für log t nach den geraden Potenzen von t und r, und deren Producten , 

für log l eben so nach X und r , 

für logb nach S, X und r, 



BEB h6HEBK 0S0DAB8DL ZWEITB ABHAlfDLUNQ. 307 

und die beigebrachten Zahlen enthalten diese Entwicklung bis zu den Grössen 
der achten Ordnung (einschl.) , daher t, U h selbst dadurch bis zu den Ghrössen 
der neunten Ordnung einschliesslich, oder der eilften Ordnung ausschliesslich 
bestimmt werden« 

Die Entwicklung von log h kann auch auf eine andere Art, nemlich nach 
den Potenzen von 6« x und r geschehen. Setzt man 

z = tangy 
so wird 

y = si—\z^+\z^—\z''{'\s?— U.S. w. 
und hieraus 

logy = logflf — 4^««+rt«*— TVW«*+WWir«'— U.S.W. 
Wendet man diese Beihe an auf die Gleichung 

nachdem man derselben vermöge der Substitutionen 

tang-B.tangr= ~ 



m^ 



folgende Gestalt gegeben hat 

SO ergibt sich 

log* = l(^ö-|-log«4-i^jn«iT-+Vr«»*'c*4-xlT»»*'c*+TAT»'t'+ U.8.W. 

— i A Vi ^•(«•+im*TT4- U.8.W.) 
+TTHfhnröV+ "-s.w.) 

+ U.8.W. 

oder , indem man die Glieder gleicher Ordnung zusammenfasst , 

47* 



308 iniTEB80C!HDKaEN ÜBESi GXaXSSftiSDK 

logJ = log6+log«t 

— ^>nfn(200 — 3tt) 
^_.,.^«,*{26e* — 60ÖÖTT +45T*) 
_.,^^jly^»l*(502S*— 1638 6*TT4-1890e6T*— 945t«) 
+ TTi5Vimnr»»'(7 1 02Ö*— 301 206*TT+ 491 406*T*— 37800 66t* 

+ 14175T*) 

— U.S.W. 

Durch Substitution der oben gegebenen Werthe von logm, mm, m* u. s. w. 
erhält man hieraus die gesuchte Reihe, welche sich übrigens auch aus der erstem 
nach 6, X, r fortschreitenden unmittelbar ableiten lässt, indem man rr — 66 — tt 
för XX substituirt. 

19. 
Für unsem Zweck reicht es hin . die Formeln nur bis zur vierten Ordnung 
(einschL) genau aufzustellen , nemlich 

log* = logT+,V(2»'»-+") + TTrW(l4»^4-20»'»-CT+ 11 T*) 
logi ==logX— ^(rr— XX)— rBVir(r*-l-10rrXX— 11 X*) 
logfc = log6 — ^(rr— 66 — 3XX)— TT^(r*+10rr664-30rrXX— 116* 

— 3066XX— 45X*) 

Anstatt der letzten Formel kann man auch eine der folgenden gebrauchen : 
logfc = log6+^(2rr — 2öörf-3TT) + ,-gV«r(^4r*— 40rröö+60rrTT + 26Ö* 

— 606ÖTT + 45T*) 

log6 = log6+TiV(2^X+TT) — yT5Vir(1266XX— 12ÖÖTT— uX*— 32XXttH-t*) 
logfe = logö+Vir(2XX+TT) — y^V7r(l2rrXX— l2rrTT — 26X^ — SXXtt — 11t*) 

In allen diesen Formeln sind r, 6, X< t, 6, /, t als in Theilen des Halbmessers 
ausgedrückt und die Logarithmen als hyperbolische zu verstehen. Sollen dage- 
gen jene sieben Grössen in Bogensecunden ausgedrückt und die Logarithmen die 
briggischen sein , so erleiden die Formeln weiter keine Veränderung, als dass der 
gemeinschaftliche ZahlencoSfficient der Glieder zweiter Ordnung ^ in 4*1^« und 
der gemeinschaftliche ZahlencoSfficient der Glieder vierter Ordnung yVsir ^ *' 
verwandelt werden muss , wo pi, v die Producte der Grössen i^y p p und y^^Vv P* 



DEB HÖHBBN GEODAE8IB. ZWBFTB ABHANDLUNG. 309 

in den Modulus der briggischen Logarithmen bezeichnen , p in der im Art. 1 6 
angegebenen Bedeutung genommen (und damit auch |ji). Man hat für diese con- 
stallten Factoren 

logtJt = 7.9297527989 (—20). 

logv = 4.9206912908 (—30) 
Bis zu den Gliedern zweiter Ordnung stimmen diese Residtate mit den im 
17. Art. gegebenen überein. Der Zweck der vorstehenden weitem Entwicklung 
war nur, klar hervortreten zu lassen, dass selbst zur schärfsten Rechnung die 
Glieder zweiter Ordnung völlig zureichen : in der That kommt in dem ganzen Han- 
noverschen Dreieckssysteme kein Fall vor, wo die Glieder vierter Ordnung den 
Betrag von zwei Einheiten der zehnten Decimale erreichten , und nur ein Paar 
Fälle, wo sie Eine Einheit der zehnten Decimale überschreiten. 

20. 
Wenn unsere Formeln , welche nicht von der Breite und dem Azimuth an 
dem einen Orte , sondern von dem Mittelwerthe dieser Grössen an den beiden 
Ortem ausgehen , zur Auflösung der zu Anfang dieser Abhandlung aufgeführten 
Au%abe benutzt werden sollen , so wird diess auf eine indirecte Art , oder richti- 
ger durch stufenweise beliebig weit getriebene Annäherung geschehen müssen. 
Der Gang der Arbeit besteht darin, dass man von irgend einem genäherten Werthe 
Ton T ausgeht (wofür man in Ermangelung aller anderweitigen Kenntniss oder 
Schätzung zuerst das gegebene Azimuth an dem ersten Orte annehmen kann) und 
daraus einen viel scharfem ableitet; mit diesem dann dieselbe Rechnung wieder- 
holt, und damit so lange fortfahrt, bis man zu stehenden Resultaten gelangt. 
Man hat dabei zu beachten, dass bei den ersten Rechnungen nur 4 oder 5 Zifem 
der Logarithmen berücksichtigt zu werden brauchen , und dabei ß und t anstatt 
der corrigirten b und t angewandt werden dürfen , daher man auch , bei diesen 
ersten Rechnungen , sich um X und / noch nicht zu bekümmern braucht. Die 
Formeln sind so, wenn für den ersten Ort die Breite mit B^, das Azimuth mit 
T^ bezeichnet wird , der Reihe nach folgende : 

ö = rcos T 

5 = 5^—^0 

T =rsinrtang-B 



310 UNTEBSUCHimaEK ÜBEB GEOENSTÄNDB 

Nachdem man dahin gelangt ist , dass bei dem Gebrauch von fOnfzifrigen Loga- 
rithmen der Werth von T sich nicht mehr ändert , berechnet man X nach der 
Formel 

4 

X = rsin Tsec-B 

und l^rt dann eine neue Rechnung mit sieben Decimalen , wobei man die loga- 
rithmischen Correctionen vermittelst der Formeln 

logfc = l0gS + |JlXX + ^|JlTT 

log* = logT-f-|xrr4-yK''c'^ 

zuzieht und B = £^ — ^6, T = T^ — ^t setzt. Eine noc)mialige Wiederholung 
wird in der Begel dieselben , oder kaum merklich geänderte Resultate wiederge- 
ben , und dann erst wird auch noch die Berechnung von / nach der Formel 

log/ = logX — ^jjLrr-f-^^jJtXX 

beigefügt. Um^die Schnelligkeit der Annäherung (die hauptsächlich von der Klein- 
heit von r abhängt), an einem Beispiele zu zeigen, setze ich die Hauptmomente 
der Rechnung für den Übergang von dem Dreieckspunkte Brocken zu dem Punkte 
Inselsberg hieher. Es ist diess die grösste Dreiecksseite in dem Hannoverschen 
Dreieckssystem , viel grösser , als sonst bei trigonometrischen Operationen vorzu- 
kommen pflegen. 

Bei der nach den Grundlägen der ersten Abhandlung bearbeiteten conformen 
Darstellung auf der Kugelfläche ist die Breite des Brockens J3^ = 5 1®46'3"6345; 
das Azimuth der Seite Brocken -Inselsberg T® = 5® 42' 21" 7704; der Loga- 
rithm dieser Seite in Toisen = 4,7353929 oder in Theilen des Halbmessers 
= 8,22018543, oder in Bogensecunden , wie bei unsern Formeln vorausgesetzt 
ist, k)gr= 3,5346106. Setzt man zuerst T=5^42', so wird 

6 = 3408" 

5 = 51^17'40" 

T = 424" 

und folglich ein genäherterer Werth 

r= 5® 38' 50" 



DBB HÖHEBN (»ODABBIB. ZWEITE ABHANDLUNO. 311 

Die hiemit wiederholte Bechnung ergibt 

Ö = 3407" 9 
B— 51^ 17' 39" 7 
T = 420" 55 
r= 5^ 38' 51" 5 

Mit diesem Werthe von T wird nun die schärfere Rechnung angefangen und da- 
bei zugleich die logarithmische Correction mit zugezogen. Es findet sich, in Ein- 
heiten der siebenten Decimale , 

lirr = 99.76 
jjiXX = 2.47 

JJLTT = 1.50 

folglich 

|JtXX-f-i^{lTT = +3 

{irr -j-^jjLTT = +101 
— itjJtrr+iJ.jjLXX= —49 
and 

logö = 3.5324974 
logfc = 3,5324977 
b = 3407"9852 
B= 51® 17' 39" 6419 
logt = 2.6238492 
logt = 2.6238593 
t = 420" 5904 
T= 5® 38' 51" 4752 

Eine nochmalige Wiederholung der Rechnung mit diesem Werthe von T bringt 
bei b gar keine Änderung hervor, und t verwandelt sich in 420" 5898. Man er- 
hält daher 

Breite des Punkts Inselsbeig 

£• — ö = 50® 49' 15" 6493 

Azimuth der Dreiecksseite Inselsberg -Brocken 

T® — t-j-180® = 185® 35' 21" 1806 



312 UBTBBSUCHUKGEH tiSEB QBOEKSTIHDE 

Endlich findet sich 

logX = 2.7315487 
log/ = 2.7315438 

/ = 538" 9442 = 0® 8' 58^9442. 

Die Bequemlichkeit dieses Verfahrens wird allerdings erst dann in ihrer vol- 
len Grösse ftlhlbar, wenn man sich die Hülfen des kleinen Mechanismus bei Hand- 
habung derartiger Methoden zu eigen gemacht hat , wozu eine Anweisung hier 
nicht an ihrem Platze sein würde. Ich begnüge mich hier nur anzudeuten, dass, 
was in obigem Beispiele wie eine viermalige B^chnung erscheint, nicht in der 
Form von vier getrennten Bechnungen, sondern wie eine einzige geschrieben wer- 
den soll, indem man bei jeder neuen Überarbeitung nur die letzten Zi&m er- 
gänzt oder yerbessert. Jedenfalls braucht man immer nur die letzte Bechnung 
aufzubewahren , und gerade darin besteht ein grosser Vortheil , zumal bei Mes- 
sungen von bedeutendem Umfange, dass man dann den ganzen wesentlichen Kern 
der Berechnung für alle Dreiecksseiten im möglich kleinsten Baume und in der 
fibersichtlichsten zu beliebiger Prüfung der Bichtigkeit geeignetsten Form besitzt. 

21. 

Ich gehe jetzt zu der Hauptau%abe selbst über, welche für die Ellipsoid- 
fläche eine ähnliche Methode fordert, vrie für die Kugelfläche im Vorhergehenden 
gegeben ist. Die Auflösung dieser allerdings etwas verwickelten Aufgabe soll 
hier auf zwei ganz von einander verschiedenen Wegen abgeleitet werden. Da die 
eine Ableitung, mit welcher der Anfang gemacht werden wird, sich auf diejenige 
conforme Übertragung der Ellipsoidfläche auf die Kugelfläche gründet, deren 
Theorie in der ersten Abhandlung entwickelt ist, so kann die Auffindung dieser 
Auflösung vne die erste mittelbare Benutzung dieser Theorie für die Zwecke der 
höhern Geodaesie betrachtet werden. (Vergl. Art. 11). 

Es mögen demnach jetzt durch JB+i^ ^iiid -B — ^6 die Breiten zweier 
Punkte auf der Ellipsoidfläche bezeichnet werden ; ihr Längenunterschied durch /; 
das zwischen ihnen enthaltene Stück einer geodaetischen Linie (und zwar hier 
nach beliebiger Einheit gemessen) durch r; die Azimuthe der Linie am ersten 
und zweiten Endpunkte durch T-f- i ' und T — ^ * + 1 8 0^ Es handelt sich also 
darum , 6, / und t aus r , B und T zu finden durch Formeln, welche den oben 



DER HÖHEBK OBODAESIE. ZWEITE ABHANDmNG. 313 

feür die Kugelfläche gegebenen analog sind , und in dieselben übergehen , wenn 
man die Excentricität = , oder die beiden Halbachsen der erzeugenden El^ 
lipse unter sich gleich und = 1 setzt. 

Die Breite des der conformen Übertragung auf die Kugelfläche zum Grunde 
übenden Normalparallelkreises bezeichne ich (wie oben Art. 3) mit P fOr die El- 
lipsoidfläche» und mit Q fär«die Kugelfläche; zugleich nehme ich an, dieser Nor- 
malparallelkreis sei so gewählt , dass Q dem arithmetischen Mittel der Breiten 
der beiden betreffenden Funkte auf der Kugelfläche gleich wird : diese Breiten 
selbst seien Q+i? ^^^ Q — i9- ^ sollen ferner a, A, a, e, 9, 6 dieselben 
Bedeutungen behalten , wie in der ersten Abhandlung , Art. 2. 3. 4 ff. ; es bedeu- 
ten nemlich 

a die halbe grosse Achse des EUipsoids , oder den Halbmesser des Äquators, 

A den Halbmesser der Kugel, 

1 : a das constante Verhältniss der Längenunterschiede auf dem ElUpsoid zu 
den entsprechenden auf der Kugel , 

e = sin <p die Excentricität der erzeugenden Ellipse , 

sinO = esinP. 

Den zwischen den beiden Funkten auf der Kugelfläche enthaltenen Ghrösste- 
kreisbogen bezeichne ich mit s ; die Azimuthe dieses Bogens am ersten und zwei- 
ten Endpunkte mit 17+ ^ti und U — ^ti+ 180^ Erwägt man nun noch, dass 
der Längenunterschied zwischen beiden Funkten = a/ ist, so findet man zu- 
nächst die vier strengen Formeln 

sin^^.cosU =: cosj^al.sin^q 
sin ^5. sin 17 =sin^a2*cosQ 
cos^^.cos^tt = cos^a/.cos|^^ 
cos^^.sin^tt = sin ^a/. sin Q 

und hieraus die näherungsweise richtigen 

q = s.coBU{i'}'^qq — ^ss-{'^aall) (1) 

al= s .'^{1-^ss^^aall) (2) 

u =: s.sinü.teingQ{l+-^ss+-^uu) (3) 

£s ist unnöthig zu erinnern , dass in diesen drei Gleichungen It q, s,u in Thei- 
len des Halbmessers äusgedrfickt verstanden werden. Man sieht leicht , dass sie 

48 



314 T7MTEB8t7CHUKOEN ÜBEB GfiOBNSTÄKDB 

bis auf die fünfte Ordnung (ausschl.) richtig sind , indem s wie eine Grösse er- 
ster Ordnung betrachtet wird, und dass man, ohne den Grad der Schärfe zu ver- 
mindern, in den eingeklammerten Gliedern rechter Hand statt q^ al und u auch 
s . cos üy s . ^^^ , ^ . sin U. tang Q substituiren darf. 

22. ♦ 

Es müssen nun zuvörderst die Grössen B, b, T, t, r, welche auf der £1- 
lipsoidfläche ihre Bedeutung haben, mit ihren Correlaten auf der Kugelfläche 
Q, q, U, ii, As verglichen werden. Alle dafür hier aufzustellenden Gleichungen 
werden bis wenigstens auf die dritte Ordnung (einschl.) genau sein, und, dass 
dieser Bedingung genügt werde , wird sich aus der Entwicklung selbst leicht er- 
kennen lassen. 

Wendet man die im 8. Art. gegebene Reihe auf unsere beiden Punkte an, 
so müssen die dort allgemein mit p und q bezeichneten Grössen nach unserer 
jetzigen Bezeichnung ausgedrückt werden 

für den ersten Punkt durch -B+i-6 — P und ^q 
für den zweiten Punkt durch B — ^b — P und — 4^q 

und wir haben demnach die beiden Gleichungen 
B+^b=:P^^.q-j^,.cosP.8mP.qq 

H il_s(— cosP^+sinP*+£?6(5cosPlsinP^— sinP*))j* 

X 2 C08 9 -* 8 COS O" ' ^ 

— -^i — s (— cos P* 4- sin P* + <J c (5 cos P*. sin P»— sin P*)) o» 

Durch Addition und Subtraction ergibt sich also 

■ß = -P— ?^-^°«-P-*^^-P«« • ("*) 

b = 5?ii.<y+-— ll-_(_cosP»H-sinP*+<?c(5cosP*.sinP*— sinP'))^ (5) 

COSOp ■'■ * 8 cos 7' cos 0^ * ' ^ Iß :k \ t 

Man sieht übrigens leicht, dass die Gleichung (4) um Grössen vierter, die Glei- 
chung (5) hingegen nur um Grössen fünfter Ordi^ung ungenau ist. 

Um T und t mit XJ und u zu vergleichen , werden die am Schluss des 
1 5. Art. entwickelten Formeln benutzt werden müssen, denen eine Voraussetzung 



DER HÖHERN GäODAESIE. 2WBITE ABHANDLUNO. 315 

zum Grunde lag , welcher in der gegenwärtigen Untersuchung genflgt ist. Man 
hat dabei nur zu erwSgen , dass die dortigen ^^ und ^' nichts anderes sind , als 
hier T^^t — (17+^1«) und T — ^t — {U — j^u); femer das dortige h dasselbe 
was hier s ; endlich dass das dortige ^ von der hier mit U bezeichneten Grösse 
im Allgemeinen nur um eine Grösse zweiter Ordnung verschieden sein kann, je- 
denfalls aber der Unterschied wenigstens von der ersten Ordnung ist. Es ergibt 
sich so , auf die dritte Ordnung einschl. genau 

rjy I - . TT_i i < < coB P . ain P . sin Z7 . coa U * 3 



^ »^ 3r 1 2 cos ^ C08 Q 

^sinP.sinC 
1 2 cos 9 cos 

und folglich , eben so genau , 



r. . Yj . |^««cosP.8inP.8int7.co8Z7* 3 
— ^ A f __^ (J —— X n —4— — , s 

Z 2 I 12 COR CD coa Q 



r= u (6) 

t=^u 2 5 .s^ (7) 

6 C08 7 C08 ^ / 

Die Vergleichung der Länge der geodaetischen Linie auf dem Ellipsoid mit 
dem Grösstekreisbogen auf der Kugel ist zwar in Art. 1 5 f&r den in Bede stehen- 
den Fall nicht besonders entwickelt: es ist jedoch sehr leicht, diess zu ei^änzen. 
£s ist nemlich in den dortigen Bezeichnungen die Lfinge des geodaetischen Bc^ns 

welche Integration von x => — ^(A — 8) bis o? = +^(Ä+5) auszudehnen ist. 
Da ]f und ^ nur Grössen von der dritten Ordnung sind, so sieht man leicht, dass 
die Weglassung des Factors ^^ in dem Werthe des Integrals nur einen Fehler 
der siebenten Ordnung hervorbringen kann. Jene Länge ist also , bis auf die 
fönfte Ordnung einschl. genau, 

= ^(^— ijjiii?* — i|JiV)+ Const. 
Die Coefficienten jjl, {i' lassen sich angeben , wenn man in der Beihe 

- 2eecosP.smP « eeoonP* /. t ^^o;« I>»\/»* 

(welche von selbst aus der Art 9 gegebenen folgt) fftr j die Substitution macht 



48 



# 



316 UKTEBSOCHUNGEN ÜBER GEGENSTÄNDE 



(deren leichte Ableitung hier weggelassen werden kann) , und das Resultat mit 
der Beihe 

zusanunenhält. Ffir unsern gegenwärtigen Zweck ist jedoch mehr nicht nöth^, 
als nachzuweisen, dass die gesuchte Länge des geodae tischen Bogens von Äk 
nicht mehr als um eine Grösse fänfter Ordnung abweicht. Da nun ersichtlich 
Ä*+10**^^+5Ä^* ®i^® solche Grösse ist, so braucht der entwickelte Werth 

von jji' nicht hiehergesetzt zu werden. Für |i aber ei^bt sich der Werth 

* 

^etfOOsP.sinP • 

U = K — • COS V 

~ 80089COBO ^ 

und da £ cos ^ nach Art. 1 5 eine Grösse zweiter Ordnung ist , so wird offenbar 
auch (A'8-4-A2')H' eine Grösse fünfter Ordnung. 

Wir haben demnach, da h dasselbe bedeutet, was jetzt mit s bezeichnet 
ist , bis auf die fänfte Ordnung ausschliesslich genau 



r 
A 



^ = - (8) 



Endlich» damit alles fär die weitere Entwicklung erforderliche hier beisam- 
men sei, setze ich noch folgende schon in der ersten Abhandlung (Art. 4, 6 und 3) 
gebrauchte strenge richtige Gleichungen hieher : 

^ = -^ (9) 

QoosOcosP . . 

= ^ESir (*<*) 

8inQ = ^ 
und die aus der Verbindung dieser beiden hervoi^ehende 

t^r^Q^^L^ (11) 



23. 

Zur Erreichung unsers Zwecks brauchen nun bloss diese Gleichungen ge- 
hörig combinirt zu werden. 



DBB HÖHEBN OEODABSIE, ZWETtB ABHANDLUKO. 317 

Zuvörderst ergibt sich aus der Verbindung der Gleichungen (1), (2), (3)» 
qq^aall — tili — ss eine Grösse vierter Ordnung ist, daher man anstatt 
(2) auch schreiben kann 

oder wain man nach (8), (9) und (10) 

s = , acosQ.= 

schreibt , 

7 roosOsinZ//« « ^^ i « \ 

^= acosP C-^gg+^V^tl) 

Es wird femer ^p = ^0,^ — - vermittelst der Gleichung (4) und durch eine 
leichte Rechnung entwickelt in 

was bis auf die vierte Ordnung ausschl. genau ist. Wir haben daher, wenn zu- 
gleich T f&r U geschrieben wird , gemäss der Gleichung (6) , 

'= acosB (*- 24(l-.a,ini») 'gg+^«^) 

Nachdem in dem eingeklammerten Theile noch substituirt ist ,. "^^. . b ftii q, 
sodann t f&r u und endlich B für P, was alles, nach Gleichung (5), (7), (4), 
wie man leicht sieht, geschehen kann, ohne den Grad der Genauigkeit zu vermin- 
dern , und wenn wir ausserdem , zur Abkürzung , 

\J{i — eeHmB^) = k 
schreiben, so erhalten wir (I] 



24. 
Auf ähnliche Weise verwandelt sich Gleichung (1) in 

q = ^cosZ7(l — iV^J+iV^^+i^'*) 

und daher Gleichung (5) in 



318 ÜNTERSUGHUNaEK ÜBER OEGSK8TÄN0E 

Für cos 6* = (l — eesinP^)* findet man leicht die vermittelst (4) so weit, wie 
hier nOthig ist , geführte Entwickelang 

wodurch die Torhergehende Gleichung sich verwandelt in 

+ee(4cosP*8inP* + sinP*))]jj+TV"+i<*tt} 
oder in einer etwas veränderten Form 

Schreibt man nun noch hierin 

yKx-lVfLp^) ^^^^^ 9 . . wegen (5) 
rr(i--g<8in — )^ anstatt SS, wegen (8) und (9) 

T und t anstatt U und u, wegen (6) und (7) 
und zuletzt 

5 f ür P wegen (4) , 

was alles, ohne Nachtheil für die Genauigkeit geschehen kann, so erhält man (II) 

b = ^^;p.coHT{l—^,{2-^ee—{See — iie^)smB^—9eUmB*).bb 

' l2aaco8f' ' " » 

25. 

• 

Aus den Gleichungen (l)und (3) erhellet, dass qqu von ^'cosU'sinUtangQ, 
oder nach (11), von *'co8yco8^rini7.ta ngP ^^ ^^ ^^^ (jj.ggg^ ^^^^^^ Ordnung 

verschieden ist: es ist daher verstattet, die Gleichung (7) auch so zu schreiben 

t = tifl — rfl'?) 



BEB HÖHEBN OEODAE8IB. ZWEITE ABHAKDLDKO, 319 



oder wenn man fttr u den Werth aus (3) substituirt, und nach (8), (9), (11), 

rcosO* rcosOtangP 

setzt 



a cos f a tang Q 



Für co86.tangP= y^(l — e « sin P*). tang P findet man nach (4) den so weit wie 
hier nöthig ist entwickelten Werth 

V(t-ei?8in£*).tangJ5(lH .sco,y«(t-^T»inP') 'gg) 

und folglich 

. rA lang P Bin 17/. , 6#«4-(4«« — 1 4 •*) ^^ -P* + 5 «* «in P* , , , . ^ 

Macht man nun noch hierin dieselben Substitutionen, wie im vorhergehenden 
Art, so erhält man als Endresultat (III) 

, rktajigB.dRT f^ ^ $ee-{-(4ee — t4g*)sinP* + 5<*8inP* |^|^ , k* , . 

Die drei Formeln I, II, III enthalten im Wesentlichen die Auflösung unsrer 
Aufgabe. Dass sie bis zur dritten Ordnung einschliesslich genau sind, steht 
durch ihre Ableitung unmittelbar fest. Dass aber in der Wirklichkeit ihre Ge- 
nauigkeit noch eine Ordnung weiter reicht , oder dass der Fehler jeder der For- 
meln von der fünften Ordnung ist , wflrde sich leicht durch einige ergänzende 
Zwischenentwicklungen, oder auch dadurch darthun lassen, dass in den Aus- 
drücken ihrer Natur nach keine Grössen gerader Ordnung Statt finden können : 
ich halte mich jedoch dabei nicht auf. da die zweite in den folgenden Artikeln 
(26— 32) auszuführende Ableitung der Formeln dasselbe Resultat von selbst in 
sich begreift. 

26. 
Diese Untersuchung ist wie eine selbstständige von allem vorhergehenden 
unabhängige zu betrachten, und es sollen daher zur Bequemlichkeit und zur Ver- 
hütung von Ungewissheiten alle dabei zu verwendenden Bezeichnungen so wie sie 
auftreten erst erklärt werden. Meistens werden diejenigen Buchstaben , welche 
schon in der ersten Ableitung gebraucht sind» ihre dortige Bedeutung behalten, 
doch werden ein Paar derselben {u und s), da sie dort bloss Hülfsgrössen vorstel- 



320 miTEBSUCHinfOEN ÜBER OEG£N8TÄin>E 

len , die in den Residtaten nicht mehr erscheinen , hin ohne Ühelstand zu an- 
derm Zweck benutzt werden dürfen. 

Durch die zwei Funkte der Ellipsoidfläche , auf welche die Aufgabe sich 
bezieht, werde eine geodaetische Linie, zunächst von unbestimmter Ausdehnung, 
gefElhrt, und auf derselben ein beliebiger Anfangspunkt gewählt. Das Stück je- 
ner Linie von dem Anfangspunkte bis zu einem unbestimmten Punkte werde durch 
u bezeichnet; der Winkel, welchen, an letzterm Punkte, die geodaetische Linie 
mit dem Meridian macht, jene in dem Sinne wachsender ti, diesen von Norden 
nach Süden genommen , durch X ; Breite und Länge des unbestimmten Punk- 
tes durch Y und Z. Ich nehme an , dass die Längen von Westen nach Osten, 
die Azimuthe X in dem Sinn von Süden nach Westen zu wachsen. Werden 
nun noch, wie immer bisher, halbe grosse Achse und Excentricität der erzeu- 
genden Ellipse durch a und e bezeichnet , so hat man , aus bekannten Gründen 

* 

du (1— •«)« VM 

dZ daX{\^eennr*)^ . . 

du acosJT V / 

Es ist ferner , nach einem bekannten Lehrsatze die Grösse 

ibxX cotT 
^(1— ««sinF») 

fär alle Punkte derselben geodaetischen Linie constant, und hieraus, wenn man 
logarithmisch differentiirt 

cotangXdX = {UiugY- '"^l^J[ )dY= ^'-''^^f .dF 



folglich, aus der Verbindung mit (1), 



dX ainXtang F(t — ee sin Y* )* 

d« a 



(3) 



Wir wollen jedoch unsere Aufgabe allgemeiner fassen , und 

dX dY dZ 

dfi d« «5^ ' dtt 

setzen, indem wir zunächst nur voraussetzen, dass x^y, z irgendwelche gegebene 

« 

Functionen der beiden Veränderlichen X und Y sind. Es entstehe femer durch 
neue Differentiation 



DEB BÖHBBN CHCODAKBIE. ZWEITE ABHANDLDKG. 321 

da) = x'dX-i-ardY 

dy =ydXH-/dy 

d«=/dX+«"dF 

und dann durch nochmalige Differentiation 

dx = x^dX+ardY, dx' = «""dX+x'dF 
dy =y'"dX+/"dF. d/ = /"dX+^dF 
d/ = «"dX-f/^dF, diT = »""dX+«MF 

Es wird demnach , insofern Zt implicite , nur eine Function von u ist , 

dZ 

di =^ 

Die successiyen Differentialquotienten von X und Y lassen sich auf die* 
selbe Art entwickeln, oder unmittelbar aus denen von Z ableiten, wenn man 
nur darin fQi z ohne und mit Accenten beziehungsweise «r und y ebenso accen- 
tuirt substituirt. 

27. 
Es seien nun die bestimmten Werthe , welche die vier Grössen u, X, F, Z 
in den beiden Punkten annehmen , auf welche unsre Aufgabe sich bezieht , der 
Reihe nach, 

fOr den ersten Punkt JB — ^r, T+it*, B+^b, L-\-^l 
far den zweiten Punkt R+^r, T—^t, B — j^b, L—^l 

und eben so, fOr denjenigen Punkt der geodaetischen Linie, welcher zwischen 
jenen in der Mitte liegt , beziehungsweise B, T, B, L , wo demnach die Cursiv- 
typen T, B, L von den Antiqua T, B, L wohl unterschieden werden müssen. 
Es mögen ferner die in der Gestalt von Functionen von X und Y erschei- 
nenden achtzehn unbestimmten Grössen 

y> y. /. y"". r. y' 



X, z, z , z , z , z' 



49 



822 WXTBBSaCBnSSBS tlBEB OBQBHSTillDB 

durch die Substitution X = T, Y= B die bestimmten Werthe 

/. /'. f' /". /". r 

y. ff'^ /. ff", f. g' 

h, Ä', h\ IC, h"", h" 



annehmen ; hing^en durch die Substitution X = T , y = B folgende 

f, f, f", r, f"". f^ 

g. g'. g". g". g^. g" 
h. h'. h", h". h"", h' 

Durch den TmoBschen Lehrsatz wird der Werth von Z &a u =. Rr—\r in 
die Beihe 

entwickelt, und der fttr u ^= R-\-\r in 

wo fClr die Differentialquotienten diejenigen bestimmten Werthe gesetzt werden 
müssen , welche dem Werthe u = R entsprechen , also 

dir =t 

i^=fh'+gh'' 

^ = ff h'+fg'h"H-rgh'+gg''h''+ffh"'H-2fgh'"+ggh' 

Da nun jene beiden Werthe von Z beziehungsweise = i-f--|-/ und L — 4-/ 
sind , so erhalt man 

i = L+i(fh'+gh'')rr (4) 

l =_hr— A-(ffTi'+fgV+rgh'+ggTi''+ffh-'+2fgh'"+ggh^t'. . (5) 

WO die erstere Gleichung bis auf Grössen der vierten, die andere bis auf Grössen 
der fünften Ordnung ausschl. genau ist"^). 

•■ 

*) Die Bemeasung der Ordnungen geschieht so, dass — wie eine Grösse erster Ordnung betrachtet 

a 

wird. Man erkennt leicht, dass die CoäfBcienten von r, rr^ r* u.s.w» die Divisoren a, aa, a* u.s.w. 
implioiren. 



DER HÖHXBN GBODAESIB. ZWEITE ABHAlfDLUKG. 323 

Wenn man erwägt , dass in der obigen Entwicklung in Beziehung auf Z 
nichts weiter vorausgesetzt ist , als dass es eine von u abhängige veränderliche 
GrOsae ist, deren Differentialquotient j^ = izr durch irgend eine Function von 
X und Y ausgedrückt werde , so kann man die gefundenen Resultate auch un- 
mittelbar auf jede andere in gleichem Falle sich befindende veränderliche Grösse, 
namentjüch auf X oder Y selbst, übertragen, wenn man nur anstatt X, L, /, 
und der verschieden accentuirten h beziehungsweise T, T, t und die verschie- 
denen f , oder £, B, 6 , und die verschiedenen g einschiebt. Zunächst gibt uns 
demnach die Gleichung (4) , von welcher hier sonst kein directer Gebrauch ge- 
macht wird, folgende beiden, gleichfalls bis zur vierten Ordnung ausschl. genauen : 

r=T++(ff+f''g)rr 
5 = B-f-i(fg-fgg>r , 

Man schliesst hieraus zuvörderst, dass h und h , als die Werthe von z^ je nach- 
dem man Tund £, oder T und B für X und Y substituirt, von einander um 
eine Ghrösse zweiter Ordnung verschieden sind, und zwar wird dieser Unterschied, 
bis auf die vierte Ordnung ausschl. genau , bestimmt durch die Formel 

h = h+i(ff'+rg)rr.(i|)+i(fg+gg'')rr(^) 

J r J 

WO fbr die partiellen Differentialquotienten ( j^) und (^) , oder z^ z" ihre be- 
stimmten Werthe bei X = T, F = B anzunehmen sind, nemlich h' und h''. 
Es ist also , bis auf die vierte Ordnung genau , 

h = Ä— Kff'h'-l-fg'h''-ff''gh'+gg''h'')rr 

und vermöge der Substitution dieses Werths in der Gleichung (5) wird bis auf 
die fonfte Ordnung ausschl. genau 

/ = _Är-f-Vt(2ff'h'.}- 2fg'h''+2r'gh'-i. 2gg''h"— ffh"'- 2fgh'"'— ggh^)r* 

Aus gleichen Gründen wie h von A, werden auch f,f', fu.s. w. g, g'. g" u. s. w. 
h', h" u. 8. w. von /, f, f* u. s. w. g, g\ y" u. s. w. A', K u. s. w. beziehungsweise 
am Grössen zweiter Ordnung verschieden sein, und man kann daher in dem eben 
gegebenen Ausdruck fOr / anstatt jener Grössen die letztem ohne Verminderung 
des Grades der Genauigkeit substituiren. Es ist also gleichfalls bis auf die fünfte 
Ordnung ausschl. genau 

49* 



324 UinXBBOOBUKaBM DBER flBaEHBTiNDE 

/ = -hr+M^fffi-\-^rfffi+^f9'h''+^9trh'-ffir—2fgr~ggK'y..{i) 

Der obigen Bemerkung zufolge darf man nun auch in dieser Gleichung / mit t 
oder mit b vertauschen , wenn man nur 

anstatt h, h\ h", K", r, JC 
im erstem Falle /. /'. /". /". /"", f 
und im andern g , g', g", g", g"", g" 

setzt, so dass man hat 

b = -ffr+^2ffff'+ 2/V/+ 2///+ 2^//-//^-- ^fgr-ggs") t^. . (8) 



28. 
Die drei Formeln (6), (7), (8) enthalten bereits das Wesentliche zur Auf- 
lösung unsrer Aufgabe , so dass zu ihrer Vervollständigung nur noch eine mecha- 
nische Bechnung , nemlich die Entwicklung der Werthe der verschiedenen Diffe- 
rentialquotienten und deren Substitution übrig bleibt. Jene Entwicklung gibt, 
indem wir sofort anstatt der unbestimmten Werthe <r, a' ü. s. w. y u. s. w. die za 
X = r, T = B gehörigen bestimmten /,/' u.s. w. , g u.s. w. schreiben, und 
zur Abkürzung noch setzen 

C08B = c 

sinB = s 

\/{\—e€8mB*) — k 

folgende achtzehn Werthe : 

^ knnT 

J ae 

/kooBT 
ae 

= H .S 

' ae 

r^-^e-ii-^eess-i-ees*) 
/^=-^-((2-3")*+(«+2«*)^-(2««H-«*)*'+«V) 



DBR HÖHEBN OBODABSIX. EWSTTB ABHANDLUNG. 325 

9 — — 'a(l-##) 

9 — -ro(i— •«). 

AT :^ — — r r-.Co 

^ a(l— e#) 

« »einT 



K = 



ac 
ibcosT 



JksinT 



4- = + 
A-=_?2!^.(l_ee)« 

29. 

Wir wollen nun die drei Gleichungen (7), (8), (6) in folgende Fonn setzen 

t = — /r(l+Frr) 
6 = -yr(l+(?rr) 



wo 



fr = .r 



a 
ib'oosT ^ 



~9'^ — a(l— •«) 
— kr = 5.f 

beziehungsweise die genäherten und bis auf die dritte Ordnung ausschl. genauen 
Werthe von t,h,l sind, die zur Abkürzung mit x. 6, X bezeichnet werden 
soHen. Jede der Grössen F. ö. JT ist das Aggregat von sieben Theüen, 
nemlich 



326 uirrKunucHUMBir Obu cebcucbwtXkdis 



-" tJA 12* UA 12A "T- J4A -r ,,;k "* 24A 



30. 
Die Werthe der sieben BestandtheUe von F eigeben sich der Beihe nach 

.. AAcosT* 

/ I2aaec 

^x AAcosT* /- Ä I 4\ 

' ' 4aa(i — €ef ^ ' ' 

^. AAsinr» 

5) — — .SS 

«V I AAcosT* /. Ä I 4\ 

Hier destruiren die Bestandtheile 2 und 6 einander ; 1 , 4 und 7 vereinigen sich zu 



die Bestandtheile 3 und 5 hing^en zu 



+ ,//r X .(2— (l4-3ee)jJ+2eej*) 

' 24aa(t — ««Jcc \ ^ ' / • / 

oder, da 2 — {\-\'Zee)ss-\-2ees*^ identisch ist mit 2ccArAr+(l — ee)ss, zu 



A*8inr* . AAsinT« 



•^ I2aa(l— «•) "^ 



(l— e«) ' 2Aaace 



.SS 



Indem man nun noch - — r in 

12aa(l — ee) 



A» A*8inr* 



I2aa(i — •«) l2aa(l— ««) 

verwandelt , und alles vereinigt , erhält man 

l2aa(i— 0«) » 24aa ' 24aa(i— •#)• ^ ' ^ ' • ' 



DISB HÖHEBN QIBODABSIE. JEWETTB ABHAKDLUVO. 827 

und hieraus, in Gemässheit von t = z{i-^Frr), 

' = '^M+ri^^^r7i)-^^+Vr" + ii^^ 14e*)w+5^V)««j.. (9) 

4 

31. 
Ffir die sieben Bestandtheile von O ergeben sich folgende Werthe : 

1) +7^ — -•«* 



aaee 



2) +Ii^7^^.-(^-2*"*+«***) 

3) _lf**^.,, 

' 4aa(l — ••) 

f Kaa\\ — ««)■ 

^ 24aaee 

6) +1 — ü \^^^ 

' ■ 4aa(l — «e) 

7) __/l**£?^;.(i_(2 + 2ee)**+3e««*) 

Hier destruiren die Theile 3 und 6 einander; die übrigen vereinigen sich, in- 
dem man einerseits 1 , 2 und 5 , andererseits 4 und 7 zusammenfeusst , in 

■ khf^T- /2,L(i_5eg)^g+2geO 

•^2400(1— «d)«« V > ^ ' * / 

-ilMf2!£l. (i-(2 -4«e)*«— 3««**) 

8aa(l — «•)• \ \ I r 

Das erste Glied verwandelt sich« da 2 + (l— 5ee)^Ä+2e^^* mit 2ccAA-f-3(l — ee)*« 
identisch ist , in 

I ft il A M/l 



I2aa(l— ••} * Saaeo 

Lösen wir hier -r — t r in ? r — rr — ?: ;.(! — e«««) auf, so gibt 

die Vereinigung aller Theile 

Q= ^1 .kk^T-i^S^ **??!tll^.(2+«e^ 

I2aa(l— «•) »^ 8aa 24aa(l— ••)* ^ * ^ ' . ' 

und hieraus, in Gemässheit von 6 = 6(l+6rrr), 



328 UNTERSUCHUKaBK ObSB GEGSNSTlEnOE 

32. 
Endlich ergeben sich die Werthe der sieben Bestandtheile von H folgen- 
dermaassen : 

1) \.SS 

I aaee 

3) +TS T-*^ 

' ' \2aacc 

I * Kaa\\ — 1€) 

5) — T. -^^ 

^ ^Kaaee 

6) +*4^??^.« 

7) +_**52ILZl_.(i+,,_2«e«*) 

Die Glieder 1 und 6 destruiren einander; die übrigen ei^eben durch ihre Ver- 
einigung 

2Aaaec 24aa(l — e«) ^ ' 

woraus, in Gremässheit von l = X(l + lfrr) hervorgeht 

^ = ^(l+iV"— ^.(1— 10ee*Ä)gg) (11) 

Die Formeln 9, 10, 11, welche die Auflösung unsrer Aufgabe in sich fas- 
sen, unterscheiden sich von den Formeln HE, II, I, (Artt. 25, 24, 23) bloss darin, 
dass jene innerhalb der Parenthesen da x und 6 haben , wo in ^diesen t und 6 
steht , was , wie man leicht sieht , in den Endresultaten nur Unterschiede fünfter 
Ordnung hervorbringt : da nun jene , wie aus ihrer Ableitung erhellet , bis zur 
fQinften Ordnung ausschl. genau sind , so ist bewiesen , dass auch die nach der 
ersten Methode gefundenen Formeln I, II, III (Art. 23 — 25) dieselbe Genauig- 
keit besitzen. 

33. 
Zur liumerischen Berechnung wird man die Formeln 9, 10, 11 lieber in fol- 
gende logarithmische Form bringen, bei welcher offenbar der Grad der Grenauig- 
keit unverändert bleibt ; M bezeichnet darin den Modulus des gewählten Loga- 
rithmensystems : 



DER HÖHBRBT QBO0AEgIE. ZWEHS ABHAMDLUNG. 329 

log6 = logg+7j^^[~:77j.rr+iJ^^ 

Da, wie man leicht sieht, in allen bisher entwickelten Formeln die Grössen 
t, T, 6, 6, /, X als in Theilen des Halbmessers ausgedrückt angenommen sind, so 
wird man, wenn jene in Secunden ausgedrückt und dieselben Bezeichnungen fElr 
de beibehalten werden sollen • den Formeln fElr t, 6, \ (Art. 29) noch den Factor 
- beifügen müssen ; in den Gleichungen 9, 10, 11 hingegen, so wie in den dar- 
aus abgeleiteten logarithmischen, muss den Gliedern, die tx oder €6 enthalten, 
noch der Factor p p zugesetzt werden , wo p (eben so wie oben Art. 1 6 und 1 9) 
die Grösse des Bebens von einer Secunde in Theilen des Halbmessers bedeutet. 
Behält man nun auch noch |a in der oben gebrauchten Bedeutung bei , nemlich 

|i = iVJfcfpp 
und schreibt zur Abkürzung 

(1)= ~ 

^^' "^ a(i— e«)p 
^ ' , 12aa(t— ««) 

(4) = 5^»(5e«-h(4e«— 14e*)««+5e*«*) 

(5) = ^.(2+««— (See— 14«*)*« — 9/«*) 

(6) = ^^^(l-10ee««) 

(7) = iti 

80 ist unsre Auflösung in folgenden sechs Formeln enthalten ; 

T = (l)r8inrtangB 

6 = (2)rco8r 

X r= (l)r8inr8ecB 
logr = log! +(3) rr -f. (4)66+(7)tt 
log6 = logö+(3)rr— (5)ö6+3(7)tt 
log/ = logX, — (6)öeH-(7)TT 

• 50 



330 yNTEBSÜCHDNOBN ÜBSB GBOEHSTANDE 

34. 

Von den sieben CoSfficienten (1), (2) u.s. w. ist der letzte constant, nemlich 

log (7) = 7,6287228032(— 20) 
und log3(7) = 8,1058440580(— 20) 

die flbrigen werden, sobald bestimmte Werthe für die Dimensionen des EUipsoids 
gewählt sind , Functionen der Breite B, und lassen sich also in eine Tafel brin- 
gen, deren Argument B ist. Steht eine solche Tafel zu Gebote, so i«t die Rech- 
nung nach dieser Methode fElr das EUipsoid eben so bequem , wie die Rechnung 
ftlr die Kugel. ^ 

Ich fßge am Schlüsse dieser Abhandlung eine solche Tafel für die Zone von 
51^ bis 54^ bei, in welcher die Werthe von B von Minute zu Minute fortschrei- 
ten , und bemerke dazu folgendes. 

Von den Ellipsoidelementen ist die Tafel nur in so fern abhängig, als darin 
eine bestimmte Abplattung oder ein bestimmter Werth von e zum Grunde gelegt 
ist, derjenige nemlich, welchen die letzte von Bessel ausgeführte Rechnung erge- 
ben hat, und der auch der der ersten Abhandlung beigefügten Tafel zum Grunde 
liegt (s. Art. 5). Damit der Zahlen werth von a bloss von der Abplattung abhan- 
gig werde , ist als Einheit nicht die Toise oder ein sonstiges willkürliches Maass 
angenommen , sondern der zehnmillionste Theil des Erdmeridians , wonach also 
a unmittelbar durch e vermittelst der Gleichung 

,. 1 1.3 Ä 1.3.15 s U3. 15.35 8 1.3.15.35.63 iq \ 

Tcafl ee e e e e — u. s.w.) 

^ 4 4.16 4.16.36 4.16.36.64 4.16.36.64.100 ^ 

= 20000000 

deren Gesetz offenbar ist, gefunden werden kann, oder vermittelst der ihr gleich- 
geltenden 

20000000/. ,1 I 7 4 , 15 6 , 579 g , 1515 io i ^ \ 

a ^ — '■ (iH — ee-A — e -{ e -\ e -A e -t- u.s.w.) 

IC ^^^ 4 '^64 "^256 '^16384 '^65536 "^ ' 

Man findet so , mit jenem Werthe von e . 

fl= 6376851,447 
loga = 6,8046062999 

Es versteht sich , dass bei Anwendung unsrer Tafel auch r erst in derselben Ein- 
heit ausgedrückt sein muss ; um dies zu erreichen , wird man (gemäss dem von 



DEB HÖHEBN OEODAfeSIB. ZWBITE ABHAMDLUNO. 331 

BEsaiL in Toisen angegebenen Werthe von a , Art. 5) , wenn r ursprOnglich in 
Toisen ausgedrfickt war , zu dem Logarithmen hinzuzusetzen haben 

0,2897827662 

« 
oder, wenn r ursprünglich in französischen gesetzlichen Metern gegeben war, 

wird von dem Logarithmen subtrahirt werden müssen 

0.0000371638 

Die Glieder , welche die Factoren (3), (4) u. s. w. enthalten , können als 
Correctionen betrachtet werden, durch welche die genäherten Logarithmen 
logt, log 6, logX in die berichtigten logt, logt, log/ verwandelt werden. Diese 
Correctionen sind in allen Fällen, für welche unsere Methode angewandt werden 
soll, nur sehr kleine Decimalbrüche , und da jene Logarithmen in der Begel sie- 
benzr&ig gerechnet werden, so ist es bequem, auch jene Correctionen sofort in 
Einheiten der siebenten Decimale ausgedrückt zu erhalten. Dies geschieht, in- 
dem man den Coöfficienten (3), (4)u.s. w. anstatt der im vorhergehenden Art. an- 
gegebenen Werthe zehnmillionenmal grössere beilegt, oder ihre Logarithmen um 
sieben Einheiten vergrössert. Auf diese Weise sind sie in unserer Tafel ange- 
setzt, und so wird denn auch 

log (7) = 4,62872 (—10) 
log3(7) = 5,10584 (—10) 

gesetzt werden. Übrigens sind auch so noch (3), (4), (5), (6), eben so wie (1) 
und (2) achte Brüche , oder ihre Logarithmen an sich negativ : in der Tafel ste- 
hen sie aber nach üblicher Art , indem sämmtlichen Logarithmen 1 Einheiten 
geborgt sind. 

35. 
Von der Benutzung unsrer Formeln zur Auflösung der zu Anfang dieser Ab- 
handlung aufgestellten Aufgabe gilt nun alles, was oben (Art. 20) in Beziehung 
auf dieselbe Aufgabe für die Kugelfläche gesagt ist , fast unverändert und unter 
geringen Modificationen. Bezeichnet man die wirklich gegebenen Grössen, nem- 
hch die Breite und das Azimuth an dem ersten Orte mit B^ und T®, so wird 
man zuerst , von einem genäherten Werthe von T ausgehend (wofür man in £r- 

50* 



332 oirrEBSucHDKaEN Obeb obqbmstIiidb 

mangelung aller andern Kenntniss T" annehmen mag), die vier Formeln berechnen 

ö = (2)rcosr 

t = (l)rsinrtangB 

r= r"— ix 

und zwar wird man den Werth von (2) , der aus der Tafel mit dem Argument B 
entnommen werden sollte , das erstemal mit dem Argument £9 entnehmen kön- 
nen , wenn man nicht durch Schätzung einen schon mehr genäherten Werth von 
B anticipiren zu können glaubt; den Werth von (1) nimmt man aus der Tafel 
mit dem eben gefundenen Werthe von B. 

Dieselbe Bechnung wiederholt man mit dem durch die vierte Gleichung ge- 
fundenen Werthe von T, indem man (1) und (2) mit dem schon verbesserten B 
aus der Tafel entlehnt ; und so macht man nöthigenfalls eine abermalige Wieder- 
holung, bis das Resultat zum Stehen kommt, d. i. bis man durch die vierte For- 
mel denselben Werth von T wiedererhält, von dem man zuletzt ausgegangen war. 
Zu allen diesen Eechnungen* wird man nur fünfzifrige Logarithmen verwenden. 

Bei den weitern Wiederholungen wird man die Bechnung mit siebenzifri- 
gen Logarithmen fahren , die logarithmischen Correctionen von logt und logS 
mit zuziehen, und B = B^ — ^-6, T =• T^ — -l-f setzen. Erst wenn auch diese 
Bechnung stehende Besultate gegeben hat, wird man auch X und / nach den am 
Schluss des 3 3. Art. gegebenen Formeln berechnen. Zur Erläuterung dieser Vor- 
schriften mögen hier die Hauptmomente eines Beispiels stehen , welches eben so 
wie oben Art. 20 bei der sphärischen Bechnung von der Dreiecksseite Brocken- 
Inselsbei^ hergenommen ist. 

Bei der elhpsoidischen Bechnung ist die Breite des Brockens 

= 51^ 48' J" 9294 = B9 

das Azimuth der Seite Brocken - Inselsbei^ 

= 5® 42' 21" 7699 = T^ 

Der Logarithm der Dreiecksseite in Toisen ist bis auf die siebente Decimale der- 
selbe wie in der conformen Darstellung auf der Kugelfläche, nemlich := 4,7353929, 
folglich in der unsrer Hfilfstafel zum Grunde liegenden Einheit logr = 5,0251 757. 



DER HÖHKRN OaODABBXE. ZWBIIS ABBJLMDLUHO. 338 

Wenn man, Behuf der ersten Annäherung, T = 5** 42' 22", und aus der 
Tafel mit Argument 51** 48' den Logarithmen von (2)= 8,51004 setzt, so findet 
sich 6= 3412". B=5t''l9' 36"; und, wenn man hiemit log(l) = 8,50893 setzt. 
T = 425 und T=; 5** 38' 49". Eine neue Bechnung mit diesem Werthe, wobei 
man (mit dem vorher gefundenen Werthe von B) log{2) = 8,51007 setzt, ei^bt 

= 3413", B=5l»19'35", t = 420"5. r= 5* 38' 51" 5 

Mit dem gefundenen Werthe von B entlehnt man aus der Tafel 

log(l) = 8,5089337 
log(2) = 8,5100716 
log(3) = 1,94876 
1(^(4) = 3,32553 
log(5) = 4,92770 
log(6) = 4.61132 

Mit r = 5<* 38' 51" 5 findet sich zuvörderst log 6 = 3.5331341, oder 
i = 3412" 983, und indem man hier noch einmal 6 anstatt b anwendet, 
£=51*19' 35" 4379. Hiemit femer logx = 2,6238475. HiernSchst findet 
man, in Einheiten der siebenten Decimale 

(3)rr = 99,80 
(4)öö= 2,46 
(5)6^ = 98,62 
(6)ög = 47,60 
3(7)tt = 2.26 
(7)TT = 0,75 

and hiemit die logarithmischen Gorrectionen 

von log6 + 3 

logx +103 

logX — 47 

Man hätte diese Rechnung auch schon mit den frühem Werthen von log$ und logt 
machen können, ohne ein anderes Resultat zu erhalten ; es wQrde dann sogleich mit 
legi = 3.5331344 der Werth von b = 3412" 985, und B = 51* 19' 35" 4369 



334 UNTERSUOHUNaEN ÜBER OEGBN8TÄNDE DER HÖHBRN GEODAESIE. 

sich ergeben haben. Aaf logx hat dies keinen ändernden Einfluss ; wir haben 
mithin logf = 2,6238578, f= 420" 5889, T = 5® 38' 51^ 4755. Wollte man 
mit diesem Werthe von T die Eechnung noch einmal durchgehen , so wSrde 
B keine Änderung erleiden; fBlr logx würde man finden 2,6238470, also 
log^= 2,6238573, f= 420" 5884, mithin T = 5® 38' 51" 4757. Eine noch- 
malige Eechnung mit diesem Werthe würde gar keine Änderung hervorbringen, 
und offenbar hätte man auch bei dem vorhergehenden Resultate schon stehen 
bleiben können, da bei der Anwendung siebenzifriger Logarithmen die vierte De- 
cimale der Secunde um eine oder einige Einheiten schwankend bleiben kann. 
Das Endresultat ist also 

Breite von Inselsberg = &—b = 50® 51' 8" 9444 
Azimuth der Seite Inselsberg- Brocken = 180®+ T® — t 

= 185® 35' 21" 1815 

Endlich findet sich für den Längen unterschied 

logX = 2.7313519 
log/ = 2,7313472 

/ = 538" 7002 = 0® 8' 58" 7002 

Es ist übrigens nicht nöthig, hier die am Sehluss des Art. 20 gemachten 
Bemerkungen zu wiederholen , welche auch hier ihre vollkommene Geltung be* 
halten. 



TAFEL, 



8S7 



}^mammsmm 



51 



B 


log(l) 


"~ 


» 0' 


8.5089417 




X 


»3 




1 


09 




3 


05 




4 


8.508940X 




5 


8.5089397 




6 


93 




7 


88 




8 


84 




9 


80 




10 


8.5089376 




II 


7» 




11 


68 




13 


64 




H 


59 




»5 


55 




x6 


5X 




17 


47 




18 


43 




19 


39 




10 


8.5089335 




11 


3» 




ax 


16 




»3 


21 




»4 


18 




«5 


H 




16 


10 




»7 


06 




28 


8.5089302 




29 


8.5089298 




30 


8.5089293 




3» 


«9 




3* 


«5 




33 


81 




34 


77 




35 


73 




36 


69 




37 


65 




38 


60 




39 


56 




40 


8.5089252 




41 


48 




4» 


44 




43 


40 




44 


36 




45 


3* 




46 


»7 




47 


23 




48 


»9 




49 


15 




50 


8.5089211 





log (2) 


log(3) 


l0g(4) 


log(5) 


log (6) 


8.5100959 


1.94879 


3.3242X 


4.9*773 


4.61x45 . 


47 


79 


27 


73 


45 


34 


79 


34 


73 


44 


22 


79 


4X 


7» 


43 


8.5x00909 


78 


48 


7* 


43 


8.5100897 


78 


55 


7» 


4* 


85 


78 


6x 


7* 


41 


7* 


78 


68 


72 


4X 


60 


78 


75 


7* 


40 


47 


7« 


82 


7» 


39 


8.5x00835 


1.94877 


3.3*488 


4.9*77» 


4*6x138 


*3 


77 


3-3*495 


7» 


38 


8.5x008x0 


77 


3.3*50» 


7» 


37 


8.5x00798 


77 


09 


7» 


36 


85 


77 


»5 


7« 


36 


73 


77 


22 


70 


35 


6x 


76 


29 


70 


34 


48 


76 


36 


70 


34 


36 


76 


4» 


70 


33 


*3 


76 


49 


70 


3* 


8.5x007x1 


X.94876 


3.3*556 


4.9*770 


4.61x32 


8.5x00699 


76 


63 


69 


31 


86 


75 


69 


69 


30 


74 


75 


76 


69 


*9 


6x 


75 


83 


69 


*9 


49 


75 


90 


69 


28 


37 


75 


3.32596 


69 


27 


»4 


75 


3-3*603 


68 


*7 


12 


74 


IG 


68 


26 


8.5X00600 


74 


«7 


68 


*5 


8.5x00587 


1.94874 


3.32623 


4.9*768 


4.61x25 


75 


74 


30 


68 


H 


62 


74 


37 


68 


*3 


50 


74 


44 


67 


*3 


38 


73 


50 


67 


22 


»5 


73 


57 


67 


21 


»3 


73 


64 


67 


20 


S.5X0050X 


72 


70 


67 


20 


8.5x00488 


73 


77 


67 


19 


76 


73 


84 


66 


x8 


8.5x00463 


X. 94872 


3.32691 


4.92766 


4.61 xx8 


5» 


7» 


3*3*697 


66 


17 


39 


7» 


3.32704 


66 


x6 


26 


7* 


XX 


66 


x6 


14 


72 


«7 


66 


»5 


0.5x00402 


72 


*4 


65 


H 


8.5x00389 


7» 


31 


65 


X4 


77 


7» 


37 


65 


»3 


65 


7» 


44 


65 


12 


5» 


7« 


51 


65 


XX 


8.5x00340 


X.9487X 


3-3*757 


4.9*765 


4.6XXXX 



51 



^38 





B 


log(l) 


log (2) 


logW 


l0g(4) 


l0g(5) 


■1 

log(e) 






51° 50' 


8.50892x1 


8.5x00340 


X.94871 


3.3*757 


4.9*765 


4.6XXII 






51 


07 


28 


71 


64 


64 


XO 1 




5» 


8.5089203 


15 


70 


7' 


64 


09 ' 




53 


8.5089x99 


8.5x00303 


. 70 


78 


64 


09 




54 


95 


8.5x00291 


70 


84 


64 


08 




55 


90 


78 


70 


91 


64 


07 




56 


86 


66 


70 


3.32798 


64 


07 




57 


82 


54 


70 


3.32804 


63 


06 




58 


78 


4» 


69 


IX 


63 


05 




59 


74 


29 


69 


x8 


63 


05 




5» 


8.5089x70 


8.5x00217 


X.94869 


3.328h 


4.92763 


4.6x104 




I 


66 


8.5100204 


69 


31 


63 


03 




1 


62 


8.5x00x92 


69 


38 


63 


02 




3 


5« 


80 


69 


44 


62 


02 




4 


53 


67 


68 


5» 


62 


ox 




5 


49 


55 


68 


58 


62 


00 




6 


45 


43 


68 


64 


62 


4.6x100 




7 


4» 


30 


68 


71 


62 


4.6x099 




8 


37 


x8 


68 


78 


62 


98 




9 


33 


8.5x00x06 


68 


84 


6x 


98 


« 


10 


8.5089x29 


8.5x00094 


X. 94868 


30a89x 


4.92761 


4.6x097 




XI 


»5 


8x 


67 


3.3*898 


61 


96 




IS 


21 


69 


67 


3.3*904 


6x 


96 




«3 


»7 


57 


67 


II 


61 


95 




H 


12 


44 


67 


»7 


61 


94 




«5 


08 


3» 


67 


H 


60 


94 




x6 


04 
S.5089XOO 


20 


67 
66 


3» 


60 


93 




«7 


0.5x00007 


37 


60 


92 




18 


^•5089096 


8-5099995 


66 


44 


60 


9» 




«9 


9» 


83 


66 


51 


60 


9« 




ao 


S.5089088 


8.509997« 


X. 94866 


3-3*957 


4.92760 


4.61090 




11 


«4 


58 


66 


64 


59 


89 




11 


80 


4Ä 


66 


71 


59 


89 




»3 


76 


34 


65 


77 


59 


88 




H 


7» 


21 


65 


84 


59 


87 




«5 


67 


8.5099909 


65 


90 


59 


87 




»6 


63 


8.5099897 


65 


3.3*997 


59 


86 




»7 


59 


85 


65 


3.33004 


58 


85 




a8 


55 


72 


65 


xo 


58 


85 




29 


51 


60 


64 


17 


58 


84 






30 


8.5089047 


8.5099848 


X.94864 


3.330*4 


4.9*758 


4.6x083 






3' 


43 


36 


64 


30 


58 


83 






3» 


39 


»3 


64 


37 


58 


82 






33 


35 


8.50998x1 


64 


43 


57 


8x 






34 


3X 


8.5099799 


64 


50 


57 


80 






35 


*7 


86 


63 


57 


57 


80 






36 


22 


74 


63 


63 


57 


79 






37 


x8 


62 


63 


70 


57 


78 






3« 


H 


50 


63 


76 


57 


78 






3^ 


xo 


37 


63 


83 


56 


77 






40 


8.5089006 


8.50997*5 


1.94863 


3.33090 


4.9*756 


4.6x076 





389 



B 


log(l) 


log(l) 


log (3) 


log(4) 


log{*) 


log (6) 


5»'*4o' 


8.5089006 


«•50997*5 


1.94863 


3.33090 


4.9*756 


4.61076 


41 


8.5089002 


13 


62 


3.33096 


56 


76 


4» 


8.5088998 


«•5099701 


62 


3*33103 


56 


75 


43 


94 


8.5099688 


62 


09 


56 


74 


44 


90 


76 


62 


16 


56 


74 


45 


86 


64 


62 


22 


55 


73 


46 


82 


5» 


62 


29 


55 


72 


47 


78 


40 


6x 


36 


55 


7* 


48 


73 


27 


6x 


4» 


55 


7X 


49 


69 


15 


61 


49 


55 


70 


50 


8.5088965 


8.5099603 


I .94861 


3.33»55 


4.9*755 


4.61070 


51 


6x 


8.5099591 


61 


62 


54 


69 


5» 


57 


7« 


6x 


69 


54 


68 


53 


53 


66 


60 


75 


54 


67 


1 54 


49 


54 


60 


82 


54 


67 


55 


45 


4Ä 


60 


88 


54 


66 


56 


4» 


29 


60 


3.33195 


54 


65 


57 


37 


17 


60 


3.33*01 


53 


65 


58 


33 


«.5099505 


60 


08 


53 


64 . 


59 


»9 


«•5099493 


59 


H 


53 


63 


53 


8.5088915 


8.5099481 


«•94859 


3-33»x 


4.9*753 


4.6x063 


I 


20 


68 


59 


28 


53 


62 


2 


x6 


56 


59 


34 


53 


61 


3 


12 


44 


59 


41 


5* 


61 


4 


08 


3» 


59 


47 


5* 


60 


5 


04 


20 


59 


54 


5» 


59 


6 


8.5088900 


8.5099407 


5« 


60 


5* 


59 


7 


8.5088896 


«.5099395 


5« 


67 


5* 


5« 


S 


92 


83 


5« 


73 


5* 


57 


9 


88 


7» 


5« 


80 


51 


57 


10 


8.5088884 


«.5099359 


1.94858 


3.33286 


4.9*75' 


4.61056 


II 


80 


46 


5« 


93 


5« 


55 


12 


76 


34 


57 


3.33*99 


5« 


54 


13 


72 


22 


57 


3.33306 


5« 


• 54 


H 


68 


8.5099310 


57 


13 


5» 


53 


15 


64 


8.5099298 


57 


»9 


5« 


5* 


16 


60 


86 


57 


26 


50 


5* 


»7 


55 


73 


57 


3* 


50 


5» 


x8 


51 


61 


56 


39 


50 


50 


19 


47 


49 


56 


45 


50 


50 


zo 


8.5088843 


«.5099*37 


X. 94856 


3.3335* 


4.92750 


4.61049 


21 


39 


»5 


56 


5« 


50 


4« 


22 


35 


13 


56 


65 


49 


4« 


*3 


31 


8.5099200 


56 


71 


49 


47 


H 


»7 


8.5099188 


55 


7« 


49 


46 


»5 


»3 


76 


55 


«4 


49 


46 


26 


19 


64 


55 


9' 


49 


45 


»7 


»5 


5* 


55 


3.33397 


49 


44 


28 


XI 


40 


55 


3.33404 


4« 


44 


»9 


07 


27 


55 


xo 


4« 


43 


30 


8.5088803 


«.5099"5 


1.94854 


3.334x7 


4.9*74« 


4.6x042 



340 



B 


log(l) 


log (2) 


10g(8) 


l0g(4) 


log (5) 


log(e) 


53« 30' 


8.5088803 


8.50991 15 


»•94854 


3-33417 


4.91748 


4.6x041 


3^ 


8.5088799 


8.5099103, 


54 


13 


48 


4» 


3* 


95 


8.5099091 


54 


30 


48 


4X 


33 


91 


79 


54 


36 


48 


40 


34 


87 


67 


54 


43 


47 


39 


35 


83 


55 


54 


49 


47 


39 


36 


78 


4» 


53 


56 


47 


38 


37 


74 


30 


53 


61 


47 


37 


3« 


70 


18 


53 


69 


47 


37 


39 


66 


8.5099006 


53 


75 


47 


36 


40 


8.5088761 


8.5098994 


'•94853 


3-33481 


4.91746 


4.61035 


41 


58 


82 


53 


88 


46 


35 


4» 


54 


70 


53 


3.33494 


46 


34 


43 


50 


58 


5» 


3.33501 


46 


33 


44 


46 


45 


5* 


07 


46 


33 


45 


4* 


33 


5» 


H 


46 


31 


46 


38 


11 


5» 


10 


45 


3» 


47 


34 


8.5098909 


5* 


47 


45 


31 


48 


30 


8.5098897 


5» 


33 


45 


30 


49 


16 


85 


51 


40 


45 


19 


50 


8.5088712 


8.5098873 


X.94851 


3.33546 


4.9*745 


4.6x019 


5» 


z8 


6x 


5« 


53 


4^ 


18 


5» 


H 


49 


5« 


59 


4f 


*7 


53 


10 


36 


5» 


65 


4f 


17 


54 


06 


M 


5» 


7» 


4* 


16 


55 


8.5088701 


XI 


50 


78 


4f 


»5 


56 


8.5088698 


8.5098800 


50 


85 


4f 


»5 


57 


94 


8.5098788 


50 


91 


4f 


H 


58 


90 


76 


50 


3.33598 


43 


13 


59 


86 


64 


50 


- 3.33604 


43 


»3 


54*^ 


8.5088681 


8.5098751 


X. 94850 


3.3361» 


4.94743 


4.61011 



J 



ANZEIGEN. 



Oöttingische gelehrte Anzeigen. 1827 November 5. 

Am 8. October überreichte Hr. Hofr. Gauss der KöBigl. Societät eine Vor- 
lesung : 

Disquisitiones generahs circa superficies curvas. 

Obgleich die Geometer sich viel mit allgemeinen Untersuchungen über die krum« 
men Flächen beschäftigt haben , und ihre Resultate einen bedeutenden Theil des 
Oebiets der hohem Geometrie ausmachen, so ist doch dieser G^enstand noch so 
weit davon entfernt , erschöpft zu sein , dass man vielmehr behaupten kann, es 
sei bisher nur erst ein kleiner Theil eines höchst fruchtbaren Feldes angebauet 
Der Verf. hat schon vor einigen Jahren durch die Auflösung der Au%abe, alle Dar- 
stellungen einer gegebenen Fläche auf einer andern zu finden , bei welchen die 
kleinsten Theile ähnlich bleiben, dieser Lehre eine neue Seite abzugewinnen ge- 
sucht: der Zweck der gegenwärtigen Abhandlung ist, abermals andere neue Ge- 
sichtspunkte zu eröffnen , und einen Theil der neuen Wahrheiten , die dadurch 
zaganglich werden, zu entwickeln. Wir werden davon hier anzeigen, was ol^le 
zu grosse Weitläufigkeit verständlich gemacht werden kann, müssen aber dabei 
im Voraus bemerken, dass sowohl die neuen B^iflfsbildungen, als die Theoreme, 
wenn die grösste Allgemeinheit umfasst werden soll , zum Theil noch einiger Be- 
schränkungen oder nähern Bestimmungen bedfirfen, welche hier übergangen wer- 
den müssen. 



342 ANZEIGEN. 

* 

Bei Untersuchungen , wo eine Mannigfaltigkeit von Richtungen gerader Li- 
nien im Baume ins Spiel kommt , ist es vortheilhaft, diese Richtungen durch die- 
jenigen Punkte auf der Oberfläche einer festen Kugel zu bezeichnen , Welche die 
Endpunkte der mit jenen parallel gezogenen Radien sind: Mittelpunkt und Halb- 
messer dieser Hülfskugel sind hierbei ganz willkürlich; für letztem mag die Li- 
neareinheit gewählt werden. Diess Verfahren kommt im Grunde mit demjenigen 
überein, welches in der Astronomie in stetem Gebrauch ist, wo man alle Rich- 
tungen auf eine fingirte Himmelskugel von unendlich grosem Halbmesser bezieht. 
Die sphärische Trigonometrie , und einige andere Lehrsätze , welchen der Verf. 
noch einen neuen von häufiger Anwendbarkeit beigefügt hat , dienen dann zur 
Auflösung der Aufgaben, welche die Vergleichung der verschiedenen vorkommen- 
den Richtungen darbieten kann. 

Wenn man die Richtung der an jedem Funkt einer krummen Fläche auf 
diese errichteten Normale durch den nach dem angedeuteten Verfahren entspre- 
chenden Funkt der Kugelfläche bezeichnet, also jedem Punkt der krummen Fläche 
in dieser Beziehung einen Punkt der Oberfläche der Hülfskugel entsprechen lässt, 
so wird , allgemein zu reden , jeder Linie auf der krummen Fläche eine Linie auf 
der Oberfläche der Hülfskugel , und jedem Flächenstück von jener ein Flächen- 
stflck von dieser entsprechen. Je geringer die Abweichung jenes Stücks von der 
Ebene ist, desto kleiner wird der entsprechende Theil der Kugelfläche sein, und 
es ist mithin ein sehr natürlicher Gedanke zum Maassstabe d^r Totalkrümmung, 
welche einem Stück der krummen Fläche beizulegen ist , den Inhalt des entspre- 
chenden Stücks der Kugelfläche zu gebrauchen. Der Verf. nennt daher diesen 
Inhalt die ganze Krümmung des entsprechenden Stücks der krummen Fläche. 
Ausser der Grösse kommt aber zugleich noch die Lage der Theile in Betracht, 
die , ganz al^esehen von dem Grössenverhältniss , in den beiden Stücken entwe- 
der eine ähnliche, oder eine verkehrte sein kann : diese beiden Fälle werden durch 
das der Totalkrümmung vorzusetzende positive oder negative Zeichen unterschie- 
den werden können. Diese Unterscheidung hat jedoch nur insofern eine be- 
stimmte Bedeutung , als die Figuren auf bestimmten Seiten der beiden Flächen 
gedacht werden : der Verf. nimmt sie bei der Kugelfläche auf der äussern und bei 
der krummen Fläche auf derjenigen Seite, wo man sich die Normale errichtet 
denkt, und es folgt dann, dass das positive Zeichen bei convex-convexen oder 
concav-concaven Flächen (die nicht wesentlich verschieden sind) , und das n^:a- 



DI6QUISITIONE8 6EMEBALE8 CIBCA 8ÜPEBFICIE8 CUBVA8. 843 

tive bei concav-convexen Statt hat. Wenn das in Rede stehende Stflck der kram- 
men Fläche in dieser Beziehung aus Theilen ungleicher Art besteht , so werden 
noch nähere Bestimmungen nothwendig , die hier übergangen werden müssen. 

Die Vergleichung des Inhalts zweier einander correspondirender Stücke der 
krummen Fläche und der Oberfläche der Hülfskugel führt nun (auf dieselbe Art 
wie z. B. aus der Vergleichung von Volumen und Masse der Begriff von Dichtig- 
keit hervorgeht) zu einem neuen Begriffe. Der Verf. nennt nämlich Krümmungs' 
nuuLSS in einem Funkt der krummen Fläche den Werth des Bruches , dessen Nen- 
ner der Inhalt eines unendlich kleinen Stücks der krummen Fläche in diesem 
Punkt, und der Zähler der Inhalt des entsprechenden Stücks der Fläche der 
HflUskugel, oder die ganze Krümmung jenes Elements ist. Man sieht, dass, in 
dem Sinn des Verf., ganze Krümmung und Krümmungsmaass bei krummen Flä- 
chen dem analog ist , was bei krummen Linien resp. Amplitude und schlechthin 
Krümmung genannt wird; er fand Bedenken, die letztem mehr durch Gewohn- 
heit als wegen Angemessenheit recipirten Ausdrücke auf die krummen Flächen 
zu fibertragen. Uebrigens liegt weniger an den Benennungen selbst, als daran, 
dass ihre Einführung durch prägnante Sätze gerechtfertigt wird. 

Die Auflösung der Aufgabe , das Krümmungsmaass in jedem Punkt einer 
krummen Fläche zu finden , erscheint in verschiedener Gtestalt , nach Maassgabe 
der Art, wie die Natur der krummen Fläche gegeben ist. Die einfachste Art ist, 
indem die Punkte im Raum allgemein durch drei rechtwinklige Coordinaten 
X, y, z unterschieden werden , eine Coordinate als Function der beiden andern 
darzustellen: dabei erhält man den einfachsten Ausdruck für das Krümmungs- 
maass. Zugleich ergibt sich aber ein merkwürdiger Zusammenhang zwischen die- 
sem Krümmungsmaass und den Krümmungen derjenigen Curven, die durch den 
Schnitt der krummen Fläche mit Ebenen senkrecht auf dieselbe , hervorgehen. 
Bekanntlich hat Euleb zuerst gezeigt , dass zwei dieser schneidenden £6enen, die 
einander gleichfalls unter einem rechten Winkel schneiden , die Eigenschaft ha- 
ben , dass in der einen der grösste , in der andern der kleinste Krümmungshalb- 
messer Statt findet , oder richtiger , dass in ihnen die beiden äussersten Krüm- 
mungen Torkommen. Hier ergibt sich nun aus dem erwähnten Ausdruck für das 
Krümmungsmaass, dass dieses einem Bruche gleich wird, dessen Zähler die Ein- 
heit, der Nenner das Product der beiden äussersten Krümmungshalbmesser 
wird, — Weniger einfach wird der Ausdruck für das Krümmungsmaas , wenn 



344 ANZEIGEN. 

die Natur der krummen Fläche durch eine Gleichung zwischen x^y^z, bestimmt 
ist, und noch zusammengesetzter wird jener, wenn die Natur der krummen 
Fläche dadurch gegeben ist , dass <r, y^ z in der Gestalt von Functionen zweier 
heuen veränderlichen Grössen f, q dargestellt sind. Im letzten Fall enthält der 
Ausdruck fünfzehn Elemente, nemlich die partiellen Diflferentialquotienten der 
ersten und zweiten Ordnung von «r, y^ z nach jf und q : allein er ist weniger 
wichtig an sich , als weil er den Übergang zu einem andern bahnt , der zu .den 
merkwürdigsten Sätzen in dieser Lehre gerechnet werden muss. Bei jener Art, 
die Natur der krummen Fläche darzustellen , hat der allgemeine Ausdruck für 
irgend ein Linearelement auf derselben , 

oderfllr v^(dcr'+d/+d«*), die Form V(JE?da^+2jFdcr.dj(+Öd/) 

wo JS, 2^, G wiederum Functionen von ^ und q werden ; der erwähnte neue 
Ausdruck für das Krümmungsmaass enthält nun bloss diese Grössen, und ihre 
partiellen Differentialquotienten der ersten und zweiten Ordnung. Man sieht also, 
dass zur Bestimmung des Krümmungsmaasses bloss die Kenntniss des allgemei- 
nen Ausdrucks eines Linearelements erforderlich ist, ohne dass es der Ausdrücke 
fOr die Coordinaten oß,y, z selbst bedarf. Eine unmittelbare Folge davon ist 
der merkwürdige Lehrsatz : Wenn eine krumme Fläche , oder ein Stück dersel- 
ben auf eine andere Fläche abgewickelt werden kann , so bleibt nach der Ab- 
Wickelung das Krümmungsmaass in jedem. Funkt ungeändert. Als specieller Fall 
folgt hieraus ferner : In einer krummen Fläche , die in eine Ebene abgewickelt 
werden kann, ist das Krümmungsmaass überall = 0. Man leitet daraus sofort die 
characteristische Gleichung der in eine Ebene abwickelungsföhigen Flächen ab, 
nemlich , in so fern z als Function von x und y betrachtet wird , 

ddg dds / dds \* ^ 

dar«' d7 M«.dy^ — " 

eine Gleichung, die zwar längst bekannt, aber nach des Verf. Urtheil bisher nicht 
mit der erforderlichen Strenge bewiesen war. 

Diese Sätze fEÜiren dahin , die Theorie der krummen Flächen aus einem 
neuen Gresichtspunkte zu betrachten , wo sich der Untersuchung ein weites noch 
ganz unangebautes Feld öffnet. Wenn man die Flächen nicht als Grenzen von 
Körpern, sondern als Körper, deren eine Dimension verschwindet, und zugleich 
als biegsam , aber nicht als dehnbar betrachtet , so begreift man , dass zweierlei 



DISQUISmONES 6EKERALE8 CIBG4 SUPERFICIES CÜBVAS. 345 

wesentlich verschiedene Relationen zu unterscheiden sind , theils nemlich solche, 
die eine bestimmte Form der Fläche im Räume voraussetzen, theils solche, welche 
?on den verschiedenen Formen, die die Fläche annehmen kann, unabhängig sind. 
Die letztern sind es, wovon hier die Rede ist : nach dem . was vorhin bemerkt ist, 
gehört dazu das Krümmungsmaass ; man sieht- aber leicht, dass eben dahin die 
Betrachtung der auf der Fläche construirten Figuren , ihrer Winkel , ihres Flä- 
cheninhalts und ihrer Totalkrümmung , die Verbindung der Funkte durch kür- 
zeste Linien u. dgL gehörte Alle solche Untersuchungen müssen davon ausge- 
hen, dass die Natur der. krummen Fläche an sich durch den Ausdruck eines un- 
bestimmten Linearelements in der Form ^{Edp*"\-2Fdp.dq^ ^d^*) gegeben 
ist. Der Verf. hat gegenwärtiger Abhandlung einen Theil seiner seit mehreren 
Jahren auf diesem Felde angestellten Untersuchuneen einverleibt , indem er sich 
auf solche einschränkte , die von dem ersten Eintritt nicht zu entfernt liegen und 
zum Theil als allgemeine Hülfsmittel zu vielfachen weitern Uzitersuchungen die- 
nen können. Bei unsrer Anzeige müssen wir uns noch mehr beschränken, und 
uns b^nügen« nur einiges als Probe anzuführen. Als solche mögen folgende 
Lehrsätze dienen. 

Wenn auf einer krummen Fläche von Einem Anfangspunkte ein System 
unendlich vieler kürzester Linien von gleicher Länge ausläuft , so schneidet die 
durch ihre Endpunkte gehende liinie jede derselben unter rechten Winkeln. Wenn 
an jedem Punkte einer beliebigen Linfe auf einer krummen Fläche kürzeste Li- 
nien von gleicher Länge senkrecht gegen jene Linie gezogen sind, so sind diese 
alle auch senkrecht g^en diejenige Linie , welche ihre andern Endpunkte ver* 
bindet. Diese beiden Lehrsätze , wovon der zweite als eine Generalisirung des 
ersten betrachtet werden kann, werden sowohl analytisch, als durch einfache geo- 
metrische Betrachtungen bewiesen. Der Uberschuss der Summe der Winkel eines 
aus kürzesten Linien gebildeten Dreiei\ks über zwei Rechte ist der Totalkrümmung 
des Dreiecks gleich. Es wird hiebei angenommen, dass für die Winkel derjenige, 
dem ein dem Halbmesser gleicher Bogen entspricht, (57^ 17' 45'"), und fElr die 
ganze Krümmung, als Stück der Fläche der Hülfskugel, der Inhalt eines Qua- 
drats , dessen Seite der Halbmesser der Hülfskugel ist , als Einheit zum Grunde 
li^. Offenbar kann man diess wichtige Theorem auch so ausdrücken : der Über- 
schuss der Winkel eines aus- kürzesten Linien gebildeten Dreiecks über zwei 
Rechte verhält sich zu acht Bechten , wie das Stück der Oberfläche der Hülfsku- 

52 



346 AVZEIQKIf. 

gel , welches jenem als ganze Krflmmung entspricht , zu der ganzen Oberfläche 
der HtOfskugel. Allgemem wird der Überschuss der Winkel eines Polygons von 
n Seiten, wenn diese kürzeste Linien sind, über 2n — 4 Rechte, der ganzen 
Krümmung des Polygons gleich sein. 

Die allgemeinen in der Abhandlung entwickelten Untersuchungen werden 
am Schluss derselben noch auf die Theorie der durch kürzeste Linien gebildeten 
Dreiecke angewandt, wovon wir hier nur ein paar Haupttheoreme anfuhren. Sind 
a, i, c die Seiten eines solchen Dreiecks (die als Grössen der ersten Ordnung be- 
trachtet werden) ; Ä, B, C die gegenüberstehenden Winkel ; a, tf , y die Krüm- 
mungsmaasse in den Winkelpunkten ; o der Flficheninhalt des Dreiecks , so ist, 
bis auf Grössen der vierten Ordnung, i(tt-h^+T)^ <^^^ Überschuss der Summe 
A-^-B-^-C über zwei Rechte. Femer sind, mit derselben Genauigkeit, die 
Winkel eines ebenen geradlinigen Dreiecks, dessen Seiten a, 6, c sind, der Ord- 
nung nach 

B-M a+2ÖH- T)a 

Man sieht sogleich , dass das letzte Theorem eine Generalisirung des bekannten 
von Legendbb zuerst aufgestellten ist , nach welchem man , bis auf Grössen der 
vierten Ordnung, die Winkel des geradlinigen Dreiecks erhält, wenn man die 
Winkel des sphärischen jeden um den dritten Theil des sphärischen Excesses ver- 
mindert. Auf einer nichtsphärischen Fläche muss man also den Winkeln mi- 
gleiche Reductionen beifSgen , und die Ungleichheit ist allgemein zu reden eine 
Grösse der dritten Ordnung; vrei^n jedoch die ganze Fläche nur wenig von der 
Kugelgestalt abweicht , so involvirt jene noch ausserdem einen Factor von der 
Ordnung der Abweichung von der Kugelgestalt. Es ist unstreitig fdr die höhere 
Gteodaesie wichtig, dass man im Stande ist, die Ungleichheiten jener Beduetia' 
nen zu berechnen , und dadurch die volle Ueberzeugung zu erhalten, dass sie för 
alle messbaren Dreiecke auf der Oberfläche der Erde als ganz unmerklich zu be- 
trachten sind. So finden sich z. B. in dem grössten Dreiecke der von dem Verf. 
ausgeführten Triangulirung , dessen grösste Seite fast 1 5 geographische Meilen 
lang ist, und in welchem der Ueberschuss der Summe der drei Winkel über zwei 
Rechte fast 1 5 Secunden beträgt , die drei Reductionen der Winkel auf die Win- 



mmEBSUGHUNcasN Ober gbgsnstImdb dbb hShebn OBODASfiiB. 347 

kel eines geradlinigen Dreiecks 4"95113, 4''95104, 4''95131. Übrigens hat der 
Verf. auch die in den abigen Ausdrücken fehlenden Glieder der vierten Ordnung 
entwickelt, die f&t die Kogelfläche eine sehr einfache Form erhalten; bei mess- 
baren Dreiecken auf der Oberfläche der Erde sind sie aber ganz unmerklich, und 
in dem angefahrten Beispiel würden sie die erste Reduction nur um zwei Einhei- 
ten der fEinften Decimale vermindert und die dritte eben so viel vergrössert haben. 



GöttingiMhe gelehrte Anseigen« 184S Noyember e. 



Der königlichen Societät ist am 23« Oc tober von dem Hofirath Gauss eine 
Vorlesung fiberreicht , mit der Überschrift: 

Untersuchungen über Gegenstände der hSheren Geodaesie, 

von welcher hier ein kurzer Bericht g^eben werden soll. 

Bei dem trigonometrishen Theile der von dem Verf. in den Jahren 1821 — 
1827 ausgefflhrten Gradmessung, und bei den spätem damit zusammenhängen- 
den und über das ganze Königreich Hannover sich erstreckenden trigonometri- 
schen Vermessungen sind, sowohl in Beziehung auf die Art, wie die Messungen 
angestellt wurden , als noch mehr in Beziehung auf ihre nachherige mathemati- 
sche Behandlung und ihre Verarbeitung zu Resultaten, Wege eingeschlagen, die 
von den sonst betretenen abweichen. Manches von diesen dem Hofr. Gauss ei- 
genthümlichen Methoden ist zwar bereits zur Ö£fentlichkeit gebracht, theils von 
ihm selbst in verschiedenen vorlängst erschienenen Aufsätzen , theils durch an- 
dere, welche nach mfindlichen oder brieflichen Mittheilungen bei ihren eigenen 
trigonometrischen Messungen Anwendungen davon gemacht hatten. Allein der 
erheblichere Theil jener Methoden , diejenigen , welche sich am meisten von den 
sonst gebräuchlichen unterscheiden , und deren Verständniss eine tiefere mathe- 
matische B^rflndung erfordert, ist bisher noch nicht daigestellt. Des Verf. firfi- 
hem Vorsatz , nach völliger Beendigung der Messungen diese selbst nebst allen 
von ihm angewandten Verfahrungsarten in einem besondem Werke darzul^^en, 
haben Umstände , deren Auseinandersetzung nicht hieher gehört , zur Zeit noch 
procrastinirt , und er hat deshalb das Auskunftsmittel gewählt , das im theoreti- 

52* 



348 ANZmOEK. 

sehen Theile ihm eigenthümliche in einer Reihe von einzekien Abhandlungen be- 
kannt zu machen. Es wird dadurch noch der Vortheil gewonnen, dass auf diese 
Art manche ein selbstständiges Interesse darbietende Untersuchungen, welche 
mit den übrigen in enger Verwandtschaft stehen , sie vorbereiten und in ein hel- 
leres Licht setzen, auch wenn von denselben bei den in Rede stehenden Messun- 
gen selbst keine unmittelbare Anwendung gemacht ist , doch mit grösserer Aus- 
führlichkeit entwickelt werden können, als bei dem frühem Plane mit einer gleich- 
massigen Behandlung der Gegenstände verträglich sein würde. 

In die Klasse solcher Untersuchungen gehört namentlich diejenige , welche 
den Gegenstand der vorliegenden ersten Abhandlung ausmacht. Den Hauptin- 
halt derselben bildet eine Methode , nach welcher ein System von Dreiecken auf 
der Oberfläche eines Umdrehungs-Ellipsoids , ohne etwas von der Schärfe aufzu- 
opfern, so berechnet werden kann, a|s wenn es auf einer Kugelfläche sich be- 
fände. Diese Methode findet ihre Grundlage in der Auflösung eines viel umfas- 
sendem Problems, welche der Verf. in einer 1822 geschriebenen und von Herrn 
Conferenzrath Schumacheb im dritten Heft der Astronomischen Abhandlungen zum 
Druck beförderten Denkschrift gegeben hat , unter dem Titel : Allgemeine Außö» 
sung der Aufgabe, die Theile einer gegebenen Fläche auf einer anderen gegebenen 
Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen 
ähnlieh wird. Der Verf. hat diejenigen Darstellungen einer Fläche auf einer an- 
dern, welche der angegebenen Bedingung Genflge leisten, zur Abkfirzung des 
Vortrags und weil sie überhaupt als eine sehr reiche Hülfsquelle für die Rech- 
nungen der höhern Geodaesie eine besondere Benennung wohl verdienen, mit dem 
Namen canforme Darstellungen belegt , welches sonst vage Beiwort also hier im- 
mer in einer präcis bestimmten Bedeutung zu verstehen ist. Mescatobs und die 
stereographische Projection sind bekannte Beispiele conformer Darstellungen der 
Kugelfläche auf der Ebene, 

Es ist kaum nöthig , zu bemerken , dass die Aehnlichkeit in den kleinsten 
(unendlich kleinen) Theilen wohl unterschieden werden muss von der Ähnlichkeit 
in allen endlichen Theilen. Die letztere ist nur in speciellen Fällen zu erreichen 
möglich , wenn nemlich die erste Fläche entweder auf die zweite selbjBt oder auf 
eine ihr ähnliche abgewickelt werden kann; im Allgemeinen aber, wo die Con- 
formität nur in der Ähnlichkeit der kleinsten Theile besteht, ist das VergrSsse- 
rungsverhältniss , d. i. das Verhältniss , in welchem die auf beiden Flächen einan- 



UNTEB8UGHÜN6KK ÜBBB OEeEVSTiNDE DER HÖHERN 6E0DAESIE. 349 

der entsprechenden unendlich kleinen Linien zu einander stehen, eine nach Ver- 
schiedenheit der Stellen in den Flachen veränderliche Zahl. In Mercsators Pro* 
jection z. B. ist die Vej^össerungszahl desto grösser, je entfernter vom Äquator, 
in der stereographischen Projection , je entfernter vom Augenpunkte die betref- 
fenden Stellen sind. 

Von jeder gegebenen Fl&che sind auf einer andern gegebenen Fl&che unend«» 
lieh viele conforme Darstellungen möglich ; die allgemeine Auflösung um&sst sie 
sammtlich . indem sie eine arbiträre Function enthält, welche nach Gefallen oder 
den jedesmaligen Zwecken gemäss bestimmt werden kann. Wenn nur ein Theil 
der einen Fläche übertragen werden soll, ist es in der Kegel am vortheiLhaftesteni 
eine solche conforme Darstellung zu wählen, bei welcher innerhalb der darzustel- 
lenden Fläche die Ungleichheiten des Vergrösserungsverhältnisses in den möglich 
engsten Grenzen bleiben. 

Die Aufgabe der conformen Übertragung der EUipsoidfläche auf die Kugel- 
flache ist in der angeführten Schrift unter den Beispielen besonders abgehandelt, 
und der allgemeinen Auflösung sind zwei specielle beigefElgt, wovon die eine vor- 
zugsweise fBr die Darstellung der ganzen EUipsoidfläche geeignet, die andere hin- 
g^en weit zweckmässiger ist , wenn (wie es immer bei bestimmten Anwendun- 
gen auf die Geodaesie der Fall ist) nur ein massiger Theil der als ellipsoidisch be- 
trachteten Erdfläche auf eine Kugelfläche conform übertragen werden soll. In 
wie hohem Grade diese zweite Darstellungsart der oben aue^esprochenen Forde- 
rung genügt , ist aus einem a. a. O. au%estellten Beispiele abzunehmen , wo die 
Veränderlichkeit des Vergrösserungsverhältnisses innerhalb einer Zone von fELnf 
Breitengraden nur e%^^^6^ beträgt. Es sind femer daselbst die Hauptzüge der 
Methode , wie überhaupt eine conforme Übertragung zur Berechnung eines Drei- 
eckssystems benutzt werden kann, im Allgemeinen angedeutet, die eigentliche 
Ausführung aber, und die Anwendung auf diese bestimmte Übertragungsart einer 
späteren Bearbeitung vorbehalten. 

Die gegenwärtige Abhandlung ist nun dazu bestimmt , diese Verpflichtung 
auszulösen, obwohl nicht ganz in derselben Art, wie sie eingegangen war: es wird 
nemlich darin nicht die eben erwähnte , sondern eine davon verschiedene dritte 
specielle Auflösung der Aufgabe zum Grunde gelegt, durch welche der beabsich- 
tigte Zweck noch vollkommener erreicht wird. In diesen Blättern müssen wir 
uns damit begnügen, nur im Allgemeinen einen Begriff davon zu geben. 



350 AN2BIOSK. 

Ein System von Dreiecken auf dem Sphäroid, dessen Seiten sogenannte 
geodaetische Linien sind , wird bei einer conformen Übertragung auf die Kugel- 
fläche durch ein analoges Dreieckssystem dargestellt, worin die Winkel, wie schon 
aus dem Begriffe der Conformität von selbst folgt , den entsprechenden Winkeln 
des erstem Systems yenau gleich sind , w&hrend die Seiten zwar nicht in mathe- 
matischer Schärfe Bögen von grössten Kreisen werden, aber doch davon nur sehr 
wenig abweichen. Kann man nun bewirken , dass diese Abweichungen in dem 
ganzen Um^Emge des Systems nach Massgabe der in die Berechnung zu legenden 
Grenauigkeit wie ganz verschwindend betrachtet werden dfirfen, so ist klar, dass 
nachdem eine Seite des sphäroidischen Systems auf die Kugelfläche fibertragen 
ist, man ohne weiteres das ganze System wie eines von gewöhnlichen sphärischen 
Dreiecken berechnen darf, und nur am Schluss von den Längen und Breiten auf 
der Kugelfläche auf die Längen und Breiten auf dem Sphäroid zurfickzugehen 
braucht , insofern man die Endresultate der Messung in dieser Form verlangt. 
Dieser Übergang wird entweder vermittelst der Formeln , welche die gewählte 
Übertragungsart darbietet , geschehen können , oder vermittelst einer im Voraus 
berechneten Hfllfstafel. In den Fällen hingegen, wo jene Abweichung merklich 
genug wird , um eine Berficksichtigung zu verdienen, wird jeder aus den Messun- 
gen hervorgegangene Winkel vor der scharfen Berechnung auf der Kugel erst ei- 
ner kleinen Beduction bedflrfen, und die Arbeit wird dadurch nur unbedeutend 
veigrössert werden , wenn die Zahlwerthe der Beductionen sich mit Leichtigkeit 
berechnen lassen. 

Die in der vorliegenden Abhandlung entwickelte Übertragungsart ist so be- 
schaffen, dass die Abweichung derjenigen Curve, durch welche ein geodaetischer 
Bogen auf der Kugelfläche dargestellt wird, von Grösstenkreislx^n zwischen den- 
selben Endpunkten, immer wie ganz verschwindend zu betrachten ist in der Nähe 
eines bestimmten Farallelkreises (Normal^Farallelkreises), welchen man nach Ge- 
fallen wählen kann , und , wenn man die ganze Bechnungsanlage von vorne her 
feü: ein bestimmtes Dreieckssystem selbst ausführt , am schicklichsten ungefähr 
durch die Mitte des ganzen Systems legen mag. Je weiter man sich von diesem 
Normal -Farallelkreise nach Norden oder Sfiden entfernt, desto grösser können 
jene Abweichungen werden , die übrigens daneben zugleich von der Grösse der 
Dreiecksseiten und von ihrer Lage gegen den Meridian abhängig sind; immer 
aber bleiben sie, selbst bei sehr beträchtlicher £ntfemung von dem Normal -Pa- 



UNTEBSUCHUKGEN OBEB OBGBNBTJÜIDB DBR HÖHEEN GB0DAB8IB. . 361 

rallelkreise , noch so geringfilgig , dass man ihre Berdcksichtigung bei den mei- 
sten Messungen kaum der wenn auch leichten Mflhe werth halten wird. 

In der Abhandlung ist die Theorie aller dieser und anderer damit zusam- 
menhängenden Rechnungen vollständig entwickelt, an einer durchgehenden Mu- 
stenrechnung erläutert, und mit einer Hülfstafel begleitet, die allerdings zunächst 
fibr diejenige Zone bestimmt ist, in welcher das Hannoversche Dreieckssystem 
liegt, aber auch ohne weiteres fElr Messungen benutzt werden kann, die diese 
Zone weit überschreiten : sie erstreckt sich nemlich fiber eine Zone von zwOlf 
Breitengraden, in deren Mitte der gewählte Normal -Parallelkreis von 52^40' 
Breite liegt. Diese Tafel ist mit einer Schärfe berechnet, die ausreicht selbst 
wenn ein Dreieckssystem mit zehnzifrigen Logarithmen berechnet werden soll, 
also mit einer viel grösseren Schärfe , als man in den meisten Fällen beibehalten 
wird : indessen schien die kleine Raumerspamiss , die durch Weglassung von ein 
paar Decimalen gewonnen sein wfirde , zu unerheblich , um beim Abdruck etwas 
davon zu onterdrficken. 

Merklich und unmerklich sind bei Rechnungsoperationen relative Begriffe, 
nnd es ist also wohl der Mfthe werth , sie nach ein paar aus der Abhandlung ent- 
lehnten Beispielen auf ein bestimmtes Maass zurflckzufEihren. 

In dem Hannoverschen Dreieckssysteme ist das grOsste Dreieck, welches 
anch zugleich am weitesten von dem Normal - Parallelkreise abliegt , dasjenige, 
welches zwischen den Punkten Brocken , Hohehagen , Inselsberg gebildet wird. 
In diesem kommen daher auch die grOssten Werthe der Richtungsreductionen 
vor, und zwar bei der Seite Hohehagen-Inselsberg, wo die Reduction des Azi- 
muths an dem erstem Endpunkte — 0^00332, am andern +<)''0<)428 beträgt. 
In dem ganzen Systeme kommen nur noch zwei andere Dreiecksseiten vor, wo die 
Reductionen O'^OOl ftbersteigen, bei allen ftbrigen bleiben sie unter dieser Grösse. 

Das grösste Hauptdreieck der trigonometrischen Vermessungen der Schweiz 
ist das zwischen den Punkten Chasseral , Suchet , Berra enthaltene ; es berOhrt 
eben die sfldliche Grrenze, bis zu welcher die Hfllfstafel sich erstreckt, so dass 
die Richtungsreductionen sich noch vermittelst derselben berechnen lassen. Die 
grösste Reduction ist die, welche das Azimuth von Chasseral in Suchet trifft, und 
beträgt +0"06221. 

Es ist hieraus ersichtlich , dass in der ganzen Zone , worin das Hannover- 
sche Dreieckssystem liegt , die Reduction ganz wegf&Ut , wenn die Rechnung auf 



S52 ANZEIOEK. 



Hunderttheile der Secunde gefthrt wird, und dass man sogar in der ganzen 2k)ne 
von zwölf Graden , welche die Hftlfstafel umfasst , die Berflcksichtigung der Be- 
ductionen unterlassen kann , wenn man in der Rechnung nur Zehntel der Se- 
cunde notirt. 



Nachriehten von dör K« Gesellschaft der Wissenschaften zu Oöttingen* 1846 September 28. 

Am 1'^®° September wurde von dem geh. Hofrath Gauss der Königlichen 
Gesellschaft der Wissenschaften eine Vorlesung fiberreicht mit der Überschrift: 

Untersuchungen über Gegenstände der hohem Geodaesie , zweite Abhandlung, 

fiber deren Inhalt und Zusammenhang mit der ersten Abhandlung ein kurzer Be- 
richt hier zu geben ist. 

In der ersten Abhandlung war eine neue Methode, die geodaetischen Mes- 
sungen zu behandeln , vorgetragen , deren Haupteigenthfimlichkeit darin besteht, 
dass die meisten Bechnungen ganz oder feist ganz eben so gefflhrt werden, als be- 
finde sich das Dreieckssystem nicht auf einer sphäroidischen , sondern auf einer 
Kugelfläche, und zwar ohne allen Abbruch fOr die äusserste Schärfe der Resultate. 
Eine der Hauptau%aben im Gebiete der geodaetischen Bechnungen, nemlich aus 
der Grösse einer als geodaetische Linie auftretenden Dreiecksseite, der Breite des 
einen Endpunkts , und dem Azimuthe , unter welchem daselbst der andere End- 
punkt erscheint, abzuleiten die Breite dieses andern Endpunkts, das dortige Azi- 
muth der Dreiecksseite, und den Längenunterschied der beiden Punkte, reducirt 
sich bei jener Behandlungsweise auf die blosse Auflösung eines sphärischen Drei- 
ecks. Ein Paar Seiten sind gleichwohl dieser Aufgabe in der erwähnten Abhand- 
lung aus dem Grunde gewidmet , weil die gewöhnlichen Formeln der sphärischen 
Trigonometrie, wenn man nicht zu mehrzifrigen Logarithmen greifen will, nicht 
immer ausreichen wflrden. den Besultaten eine ganz genfigende Schärfe zu geben, 
und deshalb gewisse Umformungen jener Formeln nothwendig werden. Ausser- 
dem aber verstattet der Umstand , dass die Seiten solcher Dreiecke , deren Win- 
kel wirklich gemessen werden , immer in Vergleich zu den Dimensionen des gan- 



ÜNTERSUCHUNOiar ObISR OEGSKSTINDE DER HÖHEBN GBODAESIE. 358 

2en Erdkörpexs nur kleine Grössen sein können , solche Umwandlungen der For- 
meln, welche die Greschmeidigkeit und Bequemlichkeit derselben sehr vei^össem ; 
ja, wenn gleich diese Umwandlungen eigentlich nur Näherungsformeln sind, so 
können sie doch nicht bloss eben so grosse , sondern selbst grössere Schärfe ge- 
währen , als die absolut strengen Formeln , was man nicht paradox finden wird, 
wenn man erwägt, dass die letzten^ doch immer vermittelst der trigonometrischen 
Tafeln zur Ausübung kommen müssen , deren Schärfe keine absolute , sondern 
durch die Anzahl der Decimalzifem begrenzt ist. Unter den verschiedenen in der 
ersten Abhandlung mitgetheilten für den angedeuteten Zweck bestimmten Formeln 
zeichnet sich nun besonders die am Schluss derselben angeführte Combination 
dadurch aus, dass sie den Zusammenhang jener sechs Quantitäten in der zur 
fiechnung möglich bequemsten Gestalt aufstellt, und eine Schärfe gewährt, die 
auch bei den grössten wirklich messbaren Dreiecken überflüssig ausreicht. Es 
musste dadurch das Verlangen nach dem Besitz analoger unmittelbar f%lr die £1* 
lipsoidfläche geltender Formeln erweckt werden , und die Entwicklung derselben 
bildet den Hauptinhalt der gegenwärtigen zweiten Abhandlung. 

Während die Auffindung der erwähnten för die Kugelfläche gültigen For- 
meln auf ganz elementarischen Sätzen beruhete , erfordert hingegen die Ermitt- 
lung ihrer Gegenstücke auf der Ellipsoidfläche eine Reihe ziemlich verwickelter 
Operationen , und es muss daher ohne Zweifel angenehm sein , wenn mehr als 
Ein Weg zu demselben Ziele zu gelangen nachgewiesen wird. Der Verf. , wel- 
cher alle diese Untersuchungen schon vor mehr als dreissig Jahren zu seinem Pri- 
vatgebrauch durchgeführt , und nur bisher zur Veröffentlichung noch keine be- 
sondere Veranlassung gefiinden hatte, theilt nun in der vorliegenden Abhandlung 
zwei unter sich durchaus verschiedene, ab^r zuletzt zu ganz gleichen Resultaten 
führende Ableitungsarten mit, von denen eine in der Theorie der conformen Über- 
tragung der Ellipsoidfläche auf die Kugelfläche wurzelt. In dieser Beziehung 
schliesst sich die zweite Abhandlung auch an die erste an, obwohl übrigens beide 
insofern als gänzlich unabhängig von einander zu betrachten sind , als man freie 
Wahl behält, die geodaetischen Rechnungen entweder bloss nach der in der er- 
sten Abhandlung , oder bloss nach der in der zweiten Abhandlung gelehrten Me- 
thode zu fähren. 

Die Au%abe , von der geographischen Lage eines Punkts auf der Sphäroid- 
fläche zu der eines andern Punktes überzugehen , der mit jenem durch eine geo- 

53 



354 ANZEic»Br. 

daetische Linie von bekannter GrOsse und Richtung verbunden ist, ist schon seit 
langer Zeit yielflQtig behandelt, und um unter verschiedenen Methoden zu seinem 
Gebrauch passend zu wählen, muss man allerdings mancherlei Umstände berflck- 
sichtigen. £s ist z. B. erheblich dabei , ob man die Aufgabe nur fiElr £inen oder 
einige wenige concrete Fälle aufzulösen hat, oder fftr sehr viele. In der letztem 
Voraussetzung wird es von Wichtigkeit sein, dass die Methode jedesmal die mög- 
lich grösste Bequemlichkeit und Übersichtlichkeit der Definitivrechnung gewähre, 
wenn auch die Anwendbarkeit der Methode vielleicht erst gewisse allgemeine Yor- 
bereitungsarbeiten erfordern sollte. Eben so wichtig ist der Umstand , ob man 
die Resultate einer ausgedehnten trigonometrischen Vermessung alle in der Form 
von geographischer Länge und Breite und zwar ausschliesslich nwr in dUser Form 
verlange , oder ob daneben die Resultate für die Lage sämmtlicher Punkte auch 
noch in einer andern Form, z. B. der der rechtwinkligen Coordinaten , angestellt 
werden; im letztem Fall wird es weniger nothwendig sein, die geographische 
Lage mit der alleräussersten Schärfe anzugeben. 

Die von Dubejoüb, Lboenobb, Delambrb u. A. gegebenen Formeln berück- 
sichtigen nur die erste Potenz der Abplattung, was allerdings in practischer Hin- 
sicht von nicht grosser Erheblichkeit sein wird , da einmal die Abplattung des 
Erdsphäroids nur ein kleiner Bruch ist. Es ist daher auch nicht die Meinung, es 
als einen in practischer Beziehung wichtigen Vorzug geltend zu machen, dass die 
neue Methode von der Kleinheit der Abplattung ganz unabhängig ist. Die bes- 
sern unter jenen Methoden mögen allerdings eine in den meisten Fällen zurei- 
chende Schärfe gewähren, obwohl man einen in mathematischer Beziehung genfl- 
genden Nachweis daffir vermisst. Dagegen darf man behaupten , dass die neae 
Methode, wenn die nöthigen Erforderijisse bereit sind, eine bequemere und nach 
ihrem wesentlichen Inhalt in einem bedeutend kleinern Raum zu concentrirende 
Rechnung ei^bt. Bessbls im Jahre 1825 gi^bene Auflösung trägt das GeprSge 
einer grossen mathematischen Vollendung^ und ist auch gar nicht abhängig von 
der Voraussetzung, dass die Entfernung der beiden Punkte von einander im Ver- 
gleich zu den Dimensionen des ganzen Erdsphäroids klein sei. In theoretischer 
Rücksicht ist dies ohne Zweifel ein Vorzug dieser Methode ; bei Beurtheilung des 
practischen Werthes hat man aber folgende Umstände in Betracht zu ziehen. Die 
Methode macht gar keinen Unterschied zwischen dem Fall grosser und dem Fall 
kleinerer Entfernungen, sondern erfordert f^r alle Fälle gleich lange Rechnungen, 



mrrERSUGHUNQEN ÜBER GEOENSTInOE DER HÖHEBK QEODAESIB. 365 

Terzicfatet also auf die Vortheile « die man in dem letztem in der Aasftbung un- 
gleich häufiger vorkommenden Falle bei dem Gebrauch anderer Methoden von 
diesem Umstände ziehen kann. Der nfttzliche Gebrauch der BsssELschen Methode 
wird sich also auf den Fall beschränken , wo die beiden Punkte nicht unmittel« 
bar durch die Seite eines wirklich gemessenen Dreiecks zusammenhängen , son- 
dern wo der Zusammenhang durch eine grössere Eeihe von Dreiecken vermittelt 
ist Allein dann muss man mit Kecht fragen, wie denn die Data zu der Aufgabe 
erlangt werden sollen, nemlich die wirkliche Länge der die beiden Punkte verbin- 
denden geodaetischen Linie , und der Winkel , welchen sie an dem einen End- 
punkte mit dem Meridian macht? Diese Bestimmung durch eine bloss sphärische 
Berechnung der Übergangsdreiecke zu machen (wie Bessel bei der wenig ausge- 
dehnten preussischen Gradmessung gethan hat), wflrde bei einer viel grossem 
Entfernung nicht mehr zulässig bleiben : soll aber dieser Übergang sphäroidisch 
gerechnet werden, so wird dies schon ftlr sich allein eben so viel Arbeit erfordern, 
als wenn man gleich von jedem folgenden Punkt Breite, Länge und das rückwärts 
geltende Azimuth bestimmt. Übrigens gelten diese Bemerkungen auch von 
IvoeVs Auflösungsmethode , die mit der von Bbsoel viele Ähnlichkeit hat , aber 
das eigentliche practische Bedflrfniss wenig berficksichtigt. 

Über die in der vorliegenden Abhandlung g^ebene Methode mOge hier 
noch Folgendes bemerkt werden. 

Die Formeln geben unmittelbar die Differenzen zwischen den beiden Brei- 
ten und den beiden Azimuthen, so wie den Längenunterschied, und eben hier- 
auf beruht , bei der Kleinheit dieser Differenzen (insofern rücksichtlich der Azi- 
muthe das eine von der Südseite, das andere von der Nordseite des Meridians ge- 
zählt wird) die Schärfe der Bechnung, ohne mehrstellige Logarithmen zu erfor- 
dern. Die Symmetrie und Einfachheit der Formeln hingegen beruhet darauf, 
dass sie zunächst nicht von der Breite und dem Azimuthe an dem einen £nd^ 
punkte , sondern von dem Mittel der beiden Breiten und dem Mittel der beiden 
Azimuthe abhängen. Es folgt daraus, dass die Formeln, zur Auflösung der Auf- 
gabe , wie sie oben ausgesprochen ist , nur yermfige eines indirecten Verfahrens 
oder einer successiven Annäherung benutzt werden können. Grefibte und mit den 
Hülfen des kleinen Mechanismus derartiger Operationen vertraute Rechner wer- 
den in diesem Umstände kaum eine Unbequemlichkeit finden , zumal da man an- 
nehmen kann , dass fast immer zu der Zeit, wo die scharfe Ausftihrung der Bech- 

53* 



356 ANZBIOSN« 

nung voigenommen werden soll» sehr genäherte Werthe der zu bestimmenden 
Grossen schon vorliegen. Genau genommen haben fibrigens auch alle andern 
Auflösungsarten des Problems, namentlich auch die BESSELsche, theilweise diesen 
Charakter indirecter Operationen. Der wesentlichste Umstand bleibt aber der. 
dass von den wiederholten Annäherungen nur die letzte . die den ganzen Kern 
der Rechnung vollständig enthält , aufbewahrt zu werden braucht , und dass diese 
eine Kürze und Übersichtlichkeit hat, wie keine andere Methode. 

Die Formeln ffir die Auflösung der Aufgabe auf der Sphäroidfläche unter- 
scheiden sich von denen für die Kugelfläche lediglich dadurch, dass gewisse Zwi- 
schengröBsen , die bei diesen constant sind , bei jenen von der Breite abhängig 
werden; diese lassen sich folglich in eine Hülfstafel bringen, deren Aj^umentdie 
Breite bildet. Steht eine solche Hülfstafel zu Gebote , so wird in jedem concre* 
ten Falle die Bechnung auf der Sphäroidfläche ganz eben so leicht, wie auf der 
Kugelfläche. Für die Zone von 51 — 54 Grad Breite, welche für das Hannover- 
sche Dreieckssystem ausreicht, ist eine solche Hülfstafel am Schlüsse der Abhand- 
lung beigefügt, und zwar nach demjenigen Werthe der Abplattung, welchen 
Bbssel aus allen bisherigen Gradmessungen abgeleitet hat , und der auch schon 
in der ersten Abhandlung zum Grunde gelegt war. Wer dieselbe Methode auf ein 
ausserhalb dieser Zone liegendes Dreieckssystem anwenden woUte, würde damit 
anfangen müssen , jene Hülfstafel ffir seinen Zweck weiter auszudehnen , oder, 
falls er eine andere Abplattung zum Grunde legen wollte, sich erst eine neue 
Hülfstafel zu construiren. Wo es die Bearbeitung eines grossen Dreieckssystems 
gilt, kommt eine solche vorgängige Hfllfsarbeit gar nicht in Betracht, und die 
darauf gewandte Mühe wird durch die Bequemlichkeit der Benutzung reichlich 
ersetzt. Für den Fall hingegen , wo man nur eine oder ein paar concrete Auflö- 
sungen der in Rede stehenden Aufgabe suchen soll , hat die Methode nicht vor- 
zugsweise bestimmt sein sollen. 



HOLLWEIDE DE METHODO AB ARCHIMEDE ADHIBITA ETC. 357 



GOttingische gelehrte Anseigen. 1S08 Januar 9. 

« 

ABCHnoäDES grflndete bekanntlich in seiner Schrift, CürcuH dimensio, seine 
Bestimmung der Grenzen fär den Umfang des Kreises darauf, dass er denselben 
zwischen den Umfang eines umgeschriebenen und eines eingeschriebenen 96 Ecks 
einschloss. Die Berechnung dieser Zahlen , oder vielmehr die Bestimmung einer 
grossem Zahl , als jener , und einer kleinem , als dieser , verrichtet er durch stn* 
fenweises Fortschreiteu vom Sechseck zum Zwölfeck, von diesem zum 24 Eck u. s. f. 
Ffir beide 9 6 Ecke geht er daher, nach unserer Art zu reden, von einem genSr 
herten Werthe der IrrationalgrSsse ^3 aus, wovon der eine, nemlich ff^, et- 
was zu klein, der andere, SW * etwas zu gross ist ; jener wird bei den umschrie- 
benen , dieser bei den eingeschriebenen Vielecken gebraucht. Bei genauerer An- 
sicht findet man, dass diese genäherten Werthe in der Reihe f, |-, -f, -{-f. ff u. s. f., 
deren Glieder abwechselnd grösser und kleiner sind als ^3, und jedes weniger 
davon verschieden , als irgend ein andrer , durch kleinere Zahlen ausgedrückter, 
Bruch, — mit vorkommen ; der Bruch ff{- ist nemlich das achte, und VW ^^ 
eilfte Glied der Beihe. Es scheint demnach, dass Abchimed diese genäherten Wer* 
the nicht durch Zufall, sondern methodisch gefunden habe ; da er selbst sich aber 
über die Art, wie er dazu gekommen ist, gar nicht erklärt, und man ftbngens 
nicht findet, dass unsre Methoden dergleichen Angaben aufzulösen, den Alten be» 
kannt gewesen wären , so bietet sich hier ein Gegenstand zu CSonjecturen dar. 
Hr. Prof* MoLLwsmE in Halle hat in einer kürzlich 911 die Königl. Societät, deren 
Correspondent er ist , eingeschickten kleinen Abhandlung , welche 

De methodo ab Archimede adhibita ad rationem , in qua inter se sunt latus trianguli 
aequilateri et radius circuli circumscripti, numeris veritati proxime exprimendam 

überschrieben ist, eine Untersuchung angestellt, und ein Verfahren angegeben, 
das dem Zustande der Arithmetik der Alten angemessen ist , und also vielleicht 
das von Abghdced gebrauchte selbst sein könnte. Hr. M. leitet nemlich , indem 
er die Seite des Dreiecks durch AC^ und den Halbmesser des umschriebenen 



358 ANZEIGEN. 

Kreises durch AB, femer eine Linie =AC — AB durch CF bezeichnet, durch 
Schlüsse in der bei den alten Greometem üblichen Form folgende Proportionen ab: 

ACiAB = 6AB+2CF:3AB+CF = 19-äJ5+7 CF:11^B+4CP 
= 7iAB'i-26CF:AlAB+ibCF= 26bAB^97 CFilb^AB + biCF 
= 989-4.J5+362C-F: 571^B+209CjF 

Aus der vorletzten folgt dann leicht AC:J.£]>265:153, so wie aus der letz- 
ten, wenn man eine Linie BD = 2 AB — -äC = AB — CF einfährt, 

AC'.AB = 1351-ä-B— 362BD:780^-B— 209J5D<1351 :780 

Dass Hr. M. , welcher sich mit der bei den alten Geometem üblichen Einklei- 
dung arithmetischer Schlüsse sehr vertraut gemacht hat, Abchimed's Ideengang 
wirklich errathen haben könne, wollen wir gern zugeben ; entscheiden wird sich 
aber hierüber um so weniger etwas lassen, da dergleichen Untersuchungen auf sehr 
mannigfaltige Art ang^riffen werden kOnnen , und überdies auch sonst Spuren 
vorhanden sind , dass der grosse Grieche im Besitz mancher nichts weniger als 
gemeiner Wahrheiten und Kunstgriffe , selbst aus der hohem Arithmetik , gewe- 
sen sein muss. 

Eine Frage bleibt übrigens hier noch übrig, warum nemlich Abchuked, wenn 
er seine genäherten Werthe methodisch gefunden hat, bei den grossem bis zum 
eilften Gliede g^angen ist, da er doch bei den kleinem nur bis zum achten ging; 
man sollte glauben , er würde bei jenen sich mit dem neunten Gliede |^ be- 
gnügt haben , welches immer zur Ausmittelung der untern Grenze 3-H- hinrei- 
chend gewesen wäre , und könnte vielleicht verleitet werden , hieraus die Folge 
zu ziehen , dass Aschimsd doch den Bruch V^ durch eine Art von glücklichem 
Zufall gefunden habe, und dej: einfachere |4|- ihm entgangen sei. Hr. M. glaubt 
Abchimed habe jenen Bruch dess wegen gewählt, weil er der einfachste von denen 
sei , deren Zähler zu der Ordnung der Tausender gehören , so wie er den Brach 
\W als den einfachsten aus der Ordnung der Hunderter gewählt habe : allein die- 
ser Grand scheint uns nicht befriedigend. Wir finden es vielmehr wahrschein- 
licher , dass er den Bruch V^ desswegen vorzog , weil er fand , dass derselbe 
zufmiiger Weise beim weitern Fortgange der Rechnung eine bequeme Vereinfa- 
chung darbietet, so dass sich beim 24 Eck fELr dasjenige Verhältniss« welches, 
nach unsrer Art zu reden, 1 :cotang7^30' ist, eine äusserst nahe Grenze sehr 



MONGE : GutoMänaB DBsaapnvB. 369 

einfach durch 240:1823 vorstellen liess; diesen Vortheil hätte er entbehren 
mflssen , wäre er ursprünglich von dem Bruche |-f|- ausgegangen. 

Am Schlüsse der Abhandlung macht Hr. M. noch die Bemerkung« dass 
auch CoLUMELLA de re rusiica V, 2 von einem der genäherten Werthe von ^ 3 (nem- 
lich von -H) Gebrauch gemacht hat, indem er fär den Inhalt des gleichseitigen« 
Dreiecks die Summe des dritten und des zehnten Theils des auf seiner Seite be- 
schriebenen Quadrats annimmt. 



Göttiagisohe gelehrte Anseigen, iSis Juli 31. 

GSamdtrie descripHve par Gaspabd Monge , de finstitut des sdences etc. Nau' 
velle Sdiiion. Avec un suppUment par M. Hagheite, instituteur ä f Scale impiriale 
polytechnique etc. Paris, bei J. Klostebmank dem jfingem. 162 und 118 Seiten 
in Quart. . 

Die Greometrie, deren Gegenstand die Raumverhältnisse sind, zerflQlt in 
zwei grosse Abtheilungen, je nachdem der Kaum nur nach zwei Dimensionen 
betrachtet wird (in der Ebene), oder nach allen drei Dimensionen zugleich. Man 
begreift leicht , dass der andere Theil seiner Natur nach von einem viel grossem 
Umfange sein , und eine viel grössere Mannigfidtigkeit von Fragen und Untersu- 
chungen darbieten müsse, als der erste. Wenn daher schon von unserer Elemen- 
tar-Greometrie die Planimetrie einen grossem Theil ausmacht, als die Stereometrie, 
so rührt dies nur daher , dass letztere verhältnissmässig viel weniger entwickelt 
und ausgebildet ist. In der That hat man vorzüglich die Untersuchungen der 
letztern Art in neuem Zeiten lieber mit Hülfe der Analyse behapdelt, und sie so 
gleichsam der Geometrie entzogen , welche sich nur der unmittelbaren Anschau- 
ung bedient. Es ist auch nicht zu läugnen , dass die Vorzüge der analytischen 
Behandlung vor der geometrischen , ihre Kürze , Einfachheit , ihr gleichförmiger 
Gang, und besonders ihre Allgemeinheit, sich gewöhnlich um so entschiedener 
zeigen, je schwieriger und verwickelter die Untersuchungen sind. Inzwischen ist 
es doch immer von hoher Wichtigkeit , dass auch die geometrische Methode fort^ 
während cultivirt werde. Abgesehen davon, dass sie doch in manchen einzelnen 



360 ANZEIOBN. 

Fällen unmittelbarej und kflrzer zum Ziele fährt, als die Analyse, besonders wenn 
diese nicht mit Gewandtheit gehandhabt wird, dass jene dann eine ihr eigen- 
thümliche Eleganz hat , wird sie auch besonders in formeller Hinsicht und beim 
frühern jugendlichen Studium unentbehrlich bleiben , um Einseitigkeit zu verho- 
lten , den Sinn fflr Strenge und Klarheit zu schärfen , und den Einsichten eine 
Lebendigkeit und Unmittelbarkeit zu geben , welche durch die analytischen Me- 
thoden weit weniger befördert, mitunter eher geföhrdet werden. Aus diesen 
Grfinden sieht man mit Vergnfigen , dass einige Französische Geometer in den 
letzten Jahrzehnten angefangen haben , den Theil der Geometrie , welcher sich 
mit den Verhältnissen von Funkten und Linien, die nicht in Einer Ebene U^en, 
von verschiedenen Ebenen gegen einander, mit Linien von doppelter Krümmung 
und mit krummen Flächen beschäftigt , mit besonderer Sorgfalt, und, in so fem 
dabei bloss geometrische Methoden angewandt werden , als eine besondere Disd- 
plin unter dem Namen der Giomitrie descripiive zu cultiviren. Dem vorliegenden 
Werke über diese Wissenschaft müssen wir insbesondere das Lob einer grossen 
Klarheit und Concision im Vortrage, eines wohlgeordneten Überganges vom Leich- 
tem zum Schwerem , und der Reichhaltigkeit an neuen Ansichten und gelunge* 
nen AusfElhrungen beilegen, und daher das Studium desselben als eine kräftige 
Geistesnahrung empfehlen , wodurch unstreitig zur Belebung und Erhaltung des 
echten, in der . Mathematik der Neuem sonst manchmal vermissten, geometri- 
schen Geistes viel mit beigetragen werden kann. Ausser dieser rein wissenschaft- 
lichen Seite dieser Untersuchungen kommt auch noch der mannigfaltige Nutzen 
in Betracht , welchen sie in den Künsten haben , die sich auf Raumverhältnisse 
beziehen, namentlich in der Zeichenkunst, der Feldmesskunst, der Baukunst, 
der Befestigungskunst. Auch in dieser Hinsicht hat der Verfasser seine Schrift 
durch mancherlei Anwendungen interessanter zu machen gewusst, wenn er gleich 
nleistens nur mehr auf sie hingedeutet, als sie wirklich ausgefElhrt hat. 



MOLLWEIDB. 00MMBMTATIONE8 JCATHBHATIOO - PHILOLO0IGAB WTC 36 1 



Göttingisohe gelehrte Anseigen. 1814 Febroar 14. 

Philosapkical lyansacHans ofthe Royal Society of London for the Year 1813. 
IV und 304 Seiten. 26 S. Meteorological Journal und 8 S. Index in Quart. 

Mathemaiische und astronomische Abhandlungen. — Über eine merkwürdige 
Anwendung des CorsBischen Lehrsatzes^ von J. F.W. Hebsohel (Sohn des Aatrono- 
men). Es sei n eine belielnge ganze Zahl, nco = 360^ und N irgend ein Win- 
kel. Unter diesen Voraussetzungen gibt der CoTSsische Lehrsatz das Product aus 
allen Badiis Vectoribus, denen in einem K^elschnitt, nach astronomischer Art 
zu reden« die wahren Anomalien N, iV+o), iV+2u>, iV--|-3«» — -^"hl* — 1)^ 
entsprechen , durch einen einfachen Ausdruck. Wenn gleich diese und andere 
ähnliche Entwickelungen « welche den G^enstand des Aufsatzes ausmachen, an 
sich keine besondere Schwierigkeiten haben , so Uest man diesen doch mit Ver- 
gnflgen w^en der Art der Behandlung. Was der Verf. über die Bezeichnung 
cos* J. sagt, welches einige neuere mathematische Schriftsteller fBr das Quadrat 
von cos A , ganz gegen alle Analogie , gebrauchen , da es dieser zufolge den Co- 
sinus eines Bogens = cos A bedeuten sollte , hat ganz unsem 



QöUingisohe gelehrte Anieigen. 1914 Mai 3. 

Commentationes mathematicO'philologicae tres , sistentes explieationem duorum 
locorum diffidlium , alterius Yjrgjlu , alterius Flatonis , itemque examinationem duo* 
rum mensurarum praeceptorum Columsllab. Adjecta est epistola adv. cL J. G. Scmn- 
DKB de excerptis geometricis EpAPHBOom et Vnscvn Run scripta ab auctore harum 
commentationum Cabolo Brandano MoLLWEms, astron. in acad. Lipsiensi professore. 
Leipzig 1813. 122 Seiten in Octav, nebst einer Kupfertafel. 

[Die Anzeige der ersten Abhandlung ist in dem Bande fBr Astronomie der 
Werke von Gauss abgedruckt.] 

Die zweite Abhandlung , über eine dunkle Stelle in Plato's Menon , war 
schon im Jahre 1805 der hiesigen KOnigl. Soc. der Wissenschaften handschrift* 

54 



362 ANZHI«N. 

lieh vorgelegt, und ein kurzer Auszug daraus schon damals in unsem Blättern 
mitgetheilt (1805 St. 124). Wir hemerken also hier nur, dass dies diejenige 
Stelle ist , wo Socrates durch ein Beispiel aus der Geometrie anschaulich machen 
will , wie man sich zur Auflösung einer Aufgahe vorher dur9h Annahme gewisser 
nä|xerer Bestimmungen vorzubereiten hat. Die geometrische Aufgabe, welche 
Socrates hierzu wählt, ist die Frage über die Möglichkeit, ein g^^ebenes Dreieck 
in einen gegebenen Kreis einzutragen , aber die Worte , wodurch er erst gewisse 
Einsckränkungen über die Art des Dreiecks festsetzen will, haben den Auslegern 
viel zu schaffen gemacht. Herr Mollwetoe fahrt mit vielem gelehrten Scharfsinn 
hier aus , dass die dadurch bezeichnete Eigenschaft keine andere ist , als die Zer- 
legbarkeit des Dreiecks in zwei andere dem Ganzen ähnliche, welches denn frei- 
lich im Grunde nichts anders als eine pretiöse Umschreibung des rechiwinklipen 
Dreiecks ist. Die Art wie Hr. M. beweist, dass jene Eigenschaft nur dem 
rechtwinkligen Dreiecke zukommen kann , ist viel kfinstlicher und weitläufiger 
als hier eben nöthig gewesen wäre , da dies gleich unmittelbar aus der Gleich- 
heit der drei Winkel ABC, ABB, BDC folgt (S. 46). 

Die dritte Abhandlung war gleichfalls schon früher unserer Societät hand- 
schriftlich voi^elegt, und ein Bericht darüber in unsem gel. Anz. (1807 St. 74) 
g^eben; sie erscheint hier mit bedeutenden Vermehrungen, Es werden darin 
zwei von ColumexjLA gelehrte Näherungsmethoden erläutert, die Fläche des gleich- 
seitigen Dreiecks und die Fläche eines Kreissegments zu berechnen. Eine kleine 
Übereilung findet sich S. 7 1 , wo behauptet wird , dass kein anderer Bruch , des- 
sen Zähler und Nenner unter 100 sei, dem wahren Verhältnisse des gleichseiti- 
gen Dreiecks zum Quadrate über derselben Seite so nahe kommen könne, als f(; 
in der That sind die beiden Brüche ^ und ff genauer. 

Der Brief an den verdienten Prof. Sghneidbb in. Breslau enthält einige An- 
merkungen zu den von Hasb in Bkedows Bpistolae Parisienses mitgetheilten Stfl- 
cken von den freilich sehr unbedeutenden mathematischen Schriften des Vrrsü- 
vius RuFOB und Epaphboditcs. 



KBIE8. LEHRBUCH DEB MATHBKATISGHEM OBOGEAPHIB . S6S 

— —w ' ' 

. Oöttingische gelehrte Anzeigen. 1814 Juni is. 

Lehrbuch der mathematischen Geographie van Fhiedugh Kbibs , Professor - am 
Gymnasiam zu Gotha. Mit sieben Kupfertafeln. 236 Seiten in Octav. Leii>- 
zig, bei G. J. Göschen» 

Der Plan des Verfassers bei Abfassung dieses Lehrbuchs für eine Wissen- 
schaft, welche für jeden Gebildeten ein so vielseitiges Interesse hat» ging dahin, 
zwischen den dürftigen und oberflächlichen Abrissen derselben, die den Lehrbü-^ 
ehern der politischen Erdbeschreibung vorangeschickt zu werden pflegen, und 
sich nur auf die Aufzählung von Hauptresultaten beschränken , ohne sie durch 
mathematische Behandlung zu begründen oder zu erläutern, — und den grossem 
Werken , welche feinere , weniger allgemein verbreitete Keinntnisse der hohem 
Mathematik voraussetzen, -eine schickliche Mittelstrasse zu treffen. In einem 
solchen Werke erwartet man nicht neue Aufklärungen, die die Wissenschaft selbst 
weiter bringen , sondern nur , dass eine zweckmässige Auswahl aus dem Bekann- 
ten mit Ordnung, Gründlichkeit und Klarheit daigestellt werde , und dieses Ziel 
hat der Verf. in der That erreicht. £r handelt in zehn Abschnitten von der Gre- 
stalt des ErdkSrpers im Allgemeinen; von der mathematischen Eintheilung der 
Erdkugel iind ihrer Grösse ; von der Umdrehung derselben um ihre Axe und den 
damit zusammenhängenden Erscheinungen; von den Mitteln, die geographische 
Breite eines Orts zu bestimmen , und eine Mittagslinie zu ziehen ; von der Bewe- 
gung der Erde um die Sonne; von der Eintheilung der Himmels- und der Erd- 
kugel in Beziehung auf die Bewegung der Erde um die Sonne, und den Ersehe!«- 
nungen , die auf der Erde aus dieser Bewegung entstehen ; von der Zeitbestim- 
mung und den Mitteln zur Bestimmung der geographischen Länge; von der sphSn 
roidischen Gestalt der Erde ; von der Verfertigung künstlicher Erdkugeln und der 
Landkarten; vom Gebrauch der künstlichen Erdkugel zur Auflösung mathema- 
tisch geographischer Aufgaben. Wir können nicht anders, als dieser Anordnung 
und Auswahl im Allgemeinen unsem Beifall geben, wenn gleich unsrer Ansicht 
nach hie und da noch einige Gegenstände, die nicht berührt sind, hätten ange- 
nommen , und dagegen andere z. B. die verschiedenen Projectionsarten der Kar- 
ten allenfalls etwas kürzer hätten al^ehandelt werden können. So hätten wir 
unter andern einige Anleitung gewünscht, die Oberfläche einzelner Länder, wenn 

54* 



364 

auch nur bei der Kugelgestalt der Erde , und den Abstand einzebier Futikte auf 
der Erdflfiche von einander zu berechnen , so wie Überhaupt , dass der GFebranch 
der sphärischen Trigonometrie nicht so ganz ausgeschlossen wäre. Auch bei der 
sphäroidischen Gestalt der Erde hätte wohl bestimmter herausgehoben werden kön- 
nen , wie der Begriff der geographischen Breite anders modificirt werden mflsse 
als auf der Kugel , und wie von dieser Breite die relative Lage gegen den Erd- 
äquator , die Erdaxe und den Erdmittelpunkt abhängt. Doch diess sind Kleinig- 
keiten , die dem allgemeinen Werthe des Buchs keinen Abbruch thim » und auf 
die der V erfassisr , wenn vielleicht eine neue Auflage erforderlich sein sollte , zu 
welcher ein für den Unterricht sehr empfehlenswerthes Buch wohl gelangen kann, 
leicht wird Rficksicht nehmen kOnnen. 



Göttingiflche gelehrte Anseigen. isie April 30. 

■ - — ~ — — — ■^ 

Cammentatio in primum elementarum Eücudis librum, qua veritatem ffeametriae 
prineipiis antologicis niti evincitur, amnesque prapasitiones , aanomatum geometricth 
rum loco habitae^ demanstrantur. Auetore J. C. Schwab, Regi Württemhergiae a 
cünsiliis aulicis secretiorxbus , academia£ scientiarum Petropolitanae, Berblinensis et 
Harlemensis Sodali. (65 Seiten in Octav.) Stuttgart 1814. Typis J. F. Steinkoff. 

Vollständige Theorie der Parallel- Linien. Nebst einem Anhange, in welchem 
der erste Grundsatz zur Technik der geraden Linie angegeben wird. Herau^ege- 
ben von Matthias MsrnEBifiOH , Doctor der Philosophie , Professor der Mathematik, 
Mitglied der gelehrten Gesellschaft nützlicher Wissenschaften zu Erfurt. 44 Seiten 
in Octav. Mainz 1815. Auf Kosten des Verfassers in Commission bei Flobiak 

KUFVEBBKBQ« 

Es wird wenige Gregenstände im Oebiete der Mathematik geben, über welche 
so viel geschrieben wäre , wie über die Lücke im Anfange der Geometrie bei Be- 
gründung der Theorie der Parallel-Linien. Selten vergeht ein Jahr, wo nicht 
ii^end ein neuer Versuch zum Vorschein käme , diese Lücke auszuf&llen , ohne 
dass wir doch , wenn wir ehrlich und offen reden wollen , sagen könnten , dass 
wir im Wesentlichen ii^end weiter gekommen wären» als Eüklides vor 2000 Jah- 



8GHWAB. COMXENTATIO IN FUMDM KLEMSMTOBUK SUCUDJB BTC. 366 

ten war. Ein solches aufrichtiges und unumwundenes Geständniss scheint luis 
der Wfirde der Wissenschaft angemessener , als das eitele Bemühen , die Lflcke, 
die man nicht ausfällen kann , durch ein unhaltbares Gewebe von Scheinbewei-* 
aen zu verbergen. 

Der Verfasser der erstem Schrift hatte bereits vor 1 5 Jahren in einer klei- 
nen Abhandlung : Tentamen navae parallelarum theoriae noHane situ$ fundatae ei- 
nen ähnlichen Versuch gemacht« indem er Alles auf den Begriff von Identität der 
Lage zu stfitzen suchte. Er definirt Farallel-Linien als solche gerade Linien, die 
einerlei Lage haben , und schliesst daraus , däss solche Linien von jeder dritten 
geraden Linie nothwendig unter gleichen Winkeln geschnitten werden mflssen, 
weil diese Winkel nichts anders seien » als das Maass der Verschiedenheit der 
Lage dieser dritten Linie von den Lagen der beiden Farallel-Linien. Diese Be- 
weisart ist in der vorli^enden neuen Schrift wiederholt, ohne dass wir sagen 
könnten, dass sie durch die eingewebten philosophischen Betrachtungen an Stärke 
gewonnen hätte. Der Behauptung S. 24 : Notionem situs e geometria adeo non 
ezclttdi posse , ut potius notionibus eins fundamentalibus annumeranda sit , du- 
dum amnes agnwere geametrae muss in dem Sinne , in welchem der Verf. den Be- 
griff Lage in seinem Beweise gebraucht , jeder Greometer widersprechen. Wenn 
wir von des Verfassers Definition : Situs est modus, quo plura coSxistunt vel iuxta 
se existunt in spatio ausgehen, so ist Lage ein blosser Verhältniss-B^riff , und 
man kann wohl %agen , dass zwei gerade Linien A, B eine gewisse Lage g^en 
einander haben« die mit der gegenseitigen Lage zweier andern C, D einerlei ist 
Aber der Verf. gebraucht das Wort Lage in seinem Beweise als absoluten Begriff, 
indem er von Identität der Lage zweier nicht coinddirenden geraden Linien 
spricht. Diese Bedeutung ist offenbar so lange leer und ohne Haltung, bis wir 
wissen, was wir uns bei einer solchen Identität denken und woran wir dieselbe er- 
kennen sollen. Soll sie an der Gleichheit der Winkel mit einer dritten geraden 
Linie erkannt werden , so wissen wir ohne vorangegangenen Beweis noch nicht, 
ob eben dieselbe Gleichheit auch bei den Winkeln mit einer vierten geraden Li- 
nie Statt haben werde : soll die Gleichheit der Winkel mit jeder andern geraden 
Linie das Criterium sein, so wissen wir wiederum nicht, ob gleiche Lage ohne 
Coincidenz m(^lich ist. Wir stehen mithin nach des Verf Beweise noch gerade 
auf demselben Punkte , wo wir vw demselben standen. 

Ein grosser Theil der Schrift dreht sich um die Behauptung gegen Kaitt, 



366 ANZBIOEN. 

dass die Grewissheit der Geometrie sich nicht auf Anschauung , sondern auf De- 
finitionen und auf das Principium identitatis und das Principium contradictionis 
gründe. Dass von diesen logischen Hülfsmitteln zur Einkleidung und Verket- 
tung der Wahrheiten in der Geometrie fort und fort Gebrauch gemacht werde, 
hat wohl Kant nicht läugnen wollen : aber dass dieselben fElr sich nichts zu lei- 
sten vermögen , und nur taube Blüthen treiben , wenn nicht die befruchtende le- 
bendige Anschauung des G^enstandes fiberall waltet , kann wohl niemaixd ver- 
kennen, der mit dem Wesen der Geometrie vertraut ist. Hrn. Schwab's Wider- 
spruch scheint fibrigens zum Theil nur auf Missverstandiiiss zu beruhen : wenig- 
stens scheint uns, nach dem 16. Paragraph seiner Schrift, welcher von Anfang 
bis zu Ende gerade das Anschauungsvermögen in Anspruch nimmt, und am Ende 
beweisen soll , postulata EüCLmis in generaliora resolvi posse , non sensu et tn- 
iuitiane sed intellectu fundata , dass Hr. Schwab sich bei diesen Benennungen ver- 
schiedener Zweige des ErkenntnissvermOgens etwas anderes gedacht haben mfisse, 
als der Königsberger Philosoph. 

Obgleich der Verfasser der zweiten Schrift seinen Gegenstand auf eine ganz 
andere und wirklich mathematische Art behandelt hat, so können wir doch fiber 
das Resultat derselben, nicht günstiger urtheilen. Wir haben nicht die Absitzt, 
hier den ganzen Gang seines versuchten Beweises darzulegen , sondern begnügen 
uns, dasjenige hier herauszuheben, worauf im Grunde alles ankommt. Man 
denke sich zwei im Funkte N unter rechten Winkeln einander 'schneidende ge- 
rade Linien , und iSüle von einem Punkte fif , der ausserhalb dieser geraden Li- 
nien aber in derselben Ebne li^t , senkrechte auf dieselben fif T und 8M, Es 
kommt nun darauf an zu beweisen , dass MS T ein rechter Winkel wird. Der 
Verf. sucht dies apagc^sch zu beweisen ; zuvörderst nimmt er an , MS T sei 
spitz, fällt von T auf MS das Perpendikel Tp , imd beweist , dass p zwischen 
fif und M fallen muss. Hierauf fällt er wieder aus p auf N T das Perpendi- 
kel pq, wo q zwischen T und N fallen wird. Dann fällt er abermals aus q 
auf MS das Perpendikel qp\ wo p zwischen p und M liegen wird. Sodann 
abermals aus p' auf N T das Perpendikel pq' u. s. w. Diese Operationen lassen 
sich ohne Aufhören fortsetzen, und so werden von der Linie MS nach und nach 
die Stücke, fifj9, pp' u. s. w. abgeschnitten, die jedes eine angebliche Grösse haben, 
und deren Zahl unbegrenzt ist. Der Verfasser meint nun , dass dies widerspre- 
chend sei, weil auf diese Weise nothwendig MS zuletzt erschöpft werden musste. 



IHBTTBBNICH. V0LL8TÄKDICK THBOBIE DBB PABALLKLUNIEN. 367 

Es ist kaum begreiflich, wie er sich auf eine solche Weise selbst täuschen konnte. 
Er macht sich sogar selbst den Einwurf, dass die Summe der Stücke 8p, pp' n.H. w., 
wenn die Stficke immer kleiner und kleiner werden , doch, ungeachtet ihre An- 
zahl ohne Aufhören zunehme, nicht über eine gewisse Grenze hinauswachsen 
könnte, und meint diesen Einwurf damit zu heben, dass Jene Stücke, auch wenn 
sie immer kleiner und kleiner werden , doch immer grösser bleiben , als eine an- 
gehliche Grfsse; nemlich jene Stücke sind Katheten von rechtwinkligen Drei- 
ecken, und folglich immer grösser als der Unterschied zwischen Hypotenuse und 
der andern Kathete. Fast scheint es, dass eine grammatische Zweideutigkeit 
den Verf. irre geleitet hat , nemlich der zwiefache Sinn des Artikels eine angeb- 
liche Grösse. Der Schluss des Verf. würde nur dann richtig sein, wenn sich zei- 
gen liesse, dass die Stücke 8p, pp u.s.w. immer grösser bleiben, als eine 6^* 
stimmte angebliche Grösse , z. B. als der Unterschied zwischen der Hypotenuse 
p T und der Kathete jS T. Aber das lässt sich nicht beweisen, sondern nur, dass 
jedes Stück immer grösser bleibt, als eine angebliche Ghrösse, die aber selbst fllr 
jedes Stück eine andere ist , nemlich 8p grösser als der Unterschied zwischen 
p T und 8 T, ferner pp' grösser als der Unterschied zwischen qp' und qp u. s. w. 
Hiemit verschwindet nun aber die ganze Kraft des Beweises. 

Auf dieselbe Art, wie er seinen Beweis führen zu können geglaubt hat, 
könnte er auch beweisen , dass in einem ebnen Dreiecke ABC, worin B ein 
rechter Winkel ist, C nicht spitz sein könne ; er brauchte nur aus B ein Perpen- 
dikel BD auf die Hypotenuse ^C zu fallen, dann wieder das Perpendikel DE 
auf AB und so ohne Aufhören die Perpendikel EF, FG, OH n. s.w. wech- 
selsweise auf AC und AB. Die Stücke CD, DF, FHxx.s.w. sind immer 
grösser als der angebliche Unterschied zwischenHypotenuse und einer Kathete 
desjenigen rechtwinkligen Dreiecks , worin jede der B.eihe nach die andere Ka- 
thete ist, demungeachtet erschöpft ihre Summe offenbar die Hypotenuse AC 
nie, so gross auch ihre Anzahl genommen wird. 

Wir müssten fast bedauern, bei so bekannten und leichten Dingen so lange 
verweilt zu haben, wenn nicht diese Schrift , deren Verf. es übrigens wirklich um 
Wahrheit zu thun zu sein scheint, durch die Art wie sie schon vor ihrer Erschei- 
nung in öffentlichen Blättern angekündigt wurde, eine mehr als gewöhnliche Auf- 
merksamkeit auf sich gezogen hätte. Wir bemerken daher hier nur noch , dass 
der Verf. nachher auf eine ganz ähnliche , und daher eben so nichtige Art bewei- 



368 ANssnesK. 

sen will, dass der Winkel M8 T nicht stampf sein kann : allein hierbei ist doch 
ein wesentlicher Unterschied , weil in der That die Unmöglichkeit dieses Falles 
in aller Strenge bewiesen werden kann , welches weiter auszafElhren aber hier 
nicht der Ort ist. 



Oötüngisohe gelehrte Anzeigen. 182S OctoW 28. 

TTtearie der Parallelen^ van Carl REraHABD MOiiLEb, Doctar der Philosophie, 
ausserordentlichem Professor der Mathematik u.s.w. 40 S. in 4. Marburg 1822. 

Rec. hat bereits vor sechs Jahren in diesen Blfittem seine Oberzeugung 
ausgesprochen, dass alle bisherigen Versuche, die Theorie der Parallellinien streng 
zu beweisen , oder die Lücke in der EuKunischen Geometrie auszufiillen , uns 
diesem Ziele nicht näher gebrächt haben , und kann nicht anders , als dies Ur- 
theU auch auf alle späteren ihm bekannt gewordenen Versuche ausdehnen. In- 
zwischen bleiben doch manche solche Versuche , obgleich der eigentliche Haupt- 
zweck verfehlt ist • wegen des darin bewiesenen Scharfsinns den Freunden der 
Geometrie lesenswerth, und. Bec. glaubt in dieser Rücksicht die vorliegende bei 
Gelegenheit einer Schulprüfung bekannt gemachte kleine Schrift besonders 
auszeichnen zu müssen. Den ganzen sinnreichen Ideengang des Verf. hier aus^ 
ffihrlich darzulegen , wäre für unsere Blätter zu weitläuftig und auch Überflüssig, 
da die Schrift selbst gelesen zu werden verdient : aber sie hat ihre schwache Stelle, 
wie alle übrigen Versuche , und diese herauszuheben , ist der Zweck dieser An* 
zeige. Wir finden diese schwache Stelle S. 1 5 in dem Beweise des Lehrsatzes 
des 15. Artikels. Dieser Lehrsatz ist der wahre Nerv der ganzen Theorie, welche 
filllt , sobald jener nicht streng bewiesen werden kann. Wir fELhren daher zuvör- 
derst diesen Lehrsatz hier auf; die dazu gehörige Figur wird jeder leicht selbst 
zeichnen können. 

Wenn jeder Winkel an der Grundlinie ON eines gleichschenkligen Drei- 
ecks grösser ist , als der Winkel an der Spitze Ä , und man setzt in O an die 
Seite OA einen Winkel von der Grösse des Winkels A, dessen anderer Schen- 
kel OL die AN in dem Punkte L zwischen A und N trifft, schneidet alsdann 



MÜLLEB. THEORIE DER PARALLELEN. 369 

von AO ein Stfick OM =z NL ab und zieht ML; wenn man femer in M an 
MÄ abermals einen. Winkel von der Grösse des Winkels A setzt, dessen ande- 
rer Schenkel MC die AN in dem Punkte C zwischen A und L trifft, hierauf 
von^ AM ein Stück MB = LC abschneidet und BC ziehet, und sodann diese 
Construction auf ähnliche Art fortsetzt, so dass auf der Linie OA die Punkte 
0, M, Ä J5, Cr, Ä^ u. s. w. , auf der Linie NA hingegen die Punkte N, i, C, D, F, H 
tt.8. w. liegen, so wird behauptet, dass die Stücke OM, MB, BB, EG, Cr JTu.s.w. 
oder die ihnen resp. gleichen NL, LC, CD, DF, FH n.s.w. eine abweichende 
Progression bilden. 

Den Beweis dieses Lehrsatzes sucht der Verf. apagogisch so zu führen» dass 
er die übrigen möglichen Fälle , wenn der Lehrsatz nicht wahr wäre , aufzählt, 
und die UnStatthaftigkeit eines jeden zu erweisen versucht. Der Verf. behaup- 
tet nemlich, dass unter jener Voraussetzung einer von folgenden fänf Fällen Statt 
finden müsste. Die aufeinander folgenden Stücke, von OJlf an gerechnet, wären 

1 ) alle einander gleich , oder 

2) jedes nachfolgende grösser als das vorhergehende , oder 

3) einige einander gleich und das darauffolgende grösser oder kleiner, oder 

4) einige auf einander folgende nähmen fortschreitend ab , und die darauf 
folgenden fortschreitend zu oder 

5) sie würden abwechselnd grösser und kleiner. 

In dieser Aufzählung ist der mögliche Fall übergangen , dass die Stücke anfangs 
fortschreitend zu und dann fortschreitend abnähmen, und nach Bec. eigener Über- 
zeugung (deren tiefer liegende Gründe hier aber nicht angeführt werden können) 
wäre dessen Erledigung gerade die Hauptsache und die eigentliche Auflösung des 
Gordischen Knotens. Inzwischen kann man zugeben, dass diese Auslassung hier 
in so fem wenig auf sich hat , als die Beweisart des Verf. für die Unstatthaftig- 
keit des dritten Falles , wenn sie zulässig wäre , auch auf diesen Fall von selbst 
erstreckt werden könnte. Allein eben diesem angeblichen Bewmse der Unstatt- 
hafügkeit des dritten Falls können wir keine Gültigkeit zugestehen. Der Verf. 
stellt die Sache so vor. Wenn z. B. in dem dritten Falle angenommen wird, die 
beiden ersten Stücke seien gleich, das dritte aber grösser, so wäre DC also 
grösser als CL. Da nun aber AML gleichfalls ein gleichschenkliges Dreieck 
ist, dem dieselbe Grundbedingung zukommt, wie dem ursprünglichen Dreieck 
AON, so müsste, wenn jener dritte Fall mit seiner angenommenen Unterabthei* 

55 



370 ANZEIGEy. 

lung der gflltige wäre , DC = CL sein, in Widerspruch mit den vorher gefan- 
denen. Wir haben, wie wir glauben, bei diesem Monient des Beweises, das wor- 
auf es ankommt , noch etwas klarer und bestimmter nach der Ansicht des Verf. 
angedeutet , als er es selbst gethan hat . wodurch dann aber auch die Schwäche 
desselben , wie uns scheint , leichter erkannt wird. Denn offenbar ist hier ganz 
willkfirlich angenommen, dass bei allen gleichschenkligen Dreiecken mit dem 
Wijikel A an der Spitze und grossem Winkel an der Basis , wenn mit ihnen die 
im Lehrsatz angezeigte Construction vorgenommen wird, die Folge der abgeschnit- 
tenen Stücke in Rücksicht auf ihr Gleichbleiben, Grösser oder Kleinerwerden, 
allemal , unabhängig von der GrOsse der Seiten , noth wendig dieselbe sein müsse, 
eine Annahme, die doch unmöglich als von selbst evident betrachtet werden darf. 
Da sich nun aber hierauf allein der versuchte Beweis der UnStatthaftigkeit des 
dritten (wie auch vierten und fünfb^ Falls stützt , und der ganze Artikel auch 
keine andere Bessourcen zum Beweise der UnStatthaftigkeit des übergangenen 
Falls darbietet,' so glauben wir hierdurch das oben ausgesprochene Urtheil hinr 
länglich gerechtfertigt zu haben , wobei wir aber gern der ganzen übrigen sinn- 
reichen Durchführung in den folgenden Artikeln volle Crerechtigkeit widerfah- 
'ren lassen. 



Oöttingische gelehrte Anseigen. 1830 Februar 27. 

Op&rations giadisiquesd astronomiques paur la tnesure dun arc du paralßk 
fnqyen, exicuUes en PiSmant et en Savoie par une commission campos^e dofßciers de 
Titat major gin&ral et dastranames Pi^mantais et Autriehiens en 1821, 1822, 1823. 
Milan, de Timprimerie impMale et royale: Tome premier 1825. *338 S. Tarne 
second 1827. 412 S. in 4. Nebst einem Heft mit Figuren, Karten und sechs 
Rundsichten. 

Die Idee der grossen Längengradmessung, von welcher die im vorliegenden 
Werke bekannt gemachten Operationen einen Hauptbestandtheil ausmachen, ist 
ursprünglich von Laplacb ausgegangen. Seit dem Jahre 1802 waren in Oberita- 
lien ausgedehnte Dreiecksmessungen, zunächst für topographisch- militärische 



OPERATIONS a^D^QUJSS ETC. 371 

Zwecke , durch französische Ingeniears ausgeffthrt. Um das Jahr 1811 war ein 
Dieiecksnetz yon Fiume bis Turin vollendet, welches mithin in der Richtung ei- 
nes Parallelkreises des 4 5sten Breitengrades sich über sieben Längengrade er- 
streckte. Um diese Arbeiten auch in höherer wissenschaftlicher Beziehung ffir 
die Kenntniss der Gestalt der Erde nfitzlich zu machen , beschloss das damalige 
französische Gouvernement , auf Laplacb's Antrag , dieses Dreiecksnetz im We- 
sten bis zum atlantischen Meere erweitern und die zu einer Längengradmesaung 
erforderlichen Operationen damit verbinden zu lassen. Die sofort mit Eifer an- 
gefangene , nachher durch die Zeitereignisse eine Zeitlang unterbrochene , bald 
aber wieder mit gleicher Thätigkeit fortgesetzte Arbeit war im J. 1 8 1 $ so weit 
gediehen , dass das Dreiecksnetz über das französische Gebiet vom atlantischen 
Meere bei Bordeaux bis an die Grenze von Savoyen gemessen war. Es fehlte also« 
zur Vollendung des geodaetischen Theils , nuf noch das in den Staaten des Kö- 
nigs von Sardinien liegende Stück. Das dortige und das Oesterreichische Grou- 
vernement, beide die wissenschaftliche üVichtigkeit dieser grossartigen Unterneh- 
mung lebhaft anerkennend , beschlossen , durch eine aus Astronomen und Qffi^ 
deren beider Staaten zusanimengesetzte Commission sowohl die noch fehlenden 

geodaetischen, als die in Italien erforderlichen* astronomischen Operationen aus- 

■ 

fahren zu lassen. Diese Arbeiten machen den Inhalt des vorliegenden, wie 
es scheint von den Astronomen CABLoa und Plana gemeinschaftlich redigirten 
Werks aus. 

Der erste Theil ist ausschliesslich den geodaetischen Operationen gewidmet. 
Die beiden östlichen Endpunkte des Dreiecksnetzes in Frankreich , der Mont C!o- 
lombier und der Mont Granier (unweit Chambery) bilden die Seite , von welcher 
die neue Messung ausgehen und bis zur westlichsten Seite des Netzes in der Lom- 
bardei, Mass6 — Superga (bei Turin) fortgeführt werden musste. Man hätte erwar- 
ten sollen , dass in diesem Terrain , wo sich die höchsten Gebirge von Europa be- 
finden, die Bildung grossartiger Dreiecke leicht, und eine sehr kleine Anzahl 
von Zwischenpunkten — die Entfernung des Mont Granier von Superga betrfigt 
nur 1 &0000 Meter — zur Verbindung hinreichend gewesen wäre.. Allein gerade 
umgekehrt hatte man auf dieser massigen Strecke mit den grössten Schwierigkei- 
ten zu kämpfen , insofern die Spitzen der höheren Beige gar nicht oder schwer 
zugänglich sind , die Baumaterialien für die Signale nur mit grösster Anstren- 
gung hi]iau%eschafft werden können , und die heftigen Stürme sowohl diese Sig- 

55* 



372 ANzmOEN. 

nale bedrohen , als die Beobachtungea selbst in hohem Grade erschweren. Man 
üeuid sich durch diese Umstände bewogen , eine verhältnissmfissig grosse Anzahl 
ziemlich kleiner Dreiecke zu bilden : es sind sechszehn, und die kleinste Verbin- 
dungsseite ist nur 18671 Meter lang. Wir dürfen jedoch nicht unbemerkt las- 
sen, dass die Heliotrope , welche alle Signale ganz entbehrlich , und die Messung 
der Winkel in den allergrossten Dreiecken eben so leicht und scharf, wie bei den 
kleinsten , machen , damals in Italien noch nicht bekannt waren. 

Zur Messung der Winkel dienten achtzollige Theodolithen von Bsighbnbagh. 
Die Fiemontesischen und Oesterreichischen Officiere theilten sich nicht in die Ar- 
beit • sondern jene und diese bestimmten sammtliche Winkel des Systems unab- 
hängig füx sich. Man erhielt also von jedem einzelnen Winkel zwei Bestimmun- 
gen , aus denen nach Massgabe der Anzahl der Serien , die dazu concurrirt hat- 
ten , das Mittel als Definitivwerth angenommen wurde. Meistens beruhen die 
BestQtate der Fiemontesischen Officiere auf sechs Serien, jede zu 10 Bepetitionen ; 
die der Oesterreichischen grösstentheils auf zwei, einige auf drei oder vier Serien. 
Alle Messungen sind im grössten Detail al^edruckt, doch ohne Nennung der Be- 
obachter , von denen jede einzeln herrfihrt. 

Bei einer so ausgedehnten Operation hat die Kenntniss der bei den Winkel- 
bestimmungen erreichten Genauigkeit ein grosses Interesse. Die Winkelsummen 
in den einzelnen Dreiecken bieten ein Mittel dazu dar, welches freilich nach Um- 
ständen etwas trüglich sein kann. Darf man die vorliegenden danach beurthei- 
len, so haben sie allerdings eine bewunderungswürdige Genauigkeit. Der grösste 
Fehler der Winkelsumme bei den 16 Dreiecken ist nur I'^IG; der mittlere Feh- 
ler findet sich 0"7 , und der mittlere Fehler einzelner Winkel würde folglich 
nur 0"40 sein. Früfungsmittel durch Diagonalrichtungen oder Folygonbildun- 
gen sind gar nicht vorhanden. Allein die Vergleichung der doppelten Bestim- 
mungen der 48 Winkel unter sich deutet ganz entschieden auf eine bei weitem 
grössere Ungenauigkeit der Resultate hin ; wir finden hier 1 3 wo der Unterschied 
über 3", und darunter 5 wo er über 5" steigt, ja bei einer, gleich in dem ersten 
Dreiecke, weicht die auf 80 Bepetitionen gegründete Bestimmung der Fiemonte- 
sischen Officiere von der auf 48 Bepetitionen beruhenden der Oesterreichischen um 
9"2 ab. Bei so grossen Differenzen kann man sich der Vermuthung nicht erweh- 
ren, dass die richtige Würdigung der eigentlichen Genauigkeit der Messungen noch 
von Nebenumständen abhängt , von welchen das Werk uns keine Kenntniss gibt. 



OP^BAHONS i»iODli8IQÜB8 ETC. 373 

Noch ein paar Bemerkungen glauben wir beifügen zu mAssen. Wir finden 
bei sämmtUchen Messungen , dass man beim Anfange jeder Serie immer den In- 
dex auf zurfickbrachte, ein Verfahren, welches wir nicht billigen können, weil 
dadurch, wie sehr man auch die Anzahl der Serien verrielfaltigt, immer derselbe 
vom Theilungsfehler abhängige constante Fehler im Resultate zurflckbleiben 
muss. — Bei den Messungen der Fiemontesischen Officiere ist jedesmal der Zu- 
stand der Luft angezeigt. Unter 414 Messungsreihen zahlen wir 320, wo Wind- 
stille, und 94, wo Wind angezeigt ist: ein so günstiges VerhSltniss hätte man an 
so hochli^enden Standpunkten (die Höhe' des höchsten über der Meeresfläche be- 
trägt 3534 Meter) kaum erwartet. 

Der zweite Band enthält in zehn Abschnitten die Arbeiten der Astronomen. 
In den beiden ersten Abschnitten finden wir die auf die Längengradmessung Be- 
ziehung habenden Bestimmungen von Längenunterschieden durch Fulversignale. 
Die ersten Versuche dieser Art wurden im September 1821 gemacht; die Fulver- 
signale wurden auf der Rocca Melone gegeben , und auf der 170,000 Meter ent- 
fernten Sternwarte von Mailand und auf dem nahen Mont Cenis beobachtet Für 
die Zeitbestimmung an letzterm Flatze war in dem Garten des Hospizes eine 
kleine Sternwarte errichtet und ein Mittagsfernrohr von Fobtin darin au%estellt, 
welches jedoch nicht von ausgezeichneter Güte gewesen zu sein scheint , wie in 
Beziehung auf die Zapfen, einen wesentlichen Theil, ausdrücklich bemerkt wird. 
Die Rocca Melone war hier nicht sichtbar; man musste sich, um die Signale zu 
sehen , an eine etwas entfernte Stelle hieben , wohin man die Zeit mit einem 
Chronometer von Eabnshaw übertrug. Auch die Beobachtungen am Mittagsfem- 
Tohre wurden meistens an diesem Chronometer notirt , aber nicht vom Beobach- 
ter selbst , sondern nach einem von diesem gegebenen Zeichen , durch einen Ge^ 
hülfen. Alle diese Umstände vereinigen sich freilich , das Zutrauen zu der Ge- 
nauigkeit des Endresultats zu verringern , wenn gleich die drei partiellen Besul- 
tate von den drei Beobachtuügstagen sehr gut übereinstimmen. Es kommt dazu, 
dass man hier die Zeitbestimmung aus Sternen , in Mailand aus Sonnendurchgän- 
gen erhielt, und endlich, dass, wie es scheint, die Rechtwinkligkeit der opti- 
schen Axe des FoRTiNschen Mittagsfemrohrs zu dessen Drehungsaxe gar nicht be- 
richtigt wurde, wenigstens wird dieses wichtigen Umstandes bei diesen Beobach- 
tungen gar nicht erwähnt. 

Bei den Operationen ähnlicher Art im Jahr 1822 ging man in jeder 



374 AKZBaLQEN. 

hung mit mehr Vorsidit zu Werke. Sie dienten , durch Pulversignale auf dem 
Mont Tabor den Mont Cenis mit dem Mont Colombier , und durch Pulversignale 
auf dem Berge Pierre sur ^utre den Mont Colombier mit dem französischen Drei- 
eckspunkte Puy d'Usson zu verbinden; zugleich wurden noch auf dem Mont Co- 
lombier selbst Signale gegeben, die zur Verknfipfung dieses Platzes mit der Stern- 
warte von Oenf dienten. Die Zeitbestimmung auf dem Mont Cenis und dem Mont- 
Colombier war auf Beobachtungen an Mittagsfemröhren von LsNom ^) und Grin- 
OBL , die fär den französischen Standpunkt auf absolute mit einem Repetitions- 
kreise gemessene Stemhöhen gegründet (vgl. Cann.des tems 1829 und unsere Anz. 
1 828 Jan. 1 0). Auf dem Mont Cenis war man genöthigt, sich drei Stunden Weges 
von dem Hospiz jedesmal zu entfernen , um die Signale sehen zu können. End- 
lich finden wir hier noch die Bestimmung des Längenunterschiedes zwischen den 
Sternwarten von Turin und Mailand durch Pulversignale auf dem S. Bernardo di 
Fenera zu drei verschiedenen Zeiten 1823... 1824, wobei alle Umstände so gün- 
stig waren , wie sie nur bei Operationen dieser Art sein können. 

Der dritte Abschnitt enthält die Breitenbestimmungen der Stetnwarten auf 
dem Mont Cenis , dem Mont Colombier und in Turin , die beiden ersteren mit 
Bepetitionskreisen von Tboughtok und Reichembach, die letzte mit dem Rbichen- 
BACHSchen Meridiankreise. Die letztern Beobachtungen zeigen nicht ganz den 
Grad von Uebereinstimmung , an welchen man sonst bei diesen Instrumenten ge- 
wöhnt ist. Die Verf. haben dies selbst bemerklich gemacht , und lassen es auf 
i^ch beruhen, ob solche Anomalien Bealität haben, oder von ii^nd einem Feh- 
ler in der Behandlung des Instruments abhangen, der sich in Zukunft aufklären 
lassen werde. Ref. bescheidet sich , dass bei der Mannigfaltigkeit der Aufmerk- 
samkeiten , welche dieses Instrument erfordert , niemand, ohne an Ort und Stelle 
zu sein , auch nur eine plausible Vermuthung darüber aufstellen köiüie , findet 
aber in der Art , wie die Verf. sich fiber jene Anomalien geäussert haben , eine 
Aufforderung , aus seiner eigenen Erfahrung ein Beispiel anzufiihren , wie gering- 
fügige Umstände zuweilen den Beobachtungen nachtheilig werden können. Wäh- 
rend einer Reihe von Jahren war die schöne Harmonie in den Beobachtungen an 
einem dem Turiner ganz gleichen Meridiankreise nur ein einzigesmal eine Zeit- 



*) Nach efinigen Umitänden su schliessen, scheint 1821 und 1822 dasselbe Mittagsfern robr auf dem 
Mont Cenis gebraucht xu sein, obgleich hier ein anderer Verfertiger genannt ist. 



OPERATIONS GiOD^IQUES ETO. 375 

lang gestört , und eine vorher nie yorgekommene bjgdeutende Wandelbarkeit des 
Collimationsfehlers bemerklich. Die Qaelle davon fand sich, nachdem sie vorher 
vergeblich in mancherlei andern Umständen gesucht war. in einem Knötchen des 
Fadens , welcher um die den Verschluss der Libelle sichernde Blasenhaut gebun- 
den war , und , ein klein wenig zu dick , die innere Fläche der Hülse berührte : 
nachdem dieses Knötchen weggeschnitten war , so dass die Glasröhre bloss^ die 
nur wenig vortretenden Schraubenspitzen berührte, war die Beständigkeit des 
Collimationsfehlers , und die frühere schöne Harmonie aller Beobachtungen so- 
gleich wieder hergestellt. Auch bei den in Frage stehenden Turiner Beobachtun- 
gen bemerken wir bedeutende Wandelbarkeit in dem CoUimationsfehler, wir mei- 
nen nicht die grösseren Veränderungen von mehreren Minuten , die ohne Zweifel 
ihren guten dem Astronomen bekannten, obwohl bei den Beobachtungen nicht 
angefahrten Grund gehabt haben , sondern die kleinern , welche zuftUig schei- 
nen. Gegenwärtig, wo man ein so vortreffliches Mittel hat, den CoUimations- 
fehler jeden Augenblick ohne Umlegen zu bestimmen , wird die Auffindung der 
Ursache von ähnlichen Anomalien um so mehr erleichtert. 

Im vierten Abschnitt wird der Anschluss des Mont Cenis an das Dreiecks^ 
System vermittelst einer besondern Triangulirung und einer kleinen auf dem Pla- 
teau des Beiges gemessenen Grundlinie, wie auch die astronomische Bestimmung 
des Azimuths der Verbindungslinie Mont Cenis — Bellecombe mi^theilt. Letz- 
tere ist zweimal gemacht; die Besultate der Jahre 1S21, 1822, mit Bepetitions- 
kreisen von Throu0qton und Bsichenbach, weichen S"6 von einander ab, und man 
nahm, obgleich die spätere Bestimmuiig bei weitem zuverlässiger scheint, aus 
beiden das IVGttel. 

Eben so enthalten die beiden folgenden Abschnitte die astronomischen Be- 
stimmungon der Azimuthe der Richtungslinien Mont Colombier — Mont Granier 
und Turin neue Sternwarte — Supei^. In allen drei Fällen dienten die Meri- 
dianzeichen der resp. Mittagsfernröhre zur Grundlage dieser Bestimmungen. End- 
lich finden sich noch im sechsten Abschnitt die Operationen , durch welche eine 
früher von Obiani auf der Mailänder Sternwarte gemachte astronomische Azimu- 
thalbestimmung auf die Orientirung der Seite in dem französischen Dreieckssy- 
stem Mailand Domthurm — Q^sto übertragen wurde. 

Im siebenten Abschnitte werden nun aus diesen aufigedehnten Operationen 
die Resultate fär die Längengradmessung abgeleitet. Man bezog die Messungen 



1 



376 



AKZBIOKV* 



auf den Parallelkreis, in welchem der Krümmungshalbmesser des Meridians dem 
Halbmesser eines Kreises gleich ist, dessen Umfang dem ganzen elliptischen Me- 
ridian gleich wird: die Breite dieses Parallelkreises findet sich, &ür die zum 
Grunde gelegte Abplattung 0,00324, 4 5® 3' 29'' 2. Die geodaetischen Messungen 
ergeben den ganzen Bogen dieses Parallelkreises zwischen den Meridianen von 
Mailand (Sternwarte) und von Usson zu 4751 21,06 Meter, während die Beobach- 
tungen der Pulversignale ffir den Langenunterschied 6^ 1^4 1^7 gegeben haben. 
Man kann diese Zahlen als das Hauptresultat der Messungen betrachten. Die 
Vei^leichung eines solchen Längengradbogens mit dem Besultat einer Breiten- 
gradmessung kann , theoretisch genommen , die Bestimmung der Erdabpiattung 
geben: die Verf. finden aus einer solchen Vergleichung ihres Besultats mit dem 
Bogen von Greenwich bis Formentera die Abplattung -rir- ^^^ wenig Zuver- 
lässigkeit aber auf diese Weise erreicht werden kann , zeigt sich am auffiallend- 
sten , wenn man anstatt des ganzen Bogens die einzelnen Stücke auf ähnliche Art 
behandelt. Bef. findet so aus der Vergleichung desselben Meridianbogens mit dem 
Stück d'Usson — Colombier die Abplattung -pfg- , mit dem zweiten Stück Colom- 
hier — Mont Cenis t^, mit dem vierten Turin — Mailand -H-^, mit dem drit- 
ten Stück Mont Cenis — Turin hing^en eine Allongation ^. In dieser Bezie- 
hung ist also hiervon für die schärfere Bestimmung der Erddimensionen wenig 
zu erwarten : allein desto wichtiger sind die Besultate , indem sie eine neue Be- 
stätigung der Unregelmässigkeit der Erdfigur liefern , die sich gerade in Oberita- 
lien im grOssten Massstabe zeigt. Am deutlichsten treten diese Unregelmässig- 
keiten hervor , wenn man die astronomisch bestimmten Längenunterschiede mit 
den aus den geodaetischen Messungen, nach einer plausibeln Hypothese über die 
Erdfigur im Grossen , berechneten vergleicht. Die Verf. haben diese Kechnung 
mit der Abplattung 0,00324 und dem Aequatorshalbmesser 6376986 Meter ge- 
führt : auf diese Weise ergeben sich die westlichen Längenunterschiede mit Mai- 
land in Zeit 





astronomisch 


geodae tisch 


Unterschied 


Turin 


5' 58" 85 


6' 0" 93 


— 2' 08 


Mont Cenis 


9 0. 20 


8 59. 49 ! 


+ 0.71 


Colombier 


13 44,23 


13 43,84 ' 


+ 0.39 


D'üsson 


24 6.78 


24 S. 02 


1.24 



Je weniger sich hier der anomalische Gang verkennen Ifisst , desto interes- 
santer wird die Frage, ob die astronomisch bestimmten Azimuthe der Dreiecks- 
seiten Shnliche Anomalien zeigen. In der That steht , nach einem von Laplage 
zwar* unter speciellen Beschränkungen aufgestellten , aber einer grossen Gtenera- 
lisirung fähigen Theorem , die Convergenz der Meridiane in einem nothwendigen 
und von der Gestalt der Erde unabhängigen Zusammenhange mit dem Längen- 
unterschiede , so dass die Ungleichförmigkeiten der einen sich aus denen der an- 
dern , beim Fortschreiten in einer Kette von geodaetischen Linien , a priori be- 
rechnen lassen. Da, wie wir berichtet haben, die astronomischen Azimuthalbe- 
stimmungen an den vier Hauptplätzen, Mailand, Turin, Mont Cenis und Colom- 
bier mit vieler Sorgfalt gemacht waren, so haben die Verf. mit diesen Orientirun- 
gen an den drei letzten Plätzen diejenigen verglichen , welche die Übertragung 
der Orientirung in Mailand vermittelst der geodaetischen Messungen ergibt, und 
dabei dieselben vorhin angezeigten Dimensionen des Erdsphäroids zum Grrunde 
gelegt Die Differenzen sind 

far Turin — 5" 5 

Mont Cenis — 51,2 
Colombier — 25, 2 

Auch hier erkennt man also ungemein grosse Anomalien. Allein wenn man nach 
dem erwähnten Theorem daraus die Anomalien der Längenunterschiede berech- 
net (was durch Division mit dem funfzehnfachen Sinus der Breite von Mailand 
und Veränderung des Zeichens geschieht) , so ei^feben sich Werthe , die von den 
unmittelbar gefundenen ganz verschieden sind , nemlich 





berechnete 


Unterschied von der 




Anomalie 


beobacht. Anomalie 


Turin 


-f-0''52 


+ 2^60 


Mont Cenis 


+ 4,81 


+ 4,11 


Colombier 


+ 2,34 


+ 1.95 



Die Verf. bemerken über diese Unterschiede bloss, dass sie zu gross seien, um 
der Anhäufung der Fehler bei den Winkelmessungen zur Last gelegt werden zu 
können , und lassen uns also im Dunkeln darüber , was wir von ihnen denken 
sollen. Nach unserer Ansicht sind diese drei Zahlen insofern von grösster Wich- 

56 



378 AK2SIOEK. 

tdgkeit, als sie uns einen nicht zurfickweisbaren Maassstab fElr die Genauigkeit 
der Operationen selbst geben . da sie (Rechnungsfehler bei Seite gesetzt) bis auf 
unmerkliche Kleinigkeiten nichts anderes sein kOnnen, als die Aggregate der 
Fehler, die bei den astronomischen Längenbestimmungen, den Azimuthalbestim- 
mungen, und den Messungen der Winkel im Dreiecksnetze. begangen sind. Mau 
kann freilich diese Einflüsse nicht trennen , allein das Dasein des Gtesammtfeh- 
lers , unabhängig von den Irregularitäten der Erdfigur, ist eine unleugbare That- 
sache, wenn auch die Meinung, die man sonst wohl von der absoluten, bei allen 
drei Geschäften erreichten Genauigkeit gehabt hat, merklich herabgestimmt wer- 
den muss. Vermuthlich hat jedes seinen Antheil beigetragen , obwohl wir ge- 
neigt sind , die grössere Hälfte den gemessenen Dreieckswinkeln zuzuschreiben. 
Die meisten Operationen , welche Bestandtheile dieser Vergleichungen sind, fin- 
den wir zwar in diesem Werke, aber die Winkelmessungen zwischen Mailand 
und Superga , die in frühem Jahren von französischen Ingenieurs ausgeführt wa- 
ren, nur in abgekürzter Form , und schon ausgeglichen , so dass man über den 
Grad ihrer Genauigkeit gar nicht urtheilen kann ; inzwischen finden wir in der 
Connaissance des tems 1829 S. 288, dass Fehler in den Winkelsummen bis zu 6"% 
dabei vorkommen. Auch das bei Verbindung der Sternwarten von Mailand nach 
Turin, in Beziehung auf die Über tragung" der Orientirung sehr wesentliche Drei- 
eck, Superga, alte und neue Sternwarte von Turin (S. 254) scheint nicht ganz 
mit der erforderlichen Genauigkeit gemessen zu sein. Es wäre sehr zu wünschen, 
dass zur Aufkläruüg dieses so wichtigen Gegenstandes , wenigstens so weit von 
den beiden Sternwarten die Rede ist , eine neue geodaetische Verbindung dersel- 
ben von den dortigen Astronomen ausgeführt werden möchte , was unter Anwen- 
dung von zwei Heliotropen und Benutzung des von beiden Sternwarten sichtba- 
ren Platzes S. Bernardo di Fenera äusserst leicht sein würde; insofern dort, wie 
wohl nicht zu zweifeln ist, auch nur einer der übrigen frühem Zwischenpunkte 
sichtbar ist , würde die ganze Arbeit bloss die Messung von vier Winkeln nöthig 
machen. 

Eine sehr interessante und verdienstliche Arbeit erhalten wir im achten Ab- 
schnitt, eine vollständige Wiederholung der von Brocabia 1762... 1764 ausge- 
feihrten Breitengradmessung. Bekanntlich Hess sich das Resultat dieser Messung 
mit den in andern Ländern gemessenen Graden gar nicht in Übereinstimmung 
bringen ; die Krümmung des Bogens zwischen den Endpunkten Mondovi und An- 



OPiBATIOXS O^ODäUQUBS FTC. 379 

drate war viel geringer, als sie bei regelmässig vorau^esetzter Erdfigur sein sollte. 
Die neue Messung hat gezeigt, dass Bbccabia bei der astronomischen Bestimmung 
dieser Krümmung allerdings einen Fehler von 1 3" 4 1 begangen hat (der bei der 
Un Vollkommenheit seiner Instrumente sehr verzeihlich ist) ; allein das Zeichen die- 
ses Fehlers ist' das entgegengesetzte von dem vermutheten , und die Anomalie 
wird also noch um so viel vergrössert. Die nach obigen Elementen aus den geo- 
daetischen Messungen berechnete Amplitudo ist nemlich (auf Beccabus Endpunkte 
reducirt) 1 ^ 8' 1 S'' 9 1 ; die aus Beccabias astronomischen Beobachtungen sich er- 
gebende i^7'44"30, und die neue Bestimmung i®7'3i"07. Die neue Messung 
ist mit so guten Hülfsmitteln und mit so ausgezeichneter Sorgfalt ausgefOhrt, dass 
man gezwungen ist, diesen grossen Unterschied von 4 7 "8 4 fast ganz als eine Un-' 
r^elmässigkeit der Erdfigur zu betrachten , die merkwürdigste Thats&che dieser 
Art, die bisher in den Annalen der höhern Geodaesie vorgekommen ist Höchst 
wahrscheinlich ist die Attraction der diese Messung in Norden und Süden be- 
grenzenden Alpenketten eine Hauptursache dieses Phänomens, allein eben so 
wahrscheinlich hat die ungleiche Dichtigkeit der untern Erdschichten, vielleicht 
bis zu grosser Tiefe hinab , nicht minder Antheil daran. Wenigstens lassen sich 
ähnliche bei ganz in der Ebene liegenden Punkten vorgekommene Unterschiede 
von sehr bedeutender Grösse (z.B. eine Anomalie von 21 "9 zwischen Mailand 
und Parma) nicht wohl anders erklären. Wir setzen hinzu, dass je mehr die 
soi^gfältig ausgeführten Gradmessungen vervielfältigt werden, desto mehr die 
Ueberzeugung Platz gewinnt, dass solche Abweichungen nur in Rficksicht auf 
ihre Grösse, aber nicht an sich als Ausnahmen betrachtet werden dfirfen, und 
dass sich solche nach grösserm oder kleinerm Massstabe fiberall zeigen. Die Verf. 
haben eine interessante vergleichende Übersicht der durch astronomische Beob- 
achtungen bestimmten und der durch geodaetische Messungen berechneten Pol- 
höhen von 34 über halb Europa zerstreue ten und durch Dreiecke unter sich ver- 
bundenen Punkten gegeben. Freilich hat man dieselbe nur wie einen unvoll- 
kommenen Versuch zu betrachten , da sie grossentheils nur auf unbeglaubigten 
fragmentarischen Notizen von den Resultaten der geodaetische Messungen beruht: 
denn leider sind die meisten dieser Messungen in Frankreich, Italien, Oester* 
reich und Baiem noch immer nicht bekannt gemacht 

Derselbe Abschnitt enth&lt ausserdem noch die neue Messung einer klei- 
nen Grundlinie bei Turin , wodurch einige Umstftnde , welche die von Hrn. vox 

56* 



880 AK2El»Eai. 

ZiGH im Jahre 1809 dort ausgeführte Triangnlirung betreffen, noch mehr ins 
licht gesetzt werden. 

Im folgenden Abschnitt findet man verschiedene mit dem Zustande der 
Atmosphäre im Zusammenhange stehende interessante Beobachtungen und Un- 
tersuchungen , nemlich gleichzeitige meteorologische Beobachtungen im Hospiz 
des Mont Cenis und in Mailand ; barometrische Höhenbestimmung des ersteren 
Punktes und des Mont Colombier ; trigonometrische Höhenbestimmung des Mont- 
blanc (4802,7 Meter) und des Monte Rosa (46 19,6 Meter); endlich Untersuchun- 
gen über die terrestrische Refraction. Letztere wird aus den an drei Funkten 
(Mailand, Turin, Mondovi) beobachteten Elevationen dreier Berge Rocca Melone, 
Monte Viso und Monte Rosa bestimmt, wobei die absoluten Höhen der drei Stand- 
punkte vorausgesetzt, und die Höhen der beobachteten Punkte eliminirt werden, 
ein Verfahren , welches wenig Sicherheit geben kann , und wie eine genauere 
FjrOfung zeigt , auch wenig Übereinstimmung gegeben hat. Wir möchten also 
auf das Endresultat ffir das Verhaltniss der Erdkrümmung zur ganzen Refraction 
(5,28 zu 1) wenig Gewicht legen: die Berechnung von sechs Paaren reciproker 
Zenithdistanzen zwischen Hauptdreieckspunkten gibt uns dieses Verhaltniss im 
Mittel weit kleiner, nemUch 1 zu 0,1235, sehr nahe übereinstimmend mit den 
bei der Hannoverschen und Liefländischen Gradmessung gefundenen Resultaten. 

Der zehnte Abschnitt beschäftigt sich mit der vielbehandelten Aufgabe, aus 
der Breite eines Endpunktes einer gegebenen Dreiecksseite und deren Azimuth 
in jenem Endpunkte , dieselben Dinge für den andern Endpunkt , und den LSn- 
genunterschied auf dem elliptischen Sphäroid zu finden. Die Entwickelung ent- 
hält nur eine Umformung der LKOENDBESchen Formeln, um anstatt der sogenann- 
ten reducirten Breite die wahre einzuführen. Die Formeln sind bis zu den Grössen 
der dritten Ordnung genau , insofern man die Abplattung und die Dreiecksseite 
(den Erdradius als Einheit angenommen) wie Grössen der ersten Ordnung be- 
trachtet. Bei der Anwendung auf die gegenwärtigen Messungen hat man die 
Grössen der dritten Ordnung weggelassen , weil diess fftr die Ausübung genau 
genug sei. Diess ist jedoch nur insofern zuzugeben , als man die Resultate bloss 
zur Vergleichung mit den astonomischen Bestimmungen gebrauchen will , wo es 
allerdings unnöthig ist, in die Berechnung von jenen eine viel grössere Scharfe 
zu legen , als diese zulassen. Geht man aber von einem andern Gesichtspunkte 
aus, nemlich die geodaetischen Resultate so genau zu berechnen, wie es die Mes- 



üiMOBlAL DU Dipdr gAmAbAL DJB LA CKnOIBB KTO. 381 

sangen selbst verstatten« so dass man rückwärts aus jenen (den geodaetischen 
Längen und Breiten) die Winkelmessongen wieder wenigstens mit derselben Oe* 
miuigkeit soll berechnen können, mit der sie angestellt sind, so sind jene abge* 
kürzten Formeln bei weitem nicht zareichend, und bei sehr grossen Dreiecken 
moss man dann sogar wünschen , auch noch die Glieder der vierten Ordnung be-* 
rflcksichtigen zu können. Bei einer andern Form der Bechnung lässt sich diess 
durch sehr geschmeidige Methoden erreichen: es kann hier aber nicht der Ort 
sein, diess weiter zu entwickeln, und wir b^nflgen uns, diess Bedfirfniss der 
höheren Greodaesie hier angedeutet zu haben. Das Werk selbst bietet Terschie- 
dene Fälle dar, wo die grossen Vortheile einer solchen Behandlungsweise f&hlbar 
werden : so sind z. B. die auf der Turiner Sternwarte bei Gelegenheit der Azimu- 
thalbestimmungen gemachten Einschneidungen der Dreieckspunkte Masse, Monte 
Soglio und Bocca Melone gar nicht benutzt , die unter jener Voraussetzung eine 
sehr schätzbare Controlle und Vergrösserung der Genauigkeit mit Leichtigkeit 
gegeben haben würden. 



Oöttingische gelehrte Ansagen. 1830 Aprü S». 

Mimarial du (Upöt giniral de la guerre^ imprimipar ordre du ministre. T. I, 
1829 (fftr 1802 — 1803), 696 S. T. III, 1826 (fflr 1825), 466 S. T. IV, 1828 
(fax 1826), 494 S. T. V, 1829 (fElr 1827—1828), 490 S. in 4. Nebst vielen 
Karten und Planen. Paris bei Pioquet. 

Die militärische Zeitschrift unter obigem Titel nahm im Jahre 1802, auf 
Veranlassung des Generals Amdbeobst, damaligen Directors des Depot, ihren An- 
fang. Man wollte nach und nach einen Theil der Schätze dieses grossartigen, 
wäbxend der Bevolutionskriege ins unermessliche bereicherten Instituts , fflr die 
Elriegswissenschaft und die Hülfskenntnisse , Geschichte , Topographie, Geodae- 
sie , Statistik u. s. w. gemeinnützig machen , und dazu die Müsse des damals ein* 
sretretenen Friedens benutzen. So erschienen rasch nach einander die ersten 
Nummern dieser Zeitschrift; als jedoch der Krieg bald wieder ausbrach, gerieth 
der Fortgang derselben allmählich wieder ins Stocken, und mit der siebenten 



382 ANZEIGEN. 

Nummer (1810) hörte sie ganz auf. Von dem Greneral Guilleminot , welcher im 
Jahr 1822 die Direction des Depot übernahm, wurde zuerst die Idee einer regel- 
mässigen Fortsetzung der Zeitschrift gefasst, und von dessen interimistischem Stell- 
vertreter, dem General Oelachassb de VERiaNY. zur Reife gebracht. Man beschloss 
zugleich einige Abänderung in der Form eintreten, und in dem für die Fortsetzung 
gewählten Quartformat auch die sieben altern Sttlcke , wovon die Exemplare ver- 
griffen waren , von neuem abdrucken zu lassen. Zu diesem neuen Abdruck der 
früheren Stücke sind die beiden ersten Bände der neuen Ausgabe bestimmt, wo- 
von der erste nebst drei Bänden der Fortsetzung vor uns liegt; der zweite soll 
nächstens nachgeliefert werden. 

Das D^öt de la guerre wurde zuerst 1688 unter Ludwig XIV. Regierung 
durch den Minister Louvois gestiftet : es war jedoch Anfangs nur ein Archiv , in 
welchem die gesammte officielle Armee-Correspondenz hinterlegt wurde. Zu sei- 
ner gegenwärtigen Einrichtung ist es erst nach und nach durch Erweiterung sei- 
nes Umfangs und Consolidirung seiner Oiganisation gelangt, und seinen eigen- 
thümlich grossartigen Character hat es erst erhalten , seitdem es der Mittelpunkt 
geworden ist, wo sich alle Früchte der Arbeiten eines selbstständigen Corps, der 
Ingenieurs-Geographen, vereinigen. Einen Begriff von dem Umfange der Tha- 
tigkeit des Instituts gibt der Umstand, dass die jährlichen Kosten im Jahr 1801 
auf 11 0000 Franken angeschlagen wurden, worin die Gehalte des Personals 
nicht mit begriffen waren ; letztere betrugen 1 793 die Summe von 231100 Franken. 

An eine Zeitschrift, welche aus einer so überschwenglich reichen Queue 
schöpfen kann , darf man grosse Ansprüche machen , und diese werden um so 
vollkommner befriedigt werden , je mehr die Herausgeber ihr Hauptaugenmerk 
auf die Bekanntmachung wichtiger , dem Publicum bisher verschlossener Mate- 
rialien richten « und dasjenige, wodurch die Wissenschaft nicht weiter gebracht 
wird, ausschliessen werden. 

Von diesem Ideal finden wir die altem Artikel viel weiter entfernt, als die 
neuere Fortsetzung. In der That sind die Artikel des ersten Bandes , wenn wir 
einen Aufsatz über die Hydrographie eines Theils von Frankreich und eine Notiz 
über die Geschichte des Depot de la guerre ausnehmen, von der Art, dass sie eben 
so gut hätten geschrieben werden können,' wenn auch das 'D6p6t gar nicht vor- 
handen gewesen wäre, und ohne das Interesse zu leugnen, welches mehrere Auf- 
sätze vor dreissig Jahren haben koimten und zum Theil noch jetzt haben , kann 



K^OBIAL Du Dipdr O^nArAL DE LA GDERBE ETC. 383 

man doch einen grossen Theil des Inhalts nur für Dissertationen erkennen, in de- 
nen elementarische Gegenstände mit mehr Breite als Tiefe abgehandelt werden. 
Es würde jedoch unpassend sein, diese Arbeiten, die einer längst vergangenen 
Zeit angehören , jetzt noch einer speciellen Kritik zu unterwerfen. 
* Weit gehaltvoller erscheint dagegen die neue Fortsetzung, worin der Mili- 
tär, der Geschichtsforscher, der Geograph reichen Stoff zur Belehrung antreffen. 
Wir nennen hier nur die Darstellung der Schlacht bei Marengo , die Geschichte 
des Feldzugs in Deutschland im Jahre 1800 (welche beinahe den ganzen fünften 
Band ausfEQlt) , die militärische Beschreibung des Flussgebiets der Donau , alles 
durch eine grosse Menge von Karten und Planen erläutert ; die Verhandlungen 
einer besonders dazu niedergesetzten Commission über die zweckmässigste Art der 
Terraindarstellung, worin dieser Gegenstand vielseitig erwc^en und durch eine 
beträchtliche Anzahl von Probezeichnungen nach verschiedenen Methoden ver- 
sinnlicht wird. Nicht. ohne Interresse wird man in der Correspondenz des Grafen 
deGisobs mit seinem Vater dem Herzog db Belle -Isle die Unterredungen lesen, 
welche ersterer mit Fbiedbich dem Zweiten ein Jahr vor dem Ausbruche des sie- 
benjährigen Krieges über militärische Gegenstände hatte ; imgleichen eine Seihe 
von bisher ungedruckten zum Theil eigenhändigen, auch mit einem Facsimile be- 
gleiteten Briefen Ludwig XIV. , wenn gleich nicht alle Leser sie von dem Stand* 
pnnkt betrachten können , auf welchen die Herausgeber die französischen Leser 
stellen wollen, indem sie in der Einleitung dazu bemerken: Momtesquibü regatde 
comme le devair de taut icrivain komme de bien de cantribuer , autant quil est en lui^ 
h donner ä ses cancitoyens des raisans daimer ceucc ä qui ils daivent obür. Bien 
nentre mieux dans cette noble pensie de Montesquieu, que la publxcation de ces lettres 
et de Celles qui paurrant les suivre, et tout le monde reconnoitra dans les successeurs 
du grand toi tout ce que son coeur avait de patemel et son äme dhirotque. Endlich 
dürfen wir nicht mit Stillschweigen übeigehen die Nachrichten, welche im 3. und 
4. Bande ftber die neue grosse Karte von Frankreich gegeben werden, deren Aus- 
führung durch eine königliche Ordonnanz vom 6. August 1 S 1 7 befohlen wurde. 
Man wollte Anfangs die Aufnahme in dem Maassstabe von 1 zu 10000 und den 
Stich in dem Maassstabe von 1 zu 50000 ausführen, wobei die Anzahl aller Blät- 
ter auf 611 , jedes 800 Millimeter breit und 500 Millimeter hoch, angeschlagen 
wurde, und glaubte die ganze Arbeit in 20 Jahren vollenden zu können. Man 
Hess jedoch diesen Plan bald fahren, und beschränkte den Maassstab för die Auf- 



384 ASSBOKH. 

nähme auf das Yerhältniss 1 zu 40000, und fbx den Stich auf das Verhftitniss t 
zu 80000, wonach die Anzahl der Blätter (von derselben Grösse wie oben) auf 208, 
die erforderliche Zeit auf 1 5 Jahr, die Kosten für die Arbeit, den Stich und den 
Abdruck von 3000 Exemplaren auf 4232000 Franken, endlich der Verkaufspreis 
jedes Blattes auf 7 Franken 50 Centimen, oder der ganzen Karte auf 1560 Fraif- 
ken veranschlagt werden. Die ganze Arbeit gehört zum Kessort des Depot, allein 
es ist dabei auf die Mitwirkung des Katasters gerechnet, obwohl aus dem Bericht 
nicht recht klar ist , in welchem Maasse : wie es scheint wird von dieser (von ei- 
nem andern Ministerium abhängigen) Behörde das ganze Detail erwartet, so dass 
den Ingenieurs-Geographen bei der Aufnahme nur die trigonometrischen Arbei- 
ten und die Höhenbestimmungen anheim fallen. Diese Abhängigkeit von einer 
andern Behörde , mit welcher kein recht harmonisches Zusammenwirken Statt zu 
finden scheint , (der nicht hinlänglichen Unters tfltzung von Seiten des Katasters 
wird das Fehlschlagen des ersten Plans beigemessen) , könnte vielleicht dem ge- 
hofften raschen Fortgange dieser grossartigen Unternehmung sehr nachtheilig wer- 
den. Nach Vollendung der ArbMt soll noch ein grosses Kepertorium geliefert 
werden , worin nicht bloss die numerischen Kesultate fär die Lage und Höhe der 
trigonometrischen Funkte, sondern auch alle Messungen auf welchen jene beru- 
hen, bekannt gemacht werden sollen. Dadurch werden dann freilich alle Wflnsche 
erfüllt werden. Allein so wie theils zu besorgen ist, dass dieser Zeitpunkt noch 
sehr weit entfernt sein möchte , theils auch in hohem wissenschaftlichen Bezie- 
hungen hauptsächlich nur die Dreiecke und Dreieckspunkte erster Ordnung das 
grösste Interesse darbieten , so können wir den lebhaften Wunsch nicht unter- 
drücken , dass man mit der vollständigen Bekanntmachung der Dreiecke erster 
Ordnung (welche bereits jetzt alle gemessen sind) nicht so lange zögern , sondern 
diese zum Besten der Wissenschaft sogleich liefern möchte. Die Freunde der ho- 
hem Gteodaesie würden es um so dankbarer erkennen, wenn die künftigen Bände 
des Memorial diese Wünsche erfüllten , als sie, bei den bisher erschienenen Bän- 
den , die in anderer Beziehung so gehaltreich sind , am wenigsten berücksichtigt 
worden sind, und in den wenigen theoretischen Dissertationen und Hfilfstabellen 
keine Entschädigung für den Mangel an Thatsachen finden , welche doch das De- 
pot in so reichem Maasse zu geben im Stande wäre. 



VERSCHIEDENE AUFSÄTZE. 



V, Zach. Monatliche Correspondens für Erd- und Hirameltkunde. 1810 August. 

BESTIMMUNG DER GRÖSSTEN ELLIPSE 

WELCHE DIE VIEB SEITEN EINES GEGEBENEN VIERECKS BERÜHRT. 



Die Lage aller Funkte in der Ebne, in welcher das Viereck liegt, bestimme 
ich durch Abscissen und Ordinaten, indem ich vorerst die Abscissen- Linie und 
den AnÜEuigspunkt der Abscissen ganz nach Willkfir annehme. Das Viereck be- 
stimme ich nicht durch die Winkelpunkte , sondern durch die Punkte , wo jenes 
Seiten von den aus dem Anfangspunkte der Abscissen auf diese geilten Perpen- 
dikeln geschnitten werden. Diese Perpendikel seien a, a , a"^ oT, und ihre Nei- 
gungen gegen die Abscissen-Linie A, Ä, A\ Ä"*, folglich die Coordinaten der 
erwähnten vier Durchschnittspunkte 

a cos^, a %mA 

a co8^, a BinA 

a'cosA", a"sinA' 

a^cosA", a'^siaA"' 

57 



386 BESTIMMUNG DEB GRÖBSTEN ELLIPSE 

Es sei femer r der Abstand des Mittelpunkts, der gesuchten EUipse von 
dem Anfangspunkte der Absoissen , und (p die Neigung der von letzterm zu er- 
Sterin gezogenen geraden Linie gegen die Abscissen- Linie, oder rcosf, rsin<p 
die Coordinaten des Mittelpunkts der Ellipse. Man findet hieraus leicht, dass 
das Perpendikel von diesem Mittelpunkte auf die erste Seite des Vierecks 

= a — rcos(-4 — ^) 

sein werde ; auf ähnliche Art werden die Perpendikel auf die drei andern Seiten 
ausgedrückt. 

Bezeichnet man die halbe grosse Axe der Ellipse mit a, die halbe kleine 
Axe mit ß , die Neigung der letztern gegen die Abscissen - Linie mit ^ , so ist 
offenbar A — ^ die Neigung des Perpendikels aus dem Mittelpunkte auf die erste 
Seite des Vierecks gegen die kleine Axe , welches , wenn jene die Ellipse berüh- 
ren soll, nach bekannten Gründen durch 

V^[(X(Xsin(^—(}/)»+Ögcos(^— (!>)*] 

ausgedrückt wird. Mau hat also die Gleichung 

a — rcos{A — 9) = \/[aasin(4 — ?!;)*+ 6 6 cos (-4 — ^)^] 

und eben so drei andere ganz ähnliche, wenn man statt a und A die sich auf die 
andern Seiten beziehenden Zeichen substituirt. Schafft man also die Lrationali- 
tät weg , und setzt Kürze halber 

rr — aa — 66 = t 
aa — 66 = u 

so sind unsere vier Gleichungen 

L 2aa +< — 4ar cos {A — <f)'^rrcos2{A — 9)— ticos2 [A — (|>) = 

II. 2a'a 4-f— 4öVcos(-4'— <p) + rrcos2(il'— 9) — uco92{Ä — (|/) = 

IIL 2aV +*— 4aVcos(il"— <p) + rrcos2(4" — <p) — ttcos2(^" — <J>) = 

IV. 2 a' V'+ 1— 4 a'Vcos (V— <p) + rr cos 2 {A"'— 9) — m cos 2 {A"— i) = 

Multiplicirt man die erste Gleichung mit sin 2 {A" — Ä), die zweite mit 
sin2(il — A"), die dritte mit sin2{A—A), und addirt die Producte, so wird 
(m. 8. Art. 78 meiner Theoria motus corporUm coelestium) 



WELCHE DIE VEBB SEITEN EINES GBQEBENEN VIEBEOKS BERUHET. 387 

V. 2aa8in 2(^''— il') + 2aVsin 2(il— ^'') + 2aV8in 2 {A—A) 

'i^t[sm2{A'—Ä) + Bm2{A—Ä') + 8in2{Ä—A)] 

— 4 ar cos (-4 — 9) sin 2 {A" — A') 

— 4öVcos {A'—<f) sin 2 (^1 —A") 

— 4a'Vco8(il''— 9)sin2(il — -4) = 

Das Aggr^at , worin hier t multiplicirt erscheint , kann auch durch 

4 sin {A^'—A) sin [A"— A) sin (A—A) 

ausgedrückt werden. 

Behandelt man auf eine ähnliche Art die Gleichungen I, II, IV, so bekommt 
man eine ähnliche Gleichung VI, die sich von V nur durch die Vertauschung der 
Buchstaben a"^ A gegen cT^ A" unterscheidet. Eliminirt man aus den beiden 
Gleichungen V und VI die Grösse /, so sieht man leicht, dass daraus eine 
Gleichung von der Form 

Vn. JB+Crcostp+Drsin^p = 

hervorgehen wird, wo B, C, D bekannte Grössen bedeuten. Man kann ihre 
Werthe leicht darstellen, wir- werden indess bald zeigen, wie man dieser £nt- 
Wickelung überhoben sein kann. Aus der Gleichung VII ist klar , dass der Mit- 
telpunkt jeder die vier Seiten unsers Vierecks berührenden Ellipse in einer gera- 
den Linie liegt, welche gegen die Abscissen - Linie unter einem Winkel, dessen 
Tangente = — ^, geneigt ist, und dass der t)urchschnitts- Funkt die Abscisse 
— ^ hat. Die Lage dieser geraden Linie kann man aber viel leichter durch fol- 
gende Betrachtungen bestimmen. £ine Diagonale des Vierecks kann als eine ver- 
sch^^dndende , die Seiten des Vierecks berührende Ellipse betrachtet werden, de- 
ren Mittelpunkt dann offenbar in der Mitte der Diagonale liegt. Hieraus folgt 
leicht, dass die obige gerade Linie, welche der geometrische Ort der Mittelpunkte 
aller die vier Seiten des Vierecks berührenden Ellipsen ist, keine andere sein 
könne, als die, welche die Halbirungspunkte der beiden Diagonalen verbindet, 
und welche demnach leicht gefunden werden kann. Hierfiber fBge ich noch zwei 
Bemerkungen hinzu : 

1) Fielen beide Halbirungs-Punkte in Einen zusammen (in welchem Falle 
das Viereck ein Parallelogramm sein wird), so föllt freilich diese Bestimmung der 

57* 



388 ^STIMMUNG DBB GBÖSeTBN ELLIP8E 

geraden Linie weg ; allein in diesem Fall ist leicht zu zeigen , dass nothwendig 
dieser gemeinschaftliche Halbirungspunkt zugleich der Mittelpunkt der Ellipse 
selbst sein wird. 

2) Verlängert man zwei einander gegenüber liegende Seiten des Vierecks 
bis zu ihrem Durchschnitt und eben so die beiden andern , so darf man auch die 
zwischen diesen beiden Durchschnitts-Punkten enthaltene gerade Linie, als eine 
verschwindende die vier Seiten des Vierecks berührende Ellipse ansehen. Der 
Halbirungspunkt derselben muss also in eben der geraden Linie liegen , welche 
die Halbirungspunkte der beiden Diagonalen verbindet. Diese allgemeine Eigen- 
schaft eines jeden Vierecks ist meines VTissens bisher noch nicht bemerkt; ich 
werde davon unten einen einfachen directen Beweis geben. 

Um die Rechnungen noch mehr abzukürzen, will ich jetzt annehmen, dass 
man diese gerade Linie selbst zur Absdssen- Linie gewShlt habe, und folglich 
f = sei. Der Anfangspunkt der Abscissen bleibt wie vorher willkürlich. 
Eben diese Bestimmimg (p = macht nun eine der vier Fundamental-Qleichun- 
gen entbehrlich, und wir haben also zur Bestimmung der vier unbekannten 
Grössen t, u, r, (|> theils die drei Gleichungen 

2aa -f-* — ^^^ cosA -\-rrcos2A — ucos2{A — (|>) = 
2ad'\'t — Aa'rcosÄ^rrco82A' — uco82{Ä — ^) = 
2aV+*— 4a''rcos^"4-rrcos24"— ttcos2(^''— ({;) = 

theils die Bedingung , dass der Inhalt der Ellipse » welchem offenbar das Product 
aß proportional ist, und folglich auch 4aa66 <^der {rr — t)^ — uu ein Maxi- 
mum sein soll. 

Setzt man Kürze halber rr — < = 6 und 

6 = 2(a — rco8-4)* 
b' Ä= 2{a — rcos-4')* 

b"= 2{a—rcosAy 



so werden obige Gleichungen 



Ö 4- II cos 2 (-4 — ^) = b 

Ö + wcos2(^'— (p) = 6' 

e + iicos2U"— ^^) = *" 



WELCHE DK VIBE SEITEN ElinS OBOEBEMFM VIEBECK8 BEEOhBT. 389 

woraus nach den gehörigen Entwickelungen leicht folgt 

4 6 sin [A"— Ä) sin {A — A") sin (Ä— A) 

= bain2{A''—A:)-^b'6m2{A—A')-\-b"am2{Ä—A) 
Auuün {A'—Ä)*ain {A—AysiniA'—A)' 
= bb sin {A''—Ay 
■i-b' b' Bin {A - A")* 
-i-b''b"8ia{Ä—A]* 

+ 2 W'cos (A"^ Ä ) sin {A^A") sin {A— A) 
-i-2bb"sin{A''—A')coa{A—A'')aia{A'—A) 
+ 266' sin (il"— ^')sin(4— ^")co8(^'— ^) 

und hieraus 

4 (ÖÖ - uu) sin (^''— ^')»sin (^ — ^")*sin {A'—Af 
= — 6 6 sin {A"— A')* 
—b'b'8in{A—Ay 
— b"b''8in{Ä—A)* 
+ 2 b'b" sin {A — A" )»8in {A— A)' 
+ 266" sin {A"— A )* sin {Ä— Af 
+ 2 6 6' sin {A"— Ä )* sin (^1"— A)' 

Ich habe diese Formeln hierher gesetzt, weil sie auch in andern FäUen zu- 
weilen mit Nutzen zu gebraudben sind. Man sieht leicht, dass das, was auf der 
rechten Seite steht, das Product aus den vier Factoren sei. 

+ ^6. sin {A''—Ä)-^\/b'. aia{A—A'')-{-\Jb''. am{Ä—A) 
— V'6.sin(il''— ^')+^6'.sin(il— ^'')4-^6''.sin(A'- A) 
+ V^6 . sin (.4"— 4') — V' *'. sin (^ — ^'') + V'*". sin (^'— ^) 
+ V^6 . sin {A"— A')-\-)/b'.ain{A—A'') — )Jb". sin {A— A) 

Substituirt man hier fdr 6, b', b" ihre Werthe und setzt KOrze halber 

asin(il''— 4')+a'sin(-4— ^'')4-a''sin(^'— ^) = M 
so wird 

(0Ö-««)8in(^"— ^')»sin(^— 4'')*sin(^'— ^)* 

gleich dem Producte aus den vier Factoren 



390 BB$TIlfMUN6 DER GRÖBSTEN ELUPSE 

M 

M— 2{a — rcosA) sin {A"— Ä) 
M—2{d — rcosA') sin [A —A") 
M—2{a"—rcosA'')Bm{A' — A) 

Man hat also offenbar eine Gleichung von der Form 

y+^^+s^^'+C»"' = 66 — uu = 4aa66 

wo y, 8, g, C gegebene Grössen sind, und dann wird r durch die Bedingung 
des Maximums offenbar aus folgender quadratischen Gleichung zu bestimmen sein 

84-2gr+3Crr = 

Noch leichter findet man die CoSfficienten dieser Gleichung durch folgende 
Betrachtung. Da das yierfache Product aus den Quadraten der halben grossen 
und der halben kleinen Axe einer jeden Ellipse, welche die vier Seiten des Vier- 
ecks berfihrt und deren Mittelpunkt zur Abscisse r hat , allgemein 

wird, so muss dieser Ausdruck nothwendig = werden, wenn man für r einen 
Werth substituirt, welcher einer der drei oben betrachteten verschwindenden El- 
lipsen entspricht. Diese drei Werthe sind die Abstände der beiden Halbirungs- 
punkte der Diagonalen des Vierecks und des Halbirirngspunktes der geraden Li- 
nie , welche die Durchschnitte der beiden Seiten - Paare des Vierecks verbinden, 
von dem Anfangspunkte der Abscissen. Ich bezeichne diese drei Funkte durch 
C, D, jE, und ihre Abscissen durch c, d, e, so muss offenbar 

mit dem Producte {r — c) (r — d) (r — e) identisch sein; folglich ist die obige qua- 
dratische Gleichung 

3rr — 2r(c+rf-|-e)+crf-|-c« + d€ = o 
deren Wurzeln 



c-\- d-\-e 



+ 4-^(cc-(-drf+ö^-f-c</+c«4-rf^) 



WELCHE DIE VIER SEITEN BIHE8 QEGBBENEN VIEBEGK8 BERUHET. 391 



und 



— i^^{cc'^dd']-ee']-cd'^ce-\'d€) 



sind. 

Die Wurzelgrösse v/(cc4-rfrf-f"^^+<?^+^^4-<'^) iSsst sich auch in die 
Form setzen 

^[{d-c)*-i-{d—c){e^d)M^-d)*] 

sie ist folglich die dritte Seite eines Dreiecks, in welchem zwei Seiten d — c und 
e—d sind, und der eingeschlossene Winkel =120^. Beschreibt man also über 
CD ein gleichseitiges Dreieck , dessen Spitze F, so ist EF jener Wurzelgrösse 
gleich, wonach sich also die beiden Werthe von r leicht construiren lasseh. Man 
kann leicht zeigen, dass der eine dieser Werthe zwischen c und d, der andere 
zwischen d xmd e fallen muss , und dass nur dem erstem der Mittelpunkt der 
grSssten Ellipse wirklich entspricht; fElr den andern wird nemlich 

nicht ein grösstes , sondern ein kleinstes werden , oder vielmehr den grOssten ne- 
gativen Werth erhalten, dem also nur ein imaginärer Werth von a6 entsprechen 
kann. Man sieht leicht, dass dieser sich auf eine Hyperbel beziehen muss. 

Sobald übrigens der Mittelpunkt der verlangten Ellipse gefunden ist , hat 
die Bestimmung der übrigen unbekannten Ghrössen keine Schwierigkeit. Aus Q 
und r findet man t; aus t und u dann ferner a und 6, und dann aus einer 
oder einigen der obigen Gleichungen ^. Dadurch sind also sowohl die Dimen- 
sionen der Ellipse , als ihre Lage vollkommen bestimmt. 

Ich muss übrigens noch bemerken , dass das hier au%elöste Problem mit 
dem neulich in der Monatl. Corresp. angegebenen nicht ganz einerlei ist. Es 
gibt nemlich Falle , wo die grösste innerhalb eines Vierecks zu beschreibende El- 
lipse eine der vier Seiten des Vierecks nicht berührt. Die nähere Betrachtung 
dieser Falle gehört aber hier nicht zu meiner Absicht. 

Dirteter Beweis des obigen Theorems die Vierecke betreffend* 

Es seien A, B, C, D die vier Winkelpunkte des Vierecks; -E der Durch- 
schnitt von AB und DC; F der Durchschnitt von BC und AD; G, Hund I 



392 BB8T1HMUNQ DBB GBÖSSTfiN ELLIPSE ETC. 

in der Mitte von AC, BD und EF. Die Coordinaten dieser neun Punkte, Ab- 
scissen - Linie und Anfangspunkt ganz willkürlich gewählt, bezeichne ich mit 
a, a b, b' c, c' d, d' u. s. w. Da nun die drei Punkte A, B, E in einer gera- 
den Linie liegen , so findet zwischen ihren Coordinaten folgende Bedingungsglei- 
chung statt : 

a{e'—b') + b{a—e)^€{b'—a) = 

und eben so hat man, da ADF, BCF^ DCE gerade Linien sind 

a[f-d')^d{ä-f)+f{d'-a) = 
h{c-f) + c{f-V)+/{b'-c') = 
c{e —d') + d{c—e') ^e{d'—e) = 

Addirt man diese vier Qleichungen zusammen , so erhält man 

(a + c)(e'+/-6-rf') + (6+rf)(a + c-e-/) + (^+/){fe'+rf'-a^ = 

oder da offenbar 

i{a+c) =^. i{h+d)=h. i{e+/)=i 

ist, 

welches die Bedingungs -Gleichung ist, dass G, H, I in Einer geraden Linie 
liegen. 



ZUSÄTZE. 



ZUR GEOMETRIE DER STELLUNO VON CARNOT 
ÜBERSETZT VON SCHUMAGHEB. 1810. 



I. 

{ Folgende analytische Behandlung der merkwürdigen Funkte eines Dreiecks 
verdanke ich der Gfite des Herrn Professor Gauss. Sghuhagheb. | 

Es seien A, A\ A" die drei Winkelpunkte eines Dreiecks und deren Coor- 
dinaten respective 

Die Goordinaten der Funkte B.B\ B\ welche die Seiten ÄA\A^A, AÄ 
balbiren, werden offenbar sein 

Man nehme auf den Linien AB^ ÄB\ AHB'' (vorwftribs oder r&ckwärts ver*- 
l&ngert , wenn es nöthig ist) , von A^ Ä, AH ab gezählt , Stücke , welche jenen 
respective proportional sind, und sich dazu wie n: 1 verhalten. Falls man die 
Stücke rückwärts nimmt, hat man n als negativ anzusehen. Dieser Stücke End* 
punkte heissen C, C\ C, so sind ihre Goordinaten 

58 



394 



j?'+«+{jr+a? — 2«'), y4.ni(y'+y — 2y') 



oder wenn man 



setzt 



1 — n = a 

aa? + Ö (j/ H-a?") . oy + Ö (y' +/) 
a^'+^l^'+a?) , ay +.6 (y"+3f) 
. „4^+ Ö (a? +a?') . ay''+ Ö (y -f-/ ) 

Von den Punkten C, C, C werden Perpendikel auf ÄA',Ä''A,ÄÄ, 
gefällt , man sucht die Lage der drei Durchschnittspunkte dieser Perpendikel 
Es seien die Coordinaten des Durchschnittspunktes der beiden letzten Perpendikel 

welche man mit Hfllfe des folgenden Lehrsatzes bestimmen wird. 
Wenn 

a, h 

a\ y 

a\ V 

die Coordinaten yon vier Funkten sind , und die graden Linien durch den ersten 
und zweiten Punkt auf der Linie durch den dritten und vierten senkrecht sind, 
so hat man 

-7^ = tang. der Neigung der ersten Linie g^en die Abscissenlinie 

v — v 
,„^ „ == tang. der Neigung der zweiten Linie gegen die Abscissenlinie 

und folglich, da die eine Neigung um 90® grösser ist als die andere, daa Product 
der beiden Tangenten = — 1 , also 

In unserm Falle hat man also 



2ÜB QEOXISTSIB DBB STELLUNG YOK CABHOT. S95 

Hieraus folgt leicht durch Elimination 

p_ (y-yO(y-y")(/'-y)(«-g) 
^ ~ y(«^-«')+y'(*-«")+y" («'-«) 

"T""- yK-«')+y'(«-«'') + y"(»'-«) 
"t- O • y(ar"— g')+y' (*-•") +y»'(aj'-g) 

Der Werth von t] folgt aus dem Werthe von S, wenn man in diesem alle 
X, x\ X mit den entsprechenden y , j/, y" vertauscht , wie man auch a priori 
leicht voraus sehen kann. 

Die CSoordinaten des Durchschnitts des ersten und letzten Perpendikels fol- 
gen , wie man leicht sieht , aus S und i] , wenn man <r mit «r'» und y mit j/ yer- 
tauscht , da aber dadurch \ und X[ ihre Werthe nicht ändern , indem in beiden 
offenbar die Coordinaten der Punkte A^ Ä, Ä" auf gleiche Art entriren , so ist 
klar, dass dieser zweite Durchschnittspunkt mit dem ersten zusammen&Ut, und 
eben deshalb fällt der dritte Durchschnittspunkt mit den beiden ersten yon selbst 
gleichfalls zusammen. 

Fflr den Schwerpunkt ist übrigens offenbar 

n = \ 

also 

und daher 

Ffir den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ist 

n= 1 
also 

= 0, 6=si 

Ffir den Durchschnittspunkt des Perpendikels aus A u. s. w. selbst ist 

n = 

68* 



396 
oder 

Der Nenner in dem Werthe von E, i| ist der doppelte Inhalt des Dreiecks. 



IL 

Dass die Perpendikel in einem Dreiecke, ans den Spitzen auf die gegenüber- 
stehenden Seiten sich in einem Punkte schneiden, kann man sehr ein£Eurh so zeigen. 

Das gegebene Dreieck sei BDF^ und die erw&hnten Perpendikel 
BI, DG, FH. 

Man ziehe durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks Parallelen mit der gegen- 
fiberstehenden Seite, die sich in den Punkten A, C, E, schneiden, es steht folg- 
lich FH auch auf ÄE, GD auf CE, Blwaif ÄC senkrecht, und zwar ist 



AB =BC 



ED = DC 



AF = FE 

Beschreibt man nun um das Dreieck A CE einen Kreis , so liest sein Mittel- 



punkt sowohl in BI, ais in DG, ais in FH, diese drei Linien müssen sich 
also in einem Punkte schneiden. 

PuissANT gibt in seinem Becueil des propositions de G^m^trie einen zier- 
lichen analytischen Beweis, und fClgt einen geometrischen bei, der nicht dasselbe 
Verdienst hat. 



lEr9U kandtckr^tUeh» Bemerkung,'] 

Sind a, 6, y die complexen Zahlen, die sich in natfirlicher Ordnung auf die 
drei Winkelpunkte eines Dreiecks beziehen ; A, B, C die drei Winkel , u die 
complexe Zahl f flr den Mittelpunkt des [umschriebenen] Kreises , so hat man 

2tt = a+Ö4-(ö — a)cotgC,t = a(l— »cotgC) + 6(l-|-tcotgC) 

= 6(1 — $cotgi4) + y(l-|-icotg^) 
= 7(1— •cotgB) + a(l+tcotgB) 



ZUR OBOlOErBIB DBB «TELLUNG VON CABKOT. 897 

Ist * die complexe Zahl für den Schwerpunkt, so ist 3t = a+öH-y, also 

3t — 2tf =5= a'i-{6 — Y)cotgi4.* 
= 6-|-(y — a)cotgJB.i 
= Y + (a — ö)cotgC.t 

Dies 3 t — 2u ist die complexe Zahl f&r den Punkt, wo die drei Perpendi- 
kel aas den Winkelpunkten auf die gegenüber liegenden Seiten einander schneiden. 
Daraus also durch Subtraction 

= a — ö+{acotgJB+6cotg-4 — ^(cotgil + cotgJB)} .t 
= 6 — Y+{6cotgC+ycotgJB — a(colgJB+cotgC)j .t 
= 7 — a+jycotg-4+acotgC — 8(cotgC+cotgi4)j .♦ 



[ZfoeÜB handaekri/tliehe Bemerkung.'] 

Sind a, fr, c, d vier Punkte im umfange eines Kreises vom Halbmesser 1 , 
und zugleich die complexen Zahlen , die diesen Punkten entsprechen [wobei die 
dem Mittelpunkte entsprechende complexe Zahl gleich angenommen wird], 
Pt q, r die Durchschnittspunkte der Geraden ^, jji j-i endlich p^ die Mitte 
der Kreissehne, an deren Endpunkten Tangenten sich in p schneiden, und ebenso 
q*, r*, so hat man, indem accentuirte Buchstaben sich immer auf die resp. Ad- 
juncten beziehen , 

ahe-^-ahd — acd^-hed h{a^c)(a^d) 

P ab-^ed ab^-ed 

abe-^acd — abd — bed ^ e(a'~b)(a — d) 
« ue — bd a«— 6rf 

aed + abd^abc'-bed rf(g — 6)(a— g) 

ad — be arf— 6c 

/ »w, ^ abd-^aed—abe-^bed (a--rf)(6— c)(arf— 6c)r 

P~9 — [(^ — a)[0 — C) (ab-cd)(ae''bd) (fl6-crf)(ac— W 

• 1 ab — cd (a — e)(a — d) 

r p' a-\-b — e — d a-f 6 — c — d 

• _ _ (fl-rf)(6-c)(arf-6c) __ • (a-^dUb-^eUad—be) _ » p-g 
" " — (ac-6rf)(a + 6 — c— £l) "* {ab'^ed){ae^bd) P' r 

oder />*(j+r — p) = qr, ebenso /(p+r — q)=^pr, und r*{p-\-q'-r) =pq 



398 2U8iTSB 






sind reelle Zahlen 



oder p^, 9, r li^en in einer geraden Linie normal gegen iip'p 



V. 

I In einem gegebenen Kreise ein Vieleck zu beschreiben, dessen Seiten durch 
eben so viel gegebene Punkte gehen. Schümacheb. j 

Es sei der Halbmesser des Kreises , r , die Coordinaten der Winkelpunkte 
des Polygons 



rcos^, rcos^', rcos^" etc. 
rsinf, rsiny', rsiny'' etc. 



rlängei 



Seiten des Polygons gehn , (welche respective den ersten und zweiten Winkel- 
punkt , den zweiten und dritten u. s. w. verbinden) 

acos^, acoBÄ, aTcosA" etc. 
asiuii, a'sin^', a'^sin^" etc. 

Dann ist nach dem Ghrundsatze , dass , wenn drei Punkte, deren Coordina- 
ten 0?, y ; a\ ^; w", y" sind , in einer geraden Linie liegen « die Bedingungs- 
gleichung 

^y+^/+<J^— ^>— «>?y— 4?/= 
Statthat, 

rrcoscpsin9'-f-racos9'sinj4+arcos-4.sin9 I 

— rrcos'f sin^ — arcos^sin^' — ra cos^sin^l ' 
oder 

röin(9' — 9) — asin(9 — il)-|-asin(9 — A) = 
oder 

rcos4-(9' — ?) = aco8-^(9'+9 — 2-4.) 



ZUR GEOMBTBIB DKS nSLLUNQ YOK CABNOT. 899 

Entwickelt man diese beiden Cosinus, dividirt dann mit cos 4^7 cos 4-7', 
and bezeichnet tang4-(p mit t, tangj-f' mit t\ 

G^z auf ähnliche Art wird , wenn man 

tangi9=t -;,-__^, = a. ^_^.^^. = B 
setzt. 

Man sieht hieraus , dass man so Tiele Gleichungen erhält , als das Polygon 
Seiten hat, und dass man durch Verbindung derselben zuletzt auf eine quadrati- 
sche Gleichung ffir t kommt. 



VI. 

Aufgabe. Es sind drei Kreise der Lage und Grösse nach gegeben , man 
soll einen vierten beschreiben , der sie alle bertthrt. 

Auflösung. Man lege durch den Mittelpunkt des einen Kreises die senk- 
rechten Axen , und nenne die Abstände von diesen Linien 

des Mittelpunkts des zweiten Kreises a , 6 

des dritten Kreises ä, h' 

des gesuchten x, y . 

Die Entfernung des Mittelpunkts des ersten Kreises, vom Mittelpunkte des 
gesuchten heisse = z, so ist 

9 — c die Entfernung des Mittelpunkts des zweiten vom Mittelpunkte 

des gesuchten, 
z — c die Entfernung des Mittelpunkts des dritten vom Mittelpunkte des 

gesuchten ; 



400 

wo c den Unterschied der Halbmesser des ersten and zweiten, und e den Un- 
terschied der Halbmesser des ersten nnd dritten Kreises bedeutet. 
Wir haben folgende Gleichungen : 

Setzt man 

X = ^COSf 

jf = ^sin^ 

so erhfilt man aus den vorigen Gleichungen 

aa+ftft — cc = 2a^cos9-|-2&^8in9 — Tlcz 
a'd+Vb'—c'i!=i ^azco^ff+^Vzmk^ — ^cz 

Dividirt man die erste Gleichung mit a cos 9 -{-fr sin 7 — c, die zweite mit 
a' cos 9 4-6' sin 9 — c^, und zieht sie dann von einander ab, so erhfilt man 



oder wenn wir bezeichnen 



= 



dcl+VV—ec = Ä 

aa'\'hh — cc = A 

(Äa — -4a)cos9-f-(y4'fr — i4fr']8in9 = Äc — Ai! 



Setzen wir nun 



Äa — Aa =^ Rco&M 

Äb—AV = RBmM 
A'c—Ac = N 

so verwandelt sich unsere Gleichung in 

worin ausser 9 alles graben ist. Man erhält daraus zwei Werthe fGLr f , unter 
denen man nach 4or Art, wie der gesuchte Ejreis berfihren soll, zu wShlen hat. 



ZUB OEOKBTBIB DBB mKLLVSa VON CABNOT. 401 

VII. 

EntwMelung der Grundformein der sphärischen Trigonometrie. 

Sind a, 6, c die Seiten: A, B, C die gegenüberstehenden Winkel eines 
sphärischen Dreiecks , so ist 

cosa = cos&.cosc-^-sin&.sinc.cos^ 

wie liAGBANeE für den Fall, dass sowohl 6 als c kleiner wie 90^ el^ant bewie- 
sen hat. Indessen lässt sich der Beweis leicht auf alle andere Fälle ausdehnen. 
Es können folgende Fälle eintreten : 

1 6<90^ c<90« 

Hier gilt der Beweis unmittelbar. 

II 6>90^ c>90® 

Man verlängere die Seiten b und c über die Punkte B und C hinaus 
bis zum Durchschnitte A\ und bestimme den Werth von a aus der Betrachtung 
des Dreiecks A'B C. 

III 6>90^ c<90« 

Man verlängere die Seiten b und a über die Funkte A und B hinaus bis 
zum Durchschnitte C\ in dem Dreieck C'AB ist sodann aus Fall I 

cos(180® — a) = cosc.cos(180®— 6)+sinc.sin(180®— 6).co8(180®— A) 

welches mit der Grundformel identisch ist. 

Mit diesem Falle ist 6<'90® imd c^90® wesentlich einerlei. 



IV i = 90^ 4 = 90« 

Hier ist C der Pol von AB, also nothwendig auch a = 90«. Folglich 
ist die Formel 

cosa = cosb. cos c-{- sin 6 . sin c. cos A 

von selbst evident. Mit diesem Falle ist c = 90«, 4 = 90« wesentlich einerlei. 

59 



402 ZUSÄTZE 

V : . 6 = 90^ i4 ^ 90^ 

i) c = 90®. Dann wird A der Pol von c, also b = 90®, und a = A. 
Die Gleichung 

cosa = cosfr.cosc-j-siQ^-sinc.cos A 
ist von selbst evident. 

2) c<[90®. Hier wird c über B hinaus bis zur Länge von 90® fortge- 
setzt. Aus der Betrachtung des Dreiecks folgt dann 

cosa = cos(90® — c). cos -4 -f- sin (90® — c). sin ^. cos 90® 
oder 

cosa = sine. cosi4 

daher die Formel auch in diesem Falle richtig ist. 

3) c>90®. Hier wird von c der Bogen 9 0® in dem Punkte R abgeschnit- 
ten, dann folgt aus Betrachtung des Dreiecks BRC 

cos*a = cos(c — 90®).cos-4.-f-sin(c — 90®). sin -4. cos 90® 
oder 

cosa = sinc.cos^ 

wie im vorigen Fall. 

Die Fälle, wo 6<90® oder 6>90®, und zugleich c == 90®, sind mit den 
beiden vorigen wesentlich einerlei. 

Zählt man also alle möglichen Fälle auf, so folgt der Beweis , wenn 

Beide Seiten kleiner als 90® aus I 

Beide Seiten grösser als 90® aus H 

Eine grösser, die andere kleiner als 90® aus III 

Beide = 90® aus IV und V. 1. 

Eine = 90®, die andere kleiner aus IV und V. 2. 

Eine = 90®, die andere grösser aus IV und V. 3. 

Wir können also allgemein annehmen : 
(A) cosa =: cos6.cosc-|-8in6.sinc. cos^ 

und ebenso 



ZUB OEOXBTRIB DBB STELLUNG VOK OABNOT. 408 

(2) C08& = cosa.cosc + sina.sinc.cosJS 

dividirt man (A) mit sine, und mnltiplicirt (2) mit cotgc, undaddirt, so er- 
hält man 

cota co8acosc' 



sine tine 

also 



+ sin 6 . cos j4-|- ®i^^- cosc . cos J3 



(3) . . . cosa.sinc = sin&.cosj44~8^^^-<^08<^-cosJS 
ebenso 

(4) . . . cosc.sina = sind. cos C-f'Sinc.bosa.oosJS 

Mnltiplicirt man (4) mit cosJS, undaddirt (3) 

(5) . . cosa.sinc.8in£^;= sin6.cosj4-|~s^^-<^os^-^^^ 
ebenso 

(6) . . cosa.sin6.sinC'=: sine. cosj4 -{-sine. cosJS.cosC 

Mnltiplicirt man (5) mit ^^ und zieht davon (6) mit 55_ mnltiplicirt 
ab, so erhalten wir 

« 

(7) sinc*.sinJ5* — sinft^.sinC* = 

oder 

(B) sine, sin JS = sin fr. sin C 

und wenn man (A, 5) mit sin fr dividirt, und davon (B) mit ^^^"^ mnltipli- 
cirt abzieht 

(C) .... cos-4. = — cosB.cosC+sinJB.sinC.cosa 

endlich wenn man (A, 4) mit sine dividirt, und (B) mit ^^^ mnltiplicirt 
davon abzieht 

(D) . . cotge.sina — cotgC.sinJS = costf.cosJB 

Aus diesen vier Grundformeln folgen die sogenannten NspERSchen Analo- 
gien, und die Abkürzungen, welche durch die Bedingung, dass das sphärische 
Dreieck rechtwinklig sein soll, angebracht werden können, von selbst. 

{ Man vergleiche mit dieser Entwickelung die von LACOtANOB im sechsten Heft 
des Journal de fEcole Pofytechnique. | 

59* 



an 

\ Ilnu4it^;hrifiliche Bemerkang über die Zarückfährnnc der Belatkmeii zwi- 
•'-Wj d/rtt VhittUiuUm eine« «phämcben Dreieckes auf die Beladmien zwischen 
d«» KhiinmUtu ebener Dreiecke:' 



Sphärisches Dreieck 



Winkel Seiten 



^ 


a 


JB 


6 


C 


c 


£^en« IV^ecite 


• 


sin 4-a 

sin 4-6 cos 4^<: 

sin 4^<: cos 4-6 




cos 4-a 

sin 4-6 sin 4-c 

0084^6 cos 4-c 


B 

90^+4.^ — ^B_^C 


sin 4- 6 

sin4-c cos 4-a 
8in4^aco84c 


180®— JB 

f-4+4B+fC— 90« 
90«-4^+fB 4C 


cos 4- 6 

sinf a8in4'C 
cosf a COS4-C 


90«-M+fB_^C 

90«H-4^_4B— 4C 


sin^c 

sin 4- 6 COS fa 

sin 4-a COS 4 6 


180*— C 

4.4+4Ä+4.C— 90« 
90*— 4^ — 4.Ä+4.C 


C084^C 

sin4-asm4-6 
co84-acosf 6 



ZUK OEOMETTBIE DER STELLUNG TON CARNOT. 405 

Man kann dieses auch durch folgende sechs Gleichungen ausdrücken : 

sin^ iin^ «inC con^{A-\-B+ C) 

sina Biab «ine """ 2 8in4^a.8in4^&.sin4^c 

cos^i-- A + B-\-C) __ co«f(^~Jg + C) coBiJA + B — C) 

2%in^a.oos^b.ooBfe 2co8|-a.sm^&,cos|-e 3oos|-a.co8|6.8in|^c 

oder durch folgende 

sin^^indsinc = sinJSsinasinc = sin Csinasinft 

= — 4cos4-(+-44-JB+C^)'C08-J-a.cos4-Ä.cosic 
= 4cosi^( — -4-f-JB+C).cos4^a.sin4-i.sin4-c 
= 4co8-J-(+j4 — JB+Cj.sin-J-a.cos-J-ft.sin^-c 
= 4co84-(+j4+JB — C).sin^a.sin4-6.cos^c 

Diese Grösse bedeutet den sechsfachen Inhalt der Pyramide, deren Ecken die drei 
Winkelpunkte des sphärischen Dreiecks und der Mittelpunkt der Kugel bilden, 
Halbmesser der Kugel = 1 gesetzt. Femer ist diese Grösse 

= 4cotangr.sin4-a.sin4'&.sin4-c 

wo r den sphärischen Halbmesser des um das Dreieck beschriebenen Kreises be- 
deutet. Auch ist dieselbe 

= 4cosr. sina. sin 4-6. sin^-c 

wo [2 a, 26, 2 Y die Winkel bedeuten , welche zwischen je zwei der nach den 
Eckpunkten A, B, C gezc^enen sphärischen Halbmesser und g^enflber den 
Seiten a, 6, c liegen, oder] a, 6, y die Winkel des ebenen Dreiecks ABC 
sind, weil 2sin4^a, 2 8in4^fr, 2 8in4^c dessen Seiten, mithin 4sina.sinit-fr.sin4-c 
dessen doppelter Inhalt; während dasselbe zugleich als Grundfläche obiger Pyra- 
mide mit Höhe cosr betrachtet werden kann, woraus die Richtigkeit von selbst 
erhellt. [Aus der obigen sechsfachen Gleichung leitet Gauss an einer andern 
Stelle die von ihm so vielfach angewandten Formeln her :] 

cos ^J.. sin 4- (6 — c) = sin^(JB — C).8infa 
sin^.^.sin^(6-f-c) := cos^(B — C).sin^^a 
cos^.^.cos4^(& — c) = sin4-(JB-|-C').cos4-a 
sin4-^.cos4-(6-f-^) = co8-|-(JB4-C).co8ia 



I 

! 



406 



■4-y>:iini 



Attronomische Nachrichten. Nr. 43. 1833 Noyember. 

AuflSsung einer ffeameirischen Aufgabe. 

{ In des Herrn Professors Möbius Beschreibang der Leipziger Sternwarte 
kommt S. 6 1 eine kleine geometrische Au%abe vor , nemlich : 

Beliebige 5 Punkte A^ B, C, D, E einer Ebene sind , je zwei , durch ge- 
rade Linien verbunden. Man kennt die somit entstehenden 5 Dreiecke 
EAB, ABC, BCD, CDE, DEA ihrem Inhalte nach, und verlangt dar- 
aus den Inhalt des Fünfecks AB CDE. 

Herr Hofrath Gauss , der einige Wochen diesen Sommer bei mir verlebte, 
schrieb , wie er das Buch sah , folgende Auflösung hinein : 
Man bezeichne die 5 Punkte mit 1, 2 3, 4, 5, die 



"V^nkel 


213 


^1 •» »^ 1 

mit p 




214 


— 9 




215 


— r 


Seiten 


12 


— t 


« 


13 


— u 




14 


— V 




15 


— w 


Dreiecke 


123 


— a 




234 


b 




345 


— c 




451 


d 




512 


— e 




124 


— X 




134 


y 




135 


— z 



Fflnfeck 12345 — a> 



OBOMETSISGHB AUFGABEN. 407 

So hat man folgende Relationen 



daraus vermittelst des Lemma der 
Th.M.C.a 
ad — az-^-ey =: (I) 



tu.sinp = 2a 

tv.sinq = 2a? 
tw .siar = 2e 
vw.8in{r — q) = 2d 
uw.sia{r — p) = 2z 
uv.siu{q — p) = 2y . 

, I die Werthe von iT, y, z hieraus in 

I (I) substituirt geben 

ad — (o) — 6 — rf)(ü) — a — c) + e(a) — a — d) = 
oder entwickelt 

SCHUMACHEB.| 



Handbuch der Schiffahrtskunde Ton C. Rüickbb. 1850. Seite 76. 

AuflSsung einer geometrischen Aufgabe. 

An drei Punkten (1), (2), (3), welche in einer geraden Linie (I) und in be- 
kannten Abständen von einander, A von (1) nach (2), B von (2) nach (3), li^en, 
sind die Winkel 0, b\ 0" zwischen zwei andern Funkten (4), (5), deren gegen- 
seitiger Abstand = 2 c ebenfalls bekannt ist, gemessen ; man verlangt die Lage 
der drei ersteren Funkte gegen die beiden letzteren. Um nichts unbestimmt zu 
lassen, setze ich voraus, dass die drei Winkel alle von (4) nach (5) in einerlei 
Sinn wachsend gemessen sind, dass auf der Linie (I) die Abstände in einem be- 
stimmten Sinne positiv gezählt werden (so dass , wenn man aus irgend welchem 
Grrunde nicht den zwischen den beiden andern liegenden Funkt mit (2) bezeich- 
nete, A imd B ungleiche Zeichen erhalten würden) und c positiv genommen 
werden soll. 



408 VEBSCHIEDENE 

Ich wähle zur Abscissen-Linie die Gerade (II), welche' (4), (5) in ihrer Mitte 
(6) unter rechten Winkeln schneidet, und zähle die Abscissen von (6) an positiv 
auf der Seite von (4), (5), wo der Winkel von (4) nach (5) unter 180® erscheint, 
d. i. auf der rechten , wenn man die Winkel von der Linken nach der Rechten 
wachsen lässt ; die Ordinaten mögen in dem Sinne von (6) nach (5) positiv gezählt 
werden. Auf (11) bezeichne ich die Funkte, deren Abscissen 

c.cotangO = n — a, c.cotangd' = », c.cotangd" = n + 6 

sind, mit (1*), (2*), (3*); sie sind die Mittelpunkte der drei Kreise, welche bezie- 
hungsweise durch (1), (2), (3) und zugleich alle durch (4) und (5) gehen. Die 
Halbmesser dieser Kreise sind 

oder wenn man '^, = r setzt, so werden die beiden andern \/(rr — 2an-\'aa\ 
^{rr^2bn^bb). Endlich sei (7) der Durchschnittspunkt von (I) und (II), T 
und t die Abstände der Punkte (2) und (2*) von (7), <p der Winkel zwischen gleich- 
namigen Armen jener Linien, und zwar von (I) nach (II) in dem gewälilten Sinn 
positiv gemessen. Es ist also die Abscisse von (7) = n — t, und folglich sind 
die Coordinaten der drei Beobachtungsplätze 

(1) » — *-4-(r— ^).cos<p, {T—Ä}.sin<p 

(2) n — f+^'.cos^, r.sincp 

(3) n— *-f (T-h-B) cos<p, {T-^-B). sm<f 

Die drei unbekannten Grössen t T, cp werden aber aus folgenden Glei- 
chungen zu bestimmen sein, wenn zur Abkürzung <r für cos 9 * geschrieben ist: 

tt'\'TT—2tTa: = rr . . .-. . . [l] 

^t — aY'{'{T—A)^ — 2{t — ä){T—A)x =rr — 2an + aa 
(^ + j)«4-(r-|.B)2_2(f-|.i)(r-hB)a? =rr+2bn + bb 

Anstatt der beiden letzteren gebrauche ich die folgenden, die aus ihrer Subtraction 
von der ersten hervorgehen 

2at+2AT—2an—AA = (2At+2aT — 2aÄ}a: ... [2] 
2bt'i'2BT—2bn + BB = {2Bt-\-2bT'{'2bB)a: . . . [3] 



OEOMEnOSCHE AXrfQAJBBS. 409 

ans — fi[2]4-i«[3] und iJB[2] — i-4[3] folgt, wenn man zur Abkflnmig 

aB—bÄ = X, ab{A-\-B)=/, i^ÄB{Ä-\-B)-^Xn=ff 

ÄB{a-^b) = F, ^aBB-^ibÄA = G 

sdireibt 
Xr-f G = X(*+/)*, Xt—ff — (Xr— JP)« oder X(/— Tar) =^g—Fx 



und folglich 



*' — T^r^i ........ L4J 

1 ^^^ «C^t W J 



Die Gleichung [1] in der Form [t— Txf'\-TT{\^xx) = rr gibt 

\\rr—ijf—Fxf = \\TT{\—xa) [6] 

Sabstdtuirt man darin den Werth von X T aus [5] , so erhält man die cubische 
Gleichung 

2/Fx^—{//+ 2fff + FF^ 2F0 +nrr)waf 

-h(2/G+2^F+2^G)a?+XXrr— ^^-GG=0 . . [7] 

Nachdem dadurch a bestimmt ist, findet man die Coordinaten des Punk- 
tes (2) aus obigen Ausdrücken , die , wenn man darin für t — Tx und T die 
vorhin g^;ebenen Werthe substituirt, folgende Gestalt annehmen 

» 

und die beideo anderen Punkte (1) und (3), indem man zu diesen Werthen 
— Ax, — -^V(l — ^^) und +JBa?, '^B^{i — xw) beziehungsweise hinzufügt. 

Da jedem Cosinus zwei Werthe des Winkels angeboren, oder was dasselbe 
ist, da die Radical-GrOsse \/(l — <r<r) sowol positiv wie negativ genommen wer- 
den kann « so gibt jede zulässige Wurzel der Gleichung zwei Auflösungen ; nem* 
lieh zwei gegen die Linie (II) symmetrische Lagen der Punkte (1), (2), (3), was 
auch schon für sich klar ist. Für den Fall, dass +1 oder — 1 eine Wurzel 
der Gleichung [7] wird, ist übrigens die obige Formel für die Ordinate nicht 
brauchbar , weil dann Zähler und Nenner null werden , und man muss anstatt 
IV. 60 



410 VERSCHIEDENE 

derselben folgende anwenden nach [6] 

Wir haben also auch hierzu einer Wurzel zwei Auflösungen, nemlich durch 
die symmetrischen Lagen der Punkte (l), (2), (3) von (II) auf entgegengesetzten 
Seiten gleich weit abstehend; für ^ = 4^1 ist der Sinn der positiven Richtung 
in (I) derselbe wie in (II), für x = — 1 verkehrt. Nur der einzige Fall, wo 
ohne Rücksicht auf das Zeichen \r =^ g — F (für j? = +1) oder =^-|-J' 
(für 0? = — 1) ist, muss ausgenommen werden, indem dann beide symmetrische 
Lagen von (I) iii Eine, nemlich mit der Linie (II) selbst, zusammenfallen. 

Auszuschliessen sind offenbar von den Wurzeln der Gleichung [7] nicht 
blos die imaginären, sondern auch die ausserhalb der Grenzen — 1 und -|-t 
liegenden reellen, und die Wurzel +1 oder — 1 selbst, wenn \r ohne Rück« 
sieht auf das Zeichen beziehungsweise kleiner ist als g — F oder y-f-i^. Es 
lässt sich übrigens beweisen , dass allemal , wenigstens eine der drei Wurzeln in 
die Kategorie der auszuschliessenden gehört , und also überhaupt niemals mehr 
als vier verschiedene Auflösungen durch reelle Coordinaten statt haben können. 
Genau genommen , bildet zwar ein ganz singulärer Fall in so fern eine Ausnahme 
des ersteren Satzes, als dabei keine Wurzel ausgeschlossen wird. Der singulare 
Fall ist nemlich der schon oben erwähnte, wo für «r = +1 die Ordinate = 
wird» und wo (wie sich leicht beweisen lässt) die betreffende Wurzel zweimal gilt, 
d. i. wo das Glied linkerseits des Gleichheitszeichens in der Gleichung [7] den 
Factor (iT^^^l)' enthält; die Gleichung hat dann also nur zwei ungleiche Wur- 
zeln, von denen die zweite allerdings auch eine zulässige sein kann. DerSchluss* 
folge selbst thut demnach dieser Ausnahmefall keinen Eintrag. 

Endlich muss noch bemerkt werden , dass auch unter den Auflösungen in 
reellen Zahlen physisch unzulässige sein können. Es ist nemlich nicht der ganze 
Kreis, welcher aus dem Mittelpunkte (l) durch (4) und (5) beschrieben ist, 
der geometrische Ort des Punktes (l), sondern nur der auf der positiven Seite 
von (4), (5) liegende Bogen, wenn d unter 180®, und der auf der negativen Seite 
liegende, wenn überstumpf ist; dasselbe gilt von den beiden anderen Kreisen. 
Diese physische Bedingung ist aber in unserer Auflösung noch nicht berücksich- 
tigt. Unter den verschiedenen , in reellen Zahlen gefundenen Auflösungen sind 
also nur diejenigen zulässig, wo die für die Abscissen der drei Punkte (1), (2), (3) 



GEOMETRISCHE AUFGABEN. 411 

sich ergebenden Werthe alle dieselben Zeichen haben , wie respecÜTe die Sinus 
von Ä, y, b". 

Mit Stillschweigen darf ich auch nicht fibergehen , dass die gegebene all- 
gemeine Auflösung der Aufgabe in singulären Fällen entweder ihre Anwendbar- 
keit ganz verliert , oder doch einiger Modification bedarf, beschränke (mich hier 
aber nur auf eine Andeutung der erheblichsten Punkte : 

I. Ist einer der beobachteten Winkel gleich = oder =180®, so ist 
Tortheilhaft , den betreffenden Beobachtungsplatz , auch wenn er zwischen den 
beiden andern liegen sollte, als (1) oder (3) anzunehmen. Wählet man das 
Letztere , so bleiben alle Theile der allgemeinen Auflösung gültig, indem man nur 
b als unendlich gross betrachtet, und als Zeichen in den Rechnungen beibehält, 
welches hernach in allen Resultaten aber von selbst wegfallt. An mehr als Ei* 
nem Punkte darf aber offenbar der Winkel nicht oder 180® sein, weil dies 
nur stattfindet, wenn alle drei in der Linie (4), (5) liegen, wo die Aufgabe un- 
bestimmt wäre. 

> 

IL Sind unter den beobachteten Winkeln zwei gleiche, so fallen von 
den Punkten (1*), (2*), (3*) zwei zusammen, oder eine der Grössen a, 6, a-j-^ 
wird = , daher auch fF = ; in diesem Falle geht demnach die cubische 
Gleichung in eine quadratische Aber. Übrigens sieht man leicht, dass das Ver- 
schwinden des ersten CoSfficienten der cubischen Gleichung nur in dem Falle der 
Gleichheit zweier Winkel eintritt 

III. Die gegebene Auflösung ist nicht anzuwenden, wenn die Grössen 
il, B den a, b proportional sind , also X = wird. Li diesem Falle ist die 
cubische Gleichung mit Unrecht herangezogen und enthält eine der Sache fremde 
Wurzel, die richtige aber zweimal. £s ist nemlich klar , dass dann die beiden 
Combinationen , durch welche aus [2] und [3] die Gleichungen [4] und [5] ab- 
geleitet wurden , nicht verschieden sind ; diese Gleichungen werden daher iden- 
tisch , und jede für sich gibt o? = j^ = ^^ . Offenbar muss dann aber eine der 
beiden Gleichungen [2] , [3] noch femer gebraucht werden , aus deren Combina- 
tion mit [1] sich leicht ergibt: cx=^{t — n)^(l — xx). Es erhellt daraus, dass 
die linie (I) entweder durch den Punkt (4) oder durch (5) geht, und es gibt 

60* 



412 VEBSGHDEDKHB OBOMRrBUGHB AUFGABB». 

in der That fär den in Bede stehenden singolSren Fall immer vier AnflOsungen, 
indem man entweder durch (4) oder durch (5) eine der beiden geraden Linien 
legt, deren Winkel mit der Absdssen- Linie die Grösse --=:-? zum Cosinus 
hat. Die Bealität dieser Auflösungen hängt davon ab , dass diese Grösse nicht 
grösser als 1 ist, fär welchen WctÜi selbst die vier Auflösungen sich auf zwei 
reduciren. 



ALLGEMEINES 



COORDINATEN ■ VERZEICHNISS 



ZUSAMMENGETRAGEN 



AUS FOLGENDEN PARTIELLEN VERZEICHNISSEN 



Nr. i) Oeneralveneichnias von 1828. [Gradmessung xSix. 1822. 1823 ^^^ denn Fortsetiung bis Jever 
z824« 1825 ausgeführt von C. F. Gauss.] 

2) Eicbafeld 1828. [Messungen des Hauptmann Müllbb und des Lieutenant Gauss.] 

3) Hildesheim 1828. [Messungen des Lieutenant HABTMAmi.] 

4) EQldesheim 1829. [Messungen des Lieutenant Habtmavh.] 

5) Westphalen 1829. Messungen des Lieutenant Gauss und Lieutenant Habtmahh.] 

6) Westphalen 1830. [Messungen des Lieutenant HABTMAmi.] 

6*) UABTKAms Messungen von 183x1 so weit sie nicht durch 12 ersetst werden« 

7) Lüneburg. [Messungen des Hauptmann Müllbb im Jahre 1830 und des Lieutenant Gauss in 

den Jahren 1830 und 183 x.] 

8) Han X833. [Messungen des Lieutenant HABTMAmi.] 

9) Mittelweser X833. x834. [Messungen des Hauptmann Müllbb und des Lieutenant Gauss.] 
10) Oberweser (Göttingen) X836. Messungen des Hauptmann Müllbb.] 

xx) Aller X838. Messungen des Hauptmann Müllbb.] 
X2} OstMesland X84X. [Messungen des Hauptmann Müllbb.] 
X3) Bremen X839. [Messungen des Hauptmann Müllbb.] 
X4) Bremen X843. X844. [Messungen des Lieutenant Gauss.] 

X844. Deo. X3. 



[NACHLASS.] 

COORDIN ATEN - VERZEICHNISS. 



+ ladUoh 



+ westlich 



+ 75Hi.»97 

+ 75*33.714 

+ 65882.780 

+ 5^3»'37o 
+ 34030.175 

+ 33664-655 

+ 21701.9 

+ H058.X 

+ 10806.6 

+ 10730.1 
+ 20708.0 
+ 10708.0 

+ »9447.5 
+ »«580-57« 
+ 17783.447 
+ «77«». 597 
+ »7414*8 
+ 16676,9 

+ 16609.161 
+ 16x08.813 

+ 15841.6 

+ »5550-9 
+•15180.1 

+ 15061.887 
+ 15061.0 
+ 14871.X04 
+ 14744.0 
+ 13800.5 

+• »33H.4 

+ »»713-539 
+■ X 17x1. 661 

+ X1398.0 

+• 11396. X 



— 36876. X03 

— 36849.867 

— 55130.1x1 

— 9"53.i40 

— 15361.17X 
+ 6065.X45 
+ 46588.1 
<+ x8i.x 

+- 5987.8 

— 63790.8 

— 63788.8 

+ 5903-4 

+- 14390.4 

—»69314.554 
-h X7094.498 

+ X7095.067 

+- »»655.4 

— »55»9.4 
+ 11168.678 

-}- 1388X.506 

— 43»6.7 
+ X1308.9 

— 59x83.8 

+■ 17995-559 

— XXIO.X 

+- X8863.401 
-+ 769X.1 

+- 5748.8 
+- 694X.7 

+- 5«>».747 
+ 5001.134 

+ 14961.4 

+- 10306.9 



Inselsberg Haus 

Insehberg he$n$cher 
Dreieektpunkt 

Seeberg, Fassagein- 
strument 

Ettersberg 

Struth 

Meiiner 

Burghasungen 

Hanstein 

Witsenhausen Rath- 
haus 

Posse 

Posse 

Witzenhausen Kirch- 
thurm 

Landwehrhagen 

Leipzig Sternwarte 

Steinberg, Signal 

Steinberg Postam, 

Lutternberg Thurm 

Dünwarte 

Lutternberg 

Lutternberg Keben- 
plats 

Rusteberg 

Hedemünden 

Gross Furra 

CatUnhühl x. 

Brennerei, Schorstein 

Cattenbähl 1. 

Berlepsch 

Hermanrode 

Mollenfelde 

Gieseberg Signal 

Oieeeherg Poelam. 

Lippoldshausen 

Münden 



Nr. 



X 

x 

X 
X 

xo 
xo (1) 

xo 

1 
8 

10 
xo 

xo 
xo 
xo 

1 
xo 

xo 

xo (1) 
xo 
8 

xo 
xo 
xo 
10 
xo 
xo 
xo 
xo 
xo 
xo 



+ südUch 


+- westlich 


+ XIX34.6 


+- 896X.05 


+- XIX03.347 


+- «6773.704 


+- X1068.459 


+ X6758.133 


+- XX81X.6 


— »5595.» 


-{- XX810.9 


+- 55»».9 


+• »1590.» 


+- 15845.9 


+• x»4»3.4 


»0545-5 


+- 10799.4 


— 10605.6 


+- X0678.1 


— 9»97-o 


-+ X0611.X94 


+ X6188.698 


-+ X061X.837 


+- x6i88.ox5 


+- XOX04.7 


+- »077.3 


+ X0009.1 


— X1965.1 


+- 9737.9 


— 43660.15 


+ 9709.8 


+- X1690.X 


+- 938».44i 


-+ X3339.X53 


+ 9117.086 


— 315 »7 .867 


+- 9x16.7 


3x517.0 


+- 9o8x,9 


— 973». 4 


+ 8761.9 


— X7198.7 


+ 85H.6 


— 64937.3 


+• 8195.3 


— 475-7 


-H 8x80.3 


— 17784.» 


+ 8x35.6 


+- 4»89.4 


+ 766X.8 


— 749X.9 


-^ 766X.406 


— 749».385 


+- 7635.8 


+- 767.7 


-|- 7601.1 


— 9XX1.4 


+- 7439.» 


+- »937.x 


+- 7»47.o 


+- 99H.8 


+- 7»4».3 


-f X5746.3 


+ 7a»3.7 


- 18707.3 



Atzenhausen 

Wiereham^H x. 

Wierehauun 3 

Günderode 

Deiderode 

Wiershausen Thurm 

Bischhagen 

Mittlerer Baum 

Vogelsang 

Wiershausen Signal 

WierehauseH 1. Theo- 
doUthpiatg 

Gross Schneen 

Weissenbom 

Bleicherode 

Meensen 

Meeneerberg 

Xälberberg P&hl 

Kälberberg Theodo- 
Uthplat» 

Bischhausen 

Neuendorf Wind- 
mühle 

Hospital bei Hexingen 

Ballenhausen 

Schloss Bodenstein 

Dramfeld 

Eschenberg Theodo- 
UthplatM 

Eschenberg Pfahl 

Stoekhausen 

Sennikeroda Südl. 
Schorstein 

Obeijesa 

Jühnde 

Dankelhausan 

Bomberg Thoodoläh' 
platg 



Nr. 



xo 
xo 
xo 

a 

xo 
xo 

% 

% 

% 

xo 

xo 
xo(a) 

% 

8 
xo 
xo 

% 

% 
% 

% 

8 

xo 

% 
xo 

a 

xo 

»o (3) 
xo 

xo 



416 



HAGHLA8S« 



4- südlich + westlich 



+ 7113.2 


— 28706.8 


+6851.3 


— 12087.0 


+ 6770.1 


— 2812.9 


+6769.4 


+ 6054.2 


+ 6484.7 


— 6756,1 


+ 6475.611 


— 6768.874 


+ 6475.564 


— 6770.088 


+ 6468.0 


+ 3812.8 


-t 6i97'» 


"333-9 


+ 6060.017 


+ 12447.725 


+ 6059.878 


+ 12447.746 


+ 5904-1 


— 25567.9 


+ 5820.8 


+ "40.3 


+ 5734-» 


— 10280.4 


+ 5680.1 


— 18048.2 


+ 5H6.1 


— 11325.7 


+ 5x88.0 


— 11168.3 


+ 5161.993 


+ »369»-5»5 


+ 5091.0 


— »5558-5 


+ 49*9-0 


+ 5482.0 


+ 4909.4 


— 29872.7 


+ 4869.4 


— 14817.6 


+ 4866.8 


+ 18318.0 


+ 4472.0 


— 7627,8 


+ 4365-3 


— 21020.8 


+.4363.6 


— 10999.9 


+ 4308.1 


— 20065.5 


+ 4198.6 


»3474-4 


+ 4184.7 


+ 10584.4 


+ 4136.4 


+ 5»9a-a 


+ 3861.2 


— 1806.9 


+ 3839-7 


— 28917.3 


+ 3795-5 


51853.6 


+ 3755-3 


— 22105.6 


+ 3655-3 


— 16722.7 


+ 3564-3 


— 25042.7 


+ 3385-9 


— 34674.3 


+ 333J»»*o 


— 30683.287 


+ 3330.905 


— 30681.570 


+ 3330.629 


— 30682.728 


+ 3a97-» 


— 8468.3 


+ 3246.483 


+ 10733.915 


+ 3177,2 


20769.5 


+ 2943.1 


+ 15861.4 


+ 2786.6 


+ 3050.0 


+ 2783.8 


— 59292.1 


+ 2780.7 


+ 12736.4 


+ 2701.3 


— 44976.6 


+ 2662.8 


— 10874.5 


+ 2627.3 


15513-8 


+ 2586.105 


— 19037-483 



Bornberg Pfahl 

Beinrode 

Rein hausen 

Volkerode 

Nordl. OUichs Theo- 

dolUhplatt von 1828 
Nordl. Gleiche Pfahl 
Nordl GUiche Theo- 

dolithplatz von 1829 
Sieboldshausen 
Kerstlingerode 
Hohehagen Platz von 

1836 
Holiehiigen Platz von 

1821 
Taatun^er Warte 
Nieder] eaa 
Bei RitmarshauBen 
Besekendorf 
Teistungenburg 
Ritmarshausen 
Sehottsberg 
Wehnde 
Lembshausen 
Brehmer Ohmberg 
Nesselroder Warte 
Bohren 
Ben niehausen 
Pferdbergs Warte 
Theodolithplatz dane- 
ben 
Immingerode 
Lindenberg 
Bördel 

Mengershausen 
Dimarder Warte 
Brehme 

Gross Wechsungen 
Oerblingerode 
Nesselrode 
Wehnder Warte 
Bischofsrode 
Sonnenstein Pfahl 
Sonnenetein Pfahl von 

1833 
Sonnenstein Theodo- 

Uihplatz von 1828 
Amt Niedeck 
Sesehühl 
Tiftlingerode 
Varloaen 
Rossdorf 
Nordhausen 
DransfeldKirchthurm 

vor dem Brande 
Gratzungen 
Sattenhausen 
Ecklingerode 
Euzenberg Pfahl 



Nr. 



2 
1 

10 
10 

1 



io(.) 

1 

10 

I 

10(1) 

1 

1 

1 

1 
10 

1 
10 

1 

1 

10 

1 
1 

1 

1 

1 

10 

10 (1) 
10 

1 

8 

1 . 

1 
1 
1 

8 

1 

1 
10 

1 
10 
10(1) 

8 

10 
8 

1 
1 
1 



+ südlich 


+ westlich 




Nr. 


+ 1585.7 


— 19036.8 


JBuzenberg Theod»- 








Uthnlatt 
Nordhanaen Doppel- 


1 


+ 1187.0 


59387.6 








thurm 


1 


+ 1108.65 


— 42014.98 


Trebra 


8 


+ «50.7 


— 13816.3 


Himmigerode Giebel 


2 


+ 1986.5 


— 933-4 


Geismar 


IG 


+ 18x1.6 


6268.5 


Gross Lengden 


ft 


+ 177« -9 


— 21830.3 


Duderstadt Untere 








Kirche 


2 


+ i7i6.a 


— 3960X.8 


Epschenrode 


8 


+ 1719-5 


— 22257.6 


Duderstadt 0. Kirche 


a 


+ 1644.4 


— 21749.3. 


Duderstadt W. Thurm 


1 


+ 1508.400 


— 9266.532 


Jacobsberg Pahl 


1 


+ 1507-5 


— 9266.3 


Jaeohsherg Theodo' 








Uihplatz 


a 


+ I397-I 


— 16937.0 


Werkshauaen 


1 


+ 891.318 


— 15971.380 


Rothe Warte, Cen- 








trum des Thurms 


2 


+ 890.3 


+ 5419.1 


Ellershausen 


to 


+ 884.3 


— 15983.8 


Rothe Warte N. 0. 








Eckpfeiler 


2 


f 883.804 


— 15984.408 


Rothe Warte, Theo- 








dolithplatz 


2 


+ 862.8 


— 10867. 1 


Falkenhagen 


2 


+ 852.6 


+ 16470.8 


Lewenhagen 


10 


+ 780.8 


+ i49»9.8 


Imssen 


zo 


+ 670.2 


+ 1977-5 


Backhaus Pavillon 


z 


+ 549.8 


— 20958.7 


Sülberg Warte 


2 


+ 461.4 


47059.9 


Pützlingen 


8 


+ 371-1 


— 16590.7 


Desingerode 


2 


+ 220.895 


— 1883.547 


Kieper 


10 


+ «67.7 


— 25721.8 


Herbigshagen Pfahl 


2 


+ 167.657 


— 25721.050 


Herbigehagen Theo^ 








dolithplatz 


% 


+ 2.998 


— 6.528 


Sternwarte, Platz auf 








dem Dache von 1836 


xo 


+ 





Sternwarte Mitte der 
Achse des Meiehen' 
bachschen Meridi- 
an'Kreises 




— 5.507 





Sternwarte Ihtodo- 






• 


Uth 1823 


I 


— 186.9 


— 8461.4 


Mackenrode 


2 


417.8 


+ 5813.5 


Hetgershausen 


XO 


— 441.17 


+ 902.34 


Göttingen Mariae 


10 


— 469.5 


+ 553.8 


Göttingen Rathhaus 


10 


— 486.1 


+ 645.5 


Oöttingen JTohannis 








Südlicher Th. 


xo 


— 500.8 


+ 644.9 


Göttingen Johannis 
Nordlicher Th. 10 (1) 


556.5 


+ 117.95 


Göttingen Albanus 


10 


— 710.702 


+ 500.493 


Göttingen Jacobi 


10(2) 


— 753.3 


+ 3357.9 


Gronde 


X0(2) 


— 766.5 


— 38848.7 


Stöckei 


8 


— 823.029 


— 26665.059 


S. Antonio di PadoTa 


2 


— 823.8 


— 26664.7 


S. Antonio di Padova 




1 
r 




Theodolithplatz 


2 


] — 9^.0 


+ 14147-9 


Gdntersen 


10 



-f ifidlich 


+ westlich 




— "73'3 


113x7.5 


Landolfshausen 


- 1198.9 


— 264x1.9 


Langenhagen Sohor- 
stein 


- 1483.1 


— I3H9.8 


Seulingerwarte 


— 1503.6 


— X510X.7 


SeuUngen 


- 1550.« 


— 45839.7 


Holbach 


— 1621.8 


— 47467.7 


Apfelbaum Theodo- 

HthplaU 
Apfelbaum bei Lan- 


— 1622.846 


— 27469^008 






genhagen 


— 2047.2 

— 2160.609 


23897.4 
— 26487.32X 


Breitenberg 

Buche bei Hilkerode 


-21644 


— 26486.9 


Buch» Theodolük" 

platz 
Barterode 


-«358.5 


+ X164X.X 


— 2649.0 


4- 4981.8 


Elliehausen 


-2885.9 


— 23406.8 


Habenthal Tanne 


-2923.7 


— 32820.3 


Eilerburg 
Kleine mgen 


—2953.262 


+ 2228.054 


-3053-0 


— 20x48.8 


Obemfelde 


-3283.0 


— 68056.6 


Jagdschloss 


-S3H-* 


— 4406.2 


Heringen 


-3497.0 


4- 355.8 


Weende 


-3667.8 


— 24x8.5 


Clausberg 


-3746.65 


+ 3698.7 


Holtensen 


-3868.9 


144094 


Seeburg 


-3908.9 


— 423644 


Tettenborn 


-3976.3 


— 17301.0 


Qermershausen 


-399».« 


— 74780.3 


Schwende 


-4031.6 


+ 6818.9 


Esebeck 


-4047.715 


+ XX07X465 


Kuhberg Neben- 
platz X. 


-4244.7 


+ 359»*.i 


Trendelburg runder 

Thunn 
Berenshausen 


-4263.0 


— 16091.7 


-4356.7«» 


+ XX845.836 


Kuhberg 


-4807.8 


— X1445.6 


Ebergötzen 


-5019.756 


- 0.133 


MerttUameiehen 


-5085.8 


— 2x007.9 


Hellbera 
Trendelburg Later- 


- 5156.8 


+ 36x85.5 






nenthurm 


-5267.1 


— 18643.7 


BoUshagen 


-5444.0 


+ 13449.9 


Adelepsen Schloss 


-545a.7 


+ 13468.7 


Adelepsen Burg 


- 5556.1 


+ 13380.9 


Adelepsen Kirch- 
thurm 


-5630.5 


— 7399.5 


Baum am Hünen- 
stollen 


-5634.099 


— 7411465 


HünenstoUen Pfohl 


- 56h.»oo 


— 74204 


HünenetoUen Theodo- 
UthplaU 


-5898.6 


— 22821.3 


Rüdershausen 


-6069.2 


+ 5071.1 


Lenglem 


" 6106.5 


— 14538.0 


Ruhmspringe 


-61x6.3 


— 6993.1 


Nebenplatz am Hü- 
nenstoUen 


-6284.6 


— 46874.3 


Walkenried 


- 6316.5 


73679.7 


Auersberg 


- 6334.675 


— 9698.349 


Lauseberg Pfahl 



COORDINATKN. 




Nr. 


+ Südlich 
— 6335.1 


+ westlich 


% 


— 9699-0 


2 


— 6418.7 


— 150254 


2 


6551.6 


73744 


1 


— 6610.8 


— IH71.1 


8 


6753.8 


+ 1541.0 




— 6984.3 


— 6XX56.9 


2 


— 7052.9 


— 2063X.6 


% 


— 7101.5 


— 37370.8 


2 


— 7184.6 


+ X8436.6 


% 


— 7349.7 


8399.8 


2 


7517.3 


— 2x764.2 


XO 


7577.8 


+ XXX01.0 


10(2) 


7579.7 


— 8321.9 


2 


— 76H.715 


+ 2249419 


2 


— 7615.9 


+ 1148.1 


2 


— 7661.845 


35709.258 


2 


— 7666.8 


— 1551.1 


10 


— 7696.8 


— 16074 


10(1 


— 8033.6 


+ 5838.1 


10(1) 


— 8396.7 


— 11175.3 


XO 


— 8481.6 


13191.9 


1 


— 8619.776 


-1- 11951497 


8(1) 


— 8716.1 


3864044 


2 


8718.8 


— X0248.X 


XO 


- 8854.7 


— X02794 


XO 


— 8920.x 


— 6956.8 




— 9XX3.6 


— 187824 


9 


— 9267.9x6 


+ 224426 


2 


— 9471.301 


— X3930X.772 


XO 


— 9474.1 


— 25369.7 


2 


— 9485.0 


•f 18999.8 


x(io) 


9541.1 


— 33228.2 


2 


— 9594.5 


+ 10334.8 




— 96294 


— 3x666.9 . 


9 


— 9678.5 


+ 1664.5 


2 


— 969X.6 


-f X069X.8 


10 


— 9887J1 


+ 6x4.0 


10 


9949.5 


— X0974.6 




— 10181.6 


+ 6326.6 


10 


— 10456.3 


— 660x84 




10471.3 


— 40403.046 


2 


— X0857.9 


+ 780.9 


2 


— 11136.0 


— 15774.7 




— 11214.X48 


— 30285.81 


2 


— 11226.089 


— 37531.015 


10(2) 


— XX328.0 


-f 19573.1 


2 


114514 


— 13119.3 




— 11507.5 


+ 9501.8 


2 


— XX526.0 


— 14953.1 


8 


— XX532.556 


36038443 


8 


— 11559.» 


-f 4026.5 


2 


— 1x672.502 


— 66284.731 



Laueeherg Theodo* 

UthplaU 
Wollbrandshausen 
Mftusethurm 
Krebeck 
Boyenden 
Poppenberg 
Nebenplatz bei Hell- 
berg 
Osterhagen 
Offensen 
Holzerode, Struth- 

krug 
Wollershausen 
Lödingen 
Holzerode Thurm 
Baum bei Boyenden 
Baum TheodoUth- 

platz 
Bartholfelde 
Plesse, dünner Thurm 
Plesse dicker Thurm 
Harste 
Renshausen 
Bodensee 

Kuhbera NebenplaU 2 
Ahrensberg 
Nebenplatz 2 bei 

Renshausen 
Nebenplatz x bei 

Renshausen 
Spanbeck 
Qieboldehausen 
Orebenberg 
Petersberg 
Pöhlde 
Vorliehausen 
Barbis 

Albershausen 
Barbiswarte 
Parensen 
Hettensen 
Angerstein 
Tuerhausen 
Qladebeck 
Harzhöhe 
Rabenskopf 
Kloster Stein 
Bilshftuser Clus 
Scharzfeld Kirohth. 
Scholm, Signal im 

Baume 
Schoningen 
Aukrug 
Eiligerode 
Bilshausen 
Hausberg 
WoUbreohtshausen 
Schalllieihe 



417 



Nr. 



2 
2 
2 
2 

10(1) 
8 

2 
8 

XO 

2 
2 

XO 

2 
2 

2 

8 

XO (2) 

XO 

10 

2 

2 

XO 

8 



1*> 



2 
2 

io(.) 

z 
% 

10 

8 

XO 

2 

10 

10 

10 (l) 

2 

10(1) 

8 

8 

10 (1) 

2 
8 

8 

XO 

2 
xo 

2 

8 

10(2) 
8 



IV, 



61 



418 



MACHLA88. 



+ sadlich 


+ westlich 




Nr. 


— 11765.0 


+ 440.1 


Nörten 


10 (2) 


11977.X87 


— 41915.437 


Stephansecke 


8 


— 12107.5 


— 13210.7 


Nebenplats 2 bei Btls- 








hausen 


2 


— I2x83.»i3 


+ 779*-i43 


Oladeberg Theodo- 








hthjolatz 
Gladeoerg Signal 


10 


— 11x83453 


+ 779*-303 


10 


— XS233.8 


— 13 196.8 


Nebenplats x belBils- 








hausen 


2 


— iiHX*i 


— 82626.5 


Dampfinaschine AI- 








bertine 


8 


— i»a79.a 


+ 49**.8 


Uevensen 


10(2) 


— X2371.1 


15199-4 


Strohkru^ 


2 


— 1*493 -537 


+ 18761.139 


SammsrUng 


10 


— X2591.X 


— 544*4 


Nebenplats bei Su- 
dershausen 








2 


— 12650.61 


36537.55 


Kümmel, Signal im 

Baume 
(h«tohenradsbleek 


fi 


— 12979.832 


— 30778.148 



8 


— 13244.4 


— 83101.8 


Hangerode 


8 


— 13647.0 


+ 7916.8 


Hardegsen Kiroh- 








thurm 


10 


— X3708.0 


+ 8031.1 


Uardegsen Magazin 


10 


— 13808.354 


-4-20900.304 


Biehhagmi 


10 


— 13870.8 


+ 18170.0 


Bollensen 


10 


— 13888.6 


— 20309.2 


Hattorf 


2 


— 13900-994 


32337.378 


Liethberg 


8 


— 13963.3 


— 12586.3 


Lindau 


2 


— 14085.7 


— 27493.7 


Hersberg Kirchthurm 


2 


— 14174-9 


— 41419-9 


Ji^dkopf Signal im 
Baume 


8 


•^ 14206.620 


+ 7328.687 


Weper NebenplaU 1 
Hersberg Sohloss 


10 


14*07.2 


— 26902.1 


8(«) 


— 14230.1 


+ *749-4 


Behrensen 


10 


— 14271.2 


4- 16565.0 


Gierswald 


10 


— H397«36o 


-~42340.2H 


Lang^etke 


8 


— 14470.678 


4- 21416.910 


Uslar Kirchthurm 


10 


— 145 »4.4*0 


+ 19919.69* 


Qalgf^M 
Uslar Rathhaus 


xo 


— 14544.393 


-|- 1x329.106 


10 


— 14684.3 


— 31271.2 


Eickelnkopf 


8 


— 14833.9 


+ 6614.7 


Lutterhausen 


10(2) 


— 14939.* 


— 4064.9 


Tockenberg 
Wulften Thurm 


2 


— 151084 


— 15990.2 


2 


— 15186429 


— 50327.104 


Hoheffeiss 
Dinkelhausen 


8 


— 15*03.3 


+ 18*944 


10 


— 15242.6 


— 4102.7 


NebenplaU auf Wie- 








terberg 


2 


— 15348.043 


+ 7590451 


Weper 


10 


— 15496.8 


+ 5*11-5 


Thadinghausen 


10 


— 15543-9 


— 33697.6 


Grosse Knollen Sig- 








nal im Baum 


8 


— 155484 


— 33734-0 


Grosse Knollen 








Baumspitze 


8 


— 15686.5 


+ *375.8 


Grossenrode 


10 


— 15720.0 


— 53780.9 


Bennekenstein 


8 


15741.3 


— 2238.6 


Sudheim 


2 


— 15751-5 


65456.5 


Stiege 


8 


— 15855.3 


— 31164.2 


Rothe Soole 


8 


— 15910.2 


— X638X.6 


Nebenplatz bWulften 


2 



+ südlieh 

— 16187.933 

— 16284.1 
— 16338.1 

— 16442.670 
— 16530.3 
— 16553.8 
— 16714.5 
— 16756/559 
— 16826.3 

— 16833.7 

— 16834496 
— 16887.185 
— 17039.1 
— 17500.2 
- 17584.8 

— 17854.543 
— 17869.8 

— 17950.6 

— X8X69.X 

— X8366.7 

— X8415.3 

— X850X.058 

— X8502.084 

— X8577.6 

— 18903.3 

— 190914 

— X9X02.X 

— l^iorjjo 

— 19192.8 

— 19*17.9 

— 19246.1 

— 19268.640 
— 19282.0 

— 19421.288 

— 19653.2 

— 19704.9 

— X9866.O 

— 19930.7 

— 200OX.826 

— 200x4.9 

— 200x9.3 

— 20287.2 
-2035x449 

— 20693.3 

— 20738.34 

— 2x0x6.2 

— 1x016.8 

— 11045.7 
— 11057.088 



4- westlich 

+ 19596.646 
+ 48876.2 
-f 22516.0 

— 46910.145 
+ 211104 

— 10882.7 
+ 8914.2 
+ 22338.780 

— 9622.7 

— 16382.2 

— 16381.887 
+ 22136.990 

— 18756.6 

— 740.0 

— 1x553.2 

— 37470.334 
4- 26462.7 
-f 8564.0 

— 78903.0 

— 75666.7 

— 63048.0 
+ X9090.605 

+ 1909X.X58 

— 7565.* 

+ 499*-5 
+ X0983.2 

— 53807.7 

— 108454 

— X527.1 

— 1447JI.6 

— 10506.5 

+ 19054.094 

+ 5767.3 
— 189500.165 

— 4143.* 

— 3980.6 

— 10604.9 

— 22824.1 

— 34*50.040 

— 39500.2 

— 39483.* 

— 39835.3 

— 53682.875 

— 51001.6 

— 28075.2 

— 509*9.1 

— 551414 

— 15360.7 

— 53876.001 



Nr. 



Fahle 

Bruchhausen 

Forsthaus am Knob- 
ben 

Everaherg 

Eschershausen 

Caüenburg 

Trögen 

KnMmn Nthmmlati 

Nebenplatz bei Sute- 
rode 

Wulften ThBodoUihr 
platä 

Wulften Pfahl 

Knothen 

Schwiegexshausen 

HiUersen 

Berka 

Kobalt-thals-Kopf 

Schönhagen 

Weper NebenplaU 1 

Victorshöhe 

Friedrichsbrunnen 

Hasselfelde 

FahlersiöUen Poeta- 
tneni 

Fahlerstollen Brett 

Hammenstedt 

Moringen 

Espol 

Tann» 

Nebenplatz 2 bei £1- 
vershausen 

Höckelheim 

Dorste 

Nebenplatz x bei El- 
vershausen 

Wolisstrang 

Ober Moringen 

Wurzelberg 

Nordheim Kirch- 
thurm 

Nordheim Rathhaus 

Elyershausen 

bei der niedrigen 
Warte 

Lilienberg 

Glockenhaus 

Thürmchen bei An- 
dreasberg 

Andreasberg Kirche 

Eiserne Pfthla, Pfahl 

^^edfeld Haus 

BArengarten 

Wiedfeld Signal 

Hösekenhay Stange 1 

Katzenkopf 

Eiserne Pfthle, Sig- 
nalstange 



10 



10 

8 

XO 

1 
10 
10 



1 
2 

xo 
1 
1 
1 
8 

10 

10 

8 
8 
8 

10 
IG 

1 
XO 

xo 
8 



1 
xo 

10 



10 (j) 



3 

1 

8 
8 
8 

8 
8 
8 
8 
8 
8 
8 
8 

8 



COOBDINATEN. 



419 



+ lüdlich 


+ westlich 




Nr. 


- »436.6 


— X1958.9 


Nebenplatz bei Marke 


1 


-11446.1 


»7159.5 


Schindelnkopf 


8 


- »1467.0 


— 30088.7 


bei dem Haspelkopf 


8 


- ii4«7-»55 


— 19438.938 


Haspelkopf 


8 


-1x534.8 


— 10718.9 


Warte bei Osterode 


1 


-1I537-* 


— '10710.6 


Nebenplatz x bei 








Osterode 


1 


- 11538.6 


— 10743.6 


Nebenplats bei der 








Warte 1833 


8 


- 116x4.1 


— 40090.8 


Sandhagel bei An- 
dreasberg 


8 


-»1738.X38 


—56x48.803 


Hösekenhay Stange x 


8 


-1x804.1 


— 115X4JO 


Osterode Scbloss 


8(1) 


-11807.0 


— 10391.5 


Zehentscheuer 


8 


- ii95a38 


—51541.6 


Signal im Baume 


8 


- 11109.5 


— 11367.6 


Osterode Marktthurm 


8 


- 12117.x 


10914.0 . 


Osterode Vorstadt- 








kirche 


8(1) 


- 11167.8 


— 48561.7 


Signal bei Braunlage 


8 


- a»35»-9 


1X6X3.1 


Osterode Todten- 








thurm 


1 


- 11503.363 


— 31044.871 


Hanskuhnenbuxg 


8 


-11514.3 


13815.0 


Scherenberg 


1 


- ii55a6 


— X98364 


Nebenplatz 1 beiOste - 








rode von 1818 


1 


-11605.8 


16160.6 


Steilewand 


8 


- 11640.7 


— 17593.1 


Wienthalskopf 


8 


-1169X.6 


+ 37649.0 


Fürstenberg 


9 


- 11715.6 


— 886X.6 


Brunsteinbaum 


1 


-11785.3 


— 3XXOX.1 


Grosse Breitenberg 


8 


- 1190X.156 


— 19516.96 


bei Lasfelde 


8 


- "946.5 


— »554.3 


Edesheimer Warte 


1 


- 13019.5 


— 315894 


Bösenberg 


8 


- 13036.6 


— 15706.x 


Sösekopf 


8 


-131x1.68 


— 51488.6 


Lindiah (d) 


8 


-13389.7 


— 47.5 


HoUenstedt 


1 


- 13399.9 


14580.7 


Scherenberg Signal 


8 


- »3509-8 


+ 4»3».7 


Iber 


3 


- 13645.0 


— 53068.1 


Lindiah (c) 


8 


-236814 


— 40910.3 


B^hberg 


8 


- 13793.9 


— 55008.0 


Lindiah (a) 


8 


- 13911.6 


— 54784.» 


Lindiah (b) 


8 


-14059.9 


— 19911.9 


Eichelnberg 


8 


- H185.1 


— 154x5.6 


Nienstedt 


8 


- H3^.6 


+ 38569.7 


Bofsen 


9 


- H37«.9 


— 40343.5 


kl. Sonnenberg 


8 


-H430.8 


58719.7 


Susenberg 


8 


-44483.0 


+ 984.7 


Stdokheim 


1 


- H504.3 


+ 17468.0 


Moosberg Haus 


9 


- H5*o.3 


— 57704.9 


Wegweiser auf 








Katzenberg 


8 


- H59X.4 


— 59083.9 


Eiche 


8 


-H747.3 


—403x84 


Sonnenbeig Signal 








im Baume 


8 


- H787-7 


— 5»75«.8 


Entfernter Wegwei- 








ser (s. g.) 


8 


-14851.5 


— 1x16.5 


Edesheim 


1 


- 15051.x 


— 59x07.1 


Kleinschmidtskopf 


8 


-15114.» 


— 55400.3 


Bastekopf 


8 



+ sadlich 


+ westlich 




— 15X3X.8 


— 15130.0 


Sohönenberg 


45 141.« 


— 187x04 


Steinberg 
Blookköthenkopf 


15137.9 


— 47x91.9 


45493.9 


— 50188.8 


Bahrenberg 


— i53»5.x 


5»o7x.3 


Feuersteine bei Elend 


— 15406.0 


39407.3 


Sonnenberg Pfahl 


— 15497.0 


— 31411.8 


Allerberg 


— 15509.4 


47774.x 


Kleiner Winterberg 


15513.68 


— 57785.67 


Wegweiser zur Ro- 
thenhütte 


— 15570.5 


-46684.7 


Wormberg Pfahl 


45574.7 


— 46676.x 


Wormberg Stange 
Grosses Hom 


45707.» 


— 571854 


— 15748408 


^ 55691.076 


Wegweiser vor dem 
Steinbach 


— »5844.5 


+ 41741.0 


Knillwarte 


— 16013.7 


4345«.5 


Aohtermannshöhe 


— 160334 


— 13968.7 


Sohieferecke 


— 1614X.X 


— X069.6 


Hohnstedt 


— 16x53.8 


+ 379X.5 


Strothagen 


— 16160.757 


— 16436.710 


Clausberg Signal 


46175.3 


+ 8678.3 


Grubenhagen Cen- 
trum 


— 16177.0 


+ 8675.9 


Grubenhagen Theo- 
doUth 


— 161834 


+ X9034.8 


Friedrichshausen 


16533.8 


— 151x1.9 


Heiligenstock 


— 166x9.9 


— X1689.5 


Lauenbem 
Kleines Mom 


— 16655411 


— 586X6.X08 


— 16678.1 


35849.5 


Hochliegende Signal- 


— 16713.3 


+ X9516.9 


stange 
SieYershausen 


— 16745.8 


+X3X317.7 


Beckum 


16759.6 


39586.3 


Sonnenkopf - 
Kalte Thal 


16775.350 


61157.835 


— 16804.01 


— 11x96.66 


Bomsberg 


— 16866.9 


16983.3 


Grube Neue Wein- 
schenke 


— 16871.3 


— 35054.9 


Vosshay 


— 16908.304 


— 58x61.133 


Wegweiser Yor dem 
Westerwinkel 


— i69ia6 


+ 7989.« 


Rotenkirohea 


— 16995.931 


— 58a4i.x66 


Westerwinkel Signal 


— 17005.5 


— 33630.55 


Ifenkopf 
Badenhausen 


— 170x9.5 


— X8313.64 


— 17067.x 


-f X656.7 


Salbeck grosser 
Thurm 


— 17X8X.8 


— 66451.7 


Hattenrode 


— 17x89.9 


+ X745.6 


Salbeck kleiner 
Thurm 


— 1719X.X 


+ 15348.3 




— 17197.x 


59313.6 


Elbin^rode 


— 17198.x 


— 36646.3 


Stieglitzecke 


— 17476.7 


+ 38638.9 


Höxter Kilian erster 
Thurm 


— 17489.4 


+ 3864X.4 


Höxter Kilian zwei- 
ter Thurm 


— 17500.8 


— 6000x43 


Wegweiser nach 
Blankenburg 



Nr. 

8 
8 
8 
8 
8 
8 
8 
8 

8 
8 
8 
8 

8 

9 

8 

8 

1 

3 
8 



3 

3 
8 

3 
8 

8 

3 

5 

8 

8 

8 

8 
8 

8 

3 

8 

8 
8 



3 
8 



3 

3 

8 

8 

9 

9 

8 



420 



RACHLASS. 



+ sfidlich 


+ westlich 


— 27568.x 


+ 38760.7 


— 17609.1 


— 603H4 


— 17636.3 


— 568404 


17784.3 


— 43350.1 


—17874.3 


+ 43094.4 


— 17943.6 


33069.9 


— 17978.34 


— 58850.x 


— 18050.1 


— 35780.0 


— 18096.9 


+ 15931.5 


— 181184 


51950.7 


— 18381.7 


+ 9615.» 


— 18438.1 


— 37961.9 


— 18486.5 


— 31040.7 


— 1849z. I 


+ 4954.3 


— 18601.6 


— 6x396.1 


— 18641.9 


43718.1 


— 18670.5 


— Z8560.6 


— 18677.3 


— 16073.X 


— 18695.9 


— 11014.8 


— 187144 


— 41441.7 


— 48733.5 


— X115.8 


— 18781.6 


39791.5 


— 18861.114 


— 59191409 


—18861.3 


— 3x189.8 


— 189334 


— 34606.1 


— 18943.9 


— 59778.56 


«9*544 


— 19987.8 


— 19161.584 


— 38649.671 


— 19184.1 


' — 31063.6 


— «9335.9 


— 45018.0 


— 19336.8 


41915.6 


— 193634 


+ IX147.3 


— 19385.5 


— 1645X.X 


— 194H.7 


— 31335.5 


— 19653-X57 


+ 386x1.900 


— «9864.9 


-j- 1056.6 


— 1991x4 


— X68114 


— «9947.3 


189154 


— 300Z04 


— 43147.3 


— 3001X.3 


— 16733.1 


— 30179.1 


— 14914.1 


— 30«3a4 


— 1645 X.O 


— 30310.087 


— 464x8.616 


30394.3 


+ I7«44.i 


30414.7 


+ 17444.X 


— 30557.8 


— 354134 


— 30578.7 


+ X3848.1 


— 30717.1 


- 16965.7 



Höxter katholische 

SLirohe 
Galgenberg 
Prinxenhav 
Düstem Tannen 
Obenhausen Capelle 
Sperberdamm 
Ortberg Signal 
auf dem Brande 
Scharfenberg 
Hohn^lippe 
Daasensen 
auf dem Kurstberge 
Schwanenberg 
Odagsen 
Hühnerbleek 
Oderhay 
Windhausen 
bei Gitteide 
Knöppelweg 
Schwirzen Tannen 
Kreieberg 
auf dem kleinen 

Bruchberge 
Ortberg Signal im 

Baume 
Nebenplati bei 

Schwarzenberg 
unten am Brande 
ünort 
Harterweg 
Wolfswarte Tanne 
Münsterhay 
Hirschhörner 
Alte Stange auf einer 

Klippe 
Wellersen 
Signal bei Clausthal 
Polsterberg 

Salzderhelden 

Qittelde untereKirohe 

Grube Dorothea 
Zeohenhaus 

Tanne auf einer 
Klippe 

Clausthal, Schützen- 
haus 

bei Frank enscharner 
Hütte 

Gitteide obere Kirche 

Brocken 

Dassel Thurm auf der 
Stadtmauer 

Dassel Kirchthurm 

kleiner Okerkopf 

Ellensen 

aausthal Markt- 
kirche 



Nr. 



8 
8 
8 

9 
8 

8 

8 

3 
8 

3 
8 

8 

1 

8 

8 

8 

8 

8 

8 

3 
8 

8 

8 
8 
8 
8 
8 
8 
8 

8 

3 
8 

8 

9 

3 
8 

8 

8 

8 

« 

8 
8 

1(8) 

3 

3 
8 

3 
8 



+ südlich 


-|- westlich 




307374 


-h X656X.X 


Bierberg 


—30836.54 


— 45«48.o 


Signal zwischen Stei- 


— 30871.0 


— 17x69.6 


Clausthal Gottes- 
ackerkirche 


— 3x079.691 


— 1676X.611 


Clausthal 


31135.6 


— X8838.3 


Signal nahe bei Grund 


— 3x183.0 


— 40839.0 


Lerchenköpfe 


— 31316.1 


+ 1x840.1 


Markoldendorf kleine 

Spitze 
Hullersen 


— 3x361.1 


+ 8158.5 


— 3X j8x.i 


4 X4447-8 


Eilensen 


31381.3 


+ 9767-6 


Holtensen 


— 3x606.7 


-H X 1899.6 


Markoldendorf 
spitzer Thurm 


31948.X 


— 16x91.9 


Amt Staufenbttrg 


31076.5 


— 17x41-3 


Zellerfeld 


— 31116.4 


1x899.1 


Hasenberg 


3««48.3 


-f 5176.3 


Eimbeek 


— 31408.8 


— X46X0.0 


Fahrenberg Neben- 
platz X 


— 31503.161 


— »4534.999 


Fahrenberg 


3«537.3 


+ 19x94-3 


Mackensen 


— 31589.8 

1 


— 15441.8 


Staufenburg spitze 
Ruine 


31714.6 


+ 373x3.x 


Albaxen 


3*748.3 


+ 15485.8 


Erichsburg 


— 31766.035 


— X5103.931 


Staufenburg Baum 


— 31778.515 


— 151x6.839 


Grube Johannis Ze- 
chenhaus 


— 3«83i.3 


— 14033.0 


Holenberg 

Platz in der Nfthe der 


— 33174-936 


— 13876.136 






Prinsenlaube 


33«77-ox 


— 13841.8 


in der Prinzenlaube 


— 331x34 


— 10XX1.3 


Winterbeig Spitze 
der Hütte 


— 33««i-3 


— 10x10.7 


Winterberg Signal 


— 33161469 


«3435x54 


Wildemann 


— 33365.9 


+ «0396.7 


Heukenberg 


3344X1 


— 1X369.Z 


Teufelsthalerberg 


33516.8 


+ 343x3.x 


Holzminden 


— 33618.1 


X8745.7 


Heinrichsberg 


33636.1 


+ 4«9X7-5 


Fürstenau 


33968.9 


-^ XOOll.X 


Vardeilsen 


33987.1 


+ i«545.6 


Ameisen 


34107.5 


— 58533-0 


Wernigerode Sehlots 


34176.05 


+ 35383-© 


Stael 


347x9.1 


— 131x7.9 


Adlerberg 


349494 


— 37x79.« 


Ahrensberg 


35x77.8 


■f 458x6.x 


Löwendorf 


— 35 «09.5 


— 19438.9 


Kahleberg 


— 35386.9 


+ X5 183.5 


Lüthorst 


— 35 393 .«5 


— 13500.0 


Wöhlerbexg 


— 35441.5 


— 10390.3 


Gross Wulpke 


— 35463.6 


— 386x1.7 


WildenpiaU 


— 35581.3 


-f ^0650.7 


Avendshausen 


— 35648.9 


+ 41010.7 


Telegraph 19 


— 35810.004. 


— 3013X.679 


Krolmsfeld 


— 35935.0 


-I-X31191.5 


Ennigerloh 



Nr. 



8 

8 
8 
8 
8 

3 

3 
3 
3 

3 

8 

8 
8 

3 

8 
8 

3 

8 

9 
3 

«(«) 

8 
8 

8 
8 

8 
8 
8 

3 
8 

9 
8 

9 
3 
3 

4 

9 
8 

8 

9 
8 

3 

8 

8 
8 

3 

9 

8 

5 



(3) 



COO&DINATEN. 



421 



-h südlich 



+ westlich 



-36173.4 


— 3"57-4 


— 36184.0 


+ 10275.4 


-36450.0 


— X44X»-4 


- 365»9-559 


+ 42629.094 


— 36612.665 


— 28544.5»» 


— 36669.0 


+ 30947.5 


-36750.1 


H- 20434.226 


— 37067.2 


-f- 24317.6 


— 37682.0 


-h »5587.3 


-37795 -3 


— 4459^-4 


-37855.6 


— 23849.1 


-38316.3 


— 21672.75 


-38471.6 


— II 779.0 


— 38643.0 


+ 13677.8 


—38821.8 


— 13118.3 


-38836.6 


+ 28936.5 


- 38921.4^3 


— 28423.139 


-38937.704 


+ 37708.540 


-3909X«5 


+ 17589.50 


- 39123.9 


-f 3»38.5 


-3934«.37 


- 24895.578 


-39370.6 


— 43»9-o 


-39477-a 


— 4516.9 


-39538-3 


— 20909.1 


—39808.5!! 


+ i47»8.7 : : 


- 398H.5 


— 5689.5 


-40094.968 


— 33653.130 


-40136.4 


— 41619.4 


— 40171.0 


— 16074. z 


-40291.8 


— 41618.2 


-40437.7 


+ 43816.8 


—40460.151 


— 23896.671 


-4047J.2 


— 33166.2 


-40484.7 


— 12638.7 


-'405i8.a 


— Z5896.1 


-40755-3 


— 40484.6 


-40860.2 


+ 24002.5 


-40952.298 


+ 7668.304 


-40961.9 


+ 261 1.4 


-41340.6 


+ 27206.3 


- 41354.0 


— 4578. X 


-41482.47 


+ 37007.07 


— 41560.526 


+ 20679.775 


-41700.4 


— 32963.2 


-41753-7 


— 3372S.7 


-41774.464 


— 3*709.047 


-4x795-8 


—42636.3 


-4x904.75 


— 15435-3» 


-4«999-i 


— 6948.9 


— 42000.Z 


— 50062.7 


-42017.3 


+ 3278.6 


-42038.8 


— 33357.5 


— 42271.8 


— 7821.4 


-42288.2 


— 33753.3 


— 42322.1 


1703.5 



Riesenbachskopf 

Stukenberg 

Kirchberg 

KiStersherg 

Bocksberg 

Bevem 

Telegraph 27 

DeeBsen 

Aroldissen 

Schulberg 

Lautenthal 

Schieferklippe 

Kle%$ 

Telegraph 26 

Engelade 

Telegraph 28 

Langeweth 

Wilmeroderberg 

Wangelstedt 

Naensen 

Kilesberg 

Bei Ciatuberg 

Kloster Clausberg 

Teufelsberg 

Vorwoble 

Bei Brunshausen 

Rammeisberg 

Büntheim Kirche 

Seesen Jacobsschule 

Bantheim Amt 

Falkenhagen 

Ecksherg 

Thurm am Rammeis- 
berge 

BUderlah 

Seesen Obere Kirche 

Schlevecke (ungewiss) 

Amelunxbom 

Hik 

Telegraph 25 

Oolmbach 

Dankeisheim 

PoUe 

Hombwrg 

Goslar Thurm am 
Clausthor 

Ooslar Zwinger 

Ooslar Frankenberg 
Centrum 

Westerode 

Schildberg 

Alt Qandersheim 

Stapeln bürg (unge- 
wiss) 

Seltm- 

Ooslar Marktthurm 

Oremsheim 

Ooslar Stephani 

Wetteborn 



Nr. 



8 

3 

4 

9 
8 

9 
9 
9 

9 

8 

8 
8 

4 
9 

4 

9 

8 

9 

9 

3 
8 

4 
4 
8 

9 

4 
8 

4 

4 

4 

9 
8 



(3) 



(9) 



(3) 
(3) 

(3) 

(4) 



+ sadlich 



(3) 
(3) 



— 4a333'8 
—42344.8 

— 42433.4 

— 42445,890 
-42476.2 

— 4*487.8 

— 4*538.» 

— 42610.7 

— 42824.6 

— 42874.1 
— 42879.0 
— 43001.8 
—43104.5 

— 43x33.39» 

— 43140.770 

—43218.8 

— 43230.3 

— 43304.8 

— 433x7.» 

— 43830.4 

—43880.7 

— 44074.1 

— 44352.6 

— 44538.8 

— 44584.7 

— 44027.1 

— 44867.0 

— 44868.1 

— 45036.8 
-45191.1 

— 45416.800 

— 45616.2 

— 45642.9 

— 45950.9 

— 46048.1 

— 46456.6 

— 46802.6 

— 46803.1 

— 46959.2 

— 46998.9 



47176.402 
47x88.3 



47203.9 
47217.7 
47224.6 
47566.0 
47659.9 



+ westlich 



— 33»74.9 

—33275.3 

— 25894.0 
+ 37x50.338 

— 33x94.» 

— 33x88.0 

— 33509.» 

— 39621.7 

+ 35484.0 
+ 33080.4 

— 34246.0 

— 21234.5 

— 4334».5 

— 36105.680 

— 36108.955 

— 14430.0 
+ 2402.7 

— ^1540.1 
+ 19181.0 
+ 4x4x0.9 

— 2308.4 
+ 2715.9 
+ 21060.1 
+ 3446.2 
+ 29846.9 
+ 25920.0 

— 47036.3 

— 45050.4 

— 4902.4 
+ 18957.0 
+ 18137.985 
+ 21332. 1 

— 34760.2 

— 12735.3 

— 26833.3 
+ 36528.0 

— 42699.6 

— 42801. 1 

+ 40990.4 

— 42597.9 



+ X9533.384 
— 42913.2 



— 30238.6 
+ 32923.1 
+ 21812.7 

— 5201.9 

— 5206.0 



Goslar Jaoobi südl. 
Thurm 

Goslar Jacobi nordl. 
Thurm 

Wolfshagen 

Eckherg 

Goslar Neuwerk sadl- 
Thurm 

Goslar Neuwerk 
nordl. Thurm 

Goslar Hagelthurm 

Harlingerode 

Brevörde 

Grave 

Goslar Siechhof 

Gegenthalskopf 

Bettingerode 

Sutmerthurm Cen- 
trum 

Sutmerthurm 'Pfahl 
daneben 

Bomhausen 

Esbeck nordlicher 
Schorstein 

Mechtshausen 

Wickensen 

Vahlbruch 

Eierhausen 

Klein Freden 

Eschershausen 

Gross Freden 

Ruhle 

Vogler 

Abbenrode (unsicher) 

Lochtum 

Gernrode 

Holtensen 

Oreiberg 

Scharf. Oldendorf 

Grauhof 

Gross Rüden 

Langeisheim 

Ottenstein 

Vienenburg Ruine 

Vienenburg lutheri- 
sche Kirche 

Neersen Thurm 

Vienenburg katholi- 
sche Kirche (un- 
gewiss) 

lih, SUdtieher Punkt 

Vienenburg katholi- 
sche Kirche (un- 
gewiss) 

Jerstedt 

Höhe 

Lüerdissen 

H^fer Platz i. 

H^ber Platz 2. 



Nr. 

7(3)" 

4(3) 

8 

9 

4(3) 

4(3} 

4(3) 

4 

9 

9 

4 (3) 
8 

4(x.3) 



4 
4 

4 

9 

9 

4 

4 

9 

4 

9 

9 

4(3) 

4(3) 

4 

9 

9 

9 

4(3) 

4(3) 

9 

4(3) 

4(3) 
9 



3 
9 



4 

4 

9 

9 

4(3) 

4(3) 



IV. 



62 



422 



NACHLASSk 



+ Büdlich 


+ westlich 


— 47769.* 


+ 416894 


— 47826.5 


— 336H.9 


— 48016.7 


— 1626.1 


48067.7 


— 44430^ 


—48095.5 


— 44646.1 


—48103.8 


— 40955-5 


— 48128.6 


— 37108.8 


— 48362.8 


+ 7079.1 


— 48370.1 


— 4943-7 


— 48403.7 


— 20569.0 


— 48498.8 


+ 9674.6 


— 48547.071 


-f 16779.146 


48573-4 


— 4766.6 


— 48642.5 


4974.3 


—48664.1 


+ n^H'7 


-48753.781 


41307418 


—49062.4 


— 49733.1 


49150.9 


— i8ii.ii 


— 49181.8 


— 15101.1 


— 49193.1 


+ 4»4a5.a 


— 49359.7 


+ 7171.« 


49479-9 


— 13101.1 


—49517.9 


+ 19870.0 


— 49541.8 


— 1831X.1 


— 49558.8 


— 10714 


— 49603.4 


-f- 118017.6 


49733.0 


— .37495.5 


49734.4 


+ 8151.1 


— 49830.3. 


— 31334.9 


— 49957.6 


+ 19386.8 


— 49998.1 


+ 1111.6 


— 50073.5 


4- 19388.8 


— 50113.3 


— 10449.1 


50159.7 


+ 9311.6 


— 50222.2 


— 1097.1 


— 50296.2 


+ 19106.3 


— 503S9.3 


-448894 


— 50450.6 


— 11838.7 


— 50560.3 


+ 9038.3 


— 50696.0 


+ »56.5 


— 50715.9 


+ 19383.0 


— 50725.6 


— 41980.6 


— 50747.86 


+ 39169.659 


— 50766.9 


15319.1 


— 50781.5 


+ 34519.775 


— 50791.7 


+ 31515.9 


— 50855.063 


+159064.091 


— 50911.176 


+ 18904.677 


— 50939.0 


— 39645.1 


— 50939.1 


+ 8057.8 


— 51x50.0 


+ 3"45.» 



Neersen WindmOhle 

Hahndorf 

Homsen 

Wiedelah Kirche 

Wiedelah Amt 

Wöltingerode 

Immenrode 

Forste 

Lamspringe Kloster- 
kirche 

Woldenhausen 

Gerzen 

Blosse Zelle 

Lamspringe Thorm 
am Berge 

Lamspringe lutheri- 
sche Kirche 

Kirchbrack 

Harhfs Berg 

Steterlingenburg 

Graste 

Jerse 

Hohe Linde 

Rollinghausen 

Wilhelmshfltte 

Hoppenbefg 

Bredelem 

'\Voltershausen 

Harsewinkel 

Weddige 

JSehleMerg 

Dornten 

Bodenwerder Kirch- 
thurm 

Armenseul 

Bodenwerder runder 
Thurm 

Knick 

Wahrberg 

Netze • 

Bodenwerder vier- 
eckiger Thurm 

Walperode 

Dalum 

Alfeld Armenkirche 

Armenseul Thurm 

Kemnade 

Lengde 

Lüntorf 

Qrtshausen 

Hehlen westlicher 
Kirchthurm ■ 

Hehlen 6stl. Kirchth. 

Münster 

Eckberg 

Beuchtum 

Alfeld 

Hehlen östlicher 
Schlossthunn 



Nr. 



(3) 
(3) 



(3) 



(3) 



(3) 



(3) 



(3) 



(3) 



(I) 



9 — 



+ südlidi 

— 51158.1 

— 51173.3 

— 51119.7 
--5 1503.1 

—51553.3 
—51769.1 

— 51960.1 

— 51060.0 

— 51187.8 

— 51188.6 

— 511964 

— 51304.1 

— 51411.9 

— 51451.9 

— 51457.4 

— 51790.1 
— 53001.6 

— 53034^ 

— 53071.1 

— 53"4.4 

— 53139.3 

— 53261.3 

— 53277.2 

— 53371.549 

— 533834 

— 53391»! 

— 53391.8 

— 53518.6 

— 53585.6 

— 53611.6 

— 53633.117 

— 53745.6 

— 54031.1 

— 54272/} 

— 54304.7 

— 54381.754 

— 54410.9 
—54498.3 

— 54603.6 

— 546264 

— 54658.6 

— 54671.013 

— 54726.1 

— 54741.1 

— 54859.8 

— 54957.7 

— 55074.5 



55093.9 
55111.7 

55117.9 

55171.3 

554184 
55430.8 

55553.1 



+ westlich 




Nr. 


-h 311064 


Hehlen westlicher 






Schlossthunn 




— 13141.8 


Königsthuim 




+ 5857-6 


Menieberg, 




+1136494 


Oreffen 




— 1177.8 


Harbamsen 


4(3) 


+ 6445.3 


Langenholzen 




34878.3 


Klein Dören 




— 31557.1 


Heissum (ungenau) 




-f 15114.8 


Rot 




+ 638.1 


Adenstedt 




+ 9671.7 


Limmer 




+ 5060.8 


Zum Sack Thurm 




18787.7 


HaHngen 


4(3) 


+ 34731.065 


Hajen 




+ 6845.1 


Rehberg 




— 15459.7 


Malum 




— ^7980.0 


Wehre 


4(3) 


+ 4705.5 


Schulenkirche 




— 44018.6 


Oödekenrode 




— 10175.6 


Hary 




— 17479.6 


Upen 


t(3) 


— 4x70.5 


Evensen 


4(1.3) 


+ 16845.5 


Duingen Thurm ' 


9 


+ 30104.3 


Heyen 


9 


— "751-5 


Bokenem lutherische 
l^irche 


4(1.3) 


+ 16676.1 


Duingen Windmühle 


9 


— 30817.7 


Otfresen 


4(3) 


— 11758.9 


Bokenem Eathhaus 


4 


9671.3 


Story 


4(1.3) 


— 68614 


Gross Ilde 


4(3) 


+ 31830430 


Eichberg 


9 


— 1148.0 


Schien 


4(1.3) 


+ 611.1 


Sellenstedt 


4(1.3) 


+ 9601.1 


Wettensen 


4(1) 


— 11177.6 


Bönnien 


4(1.3) 


+ 34051433 


Frenke 


9 


+ 11111.6 


Wallensen 


9 


— 14331.1 


Völkersheim spitser 






Thurm 


4(1.3) 


— 14310.1 


Völkersheim kuppei- 






förmiger Thurm 


4(3) 


+ 357584 


Grohnde 


9 


14846.9 


Alten Walmoden 


4(3) 


— 31191.351 


Bärenkopf 


4(1.3) 


+ 3431.7 


Wemershöhe Platz 1 


4(1) 


31917.3 


Liebenburg Thurm 


4(1-3) 


— 318984 


Liebenburg Ruine 


4^i.j) 
4(1.3) 


8315.1 


BOltum 


+ 3184.5 


Vorwerk Wemers- 






höhe 




+100890.6 


Hünenburg 




+ 1657-3 


Wemershöhe PlaU 1 


4(1) 


— 40846.8 


Schiaden Kirche 




— 41011.8 


Schiaden Amt 




— 4181.7 


Bodenburg Kirche 


4(»-3) 


— 4477.6 


Bodenburg Schloss 


4(«.3) 


+ 19534.0 


Esperde 


9 



COOBBIKATEN. 



423 



+ ifidlieh 



~55694'a 

-5573».6 

-55758.9 
-55819.2 

-55883.5 

-560634 

—560684 

-56068.8 

-56197.3 

—56101.070 

— 562314 
-56249.8 
—56319,0 
-56378.1 
-56404.9 

— 56412.5 

-56515.3 
-56538-5 

-56569.6 

— 56666.2 

— 56676.2 
-56928.3 

— 57007.3 

-57013.7 
-57032.7 

- 57a57.o 
-57833.8 

-57941.7 

— 58010.0 

— 58036.6 

-581414 

— 58161.666 

— 58153.9 

— 58318.6 

-583534 

-58363.5 
-58496.7 

— 585734 

— 58576.7 

— 58603.0 

-5877x4 
-58844.7 
-589074 

-58911.7 

— 58960.9 

— 59021.6 

— 59176.7 

— 59317.9 

— 59418.6 
-59543 .8m 

— 59589.701 
—59669.5 

— 59694-730 



+ westlich 



— 4561.0 

+ 96851.0 
+ 41102.1 

+ 333»94 

— 1989.7 

— 45480.9 

— 4030.6 

— X399.* 
+ 34850.9 

— 40982.761 
+ 17636.2 
+ 35150.8 

— 8759.5 
+ 8627.8 

— 173.8 

— 15179.5 

— 37775.5 

— 25298.6 

— 27942.8 

— 11906.9 

— 9653.1 

— 21974.3 

— 13371.3 
+ 111184 

— 337^7.7 

— 47".9 

— 29489.8 

+ 37790.9 
+ »4565.5 

+ 46588.0 

— 31973.0 
+ 40610.158 

— 40620.1 

+ 37637.7 

— 18376.7 

— 29691.1 
+ 1MS.7 

4- 811.1 
4- 14960.0 
— 16501.8 

— 5677.7 
-f- 10524.8 

— 144x8.3 

— 144x9.x 

— 14464.9 

— X4440.3 

— 45800.8 

+ 17830.3 

— 346454 
+ 40418.580 

— 28419.915 
+131x27.8 
—233408.667 



Bodenburg Kirche 
sum Schattenberg 

Bielefeld 

H&melscheburg 

Niederbörrie 

Breinum 

Homeburg 

Ostrum 

Almenstedt 

Oberbörrie 

Höheweg 

Marienhagen 

Latferde 

Upstedt 

Tafel 

Segeste 

Ringelheim katholi- 
sche Kirche 

Gielde 

Bingelheim lutheri- 
sche Kirche 

Gitter am Berge 

"W erder 

Nette 

Sehlde 

Schleveoke 

Brüggen 

Klein Mahnert 

Wehrstedt 

SaUgitter 

Kirchohsen 

Külf erster Neben- . 
platz 

Aerzen 

Gross Mahnert 

Bassberg 

Burgdorf 

Hagenohsen 

Bava am Heinberg 

Kniestedt 

Sibbesen 

Petze 

Kfllf Hauptplatz 

ELaberlah 

Söhlberg 

Reden 

Südlicher Platz bei 
Woldenberg 

Südlicher PlaU bei 
Woldenberg 

Woldenberg Ruine 

Woldenberg Thurin 

Achim 

Deilmissen 

Ohlendorf 

Ohr 

Hamberg 

Füohtrup 

Golmberg 



Nr. 



3) 

(3) 

(3) 
(3) 



(3) 
(3) 
(3) 

(3) 
(3) 
(3) 
(3) 
(3) 



(3) 



(3) 



(3) 
(3)' 



(X) 



+ südlich 


+ westlich 




Nr. 


— 59708.0 


+ 38678.4 


Tündem 


9 


—59753.9 


+ X5671.5 


Külf zweiter Neben- 




— 59808.1 


+ 14x13.8 


platz 
Salzhemmendorf 




— 59831.9 


-f 12802.1 


Banteln 




— 59847.8 


4- 8110.9 


Heinen 




— 59862.6 


— 20977.6 


Gross Heerte 


4(3) 


— 59877.6 


+ 43380.1 


Gross Berkel 




—59890.5 


+ 9865.1 


Wallenstedt 




— 60028.3 


+ 10412.9 


Ahrenfelde 




— 60261.3 


— 20484.x 


Klein Heerte 




60506.3 


4-169915.8 


AltfBnbergen 




60557.2 


+ 34100.3 


Vorenben 
Kloster Ueiningen 




— 60573.9 


— 42033.0 


ix.3) 


— 60755.7 


32297.5 


Beinum ' 


4(x.3) 


— 60777.093 


— 8729.738 


Beinberg 




— 60872.9 


— 41100.0 


Pavillon b. Heiningen 




-608834 


— 8347.3 


Platz des vomiAligen 
Söderthurms 




60909.3 


--T 11221.0 


HdLenstedt 




— 60928.3 


— 26286.7 


Steindlah 


4(3) 


— 61048.7 


+ X4967.0 


Eime 




— 61053.0 


— 373a5.» 


Klein Flöthe 


4(3) 
4(3) 


— 61067.9 


— 21897.3 


Klein Elbe 


— 61082.8 


— 14064.5 


Sottrum luthexisohe 








Kirche 


4(3) 


— 61117.7 


+ 36057.9 


Hastenback 




— 61199.0 


— 137664 


Sottrum katholische 








Kirche 


4(3) 


— 612584 


+ 6473.3 


Eizum 




— 61380.5 


+ 9380.7 


Dötzum 




— 61575.9 


+ 3413X.1 


Ofensburg Pavillon 




— 61592.1 


-}- 104841.6 


Werther 




— 61687.3 


+ X7974.3 


Esbeck 




— 61731.305 


— 38866.591 


Molandsberg 




— 61768.6 


— X9693.5 


Badekenstedt 


4(3) 


—61785.6 


+ 1336X.8 


Hemmendorf 




— 61787.1 


+ 11347.0 


Gronau kleinerThurm 




— 61797.8 


— 26777.1 


Hiüielberg 




— 61855.6 


+ xi4*3.3 


Gronau|pros8eiThurm 
Binder JJehne 




— 61911.2 


— 17141.5 




— 62088.6 


33994.6 


Flach Stöckhein klei- 








ner Thunn 




— 62111.1 


+ 30310.5 


Bisperode 




— 61177.3 


34159.3 


Flach Stöckheim 
spitzer Thurm 




— 62218.2 


— 36220.6 


Gross Flöthe 


4(3) 


— 62260.5 


— 14582.6 


Holle 




— 62272.8 


— 1634.0 


Röderhof 




— 62289.9 


+ 1145 X.O 


Leyherkirehe 




— 62382.969 


+108965.145 


Lange JSgge Theodo- 

dolühplatg 
Lange Egge Pfkhl 




— 62383.011 


+108964.367 




— 62446.5 


+ 10938.1 


Oldendorf 




— 62529.3 


— 6081.0 


Mordmühle 




— 62534.0 


— 22261.1 


Gross Elbe 


4(3) 


— 625414 


+ 8067.9 


Barfelde 




— 62576.3 


— 44676.9 


Bomum 




— 62646.1 


— 19059.9 


Calbeohte 





42A 



+ tüdlich 

— 61658.120 

— 61755.7 

— 61840.320 

— 61893.6 

— 61946.7 

— 61960.0 

— 630z 2.9 

— 63014.3 

— 63014.7 

— 63011.6 

— 63016.1 

— 63096.3 
— 63Z17.1 

— 63x79.059 

— 63180.1 

— 63304,0 

— 63487.8 

— 63505.0 

— 63510.9 

— 63515.1 

— 6351X.0 

— 63645.5 

— 63696.4 

— 63709.7 

— 63753-0 

— 63785.3 

— 63914.3 

— 63916.0 

— 64001.3 

— 64019.5 

— 64039.0 

— 64098.0 

— 6411 1.9 

— 64173.1 

— 64189.1 

— 64197.7 

~ 64431.5 

— 64499-3 

— 64501.064 

— 64657.1 

— 64664.6 

— 64747.8 

— 64830.5 

— 64910.0 

— 64951.9 

— 64990.6 

— 65x36.0 

— 65168.1 

— 65x78.9 

— 65x83.x 

— 651x1.1 

— 65118.1 

— 65317-3 

— 65317.7 
—65377.5 



+ westlich 

+ 18818.761 

+ "999»-3 

— 4739» -M» 

— X7160.7 

— 42560.x 
+IX1787.X 
— . X7164.1 

— 5164.7 

— 14571.0 

— 1811X.4 

— 6335^. 

— 13004.7 

— 188754 
+ 4x387.660 
+ »6935.5 

+133025.7 

— 42662.8 

— 33074.3 
-t- 1305-0 

— 6581.9 

— 43593.6 

— 10731.1 

— X056.8 
-h 31908.6 

— 86x1.7 

— 35054 
+ 40307.0 

+ 40338-1 

4- 301x6.x . 
+ 36536.8 
+• H368.3 

+ 9737a-4 

— X561X.6 

— 18493.x 

+ 40155.0 

— 17x06.5 

— X4819.3 

— 479»-3 
+ 36101471 

— 447x6/) 
4 539»3o 
-f 31668.3 

— 3690.4 
+ X0113.6 

4- 36166.7 

— 5oi46»x 
+ 1879.3 

— 343*5.9 

— 674.8 

— 1690a 

— 5718.3 

— 5695.x 
■fx5979X.6 
+.16995.5 
+ 836X.1 



Ith NordUehm- Platz 

BenUdorf. 

Vorherg 

Binder spitzer Thunn 

Borstedt Dorf 

RaTensberg 

Binder kleiner Thurm 

Gross Düngen 

Gustedt 

Rehne 

Klein Düngen 

Demebnrg 

Rehner Höhe 

Eiäiherg 

Sehlde 

Glandorf 

Kloster Dorstedt 

Lobmachtersen 

Dickholsen 

Heinde 

Pavillon bei Hedwigs- 
burg 

Oelper 

Söhre 

Diedersen 

Listringen 

Eggerstedt 

Hameln Bonifaoius 
Laternenthurm 

Hameln Bonifacius 
Stumpferthurm 

Bessingen 

Afferdp 

Voldagsen 

Jöllenbeck 

Ohberg bei Grastorf 

Gebhardshagen 

Hameln Marktthurm 

Wartgenstedt 

Grastorf grosser 
Thurm 

Walshausen 

Deutberg 

Kissenbrück 

Goldbeck 

Behrensen 

Itsum 

Bethein 

Rohrsen 

Remlingen 

Marienrode 

Gramme 

Barienrode 

Marienburg 

Leckstedt Schorsteinx 

Leckstedt Schorsteini 

Gr&Tcn 

Mehle 

Kloster Esoherde 



NACULA8S. 




Nr. 


+ südlich 


+ westlich 


9 


— 65480. 191 


+127013.635 


X 


— 65697.0 


+ 14113.3 


4 


— 65910.3 


+ «7054.3 


3(1) 


— 65915.1 


— 4*597.1 


4 


— 65936.0 


+ 17080.0 


5 


— 66001.353 


— 23458414 


4(3) 


— 660x8.1 


3*659.0 


3(1) 


— 66015.568 


1365947* 


4(3) 


— 66095.5 


— X9335.6 


4(3) 


— »• 66x764 


+ 869x8.3 


3(1)1 


66343.x 


133964 


4(1) 


— 66358.1 


+ 1635.0 


3 


— 66434.1 


+ 34550.7 ' 


9 


— 66543.5 


30514.8 


X 


— 66568.8 


— X64X7.3 


5 


— 66601.1 


+ 1x9089.8 


4 


— 66604.1 


— 30X.5 


4 


— 66676.5 


»3571.3 


3(1) 


— 66688.3 


- 58674 


3(1) 


1 
1 






— 66731.8 


+ 437504 


4 


— 66769.684 


-f 11564.898 


3 , ^ 


— 66906.0 


— 10981.7 


3(1) 


— 66977.7 


— 4822.0 


9 , 


— 670x2.4 


+ 47787.8 


3(1) 


— 67136.4 


41847.1 


3 


— 6714X.5 


— 8490.9 




— 67485.3 


— 34410.9 


9 


— 675504 


+ *7*3-o 


9 


— 675864 


— 27091.2 


9 

9 , ^ 


— 676x5.8 


— 3*954 


9(0 


— 6764X.6 


— 17004.1 


5 


— 67696.536 


^xx58i8.58x 


3^ ^ 


— 67865.0 


+ 15055.6 


4(1-3) 


—67883.7 


+ XO0.8 


9 , X 


— 67897.x 


— 1697 X.O 


4(3) 


— 68007.1 


— 15391.6 




— 68045.838 


+ 18422.X05 


4(3) 


— 68x05.7 


+ 7570.0 


3 


— 68151.1 


+ 458*9-7 


9 


— 68155.3 


— 9886.9 


4 


— 68100.3 


+ X9023.7 


9 


— 683x1.3 


+ "399-4 


9 


— 68422,8 


— 9950.0 


a(i) 


— 68444.5 


— 9734.8 


X 


— 68450.8 


+ 33079-173 


9 


— 68463.0 


— 9717-4 


4(3) 


— 68479.3 


+ 44x96.x 


3(1) 


— 68538.7 


— X8551.7 


4(3) 






3(1) 


— 68572.7 


— 35471 -8 


3 


— 68576,3 


+ 3i56*-9 


3(1) 


— 68607.5 


— 188x5.5 


3 

5 


— 686x8.2 


+ 388634 


X 
X 


1 —68634.7 


447.3 



Laer 

Else 

Coppenbrflgge 1833 

Ohrum 

Coppenbrügge 1827 

Lichtenberg 

Bahrum Windfahne 

Lichtenberg Ruine 

Westerlinde 

Herford 

Stuksberg 

Neuhof 

Hilligsfeld 

Gross Heerte 

Lüttem 

Dissen 

Ochtersum 

Lichtenberg Kirchth. 

Uppner Berg Oestl. 
Plats 

Wehrbergen 

OüertDald 

Osterlinde 

Uppner Berg 

Hehmeringen 

Bungenstedter Thurm 

Wendhaoaen 

Lein de 

Finkenberg 

Salder kleiner spitser 
Thurm auf Schie- 
ferdach 

Spitxhut 

Salder Kuppelthuzm 

Magdeburg 

Sorsum 

Lucienvörde 

Salder Ziegelthurm 

Bruchmachtersen 

Ruhbrink 

Escherderberg 

Lachern 

Otbergen Platz 3 

Wülfinghausen 

Burgsteixunen 

Otbergen Platz 2 

Otbergen Capelle 

Hasperde 

Otbergen Platz x 

Fischbeck 

Burgdorf kleiner 
Thurm 

Adersheim 

Hohnsen 

Burgdorf grosser 
Thurm 

Holtensen 

Hildesheim Gode- 
hard i 



Nr. 

5 

X 

9 

4 
I 



4(3) 

I 

3 
5 

X 

3 
9 

4(1.3) 

4(3) 

5 

3(0 
I 

3 
9 
9 

3 

I 

9 

4 

3 

4 
I 



3(0 
3 

9 
I 

9 

X 



X 
X 

I 

9 
I 

9 



3 
4 
9 

3 
9 



(3) 



COOBDINATEN. 



426 



+ südlich 


+ weBtUch 




Nr. 


— 68644.0 


— 494.6 


Hildesheim Gode- 








hard 2 


X 


— 6S648.5 


— 448.2 


Hildesheim Gode- 








hard 3 




— 6S66a.5 


+ 33900.6 


Quatrebras 




— 68764.2 


— 12674.6 


Wohle 




— 68818.7 


+ "".5 


Moritzberg 




— 68825.9 


+ 4168.8 


Sorsum 




— 68864.5 


— 787.1 


Uildesheim Lambert! 




- 68891.2 


+106297.2 


Neuenkirchen 




— 68904.4 


+ 11958.0 


Poppenburg 




— 68975.» 


+ 153964 


Vime 


« % 


— 68978.6 


— 31830.4 


Watenstedt 


4(1.3) 


— 68991.6 


+ 94604.5 


Enger 




— 69022.0 


+ 28142.9 


Brüningshausen 




— 69025.9 


— 4386.6 


Achtum 




— 69206.0 


+ 10006.5 


Malerten 




— 69299.4 


— 9741.9 


Otbergen 




69319.1 


— 502.6 


Hildesheim Andreas 




— 69320.0 


— 17099.6 


Nordassel 




— 69375.1 


+ 13581.3 


Wülfingen 




— 69406.494 


— 47208.6x8 


Fe8tberg 




69462.9 


— 66.7 


Uildesheim Michael 




69545.7 


— 560.2 


Hildesheim JTacobi 




— 69579.x 


+ 99906.853 


Spenge 




— 69624.5 


+ 48111.4 


Fühlen 




— 69750.5 


+ 6568.4 


Gross Escherde 




- 69850.5 


— 29933.2 


Hallendorf 


4(».3) 


— 70004.9 


+ 34665.5 


Flegessen 




— 70068.0 


+ "3999 


Nordstemmen 




— 70143.8 


+ 102592.2 


Wallenbrück 




— 70311.1 


+ 7175.9 


Klein Escherde 




— 70311.7 


+ "3*4 


Himmelthür grosser 








Thurm 




— 70358.3 


— 146394 


Nettlingen 


Iw 


— 70426.7 


+ 44936.0 


Weibeck 




— 70458.7 


— 21600.1 


Lesse 




— 70471.967 


+129345.908 


Glane 




— 70627.8 


40664.7 


Wolfenbüttel Later- 








nenthurm 


4(«.3) 


— 70637.2 


— 40707.5 


Wolfenbüttel kleiner 








Thurm 


3 


— 70638.570 


+ 37481488 


Süntel 


9 


—70644.1 


+ 31814.77 


Hachmühlen 


9 


— 70665.6 


— 8437.1 


Dinklar 


I 


—70670.5 


— 37106.7 


Fümmelse 


4(3) 


— 70691.8 


— 4876.9 


Einum 


1 


— 70713.3 


— 40211.8 


Wolfenbüttel Schloss- 








thurm 


3 


— 70727^0 


+ 16x63.6 


Alferde 


1 


— 70824.1 


+ 1792.2 


Himmelsthür kleiner 








Thurm 


1 


— 70850.1 


+ 4930.8 


Emmerke 


1 


— 70875.110 


+ 27508.768 


AUenhagen 


9,^ 


— 70927.3 


— 18659.0 


Beme 


3(1) 


— 71007.740 


— 176238.296 


Hagelsberg 


I 


—7x111.7 


— 10x84.5 


Farmsen 


I 


— 7x136.2 

— 7x266.8 


— 175 XOÄ 

+ "03.7 


Berelberg 
Steuerwald kl. Thurm 


3 

X 



+ südlich 



— 71279.6 

— 71364.9 

— 71399.9 

— 714504 

— 7x4904 

— 715174 
—71533.6 

— 71544.7 

— 71581.3 

— 71591.122 

— 71642.9 

— 71710.706 

—717174 

— 71727.826 

— 71770.1 

— 717794 

— 7x814.7 

— 71933.0 

— 71937.9 

— 72001.5 

— 72027.3 

— 72028.6 

— 72040.7 

— 72059.9 

—72143.7 

— 72190.3 
— 722074 

— 72218.9 

— 72520.6 

— 72626.9 

— 72752.2 

— 72840.4 

— 71905.5 • 

— 73024.7 

— 73198.6 

— 73276.6 

— 73288.8 

— 734x1.7 

— 73509.5 

— 735x3.5 

— 73622.6 

— 73683.667 

— 73683.735 

— 73683.920 

— 73706.736 

— 738114 

— 73906.356 

— 73999.8 
— 74050.2 

— 74079Ä 



+ westlich 



+ 1032.7 

■f 458414 

+ 475x0.5 
+ 114740.7 

+ 19358.6 
+ 62146.3 

— 28339.2 
+ 62143.7 

— 6608.2 
+129889.158 
+ 3292. 1 
+130051.530 

— 12878.5 
+130^90.647 

— 3220.0 

+ 90749.0 
+100875.6 

— 24984.3 

+ 5x314.3 

— X0821.0 

f 65446.9 
+ 54x04.x 

— 39288.3 

— 13064.5 

+ 57680.2 

— 31646.3 
+ 14602.0 

— 15441.4 

— 20148.7 

— 8966.8 

— X0839.0 
+ 8997.4 

— 16896.7 

— 32599.2 

— 4226.2 

— 19840.1 

— 23308.4 

— 17514.9 
+ 47103.8 

— 26150.2 

+ 589x0.7 
+129245.777 

+129245.868 
+129245.965 

+104419.963 

— 32115.8 
+129809.92 
+ X1179.7 

— 1752.6 

— 6110.4 



IV. 



Steuerwald grosser 
Thurm 

Krückeberg 

Oldendorf 

Wellingholthauaen 

Eidagsen 

MöUenbeck südl. 

Engelnstedt 

Möllenbeck westl. 

Betmar 

Iburg Kirohe 

Osterberg 

Iburg Schloss spitser 
Thurm 

Dingelbe grosser 
Thurm 

Iburg Schiost stum- 
pfer Thurm 

BaTenstedt 

Hiddenhausen 

Kirohhogel 

Repner 

Wieden 

Kleiner Thurm auf 
langem Gebäude 

Yarenholz 

Hohenrode 

Gross Stöckheim 

Dingelbe kleiner 
Thurm 

Exten 

Blekenstedt 

Adensen 

Bettrum 

bei der Söhlder Wind- 
mühle 

Kemme 

Schellerten 

Rössing 

Klein Himstedt 

Beddingen 

Hönersum 

Sehlde 

Barbke 

Gross Himstedt 

Segelhorst 

Broistedt 

Rinteln 

Dörenberg Centrum 

IMfrenberg PlaU x 
Juniu8 1829 

D&renberg PlaU 2 
Augu$t 1829 

Riemsloh 

Sauingen 

Dömberg Nebenplats 

Schulenburg 

Asel 

Maohtsum 

63 



Nr. 



(i) 



9 
9 
5 

X 

9 
3 
9 

X 

5 

X 

5 

X 

5 

1 

5 

5 
1 

9 

X 

9 
9 
3 



1 
4(»-3) 

5w 



3 

1 

X 
X 

3 

3 

1 



(I) 

(0 



':! 



( 



3 
3 
9 
3 
9 
6(5) 

6(5) 

6(5) 
5 

4(x.3) 

5 

1 

X 
X 



n 



426 



+ sadlieh 



+ westlich 



— 74x22.9 


— 36281.0 


— 74a9o-8 


+ *584.3 


— 74309.5 


+ 1716.4 


— 74531.8 


4- 3*780.3 


—74544.» 


+ 3330.0 


— 74665.8 


13855.2 


— 74984.3 


— 31993.5 


— 75025.8 


— 24882.1 


— 75041.7 


+ 8600.0 


— 7509a.* 


+ 50649.4 


-^5103.4 


-|-x»0233.i 


75178.3 


+ 50685.5 


75255.0 


"535.5 


— 75270.* 


+ 53063.4 


75312.4 


+ 930999 


— 75340.6 


4- 56x92.1 


— 75408.9 


4- 8902X.5 


— 75416.8 


X5522.4 


— 75417.2 


— 4706.6 


— 754*7.470 


+ 50454.707 


—75428.8 


— 22854.8 


— 75431.0 


— 1420.7 


— 75445.3 


— 50970.1 


- 75491.9 


+ **73.7 


— 75613.5 


+ 26544.0 


— 75654.5 


— X58X8.4 


— 75928.6 


+ 37830.6 


— 75965.7 


— 358x2.0 


— 76057.0 


— 8663.2 


-76187.6 


+109702.4 


— 762x3.1 


+109793.9 


— 76333.0 


+ 7489.8 


— 76336.5 


+ X0274.3 


— 76356.0 


+ X082.2 


— 76400.8 


-|-x25o8x.x 


—76416.4 


+ 16239.4 


— 76487.6 


— 18838.8 


76532.6 


— 28880.8 


-76591.4 


+ 33401.2 


— 768x7.2 


5*489.6 


— 76942.0 


+ 5079.5 


— 76979.0 


— 62x0.1 


— 77114.3 


— 23977.8 


— 77x19.2 


+128344.5 


— 77199.9 


+1x4167.6 


— 77337.4 


+ 61028.8 


— 77402.1 


+ 61163.8 


77442.6 


— 20680.3 


— 77495-9 


+ 38437.5 


— 77498.1 


— 38360.4 


— 77621.8 


— 12508.5 


—77629.4 


+13X49X.2 


- 77699.9 


- 35174.0 


— 77818.2 


— 26843.0 



Steterburg 

Klein Giesen 

Hasede 

Münder 

Gross Giesen 

Feldbergen 

Ufingen 

Lengde 

Bamte 

Schaumburg sfldl. 

Borgloh 

Schaumburg nordl. 

Garmsen 

Deckbergen 

Bünde 

Steinbergen 

Kirchlokningen 

Platz bei Hoheneg- 

gelsen 
Borsum 
Pagenburg 
Woltwiese 
Harsum 
Lucklum 
Gross Forste 
Springe 

Hoheneggelsen 
Backede 
Geitelde 
Adlum 
Melle lutheriflcheKir- 

che langer Thurm 
Melle kathollBcheKir- 

che dicker Thurm 
Giften 
Jeinsen 
Klein Forste 
Kloster Oesede 
Gestorf 
Steinbrück 
Fallstedt 
Nettelrode 
Pavillon bei Luoklum 
Ahrbergen 
Rutenberg 
Klein Lafferde 
Oesede 
Gesmold 
Luhdener Klippe 

Baum I 
Luhdener Klippe 

Baum 2 
Gross Lafferde 
Beber 
Rüningen 
Oedlum 
Weisser Thurm 
Stidium 
Boenstedt 



NACHLAM. 




Nr. 


+ südlich 


+ westlich 


— 78080.8 


— 52065.0 




78237.8 


+101244.2 




— 78374.7 


+ 6059.1 




78478.377 


+ 23444.173 




— 785x9.4 


+ 35493.5 




78594.4 


+120057.5 


3(0 
3(1) 


— 78688.3 


— 36631.0 


— 78737.6 


+ 20872.0 




— 788x0.5 


+ 8400.7 




—78897.0 


+ 18699.9 




— 78928.0 


+ 45*ox-3 




—78939.5 


+ 50270.6 




— 79006.5 


— 31898.1 




— 79068.1 


— 34799.* 




—79075.6 


+145546.5 




— 79354.0 


+ S"3.8 




— 79388.5 


— 7926.3 




— 79402.1 


+ 188264.2 




79471.5 


+ 14310.3 




79525.6 


— 1x756.4 




— 79600.0 


— 269x6.x 




797H.4 


X8939.4 




— 79963.2 


+ 7359-7 


4(3) 


79993584 


+ 29649.753 




— 80024.9 


+ 89777.5 




— 80042.7 


59652.8 




— 80080.3 


— 562X.0 




— 80083.2 


— 59506.0 


3(') 


— 80338.3 


— 484x8.2 




— 80357.482 


+ 7x876.003 




— 80360.0 


+ 71875.0 




— 80405.7 


53445.6 




— 804x5.0 


— X392.6 




— 8043X.6 


— 65x0.3 




— 80479.4 


+ 39776.1 




— 80577.8 


X5X95.8 




— 80637.5 


— 1956.1 




— 80664.547 


+ X8507.396 


g \ 


— 80750.7 


— 2x069.x 


3 (0 


— 80865.6 


— X9680.2 


* V 


80937.4 


— 3*015.3 


4(».3) 


— 80950. X 


— 7668.9 


y \ 


— 80986.3 


+ *47*.9 


3 (0 


— 81012.2 


22595.6 




— 81083.9 


+ 6292.4 




— 81121.3 


+105 180. 1 




— 81x58.3 


— 8221. X 




— 81304.9 


— 26382.0 




— 81514.5 


— 39768.2 


— 81586.7 


— 29565.3 


— 81595.9 


— 3905*.6 


4 ^i) 


— 81636.3 


— 2983X.0 


lU 


— 8x647.4 


— 182x9.3 



Nr. 



Heinkenrode 

Westkilver 

Sarstedt 

Deuter X822 

Einbeckhausen 

Holte 

Broizen 

Deister Glashütte 

Schliekum 

Bennigsen 

Hattendorf 

Katharinenhagen 

Sonnenberg 

Timmerlah 

Teklenbuig 

Kiphut 

Sosmar 

Ochtrup 

Hüpeden 

Bierbergen 

Liedingen 

Gadenstedt 

Ruthe 

Deister X833 

Quemheim 

Königslutter Schloss 

Clauen 

Königslutter 1827 

Kremling 

TFittekindeiem 

mtUkindstem 1829 

Appenrode 

Klein Algermissen 

Windmüme bei 
Clauen Plats x 

Hülsede 

Adenstedt 

Algermissen 

Lüdersen 

Obergen' 

Galgenberg 

Denstorf 

Platz 2 bei Hohenha- 
mein 

Hottein 

Münstedt 

Qeisede 

Buer 

Hohenhameln 

Betmar 

Braunschweig Aegi- 
dius 

Vech'elde schwaner 
Thurm 

Braunschweig Mi- 
chaelis 

Vechelde Laternen- 
thurm 

Oelsburg 



(«) 



9 
9 



(i 



:i 



(0 



(3) 



W 



COOBDIKATEN. 



427 



+ südlich 


-f westlich 




Nr. 


— 81803.x 


+ 60752/) 


Bflckeburg 




— 8x8x1.0 


— 39H5-0 


Braunschweig Mar- 
tini X 




—8x824.8 


— 39143-0 


Braunschweig Mar- 
tini 1 




— 818254 


+ 11533-0 


Pattensen 




—81832.8 


-I-XO0040.9 


Rödingshausen 




— 818514 


— 16840.6 


Gross Balten 




—81870.8 


— 1x510.x 


Lohberg 




— 81919.0 


+ 1XXXX.8 


Potholtensen 




— 81938.1 


— X8039.3 


Gerstenfeld bei Oels- 

burg 
Gross Ilsede 




— 82076.3 


— x8849/> 




—8221 1.9 


— X567X.X 


Haßkamp 




— 82215.981 


— 39XX7.XX2 


Braunschweig Petrus 




— 82382.0 


— 7318.8 


Harber 




— 8H17.63» 


— 39390.457 


Braunschweig An- 
dreas 




- 8H96.9 


+ 7053-5 


Gleidingen 




-82535.5 


— "497-1 


Stedum 




— 82546.0 


— «3556.5 


Klein Solschen 




-82554.6 


— 18639.3 


Wähle 




-82595.9 


— 14369.1 


Gross Solschen 




-82597.1 


— 36956.1 


Lehndorf 




-82615.339 


+ 99911-177 


Nonnenstein 


6(5) 


—82621.8 


— 4869/} 


Gross Lopke 




—82626.0 


+ X18X.3 


Bledelem 




— 82730.6 


+1755864 


Neuenkirchen 




- 827464 


— 554.5 


Lühnde 




—82750.3 


339x9.6 


Lamme 


^ % 


—82786.3 


— 16685.1 


Sierse 


3(0 


-82793.8 


+ 55670.0 


Obemkirchen 




-82944.2 


+ 79791.3 


Bergkirchen 


* % 


— 82985.2 


— 31038.9 


Weddenstedt 


3 w 


- 830174 


+ 15179-6 


Wennigsen 




— 83186.7 


— 13515.9 


Schmedenstedt 




- 832464 


— X7457.4 


Klein Bülten 




- «3393-4 


+ 1001.9 


Platz bei Ing^ln 




— 83521.1 


— 10x034 


Vossberg 




- 83632.7 


+ 3991-8 


Oesselse 




— 83649.6 


+ i574*-6 


Hiddesdorf 




— 83830,6 


— 113 X.O 


Ummein 




— 84179.9 


— X9476.6 


Klein Ilsede 




-84238.9 


+X19X08.8 


Osnabrück Johannis 




-84551-3 


4-119709.0 


Osnabrück Kathari- 

nAn 




— 84625.2 


+ 1005.7 


uvu 

Wehminger Bei^ 




-84729.7 


+ 54059-9 


Sülbeck 




-84771.8 


-f- 90601.1 


Wurzelbrink 




— 84861.9 


+«38359.0 


Lotte 




—.850164 


+ X19567.5 


Osnabrück Dom 




-850444 


+ 1367.6 


Müllingen 




— 85048.x 


1x756.5 


Equord 




— 85067.1 


+X19758.1 


Osnabrück Mariae 




-«5153-3 


— X8180.8 


Handorf 




-85193/) 


+ 1x6045.6 


Schiedehausen 




— 8510X.8 


— 187.9 


Bolzum 




-85303.7 


— 3x488.8 


Bortfeld 




— 8s4ax.6 


+X613X6.8 


Beyergen 





+ südlich 

— 85503.8 
-85515.x 

— 85564.5 

— 85567.9 

— 8561X.5 

— 85687.0 
—85880.6 

— 85961.8 

— 86036.960 

— 86189.0 
-86457.3 
-86488.8 
—86564.7 

— 86794.1 

— 86841.6 
-870x54 

— 87078.8 

-87XH.5 
-87311.8 

-873424 

— 87354.x 

— 87374.0 
-875x94 

-87558.4 

— 87636.3 

-87763.5 

— 87808.9 

— 87910.9 

— 879744 

— 88108.7 
—883x9.0 

— 88314.1 

— 88335.6 

— 8840X.1 
-88438.3 
-88587.5 

-88684.7 

— 88701.6 

— 88763.129 

-88944.9 
-88994.9 



— 890x5.8 



89033.5 
89x56.1 

89185.0 

89311.1 

89319.0 

8937X.6 

89459.7 



+ westlich 



— 1141X.X 

+ 70103.9 

+ 556.7 

+ 1777.3 
-f 144710.3 

+"9343-8 
-|- 971X.0 

— X5514.1 
— 164506.54X 

— 10338.8 

— 15306.x 
+X70918.6 

— 7"4.4 

— X440X.6 

+ 90366.3 

— X583.3 

+183693.5 
+ 93819.7 

4 X1504.0 
— 4XX6.1 

+ 13311.7 
+ 39911-0 
+X119854 

+ 10757.3 
+X11963.0 

+X03055.X 

+ 19509*1 
+ 775-4 

— 73354 

— 47086.3 

— "995-3 

— 19387-3 

+1x5538.9 

+"7913.9 

— 193x6.8 

— 19035.8 

— 14146.7 
+ 50109.35 

+193445.746 

— 308x6.1 

+ 50365.1 



+ 50408.6 



-j- 17x05.6 
+ 643X.9 
+X09381.8 
+X3647X.6 
+X06969.X 
— 11803.5 
+1409x4.9 



Dungelbeok 


^ 


Minden 




Wehmingen 




Wirringen 




Schorstein einer 




Dampfmaschine 




Gertrudenberg 




Grasdorf 




Rosenthal 




Colberg 




Mehrum 




Woltorf 




Rheina . 




Haimar 




Schwichelde 


3(1) 


Lübke 




Sehnde 




Ohne 




Blasheim 




Wilkenburg 




Rethmar 




Gehrden 




Rodenberg 




Bellm lu^eiische 




Kurche 




Lätzen 




Bellm katholische 




Kirche 




Lintorf 




Rönneberg 




Wassel 




Dolgen 




Wendhausen 




Buchholz 




Peine lutherische 




Kirche 




Osheide 


^ » 


Wulfter Berg 




Peine Rathhans 




Peine katholische 




Kirche 




Dickensberg 




Stadthagen Kirch- 




thurm 




Gildehaus 




Wendeburg 




Stadthagen Stadt- 




mauer niedriger 




Thurm 


9 


Stadthagen Stadt- 




mauer höherer 




Thurm 


9 


Wetbergen 




Wulferode 




Essen 




Werse 




Wiüage 




Essinghausen 


S 


Westeroappeln 


S 



Nr. 



428 

-f aadlieh 

— 89560.728 

— 89560.758 

— 89573.9 

— 89583.9 

— 89734.71a 

— 89755454 

— 89755-6" 

— 89758.066 

— 89763.306 

— 898x1.6 

— 89839.9 

— 89907.5 

— 900333 

— 90476.4 

— 90570.0 

— 90719.5 

— 90751.9 

— 90770.5 

— 90834.6 

— 90854.3 

— 90917.3 
— 90952.8 

— 9105 1.3 

— 91x94.8 

— 9X2XX.7 

— 9^354-7 

— 91375-9 

— 91426.2 

—9x493.725 

— 9I497-» 

— 91508.2 

— 91610.2 

— 9x690.9 

— 9x789.2 

— 92x29.800 
— 92x92.7 

— 92367.3 

— 92401.7 

— 92684430 

— 927x3.7 

— 92792.6 

— 92877.0 

— 93159.9 
—93255.9 
—93393.9 

— 93577.384 

— 93657.5 

— 93670.» 



-|- westlich 

+13x365.875 
+X3X366.444 

+189980.8 

— 25303.0 
+190107.058 

+X900X8.902 

+X90021.633 

+190025.198 

+190019.671 

+189988.9 

— 19418.3 

+ 38565.3 

— 6732.5 
+XX2820.6 

— X6536.4 

— »1797.9 

+ 54131.5 

— 1x833.9 

+ 94445.» 

— 24x39.6 

+ 9394 

— 18646.9 s 

— 281x4.2 

— 25638.5 
+ 6027.7 

— 20878-4 

— 28x49.6 

+ 3339.5 
+205560.580 

+X28772.0 

+128779.6 
+176906.5 
+185452.3 

— 33477.» 
— 2x6004.904 
+x 17077.0 
+ 7938.8 
+166096.0 
+XX7034.929 

+x 17x96.2 

+ 22724 
+ 44892.x 

+X3X350.6 

+ X4658.0 

+ »5593.3 

+ X3880.0XO 

— 269x4 
+120495.3 



Piesherg Pfakl 

Piesberg Theodolith- 
platz 

Bentheim Kirche 

Platz bei Meerdorf 

Bentheim südlicher . 
Schlossthurm 

Bentheim Theodolith- 
platz 2 

Bentheim Theodolith- 
platz 3 

Bentheim Signal Cen- 
trum 

Bentheim Theodolith- 
platz z 

Bentheim nordlicher 
Schlossthurm 

Herzberg 

Nenndorf 

Leyerberg 

Stirperberg 

Vöhrum 

Platz bei der Stedder 
dorfer WindmOhle 

Meerbeck 

Springberg 

Alswede 

Duddenstedt 

Ilten 

Zwergberg 

Bieper 

Meerdorf 

Ejronsberg Platz 1 

Stedderdorf 

Bieperberg 

Höver 

Oldenzaal 

Kloster Bulle niedri- 
ger Thurm 

Kloster Bulle 

Salzbergen 

Schattorf 

Gross Schwülper 

Eichberg 

Ostercappeln 

Kirchrode 

Dreierwolde 

bei der Capelle Theo- 
dolithplatz 1829 

Capelle bei Ostercap- 
peln 

Ahlten 

Lindhorst 

Wallenhorst Capelle 

Waterloos&ule 

Kirchwehren 

Hannover Aegidius 

Lehrte 

Drihauser Berg 



NACHLASS. 




Nr. 


+ sadlich 


+ westlich 


5 


— 9376».8 


+Z3Z269.9 


g 


— 93770.025 

* 


+ Z46Z6.897 


3 
5 


— 93783.9 


+ 38874.Z 


3 


- 93838.358 


+. Z4Z54.248 


6(5) 


— 93898.7 


+Z2ZZ29.9 




— 940Z8.633 


+ Z4332.268 


Ms) 








— 94iao.8 


— Z27904 


6(5) 


— 94207.7 


+Z34923.0 




— 942964 


36718.9 


6(S) 


94571» 


— 16069.7 


6(5) 


94595.3 


+ZZZ022.8 




— 945974 


— Z6141.5 


6(5) 






3 


— 94622.2 


— 16075.8 


9 
3 


94734.9 


34536.1 


6 


— 9495».9 


— 16228.5 


3 


— 95053.5 


409504 




95i»».8 


— 32089^ 


3 


95x63.7 


+Z01402.6 


9 


— 95315.» 


— 10703.8 


3 


95422.9 


+ 56073.5 


5 


— 95438.3 


156514 


z 


95460.3 


5673.3 


X 


95548.8 


— 21728.5 


3 


95671.7 


+129586.2 


3 


— 95776,6 


+151488.3 


z 
1 


— 95866.8 


+130369.2 


z 


— 95922.7 


+151559.6 


3 


— 96115.9 


I375S.8 


z 


— 96230.6 


+131346.2 


5 


963574 


— 8225.2 




— 96454.» 


— 18057.7 


6 


— 96486.7 


+ 46075.7 


5 


96572.5 


— 12228.2 


5 


— 96668.3 


— 18005.6 


5 


— 96669.0 


— 17989.2 


3 


— 96744.0 


+ »3593-5 


z 


96753.2 


+ 46136.9 


5 


— 96818.7 


+X20838.5 


z 


97173.8 


+128066.4 


5 


— 97660.Z 


— X6530.8 




— 97665.0 


+X592X9.1 


5(6) 


— 97870.6 


— 29x1.6 




— 98062.3 


+X24221.4 


5 


— 98222.0 


— 200023.2 


z 


98425.7 


+ 9814.5 


9 


— 98437.8 


— 31Z92.X 


6 


— 98583.0 


— 50666.8 


zz 


— 98620.8 


— X9098.7 


z 


98624.3 


+ 46562.2 


l(") 






z 


— 98626.2 


+ 465624 


6 







Wallenhont Kirche 


6 


Hannover Neu8t&dter 




Thurm 


z 


Hohenhorst 


9 


Hannover Markt- 




thurm 


z 


Vennerberg 


6 


Hannover Kreuz- 




thurm 


z 


Sievershausen 


3 


Weisse Windmtihle 


6 


Bethen 


3 


Abbensen Thurm am 




Wohnhause 


3 


Bohmte 


5 


Abbensen Tauben- 




haus 


3 


Abbensen Thurm mit 




Glocke 


3 


Adenbüttel 


3 


Abbensen Dorfthurm 


3 


Meine 


3 


Katzberg 


3 


Levern 


5 


Arpke 


3 


Wiedensahl 


9 


Oehlerse 


3 


Immenser Berg 


3 


Edemissen 


z 


Lange Egge I 


6 


Becke stumpfer 




Thurm 


5 


Lange Egge U 


6 


Becke spitzer Thurm 


5 


Flietsheide 


3 


Lange Egge III 


6 


Immensen 


3 


Viesenberg Platz i 


3 


Sachsenhagen Schloss 


9 


Einzelne Eiche 


3 


Viesenberg Platz 2 


3 


Viesenberg Platz 3 


3 


Seelze 


X 


Sachsenhagen Kirche 


9 


Venne 


6 


Engter 


5 


Dolbergen 


3 


Hopsten 


5 


Steinwedel 


I 


Kalkrieserbezg 


6 


Denenkamp 


5 


Bothfeld 


z 


Hillerse 


3 


Sülfeld 


7 


Eddesse 


3 


Bergkirchen Thurm 




1838 


zz 


Bergkirchen Thurm 




1833 


9 



Nr. 



COOBDIMATEN. 



429 



4- ladlieh 



.54* 



99061. 

99117.7 

99166.3 

99103 
99171.1 

99336.399 
99656.6 



.760 



- 9966O.Z 

-9999«-7 

-100048.3 
-XO0048.5 

-1003514 
-X00464.0 

-1006x8.4 

-X00715.3 

-X0X006.6 
-X01201.8 
-10x343.6 

-10135 X. 8 
-101384.6 
-X014504 
-10Z480.6 
-10x678.5 
-101738.8 
-101954.1 
-1021Q4.6 
-101166.1 
-101111.7 
-101155.3 
-X014914 

-X01581.8 
-1017I4.O 

-101753.119 

-X01753.813 

-101905.0 

-103064.8 

-103398.3 

1035574 

-103611.0 

-103663.5 

1036994 

103803.9 

-103865.3 

104119.7 

104378.5 
X04479.1 

105070.3 

105174.0 

105515.0 

X05604.9 

105685.7 

«05773-5 
IV. 



4- westlich 



+ .4744X.676 
-|- 46119.0 

— 39800.9 

— 51681.661 

+ 63557.7 

+ 39355-304 
•4-161181.3 

-1-133576.0 
+ 3495X.7 

-^ 348ii.a 

+ 34«"-4 
-f- 19671.6 

-{-191185.1 

— 384844 
4-1617164 

-(-1136814 

— 43147.3 
-I-X43187.8 

— 33666.8 
■f 40669.5 

— 490.5 
-f- 90408.0 

— 58*53.3 
+ 17639.0 

+ «978.1 

— 433».3 

4-107151.6 

+ 19578.6 

+ «3763.9 
4-113348.0 

+ 149435.« 
+««3399.3 

— 31555.355 

— 31556.860 

-f- 108591.0 

+ 53850.15 

— 5*74.8 

4-130591.7 
4-113131.8 
4- 14613.0 
4- 8605.1 
-j- 166140.6 

+ 74367.9 

— «7797«o 

-1-140567.9 
4- 69998.1 

-f 195116.0 

+ 3839.7 
+ 48535.9 

— 1759« -3 
4-106390.9 

1 -f- 116636.7 



Bergkirehen Signal 

P 
Rötgerabflttel 
Fallersleben 
Windheixn 
Tienberg 
Schapen katholische 

Kirche 
Bramsche 
Wunstorf Markt- 

thorm 
Wunstorf Stift 1833 
Wunstorf Stift 2838 
Ricklingen 
Brandlecht 
Bibbesbattel 
Schapen reformirte 

Kirche 
Barenau 
Isenbattel 
Neuenkirchen im 

Halsen 
Leiferde 
Altenhagen 
MoormOhle 
Rahden 
Wolfsburg 
Horst 
Kirchhorst 
Burgdorf 
Otmarsum 
Engelbostel 
Langenhagen 
Hunteburg stumpfer 

Thurm 
Voltlage 
Hunteburg spitzer 

Thurm 
WolenbergPostament 
Wolenberg Signal 
Dielingen 
Loccum 
Windmahle bei Sor- 

gensen 
Malgarten 
Streithorst 
Osterwald 
Isernhagen 
Beesten 
Warmsen 
Otze 
Uffeln 

Jenhorst Pfahl 
Nordhorn 
Windmühle 
Rehburg 

Meinersen Th« C. 
Lemförde 
Bemhardshöhe 



Nr. 

9 

I 

7 
7 
9 
9 



(«) 



(«) 



(5) 



(«) 



(«) 



(5) 
(«) 



4- südlich 


+ westlich 




— 106181.5 


+ 70773.9 


Uchterhöfen Pfahl 


—106335.1 


+175109.6 


Bramsche bei Freren 


— 1065x7.9 


4-X1587X.9 


Vörden Windmahle 


— 106610.6 


+ 7«759.» 


Helsinghausen Pfahl 


— X06919.111 


—134191.161 


Mariendorf 


—106956.534 


— 40946.784 


Oifhorn Kirchthurm 


—107044.0 


+197350.3 


V/OUUUIU 

Frenswegen 
Oifhorn Schlossthurm 


— 107079.1 


41091.9 


— X07147.6 


+ 5943.9 


Burgwedel 
Vörden Thurm 


— 107111.3 


4-115571.X 


— 107346.6 


+168606.0 


Messingen 


—107384.3 


— 14703.1 


Paese 


—107575.0 


+143518.1 


Merzen 


— 108415.9 


+ 70005.7 


Uchter Lohmühle 


— 108641.3 


+ 64996.5 


Nenndorf 


—1086664 

1 


+ 31689.1 


Neustadt am Raben- 
berge X838 


— X08667.3 


+ 31687.5 


Neustadt am Rüben - 






berge X833 


—108981.6 


+ 56310.3 


Leese 


109x19.937 


+ 639.143 


Oiierberg 


— 109181.9 


+ «4x9.5 


Wetmar 


-X09406.9 


+ 161971,8 


Freren 


— X09488.0 


4-130175.8 


Lage kleiner Thurm 
X830 


— 109488.0 


+130x534 


Lage X819 


—109583.8 


— 563.5 


Windmühle 


— 109658.6 


4- 59114.8 


Stolzenau 


— X09868.X 


-|- 1167.6 


Windmühle bei Wet- 


X09966.5 


4-X35X71.» 


mar 
Alfhausen 


—1099804 


4- 70x49.0 


Richteberg 


— 110141.0 


-|-xo6x88.5 


Burlage 


— 110153.6 


— 189584 


Diekhorst 


— 110778.3 


4- X1605.7 


Bissendorf 


—110788.347 


4-115065.975 


Favilhn bei Neum- 
kirchen TheodoUih 


—110790.531 


+x 15061.319 


Pavillon Centrum 


— 110936.X 


+ «66534.3 


Thuine 


— XX0950.9 


+X17330.X 


Neuenkirchen bei 
Vörden 


— XX1010.X99 


— 56*85434 


Barwede Postament 


— 1XX01X.385 


— 56185.345 


Barwede Signal 


— 111013.7 


— 18107.8 


Müden 


— iii397X> 


4- 78x11.1 


Eikloh Pfahl 


—111666.5 


+ 78793.6 


Eikloh Baum-Brftati- 
gam 


—1x1870.8 


+"8455-6 


T)amme 


— ixx987x> 


4-107468.6 


Ulsen 


— 111069.6 


4-1011x9.3 


Neuenhaus 


— XXI17X.8 


4- 6944X.1 


Holloh bei Menaing- 
hausen Pfahl 


—1x1189.1 


+X54098.0 


Fürstenau 


— XXH59.9 


+179737.3 


Schepsdorf 


— XX1516435 


4- x5*3»-945 


KßbenplaU 1838 i 


— XX1875.0 


+ 79503.0 


Hesploh Birke 


— xxi944X)89 


+165495.83« 


fVmdmMhUnberg Sig- 
nal 



Nr. 



(!) 

6(5?) 
(3) 



(!) 



(S) 



(i?) 



64 



430 



KACHLASS. 



-f südlich 



+ westlich 



— HX944.658 


+165497.349 


— II3202.8 


+ Ha77-4 


— "3371-593 


+ 7"93-738 


— Z13697.2 


4-200133.9 


"3738.3 


+190625.1 


— 113758.1 


+ 29750.8 


113844-» 


+178279.1 


— 113896.884 


+ 14817.4 


— 113953.1 


+ 178321.0 


— 114112.108 


+ 37726.256 


— 114187.5 


+ 17719-4 


— 1 14422.0 


23437.1 


114471.910 


—234565.453 


— 114573.8 


+ 92176.4 


— 114710.274 


+ 148300.731 


— 114710.41 1 


+ 148300.682 


— 114734.3 


-h 30933-7 


— 114774.280 


—137851.779 


— 114870.1 


+ 140665.7 


— 114958.» 


+ 77001.8 


— 114972.020 


-j- 39208.036 


— 114993-0 


+ 55863.0 


— 115363.335 


+117156.496 


— 115363.486 


+117156.525 


— 115384.4 


+ 69641.2 


— Z15709.8 


+ 46866.2 


— 115788.555 


—234068.597 


— 116012.317 


—235099.772 


116093.9 


+135147.9 


— Z16165.4 


+ 148860.4 


— 116248.1 


+ 61415.6 


— 116274.663 


+ 17860.071 


— "6299.3 


+ 73054-7 


— 116759.7 


+163445.5 


— 117084.074 


— 16442.932 


117243.1 


+ 78712.2 


— 117302.184 


+ 73520.620 


— 117350.668 


—221325.375 


— 117860.3 


+ 24295.2 


— 118100.286 


+ 94191-582 


— 118100.868 


+ 94^91 -879 


— 118225.6 


— 29027.0 


— 118338.5 


+ 54390.6 


---118438.6 


+ 131259.0 


— 118975.9 


— 91853.1 


— 119128.9 


-f 117004.3 


— 119260.438 


+ 25180.496 


-119335.9 


5685.5 


— 1 19422. 5 


+149468.3 



Windmühlenherg 
Theodolithplatz 

Mellendorf 

Rauhbuschberg 

Velthausen 

Wietmarschen 

Basse 

Lingen Rathhaus 

Kakelberg 

Lingen lutherische 
Kirche 

Eckherg 

BreUngen 

Langlingen 

Berlin Jerusalems- 
kirche 

Wagenfeld 

Quekenberg Stand- 
punkt 

Quekenberg Signal 
Centrum 

Mariensee 

Tangermünde 

Ancum 

Stelloh bei Holthusep 

Heimberg 

Landesbergen 

Mordkuhlenberg Sig^ 
nal 

Mordkuhlenberg 
Standpunkt 

Woltringhausen 

Husum 

Berlin Sternwarte 
(alte) 

Berlin Marienthurm 

Berssenbrüek 

Steinberg 

Steierberg 

Brelxngerberg 

Kuppendorfer Wind- 
mühle 

Lengerich 

Wienhauaen 

Allerhoop 

Knickberg 

Spandau 

Heistorf 

Quellenberg Stand- 
punkt 

Quellenberg Stange 

Hohne 

Eistorf 

Gehrde 

Zichtow Signal 

Steinfeld 

Mandelsloh 

Anderten's Hof 

Bippen 



Nr. 



5 

11 

5 
5 

il(i?) 

5 
II 

5 
II 

ii(r?) 
7 

I 
S 

6(5) 

6(5) 
"(1) 

I 

5 
5 
9 
5 

6(5) 

6(5) 

5 

9 

1 
I 

5 

6 

5 

11(1) 

5 

5 
1 

6(5.9) 

I 
II 

5 

5 
7 
5 
5 
7 

5 I 

" W i 

It 

6 ' 



+ südlich 


+ westlich 


— 119462.0 
119785.5 
- 120088.8 
— 120451.184 
— 120809.4 


+ 75'73-i 
+ 57340.1 

+ 76790.4 
+ 63256.754 
+ 106406.6 

• 


— 120952.7 


+106484.9 


— 121643.4 


+ 54685.5 


— 121672.3 


— 42142.2 


— 121842.246 


— 9"8.245 


— 121853.269 


9165.563 


— 121866.539 


- 9114.015 


— 121866.604 


— 9"4.oi5 


— 121888.346 


— 9101.063 



— 121931.288 

— 121931.352 

— 122056.953 

— 122078.4 

— 122169.3 
— 122213.5 
— 122252.7 
— 122452.576 

— 122556.576 

— 123486.1 

— 123768.4 
— 123769.8 

— 123872.0 
— 123920.531 
^- I24I22.I 

— 1*4338.5 

— 124543.320 

— 124752.258 
— 125440.866 

— 125441.463 

— I2544I.942I 
— 125612.2 

— 125703.0 

— 125867.420 

— "5937.4 

— 126372.9 

— 127098.552 

— 1273 11.0 

— 127382.4 



— 9338.799 

— 9338.549 

+ 46754-342 

+106494.8 

+ 77470.2 

+I7I338.7 

+ 82040.4 

— 9363-002 

— 9106.274 

* 

— 35602.8 

+ 49854.1 
+ 49930.9 

+148960.8 

4" 24709.702 

— 35394.9 

— 35798.1 

— 35373-45» 
+132781.895 

+183267.112 

+183265.532 

+183265.833 
+151156.2 

+ 3743».8 

— 13888.769 

+102721.1 
+103583.2 
+195226.376 

+ 53»5i-i 
+ 65744.4 



Kirchdorf 

Liebenau 

Hollenberg 

Heidenberg 

Diepholz Schloss- 
thurm 

Diepholz Latemen- 
thurm 

Bünnen 

Wahrenholz Wind- 
mühle 

Celle Schloss, süd- 
westliche Kuppel 

Celle Schloss, südöst- 
licher Pavillon 

Celle Schloss, Uhr- 
thurm Spitze 

Celle Schloss, Uhr- 
thurm Theodolith- 
platz 

Celle Schloss^ nord- 
östliche Kuppel 

Celle Stadtkirche 
Spitze 

Ceüe Stadtkirche 
Theodolithplatz 

Osterberg 

Diepholz Capelle 

Barenburg 

Bawinkel 

Varrel 

Celle Gamisonkirche, 
südl. Giebelkreuz 

vor Celle, Nebenplatz 
bei BierwirthsUart. 

Meilenstein 

Nienbui^ Kirche 

Nienburg Rathhaus 

Bergen 

Stöcken 

bei Gross Gesingen 
Standpunkt 2 

bei Gross Gesingen 
Standpunkt i 

Gross Gesingen 

Badbergen 

Kirchheeepe Stand- 
punkt a 

Kirchheeepe Stand- 
punkt I 

Kirchheeepe Centrum 

Kreuzberg 

Steimke 

Garseen 

Jacobi Drebber 

Marien Drebber 

Twist 

Loh 

Börstel 



Nr. 

5 
5 
5 

5 



5 

5 



II (i) 



II 



11(1) 



II 



11 U» 



11 

II 

9 
5 
5 
5 
5 

11 

it 

7 
9 
9 

5 

II 



(I) 



7 
7 
5 



6{5» 



6 

6 

6 

II 



5 
5 
5 
9 
5 



{5- 
(5) 



coobdutaten. 



431 



•f südlich 



4- westlich 



- ia75»7-9 


-fi»3 102.8 


- 127862.5 


4-115390.8 


- 127886.8 


+ 48387.5 


- X28072.979 


+ 21156433 


- 128078.6 


+ »8439.9 


-128135.0 


■f a493-4 


- 128258.6 


— 51494.0 


- 128417.5 


— 51666.6 


- 128980.2 


-f 77457.8 


- 129050.9 


+ 49462.6 


— 129501.2 


+134280.1 


- 12966X.5 


+»34435-0 


— 1297204 


— 43737.3 


- 1297704 


+1437964 


- 130116.7 


+ 23H8.9 


— 130120.7 


+166212.7 


-130451.3 


— 58528.0 


- 130909.840 


+ 25089.202 


-131397.6 


+ 76666.8 


-131597.5 


+ 70706.7 


-i3a435-3 


+179253.3 


- 1326044 


+ 97312-2 


— 132622.0 


+179154.5 


- 132638.2 


-f 511584 


- 1330504 


+ 175527.1 


- 133168.0 


43050.1 


- 133210.7 


+ 65071.2 


-133361. III 


— 43253-X91 


- 133362.067 


43250.955 


- 133362.197 


— 43452.547 


- 13339»-348 


— 214x8.103 


- 133417-9 


457".2 


-133531-7 


44087.7 


- 133809.5 


— 53913.8 


-134002.5 


— 20105.7 


- 134009.5 


— 44575-6 


- 134143-5 


+135340.7 


- x34a37-4 


— 51296.0 


- 134561.7 


+11x861.7 


- 134654-4 


4x1x995.9 


-135103.7 


4 75072.9 


-i355"-4 


+ 79406.6 


- 135594.4 


— 87863.9 


- 135791-5 


+ 84234.0 


- 136070.8 


+110090.6 


- 1361404 


43894.9 


— 136234.0 


+147503.7 


- 136603.0 


— 63040.0 



Dinklage 


5 1 


1 


X36653.6I3 


Lohne 


5 


i 


136749.2 


Holtorf 


9 ; 


^*^» 


137062.062 


Schwannstedt 


II 




X37I24.2 


Saderbruoh 


11 




137743-9 


Winsen 


" (x) : 




I3782I.I 


Knesebeck Kirche 


^ ' 1 

7 


1 

1 


138455-3 


Knesebeck Amthaus 


7 


1 




SuHngen 


1 
5 1 


1 


138674.292 


Drakenburg 


9 




QuackenbrQck ka- 




i 

] 


138674.919 


tholische Kirche 


5 





138745-1 


Quackenbrüok gros- 






139008.0 


ser- Thurm 


5 


1 


139127.1 


Oerrel 


7 


i — 


I39I69.6 


Menslage 


5 





1392884 


Bothmer 


II 




139538.230 


Haselanne 


5 


1 

} -•-«• 


139631.194 


Ohrdorf 


7 


— 


1400974 


Gilten 


11 




1400994 


Solinger Windmahle 


5 


— 


I4O58I.9 


Mellinghausen 


5 


. — 


X4O883.X 


Meppen Pfarrkirche 


5 





141030.9 


Barnstorf 


5 





14X150.5 


Meppen Residenz- 







14X179.6 


kirche 


5 




14X372.5 


Balge 


9 


' 


14X579.6 


Bokeloh 


5 


1 — 


I4I758.3 


Nebenplatz bei Han- 






141799.8 


kensbattel 


7 


1 


142250.951 


Staffhorst 


5 






SankMibüUel Foita- 




, 


142251446 


ment 


7 





142357.7 


Hankensbattel Sig- 






I4H784 


nal, von Norden 




1 


142623.827 


her bestimmt 


7 





142706.2 


Hankensbattel Sig- 




— 


X429I7.8 


nal, von Süden her 






1429584 


bestimmt 


7 


1 


1431564 


Sc?uimhor8i 


I 




1432654 


Isenhagen 


7 





143795.2 


Hankensbattel Ne- 




— 


143807.3 


benplatz 2 


7 


— 


I4389I.2 


Wittingen 


7 


1 


144424.386 


Eschede 


x 


1 
1 




HankensbüttelThurm 


7 


1 


X446II.I29 


Essen 


5 




144632.316 


Darrigsdorf 


7 





144703.8 


Vechta Franciskaner- 






144857.8 


kirche 


5 




I44879.IIO 


Vechta Pfarrkirche 


5 






Schwaförden 


5 


1 

1 


144883.0 


Scholen 


5 


1 


145283.5 


Winterfeld 


7 




145332.2 


Schmalförden 


5 


j 


145344.5 


Oyte 


5 


1 ___ 
1 ""^ 


145528.8 


Platz bei Wittendorf 


7 


1 ^l^M 


145961.9 


Löningen 


5 





X4662I.O4O 


Diesdorf 


7 1 


1 





Nr. •! + sadlich 



+ westlich 



+ 5682.298 
+ 238x4.3 
+ 26133.232 

— 92783.1 

— 91493.6 

— 37030.6 

— 97085.1 

+ 63178.094 

+ 63x78.041 
+ 14940.3 
+ 49637-8 
+ 94008.9 
+ 82568.5 
+ 80585.1 
+ 54838.901 
+ 35777-254 
+ 37734.2 
+184210.6 
+ 85860.3 
+ 80247.9 

— 94266.0 
+113921.0 
+166337.7 

+ 793024 
+ 74287.3 

+ 119384 

— 97503-5 
+ 87900.139 

+ 87900.521 
+ 84411.9 

— »315.» 
+ 18675.853 

—105830.3 

— 48974.7 
+140203.3 
+ 764x0.2 

— 77260.7 
+ 79320.0 

— 6064X.2 
+ 80758.3 
+ 18945.766 

— 21548.543 
+ 30452.982 
+ 83724.1 

— 926524 
+1693 11.034 

+ 21046.4 

— 83212.1 
+ 86061.3 

— 497404 

— 97756.9 

— 71875.1 

+ 5144-567 



Hingstberg 

Hudemühlen 

Ahlden 

Zierau 

Jeggeleben 

Sprakensehl 

Kleiner Laternen- 
thurm (Luge?} 

A$endorf, Stande 
punkt 

Aiendorf Cenirum 

Ostenholz 

Eistrup 

Heiligenloh 

Goddem 

Neuenkirchen 

Bücken 

Kirchwahlingen 

Rethem 

Wesuwe 

Hünenburg 

Spradau 

Ladekathe 

Iiangfarden 

Berssen Windmühle 

Nienstedt 

Südwalde 

Hambergbaum 

Callehne 

Ttoiatringen Stand- 
punkt 

Ttoistringen Centrum 

Stelle 

Bergen 

Hingstberg 2 

Kleinau 

Lüder 

Lastrup 

Halstedt 

Everdorf 

Waldheide 

Bonsee 

Apelstedt 

Nebenplatz bei Bock- 
hom 

Breithorn 

Kirchboizen 

Klüvenhausen 

Klein Oarz 

Höhe bei Stavem 
Theodolithplatz 

Düshom 

Krichelsdorf 

Gross Bingmer 

Bodenteich 

Schernikau 

Osterwohle 

Falkenberg Foeta^ 
ment 1822. 1824 



Nr. 



(5) 
6(1.5) 



(i) 



(5) 



(5) 
►(«.5) 

(!) 



432 



KACHLASS. 



4- ittdlich 


+ weltlich 




Nr. 


— Z4662Z.055 


+ 5«4a.634 


Falkenberg Theodo- 
lithplatz yon Z838 


ZZ 


— Z46621.421 


+ 5Hi-5»3 


Falkenberg Signal 
von Z838 


zz 


— Z46633.3 


+ 84Z26.3 


Hafte 




— Z46706.Z 


+ S5»»9-» 


Wechold 




— 146795-5 


+1x0046.3 


Visbeck 




— X47X70-3 


4- 82Z44.8 


BasBum 




— X47ia6,7 


ZZ3724.4 


Bretsche 




— Z47148.0 


+ 78395-6 


Osterbinde 




— Z476Z6.9 


+ 88544.9 


ELlein Ringmer 




— 147657-9 


— 8x255.2 


Salzwedel Marien- 
thurm 




— z477a3-o 


— 8x423.4 


Salzwedel Altstädter 
Thurm 




— H7737-« 


+ 79242.9 


Karrenbrock 




— 147893-3 


8x553.7 


Salzwedel Rathbaus 




— 147940-5»! 


+Z2849Z.392 


Krapendorf 


6(5) 


— Z4Ä006.374 


— z 6239.866 


HauUßieTg 




— Z4B039.9ZO 


— 58hz«686 


Puglatz Signal 




— Z48054.6 


— 8Z577.2 


Salzwedel Mönchs- 
thurm 




— Z4830S.Z 


+ 43350.4 


Walsrode 


zx 


— 148350-5 


— 8x697.2 


Salzwedel Neustadt 




— Z484Z8.6 


— 86820.8 


Gross Chüden 




— Z4866Z.0 


— 89731.0 


Riebau 




— Z48667X> 


— 44»35.6 


Steinberg 




— Z48689.1 


+X4559X.0 


Lindem 




— Z48774.5 


-I-X63222.4 


Sdgel Thurm 


6(5) 


— 149153-5 


+ 85003.5 


Gross Henstedt 




— Z49»70«4 


+ 81854.8 


Chauss^ehaus Schorn- 
stein 




— Z49287.ZS3 


46456.70X 


Wi^reii Signal 




— Z49a98.6 


+ 4863.9 


Erhöheter Baum im 








Becklinger Holz 




— Z498684 


+ 54i3».9 


Eizendorf 




-• Z49888.0 


+X63268.7 


Sögel Windmühle 




— Z49942.Z 


1097Z4.Z 


Leppin 




149994.0 


+ 52007.2 


Magelsen 




— Z50001.0 


4-X36138.0 


Mollbergen 




— Z50075.6 


+ 82077.5 


Hassel 




— Z50Z84.6 


+ 58949.4 


Mattfeld 




— Z50144.0 


— 94546.5 


Mechau 




— Z50365.580 


— 36550.6H 


Holxerberg Signal 




— z 50366 .695 


36550.632 


Holxerberg Posta- 
ment 




— Z50567.Z 


75728.x 


Cheine 




— Z50663.6 


43x70.1 


Nettelkamp 




— Z50829.3 


+ 72072.6 


Heiligenfelde 


5(1) 


— Z5zza2.8 


— 48047.8 


Wieren Thurm 




— Z5Z5Z4.8 


— 9757».o 


Kaulitz 




— X515834 


+Z77X83.0 


Lathen Thurm 




— 15 '598.0 


— X03361.1 


Arendsee Buine 




— X5Z608-4 


— X03285.Z 


Arendsee (abg. Th.) 




— 15x806.0 


103333.7 


Arendsee stumpfer 
Thurm 




— 1519974 


— 34286.2 


Suderburg 




— Z520Z44 


+Z75885.6 


Lathen Windmühle 




— Z5 20z 9.9 


— 68345.2 


Bergen 





+ sfidlich 

— Z52Z20.7 

— Z52Z37.5 

— Z5297Z4 

— Z53023.0 

— 153045-029 

— Z53X82J0 

— 153x82.2 

— X53H6.5 

— X53630.2 
— 153786.5 

— X53792.7 

— X53809.5 
— 153933.0 

— 1546x9-9 
— 154643. X 

— Z54729.249 

— 15545X.3 

— i5535».H5 
— 155779.6 

— Z5586Z.30Z 

— Z55886.5 
— ;z55886.832 

— Z560Z6.2 
— 156293.6 

— X56371.9 

— 156769.3 
-- 157844.5 

— 157849.9 

— Z579ZZ.4 

— «57950.2 

— X57956.9 

— Z58Z52.2 

— 158x77.3 
— 15853*4 

— «58590.5 
— 158592.2 

— 158679.057 

— 158679.355 

— Z58946x> 

— 158996.9 
— 159173 4 

— Z59Z88.5 

— 159365.3 
— 159397-3 
— 159757.3 

— 159975.7 

— z 60072.9 

— Z602Z5.7 
— 160535.3 

— X60568.6 

— X 60630.8 

— z 60662.6 

— Z60720.2 

— Z60772.6 

— Z608XX.9 

— Z6Z305/3 

— Z6Z69Z.7 

— Z62065.3 



+ westlich 



— 640x9^0 

— 63940.7 

— 4222z. z 
— Z2Z879.0 
-f-x62445.5X5 

— 33859.3 

4- 146x70.3 

— 9173*4 
+ 8Z986.5 

— 90ZZZ.8 

+193070.4 
+ 8Z259.8 

— 48756.7 

— 37*5.3 

— 38736.7 
-h 48060.476 

— 93572.8 
+ 4808z. 208 

— 84957.3 

— 643Z2.030 

— 55638.5 
4- 54*87.893 

— 79Z92.2 

— 7*744.5 

— 74373.7 

— 68039.3 

— 68848.7 

+154836.3 

— 87935.2 

— 4Z887.Z 

— 83784.4 

— 71933.3 

— 64888.7 

— 86746.9 

+177559.7 

— 97830.9 

— 88083.45 z 

— 88086.373 

4- 54'*o.o 

— 40304-0 

— 445154 

— 48704.5 

— 774*6.7 

— 70206.6 

— 75508.7 

— 4x413-6 

— 935*14 

— 31969.9 

— 98094.0 

4- 60Z49.8 

— 8Z488.0 

— 8Z583.7 

— 84088.0 

— 8X48X.2 

— 43488.4 

— 49037-5 

— 75396-6 

— X0127.5 



Schnega kleiner La- 

tementhurm 
Schnega Kirchthunn 
Wrestedt 
Seehausen 
Windberg Z830 
bei Suderburg 
Vrees 
Prezier 
Stuhren 
Hohekirche 
Ter Apel 
Nordwohlde 
Emem 
Wiezendorf 
Holdenstedt 
Verden Dom 
Schmarsau 
Verden Johannis 
Rebensdorf 
Starrel Signal 
Suhlenburg 
Blender 
Wustrow 
Bühlitz 
Luckau 
Clenze 

Bfissauer Berg 
Lorup 

bei Lichtenberg 
Königsberg 
Bösel 
Zeetze 
Elamitzberg 
Woltersdoif 
Steinbild 
Lohmitz 

ThOrow Postament 
Thürow Signal 
Intschede 
Veersten 
Gross Liedern 
Hanstedt 
Satemin 
BOssau 
Meuchefitz 
Uelzen 
Lanze 
Gerdau 
Prezelle 
Lunsen 

Lüchow Schloss 
Lüchow Kirchthurm 
Colbom 

Lüchow Rathhaus 
Oldenstadt 
Betzlingen 
Küsten 
Munster 



Nr. 



(5) 



(5) 



COOBDIKATEN. 



433 



+ südlich 


-)- westlich 


— 162237.1 


— 80222.3 


— 162474.5 


^ 54415-7 


- 163054.915 


+ 20595.877 


— 163482.0 


— 71534.2 


163542.9 


— 67123.1 


— 163594.034 


+ 44884.9" 


163595.7 


+ 71527.7 


— 163790.2 


— 47574-7 


-163833.7 


—107635.7 


— 164100.Z 


— 92239.0 


— 164151.3 


— 39667.3 


— 16419X.3 


— 111647.9 


- 164225.4 


— 109812.2 


-164475.3 


— 44682.2 


— 165412.1 


+ 61262.7 


— 165663.3 


— 74069.0 


— 166240.369 


+ 36851.24* 


-167135.5 


106443.9 


— 167200.4 


— 31497-4 


-167365.3 


— 13864.3 


— 167487.6 


— 102223.1 


— 167488. 1 


+ 177677. I 


— 168070.6 


+ 139838.8. 


- 168158.341 


4- 44014-670 


- 168285.6 


-h 93686.8 


— 168491.9 


+ 68805.6 


— 168498.6 


X05 154.0 


— 168674.2 


75038.6 


— 169092. 114 


— 64845.685 


— 169117.0 


—108832.7 


-169x49.5 


+138712.4 


- 169497.677 


35760.051 


-X69504.1 


38435 -9 


— 169626.902 


— 40177-793 


— 169632.2 


75984.9 


— 169672.9 


— 62645.2 


- 169998.3 


94982.9 


— 170075.2 


— 58462.8 


— 170111.8 


+ 87995.1 


— 170322.2 


76994.0 


— 170809.0 


— 62566.0 


— 170871. 1 


+ 42239.2 


— 171065.097 


+194444.687 


— 171114.8 


— 40822.7 


— 171376.5 


— 39978.2 


— 171465.593 


— 19895.232 


— 171624.4 


39571.1 


— 171657.3 


— 99622.5 


— 172227.9 


— 36817.7 


— 17*394.8 


+175161.9 


— 172480.450 


+ 7S73*.652 


-- 172512.986 


— 100488.736 


— i7a534-738 


+ 76039.777 



Nr. 



— 172542.5 ■— 93»37-5 

— 172680.233 + 75884.090 



— 172684.7 



IV. 



— 70301.9 



Plate 

Rösche 

£lmhor$t 

Zebelin 

Dommatz Windmühle 

Steinberg 

Kirchweihe 

Hiestedt 

Böhmenzien 

Trebell 

Kirchweihe 

Gross Wanzer 

Aulosen 

Molzen 

Achim 

Crumasel 

Kirchwalaede 

Gapem 

Ebstorf 

Wriedel 

Gartow 

Heede 

Frisoythe 

BotUl 

Ganderkesee 

Arbergen 

Holtorf 

Breselenz 

Spranze Signal 

Schnakenburg 

Oldenoythe 
Hohenbunstorf Signal 

Barum 

Tätendorf Signal 

Meetschow 

Gülden 

Gorleben 

bei Hohen Zethen 

Delmenhorst 

Breese im Bruch 

bei Timmeitz 

Ahausen 

Onetwedde 

am Lohnholz 

Mollenberg 

Wulfsode 

Chauss^ehaus 

Höbeck NebenplaU 

Freitagsberg 

Aschendorf Kloster- 
kirche 

Bremen Zwinger 

Höbeek Signal 

Bremen katholische 
Kirche 

Kiez 

Olbers Observations- 
zimmer 

Spitzberg , 



7 

7 

X 

7 

7 

I 

I 

7 
7 
7 
7 
7 
7 

7 

I 

7 

X 

7 

7 

7 

7 
6 

6 

X 

I 

X 

7 

7 

7 

7 
6 

7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 

X 

7 
7 

X 

6 

7 
7 

X 

7 
7 
7 

6(5) 

I 

7 

I 

7 

X 

7 



+ südlich 



— xgi7Q4.o 

— \72708.766 

— X 7275 2.009 

— X72815.860 

— X72855.X 

— X 72863. 7 

— 172867.8x3 

— X72976.849 

— X73058.7 

— X73074.743 

— 173074-764 



— X73252.563 

— X7334D.866 

— 173475-5 

— X73521.5 

— 173834.4 

— 173993.439 

— 173993.513 

— 174006.6 

— X74X09.0 

— X74224.6 

— X74269.5 

— X74343.871 

— X74400.4 

— 174729.5 
— X7486X.6 

— 174938.7 

— X7505X.9 

— 175410.1 

— 175436.3 

— 175533.6 

— 175721.5 

— X75788.2 

— i759«5-5 

— X76017.196 

— 176384-4 

— X76516.0 

— X7664X.9 

— 176735 -a 
— 176769.703 

— X76948.6 

— 177x94.8 

— 177253-420 
— X77907.2 

— 1785x8.2 

— X785X9.X 



+ westlich 



+ X75090.0 

+ 76313-195 

+ 760x7.343 

+ 75931.494 

— 42776.2 

- 35028.6 
+ 76090.644 

+ 760x6.8x1 

+ 75387.8 

+ 76350.938 

+ 76350.909 



+ 76XX 2.469 

+ 76992.6x3 
+178854.0 

— 98147.x 
— 122394.2 

— 85935. X24 

— 85935.834 

— 128564.7 

— 4x722.x 
— X24648.X 

— 63129.6 
+ 2799X.260 

— 52652.4 

+X676XX.9 
— X02794.0 

— X02667.2 

— 76789.x 

— 77374.9 

— 77*65. I 
+170901.4 

— X 12325. 8 

— 77813-5 

— 87883.2 

+ 35985340 

— 83887.2 

— 70563.1 
— X 25646.x 

— 99305.8 
+ X04P7.337 

+ 47782.9 

— XOOI20.3 

— 2I852.22X 
— XX92X0.2 

— 43974.4 

— 43989.1 



Nr. 



Aschendorf Pfarr- 
kirche 

Bremen Martini 

Bremen Domkirche 
Thurm 

Bremen Domshof 

Beyensen 

Natendorf 

Bremen, Unsrer lie- 
ben Frauen 

Bremen Gymnasium 

Bremen Remberti 

Bremen Ansgariue 
Dreieekepunkt 

Bremen Ansgariue 
Wahres Centrum 
des Knopfes 

Bremen Wall am 
Heerdenthore 

Bremen Stephani 

Rhede 

MöthUch 

Dergentin 

Gusborn Postament 

Gusborn Signal 

Perleberg 

Kl. "Medingen 

Sückow 

Ribrau 

Brokel 

Himbergen 

Papenburg obere 
Kirche 

Lenzen stumpfer 
Thurm 

Lenzen spitzer Thurm 

Dannenberg Cap. 2 

Dannenberg Amts- ; 
thurm 

Dannenberg Kirchth. 

Papenburg Pfarr- 
kirche 

Lanz 

Dannenberg Cap. 

Langendorf 

Rotenburg 

Quickbom 

Parpar 

Quitzow 

Seedorf 

Schneverdingen 

Sottrum 

Eidenburg 

TimpefU^erg 

Laaslich 

Alt Medingen (spiues 

Dach?) , 

Alt Medingen stum-, 

pfes Dach 1 i 

65 



6(5) 

I 

X 
X 

7 
7 

I 

X 
X 



X 

6 

7 
7 
7 
7 
7 
7 
7 

7 

I 

7 



7 
7 
7 

7 

7 

6 

7 
7 
7 

X 

7 
7 
7 
7 

X 
X 

7 

X 

7 



(5) 



7(0 



434 



NACHLASS. 



+ südlich 


-f- westlich 




Nr. 

1 


— 1787564 


— 120322.1 


Nebelin 


178917.9 


4-171303.2 


Völlen 


— 179I41.3 


— 24772.1 


B&zendorf 


I 


— 179671.9 


— 36683.8 


Bienen büttel 


7 


- I7997I-4 


+ 69027.4 


Lilienthal 


1 


— 180018.8 


+ 152321.4 


.Strucklingen 


6 


— 180162.361 


— 22894.019 


Nindorf 


I 


— 1803 16.0 


87433.1 


Dömitz Kirchthurm 


7 


— 180373.1 


87225.7 


Dömitz Festungs- 








thurm 


7 


— 180462.083 


+115530.100 


Oldenburg 


1 


— 181197.5 


— 74000.6 


Hitzacker 


7 


— 181489.1 


— 73380.3 


Meesenberg 


7 


— 181531.1 


+ 158028.2 


Westerraudervehn 


6 


— 1818x9.664 


+ 35400.829 


Bullerherg 


I 


— 181953.6 


+175396.6 


Stapelmoor 


6 


— 181381.889 


+ 210.397 


Wikede 


1 


— 182572.1 


+ 167190.0 


Gross Wolde 


6 


— 182691.539 


+ 30807.000 


Schessel 


X 


— 183129.8 


— 14628.0 


Raven 


I 


— 183472.0 


— 58227.0 


Nahren dorf 


7 


183545.1 


— 16743.8 


Embsen 


7 


— 183835.9 


+ 883474 


Vegesack 


X 


— 184279.0 


+161500.0 


CoUinghorst 


6 


— 184718.6 


- 77834.7 


Tribbekau 


7 


184789.7 


— 534".x 


Dahlenburg 


7 


184829.394 


+ 147139.369 


Hassel 


6 


— 185 194.0 


+ 97965.» 


Beme 


X 


— 185285.2 


+ 1664414 


Irhove 


6 


— 185288.0 


+173018.7 


Weener gross. Thurm 


6 


— 185297.5 


+173099.4 


Weener klein. Thurm 


6 


185484.9 


47867.5 


Sommerbeck 


7 


— 185490.8 


— 101402.9 


Gorlosen 


7 


— 185815.8H 


+ 56897.921 


Wilstedt 


1 


— 185885.2 


— 735624 


Caarssen 


7 


— 186092.8 


+170057.9 


Grotegaste 


6 


— 186376.4 


+ 129542.6 


Zwischenahn 


6 


— 186959.0 


+190275.3 


de Beerte 


6 


— 187333.0 


+161793.4 


Bakemoor 


6 


187641.574 


65399.907 


Olienitz Signal 


7 


187657.5 


+178860.2 


Bunde 


6 


187713.3 


+ 1986334 


Schemda 


6 


— 188383.7 


+ 168666.3 


Gross Driver 


6 


— 188766.844 


+ 68138.613 Worpswede 


I 


— 188883.5 


— 15 15 1.8 Salzhausen 


I 


— 189022.6 


+ 169632.8 Kirchborgum | 


6 


— 189300.6 


+ 755^4.1 


Osterholz 


1 


— 189340.9 


+174138.0 


Wenigermohr 


6 


— 189452.7 


+ 189864.1 


Finserwolde 


6 


— 189484.5 


— 928054 


Conow 


7 


— 189680.1 


— 47770.6 


Thomasburg 


7 


— 189917.9 


— 42015.8 


Keinstorf 


7 


— 190124.4 


+ 142734.8 


Apen 


6 


— 190130.0 


99139.6 


Eldena 


7 


— 190137.3 


+ 167107.1 


Esklum 


6 


— 190306.1 


+ 160911.7 


Amdorp 


6 


— X90464-3 


+ 153594.7 


Stickhausen 


6 


— 190748.6 


+ 112008.5 


Loyerberg Wind- 








mühle 


1 



+ südlich 



— 190821497 
— 191086.7 

— 191173.034 
— 191219.471 

— 191379.0 
— 191406.221 

— 191498.1 
— 191511.038 

— 191531.9 

— 191597.289 
— 191686.464 
— 191823.370 
— 191845443 
— 191882.273 

— 191946.373 
— 192026.320 
— 192086.847 
— 192096.210 
— 192292.9 

— 192325.3 

— 191345.9 
— 192362.1 

— 192428.324 
— 192568.5 
— 192668.865 
— 192808.2 
— 192896.0 

— 192933.8 
— 192995.9 
— 193260.212 
~ 193340.040 
— 193527.1 
— 193865.912 

— X94278.3 

— X94284.445 
— 194428.857 
— 194489.330 

— 194984.5 
— 195288.541 

— 1953366 

— 195460.0 

— 1957x8.6 

— 1957764 
— 196210.609 

— 196281.2 
— 196392.0 
— 196504.2 
— 196711.9 
— 196816.805 

— 196973.309 
— 196974.329 

— 197203.85 



+ westlich 



■f 95395.159 

— 56225.6 

— 30682457 

— 30851.899 

— 495927 

— 31356.505 
+168950.8 

— 30282.895 

— 30298.3 

— 30574.4" 

— 3x027.825 

+166412.554 

— 31169.785 

— 30367.793 

+166653435 
+166570987 
+166481.076 
+166594.099 

— 81854.4 

— 67853.0 
+ 163573.9 
+179758.7 
+ 116347.889 
+172211.0 

— 37170.020 

— 31987-4 
+174460.9 

— 65345.8 

— 24951.2 

— 49872.299 
+ 45266.609 

— 45281.1 
+ 81845.072 
+2087534 
+134466.866 
+ 108898.647 
+ 29167.094 
+198240.6 
+ 15609.156 

+175356.5 
+ 167396.7 

+ 205474.3 

— 6591 1.8 
+ 44369.050 

— 30242.0 

— 310894 

— 37868.5 

— 52497.4 
+ 44512.505 

+ 44130.578 
+ 44130.289 

— 29767.06 



Nr. 



Neuenkirchen 
Barskamp 

Lüneburg Lambert! 
Lüneburg Heiliger 

Geist 
Bargmoor 
Lüneburg Johannis 
Bingum 
Lüneburg Kalkberg 

Platz von 1823 
Lüneburg Kalkberg 

Platz von 1830 
Lüneburg Michaelü 
Lüneburg Rathhaus 
Leer Waage 
Lüneburg Nicolai 
Lüneburg Platz vor 

dem Thore 
Leer luther. Kirche 
Leer kathol. Kirche 
Leer reform. Kirche 
Leer Gymnasium 
Jabel 
Stapel 
Loga 

Landschaftspolder 
Rastede 
Holtgast 
Steinhöhe 
Lüne 

Bohmerwold 
Haar 

Mechtersen 
Bretze Signal 
BrütUndorf 
Netze 
Garlsie 
Kolham 
Westereiede 
Grossen Meer 
Sittensen 
Nordbrock 
Tostedt 
Mariencoer 
Nuttermoor 
Slochtersen 
Neuhaus 
Zeven Platz vor dem 

Flecken 
Rother Thurm? 
Vrestorf 
Scharnebeck 
Bleckede 

Zeven Platz im Gar- 
ten des Posthauses 
Zeven DreieekspunJit 
Zeven Thurmknopf 
Bardewyk Südlicher 

Thurm 



1 

7 



1 

7 
1 

6 



7 

1(7) 
1 
6 

1 

I 
6 

6 
6 
6 

7 

7 
6 

6 

I 
6 

7 

1 

6 

7 
7 
7 

X 

7 

X 

6 
6 

X 

I 
6 
I 
6 
6 
6 
7 

1 

X 

7 
7 
7 

I 
I 
I 



COOBDDfATES. 



435 



+ lüdlieh 


-f westlich 


— X97218.0 


— 19765.9» 


-"97359-5 


— 60710.1 


- »979«9-7 


760445 


— 198168.1 


+ 194511.8 


-198179.4 


4-166095.6 


— 198500.6 


+171409.0 


— 198521.0 


+171416.1 


- 198743-1 


+ 97098.0 


— 198860.746 


+ 74451.604 


— 1989x3.2 


+ 91148.0 


— 198986.1 


+165916.3 


- '99535-3 


— 41014.0 


199648.0 


+ 71848.0 


- 200747.1 


+ 166739.0 


— 200913.8 


— 3335^5.» 


201084.6 


30173.1 


—20x285.9 


+173881.5 


— 2014264 


— 39119.1 


— 202108.6 


+1774564 


— 202x46.0 


— 51150.1 


— 202233.0 


— 4305».7 


-202408.1 


+196313.8 


— 201573.2 


+171447.1 


— 202968.9 


+175165.9 


- 202983.5 


48541.0 


— 202987.1 


+113500.1 


-203523477 


+173477.408 


-203554.6 


59055.7 


203906.1 


+ 98410.6 


-203943.733 


+200863.897 


- 204177.657 


17414.519 


-204x93.7 


+177799.7 


— 204209.1 


+ 177817.3 


— 204520.1 


+179389.1 


- 204710.173 


+ 9443*94« 


-204811.3 


+ 61814.0 


-204951.8 


+181011.5 


-2052314 


+ 83146.8 


-205134419 


— 40976.018 


- 205166.638 


— 40813.884 


- 105386.5 


+ 181017.5 


-205389.1 


+181031.1 


- 105558.573 


+ 4854*994 


- 205784.4 


51939-9 


206040.601 


— 41045.717 


-106151.8 


+ 1649514 


- 106501.6 


63x074 


-106518.9 


— 80174.3 


-106649.8 


— 75905.8 


-106866.630 


+ 21895.743 


- 106867.045 


+ 11896.054 


- 106891.831 


+188583.951 





Nr. 

1 


1 + sadlich 


+ westlich 


Bardewyk Nordlicher 


1 — 107814.1 


— 57538.8 


Thurm 




1 — 107905.711 


+104511.436 


Krusendorf 


7 


— 1079164 


+ 1814144 


Lübtheene 


7 






Nienwolde 


6 


— 107983.1 


+185911.0 


Thedinga Pavillon 


6 


! —108039.9 


+181054.9 


KleinMidlum Grosser 




i 




Thurm 


6* 


— 108050.192 


+181119.813 


KleinMidlum kleiner 








spitzer Thurm 


6* 






Hammelwarden 


I. 


— 108096.3 


+169199.6 


Hambergen 


1 


— 108107.6 


+169167.7 


Uthlede 


1 


— 108111.861 


+181615.631 


Veenhusen 


6 


— 108187.9 


— 51101.1 


Ludersburg 


7 


— 108341.6 


+180319.0 


Jacobsberg 


I 


— 108657.600 


+187011.701 


Neermoor 


6 


' — 109016.5 


+178911.0 


Brietlingen 


7 


1 — 109101.471 


+110055.577 


St. Dionys 


7 






Hatzum 


6* 


— 109157.9 


-h 3a5".3 


Echem [abgebr« 1870] 


7^ 


— 109430.5 


+ 99191.0 


Ditzum 


6* 


— 109473.911 


+110151.600 


Kadegast 


7 


— 109474.103 


+120x51.596 


Hitbergen 


7 


— 109480.851 


+110118,579 


Opmieden 


6 


— 109811.3 


+ 105531.5 


Rorichum 


6* 


— 109914.681 


+ 193447.306 


Qandersum 


6 


109910.394 


+ 63160.149 


Garistorf 


7 


< — 110315.8 


— 16949.1 


Jahde 


» , , 


— 210398.6 


— 11859.7 


Oldersum 


11(6) 


— 110966.9 


— "38.3 


Blücher 


7 


— 110968.7 


+ 10137.7 


Golzwarden 


I 


— 111070.6 


+171189.1 


Appingdam 


i»(6) 


— 111079.8 


+191770.6 


'Winsen 


1 


^-111131,3 


+178850.3 


Petkum Nadel 


6* 


— 111194.613 


— 3850.817 


Petkum starker Th. 


6* 






Jarssum 


6* 


— 111195.1Q4 


— 3851.968 


Sandstedt 


13 (0 


— 111591.9 


«734-5 


Platz beiGnarrenburg 


'3. 


— 111715.0 


— 18464.0 


Gross Borssum 


6* 


— 111134.808 


+191306.784 


Bramstedt 


13 W 


— 111147.788 


+ 191314.041 


Lauenburg Zenith 




111153498 


+ 11880.543 


Sector 


I 


— 111113.1 


+ 9305» 3 


Lauen bürg Amts- 




— 111181416 


+ 1963.815 


thurm 


1 


— 111374.0 


— 40001.1 


Klein Borsum kleine 




— 111611.3 


+1310504 


Spitze 


6* 


— 111705.3 


— 81917.8 


Klein Borsum grauer 




— 111737.671 


+ 16.168 


dicker Thurm 


6* 






Sehingen 


14(13) 


— 113005.8 


+185169.5 


Boizenburg 


7 


— 113171.8 


— 364905 


Lauenhurg SignaliSi^ 


1(7) 


— »«3197-7 


+183661.1 


Hatshusen 


6* 


1x3107.335 


+180812493 


Banzien 


7 


— 113140.5 


3043.3 


Warlitz 


7 


— 113196.0 


— 18515.5 


Prizier Schloss 


7 


113307.446 


+189621.105 


Litberg 1813. 1814 


1 


— 113311.981 


+ 63346.939 


Zither g 1844 


14 






Wibelsum 


11 


— 113313.85» 


+ 63343.996 



Brezien 
Holwierda 
Emden reformirte 

Kirche 
Larrelt 

Emde;i Gasthaus- 
kirche 
Emden Rathhaue^ 

thurm {Dreiecke- 

punkt 
Simon swolde II. 
Simonswolde I. 
Emden neue Kirche 
Gresse sehr zweifehaft 
Wolthusen 
Twixlum 
Uphusen 
Varel, Laoroiz' Haus, 

3* Fenster 
Ahlerstedt 
Rotenkirchen 
Varel Dreieekspunkt 
Varel Thurmknopf 
Varel Nebenthurm 
Schwey 
Rysum 
BrilUt 
Kirchwerder 
Drenhausen 
Sinsdorf 
Elsdorf 
Riepe 
Loquard 
Marienwehr 
Bönneburg Theodo- 

lithplatz 
Rönneburg Pfahl 
AltengamuA 
Gesthacht 

Campen spitz. Thurm 
Campen stumpfer Th. 
Apensen 
Battel 
Varendorf 
Lüttau 
Zetel 
Hagenow 
Meridianpfahl derAl- 

tonaer Sternwarte 
Gross Midlum • 

Gülzow 
Westerhusen 
Suiderhusen 
Wüsdorf 
Neuenffamme 
Wolzeden 
Basdahl Signal von 

1844 
Baadahl Postament 



Nr. 

7 
11(6) 

6 
6* 



6 
6 
6 
6 

7 
6* 

12(6) 



1 
I 



11(6) 

I 



1 

6» 

11(6) 
6* 



11(6) 
11(6) 

I 

13 

1 

I 



1 
6» 

1 

6* 
11(6) 

1 

11(6) 

'4(13) 
»4(13) 



436 



NACHLA8S. 



4- südlich I -f westlich 



— 2x3494.8 

— 213579.6 

— 213693.339 

— 213721.8 

— 213737.237 

— 214043.583 

— 214170.1 

— 214187 



.1 

^022 

.49a 
.315 



■ 214237 

— 214306, 

— 214388 

— 214396.5 

— 214520.078 

— 214613.820 

— 21477I.6 

— 214805 .1 

— 214858.2 

— 214983.291 

— 21502I.8 

2I5161.3 

— 215236.334 

— 215478-35 

— »15503-7 

— 215567.2 

— 215634.7 

— 215805.0 

— 215843.146 

— »15943-064 

— 215989.0 

— 215997.6 

— 216198.73 1 

— 216388.842 

— "6533.2 

— 216538.7 

— 216684.030 

— 216705.6 

— 216781.593 
216845.040 

— 216846436 

• 

— 216859.962 

— 216868.501 

— 216940.6 

— 217254.243 

— 217342.336 

— 217388.937 

— 2I739I.8 

- 217507.288 

— 217677.206 

— 217963.5 

— 2181404 

— 218196.365 

— 218206.270 

— 218579.500 






+ 169067.8 
4-182700.5 
+ 61201.936 

— 74448-8 

— 18911.784 
-1-214980.396 

— 31847.3 

-h 95782.1 
-f 31036.188 
-f 29258.444 
-f- 180200.045 
-1-1754884 
+ 28565.172 
4-192611.870 
4- 89292.6 

4- 9985*4 
-h 188047.8 

4- 32905.642 

4-121663.5 

4-121605.3 

— 2485.277 
-|- 192170.9 
-1-189998.9 

— 2731.5 

+174905-3 
4-105267.3 

4- 30596.657 

-f 189164432 

4-184150.7 

— 2828.6 
4- 191261.429 
4- 29899.180 
-i-181603.6 

— 22816.1 
4- 16238.653 

— 9434.x 

— 28139.131 

-|- 86020.335 

4" 86021.259 

4- 86846490 
-f- 16083.719 

— 441551 
4- 60404,251 

4- 24861.094 

4- 58876.873 

— 46187.2 
4- 20578.783 
4-185218.517 

— 4853.9 
+ 195-4 

— 17800.045 

4- 51883.253 
+191311.705 



Ochtelbuhr 

Hinte 

Oese 

Körchow 

Kurslak 

Uithuizer Medem 

Johannwarden 

Dedesdorf 

Kortkamp 

Harsefeld 

Loppersum 

Blaukarken 

Paaschberg 

Upleward 

Stotel 

Esensham 

Canum 

Bargstedt 

Dangast ConTersa- 

tionshauB 
Dangast Badehaus 
Harburg Kirchthurm 
Hamswehrufm 
Woquard 

Harburg Rathhaus 
Bedekaspel 
Seefeld 

Signal bei Ohrensen 
Pewsum 
Cirkwerum 
Harburg Sohloss 
Orothusen 
Richtplats 
Ganhusen 
Bömsen 
Buxtehude kleiner 

Thurm 
Ochsenwerder 
Hohenhom 
Loxstedt aus den 

Schnitten von 1825 
Loxstedt (13 auf 14 

reducirt) 
WindmOhle 
Buxtehude grosser 

Thurm 
Pötrau? 

Barchel Windmahle 
BUedersdorf 
Oerel 
Buchen 
Neukloster 
Uttum 

Wilhelmsburg 
Moorburg 
Bergedorf 
Bremervörde 
Manschlagt (dicker P) 

Thurm 



Nr. 



6* 
6 

13 

7 

1 

12 
I 
I 

14 

14 
12(6) 

6* 

12(6) 

1 
I 
6* 

14 



z 
i»(6) 

12 

Z 

6* 

I 

12(6) 
6* 

12(6) 

6* 

1 

14 

I 

I 



«4 

13 

14(0 

7 

14 
14 
13 

7 

H 
12 

I 

I 
I 

13 



(6) 



12 



(6) 



+ Südlich 

— 2186114 

— 218660449 
—218682.8 
— 218704.1 

— 218740.7 

— 2i88ia52o 
— 218831.616 
— 218956.7 
— 219023.6 
—219096.579 
—219440.5 
—219560.3 
— 219666.783 
—219868.1 
—219994.759 
— 220063.4 
— 220341.7 
— 220411.666 
— 220430.386 
— 220461.0 

— 220466.841 
— 220472.5 

—220530.913 
— 220667.3 
— 220926.883 
—220933.0 
— 221036.7 
— 22125 1.0 
—221353.466 
— 221364.1 
— 221695.930 
— 222066.510 
— 222072.631 
— 222577.1 
— 222791.7 
— 222863.3 
—222951.304 
— 223006.3 
— 223221.516 

— 223231.918 
— 223492.6 
— 223586x>87 
—223590.9 
— 223631,7 
—223785.6 
—223809.5 
—223843.6 
— 224032.8 
— 224202.934 
—224339.3 

—224451.314 



4" westlich 



+191337.6 

+163683.325 
-j- 100057.6 
+ 129798.1 

+129682.7 

+163544.715 
+ 29712.362 
4-186650.1 
+ 83056.1 

— 23511.744 
+ 1900.1 
+131289.3 
—188833.500 

+ 97707.4 
+186076.923 
+ 1667.9 
+ 88944,9 
+ 23705.030 

+ 59i4a.456 
+181732.2 

+184003.878 
-1-181708.9 

+ 14210.933 

— 9151.8 
+ 42601.869 

— 12183.4 

— 16043.8 
+174327.6 
+ 191168.272 
+128124.0 
+ 8765.989 
+ 104931.790 
+ 22300.781 
-1-128052.8 

— 12264.6 
+ 74448.2 

+ i7377-"9| 
+ 31264.2 , 

+ 189023.250 

+189034.103 
+ 89632.8 
-|- 16792.911 
+ 85820.5 
4- 89237.2 

— 22328.1 
+ 93277.2 

+ 85384-9 
+ 26448.5 

+ 21604.243 

— 2482.3 

+ 14.054 



Manschlagt (satter?) 

Thurm 
Aurich Schlossthurm 
Abbehausen 
Neustadt Qödens La- 

tementhurm 
Lutherische Kirche in 

Neustadt Gödena 
Aurieh 
Grefenkreui 
Jennelt 
Bexhövede 
Schragenberg 
Altenwerder 
Schloss Gödens 
Visquard 
Atens 
N'isquard 
Altenwerder 
Wulstorf 
Horneburg 
Stallberg 
Wirdum dickerThorm 

rothe Spitze 
Grimmersum 
Wirdum spitser 

Thurm 
EstebrQgge 
Moorfleth 
Mulsum 
Billwerder 
Bizerberg 
Engerhave 
PtUum 
Sande 
Neuenfelde 
Stolham 
Neuenkirchen 
Marienhausen 
St'einbeck 
Alt Lunenberg 
Jork 
Heimste 
Gretsiel Glocken« 

thurm 
Gretsiel spitzerThurm 
Gestendorf 
Borstel 
Windmühle 
Windmühle 
Che 
Blexum 
Schiffdorf 
DoUem 
Mittelnkirchen 
Hamburg Roie's 

Thurm 
Altena, Meridian- 
kreis 



Nr. 



6 




12 


(6) 


I 




I 




1 




6< 


1 


14 




6* 




»3 


(X) 


H 




1 




1 




12 


(6) 


»3 


(•) 


12 


(6) 


I 




13 


(«) 


14 




13 




6* 




Z2 


(6) 


6' 




14 


(i) 


I 




»4( 


i.«3) 


I 




I 




6* 




Z2 


w 


I 




«4 




»3 


(l) 


14 




1 




I 




»3 


(I!) 


I4( 


'.13) 


»3 




12 


w 


12 


(6) 


13 


(0 


«4( 


«ii3) 


»3 




13 




1 




13 


iii 


»3 


«3 




14 


(«) 


1 





COORDINATEK. 



437 



^ sQdlich 



-214498476 



—1145 

—114608. 

'H643 



— 1 



xi.x 

.034 
.8 

1.6 



—124709 



-1H765.173 

—124774.190 

—114790.8 

—124890.9 

—114980.3 



-114984-9 

—1149*7-4 
-125108.574 

—215158.1 

—1251x9492 

—115271.8 

—215197.1 
-125545.8 
—225602.7 
—225614.x 

-225655.3 
-225699.5 

—225704.0 
—225711.3 

— 125854.6 
—225900.7 

—225914.4 

— 22597X.0 

—126031.893 

—116x58.331 

—126313.2 

—116357.3 

—116384.016 
— 116566.5 
— 116596.380 
—216684.7 
— 116741.888 
—117363.697 
— 227522.1 
—217663.375 

-117663.47» 

— 117890.1 
—217893.818 

—1180x5.7 
—1180374 

—118831.117 
IV. 



+ weltlich 



4-110939.0 
+ X6.354 

— 3397-338 

4*121831.8 

-|- 670.311 

— 17.8 

— 3090.6 

— 1369.933 

— 494.487 
4-X431624 

— 684.7 

— 3382.3 



— 3553-3 

— 3818.5 

+ 6643.094 
-f 32114.8 
-I-X771X8.851 
4-X77037.6 

+ 37553-8 
+ 3x878.0 

— 7544.5 
+ 838X.6 

— 4315-9 
4-1494054 

4- 8594.0 

4-149384.9 
+ 33366.7 

+ 82313.7 

4-1280x8.3 

+ 153895-6 
+ 9413.473 

4- 222x2.149 
4- 17032.8 
4-151138.9 

4-177606.005 
4- 71494.6 
4- X0387.6X8 
4- X 15 171.8 
4- 10301.910 
+ 21179.575 

— 8529.2 
4- 89453.894 

+ 89453-766 

f 3XX83.X 
4- 18695.X34 

+ 32798.7 
4- 70676.5 

4- X 61 89.770 



Eckwarden 

AUona Brett 

Hamburg Cathari- 
nenthurm 

Niende 

Ottensen 

AUona Annenkirche 

Hamburg Nicolai- 
kirche 

Hamburg Michaelis 

Altena Stadtkirohe 

Lerhave 

Altena Rathhaus 

Hamburg kleiner 
Thurm auf groasem 
Gebäude 

Hamburg Petri 

Hamburg Jacob! 

Nienstedten 

Hagen 

Marienhave 

Marienhave Laternen 
oder Kuppelthurm 

Schwinge 

Mürkaberg 

Harn 

Baurs chinesischer 
Thurm 

Hamburg St. Georg 

Ardorf Kirche west- 
licher Giebel 

Baurs Warte 

Ardorf Glockenthurm 

Bösenmoor 

Brameln 

Accum 

Middels 

Kösterberg 

Steinkirchen 

Agathenburg 

Hilgensteiner Wind- 
mühle 

Osteel 

Kingstedt 

Telegraph 6 

Kniphausen 

BauTsberg Postament 

Grünendeich 

Wandsbeck 

Bremerlehe Dreiecks- 
punkt von X815 

Bremerlehe Thurm- 
knöpf 

Riensförde 

Ottenbeck 

Thun 

Windmühle bei Hay- 
mühlen 

Wedel 



Nr. 



1 

X 

1 

X 
X 
X 

I (14) 

X 

6» 

X 



z 

X 

13 
XI (6) 

6* 

13 
13 

X 

z 
z 

ZI 

z 

XI 

13 

X 

X 

XI 

14 . 

X4(i,i3) 
13(1) 

XI 

12(6) 

13(0 

14 (13) 

X 

X 

14(1.13) 

X 

1(13.14) 

I (13) 

13 
13 
13 

13 
14(1.13) 



4- südlich 



— 128839.250 
—118893.4 

— 118909.0 
— 118918.2 

— 118940.91X 

—219055.6 
— 129064.0 
— 119x01.8 

— 119344.966 

—229345.570 

— 119346.126 
—129346.3x6 
— 229381.561 
— 119391.658 

—119525455 
— 119559.66X 

— 119671.7 

— 119675.012 

— 130044.065 

— 130098.884 

— 130x60.1 

—130197.756 

— 130660.608 

—130768.6 

— 130769.6 

— 1308XX.570 

— 1308XX.734 

—130813.787 

—1308334 
— 130903.910 
— 130997.Z 

—13x094.3 

— 13x113.791 
—131431.6 
— 13x703.600 
—131855.7 
— 131009.8 
— 131096.849 

—132x75.570 
—231x75.707 

— 1311XX499 



— 131183.0: 
— 1313x0.0 
—232370.697 



-|- westlich 



4- 678x3.678 
+ 78683.7 

+ 29456.7 
4- 78380.6 

+135590.623 

4-X047X0.1 
+ 14461.7 
4-X35859.1 

4-X35X4X.813 

+135138.149 

+135135.171 

+i35i35.»35 

+ 35153.354 
4- 30815.096 

4-135181.134 

4- 15481.061 

— 3334-5 

+ 45730-»" 
4-14313X.180 

— 10737.015 

— 13754.1 
+ 3a787-35o 
+ 30777.067 
+ 37799-7 
+ 30892.7 
+ 30884.599 

4- 30884.678 
4- 30881.H9 

+ 3*581.1 
+ 258x3.308 

+ »7599-1 
4- 30827.8 

4- 56130.888 
4-X15628.5 

+X51111.553 
-f 31000.3 

+ 28504.5 
+X07887.366 

4-X08115.134 
4-X08215.1X1 

4-X08351.939 



4- 30Z13.9: 

4- 4ii33/> 
^ X677X.517 



Wüstewohlde 
Hartmanns Platz 1 

bei Elmloh X815 
Camper Kirchhof 
Hartmanns Plats 1 

bei Elmloh 1815 
Platz auf dem Felde 

bei Jeyer 1815 
Burhave 
Bachenbruch 
Windmühle mit sechs 

Flügeln 
Jever Dreieckspunki 

X815 

Jwer Dreieekspunkt 

X83X 
Jever Gentnim X815 
Jever Knopf 
Lohberg 
Neuewerk 
Jever Stadtkirehe 
Hollem 
Eppendorf 
Oldendorf 
Witmund 

Basis südl. Endpunkt 
Rahlstedt 
Schwarzenberg 
Stade WUhadI 
Mitteltdorf 
Stade Rathhaus 
Stade Cenirum des 

l^hurmknopfes 
Stade Theodolith- 

platz (X843. 1844) 
Stode PiaU auf der 

Brüstung (1843) 
Telegraph 5 
Twilenfleih 
Kronhelm wettlicher 

Schorstein 
Stade kleiner Thurm 

(Nicolai P) 
Dolostnherg 
Sengwarden 
Radiborsberg 
Hohewedel Wache 
Melau Pappel 
Platz d bei Langwar- 

den 
Langwarden Knopf 
Langwarden Drei- 
eckspunkt 
Langwarden Thürm- 

ehen auf Loh's 

Hause Gentrum 
Hörne 

Himmelpforten 
Holm 

66 



Nr. 



'4 (13) 



z 
13 



13(1) 
13 

z 

X 

6* 

z 
z 

«3 

13 

z 

14(1.13) 

z 

»4(1.13) 

11 

1 
I 

13 

13(0 

»3 
13 

«4(1.13) 

H (13) 

14 
'3 
«4(1.13) 

13 

»3(1) 

14 

z 

ZI 

'3 

13 

z 
z 



z 

«3 
13 
13(1) 



i 



438 



HACEOiASB. 



4- südlich 



— »32386.0 
— 1323S9.0 

— »3*396-9 

—232425.941 
—232443.6 
—232500.879 
—232546.3 

— 232636.2 

—»32730.593 

—232748.957 
—232757.493 

—»32761.592 

— »3»762«207 

—23^306443 
— 232922.0 
—232965.2 

—233076.0 

—233112.323 

—233145.0 

—»33154.5 

— *33347.9 
— 233369»»69 
—233400.0 
—233419.4 
—233448.8 

—»33449-968 

—233461.2 

—233462.4 

—233491.171 

— 23355 i.i 

— »3357».583 
—»33813.344 

—233817.091 

—233913.8 
—234046.8 

—«34054.937 
—234080.187 

—»34139-343 

—»34264.369 
—234271.2 



+ westlich 



-|- 164529.0 
+16450X.5 
+164530.5 

— 43»-5«7 
+ 931»»^ 
+ 152082.613 

4- 88348.x 
+145710.0 

+108463^73 

+148006.262 
+107614.700 

+108032475 

+107990.147 

+ 83230.289 

+ 31870.7 
+ 83308.3 

+ 2727».» 
+ 943*7.415 

+ »8559.7 
+180027.9 

+ 353»o.9 
+ 72936.603 

+ 1812384 

+1814204 

+ 73*76.1 

+i8i3»7*254 

+ 73045.3 
+ 730404 

+181317.78 

+ 28038.2 
+ 86148.671 
+ 72910.X19 

+ 72884.200 

+ 86384.1 
+ 73957.» 

+ 176016.221 
+ 73882.941 
+216659.508 

+217262.393 
+ 161168.3 



Westerholt Kirche 

westlicher Giebel 
Westerholt Kirche 

östlicher Giebel 
Westerholt Glocken* 

thurm 
Niendorf 

W. M. bei Dangen 
Norddunum 
Hartmann's Plats 

bei Langen 
Blerssum Kirche 

östl. Giebel Wet- 
terstange 
Plats a auf d.Deiehe 

bei Langwarden 
Burhaye 
Platz c auf dem 

Seedeiohe 
Plats e auf dem 

Seedeiche 
Plats b auf dem 

Seedeiehe 
Haye 
Schölisch 
ELartmann's Plati t 

bei Weden 
Stader Sand 
Imsum 

Brunsh&user Zoll 
Baigerbuhr 
Klein Villah 

Norden Thürmchen 
Norden Thürmchen 
Hartmann's Plats » 

bei Bederkesa 
Norden Glockenth. 
Windmühle 
Hartmanns Plats 3 

bei Bederkesa 
Norden Thürmchen 

auf hoher Kirche 
Brunsh&user Grell 
Depstedt 
Bederkesa Glocken- 

thurm 
Bederkesa Kirch- 

thurm 
Windmühle 
Hartmann's Plats i 

bei Bederkesa 
Hage 

Bederkesa 1 
Borkum Zeucht- 

thurm 
Kape 
Gontersum Glocken- 

thurm 



Nr. 



X» 
X» 

12 

X 

13 
X» 



X» 

X 

I» 



I 

14 

«3 

X 

»3 

»3(0 
»3 , 

12(6) 

13 , 

14 (13) 
x»(6) 

12(6) 

x»(6) 
13 



12(6) 

13 
13(1) 

13(1) 

13(1) 
13 

1 

12 

14 (»3) 

12 

12 
12 



+ Südlich 



—»34288.3 
— »34194.7 

—»34367-057 

—»34495.» 

—»34514.029 

— »345»o.543 
—»34575-767 
-234608^3 

— »34783.8 
— 234800.952 
—»34845.002 

—»34945-5 
—235x23.955 

—»35x48.8 

— »35i5i.»»4 
—»35 »78.744 

— »35x84.0 



—»351894 

— »35802482 
—235808403 

— »3585».395 
—»35908.2 

—235934 639 

—235948.512 

— 236082.7 

—236377.9 

—2364894 

— 236647.8 

—236653.779 
—236759.5 
— 236767.8 

—236775.2 

—»36780.8 



— 236782.7 

—236848.7 
—236856.0 
—236866.2 
— 236871.6 

-»36993-9 

— »37»»3.9 
—237298.1 



+ westlich 



+i6xxx6.6 
+X6XX52.5 

— 23454.204 

+ 37»63.3 
+ 49518.027 

+ 49520.888 

+168839.877 

+ 30559.4 

+ 55979-1 
+X582Q4.294 

+2x70x7.37» 

+«3»447.3 

— X769».547 

+ 43957.0 

+ 46413.555 
+ »46747.585 

+X467X6.7 



+»46745.0 

+150846.216 
+X40825428 

+»»0459.555 
+ 333664 
+210468.292 
+ 7503-605 
+X42664.X 
+138883.5 

+ 94849.6 
+ 58650,6 

+ 30626.039 

+136359.2 

+X62544.8 

+ 162568.5 
+»6*533-4 



+1625394 

+159870.5 

+159897.7 

+159899.0 

+ 88580.6 

+ 94836.0 
+ 153899.9 
+ 9661.6 



Ochtersum Kirche 
östlicher Giebel 

Ochtersum Kirche 
westlicher Giebel 

Spk 

Gross Tillah 

Telegraph 4 

BüUeberg 

Arie 

GöUdorf 

Lamstedt 

Barkholtberg 

Kape 

Waddewarden 

Basis NordlicherEnd- 
punkt 

Horst 

Hechthausen 

Buttförde Gloekea- 
thurm 

Buttförde Kirche Gie- 
bel Wetterstange 
Oestlich 

Bttttf5rde Kirche 
WestUcher Giebel 

Stedesdorf 

Berdum 

Kape 

Butsflether Moor 

Kaue 

Reilingen 

Funnix 

Meddoog 

Windmühle 

Windmühle bei Mit- 
telstenahe 

Butsfleth 

Tettens 

Roggenstede Kirche 
östlicher Giebel 

Roggenstede Kirche 
westlicher Giebel 

Roggenstede Olo- 
dienthurm östli- 
cher Giebel 

Roggenstede Glo- 
ckentharm westli- 
cher Giebel 

Fulkum Kirche ösV 
lieber Giebel 

Fulkum Kirche west- 
licher Giebel 

Fulkum Qlocken- 
thurm 

Windmühle bei Sü- 
vem 

Wremen 

W. M. Hedlefs 

PinnebergLanddrost. 



Nr. 



X» 

X» 

X 

»3 

»3 

«4 (»3) 
i»(6) 

«3 

»3 (») 

X» 

X» 

I 

X 

»3 

»3 

X2 



X2 

X2 
X2 

12 
12 

»3 
12 

14(0 

12 

»»w 

«3 

»3 

»4(»»3) 
12 

X2 
X2 



12 

12 
12 
X2 

12 

»3 

13 w 

12 
t 



COOBDIKATEN. 



439 



+ lüdlich 



-137446.049 

-237639-3 
—138291^ 

—»38311.766 

—138565.0 

-i385«i-664 

-138587.5 

-138755.8 

—138841.3 

— 138S50.8 

-^38863.643 

—138880.8 

-138946.7 

— 13895Z.6 

-»39039-3«' 

^a3yH5«i37 

— »39045-378 
—139221.8 

-139119.9 

—139400.0 

-139403.8 

-139439.888 

-1395764 

—139581.120 

-139585.808 

-139656475 
—139690.9 

—139696.204 

—1397x3.7 

- »397I7-0*« 
-139721.305 



4- westlich 



-h 1x131.7x6 Haselau 
+165905 /> ReBterhaye 
4- 75*54-5 Flögein 
-I- 154076.816 £««n« 



— 11121.8 
+166181.907 

—«540950 

+154931.0 
+154x67.3 

+ 165389.7 

+166209.810 

+166355.8 

+X65177.5 

+X65305.9 

+ 91300.142 

+ 54835-447 
+ 54834.803 

— 19663.9 

+ «9634.5 
+x 7001 2.8 

+«33938.6 

+ 147305.874 

+X69377.7 

+ 45317-897 
+ 87017. X63 

+ 18901.788 

+ 81681.9 

+ 8x358.560 
f 8168X.X 
+ 8x379.558 
+X6X848.139 



—239818.8 

-»39989.5 

-240x23,579 

—240191.7 
-240251.9 

— 140196.0 

-140378.3 
—140814.7 
-140831.833 
- 141010.9 

- 141031.041 
— 141116.590 

-H11599 

—141147.31a 
—Hl 248.8 
-241250.3. 

»41349999 



+ 94336.4 
+ 83519.4 

+ X6X774.951 

+ 501x8.9 

+ 6987 x.o 

+ 19080.5 

+ 87704.7 

+ X7757-6 

+ 33505.59« 
+ X773684 

+ 175725.601 
+ «75793.9»9 



Bergttedt 

Dornum Dorflürch- 
thurm 

W. M. Reinden 
Witwe 

W. M. 

Simons PellmOhle 

W. M. 

Dornum 

W. M. 

West Accum östli- 
cher Kirchengiebel 

West Accum Westli- 
cher Kirchengiebel 

Mulsum 

Kikeberg Signal 

Kikeberg Theodolith 

Woldehom 

Uetersen SAgemfthle 

W. M. 

Uohenkirchen 

Werdum 

Nesse 

Gross Wöhrden 

Holuel 

Uetersen Kirchthurm 

Neuenwalde Kloster- 
uhr 

Neuenwalde Plats x 

Neuenwalde Thurm 

Neuenwalde Plats 1 

Westerbuhr Westli- 
cher Giebel Wet- 
terhahn 

Misselwarden 

W. M. 

W. M. 

Basbeck 

Steinau 

Uetersen Kloster- 
mflhle 

W. M. 

Lang's Mahle 

Assel 

W. M. im Latetsbur- 

Kr Polder 
enrieder Siel 
Haus 
Hilgenrieder Siel 
Signal 



Nr. 



+ 87490.x Holssel Kirche 
+ 49946.367 Osten 
+ 90755.5 Dorum Kirche 
+ 90799.6 Dorum Thurm 
+ 156433. X49,Ben8ersiel 



«4(«.«3) 

XI 

13(«) 

XI 

X 

XI 

XI 
XI 
XI 
XI 
XI 
XI 

XI 

XI 

«3 

«4 
«4 {13) 

X 

X 

XI 

11(1) 

XI 

«4 («3) 
«4 («3) 
14(«.«3) 

«3 
«3 
13 
«3 



(«) 



11 

«3 

«3 

XI 

«3 
13(1) 



X 

«3 

X 

14 («3) 



XI 



XI 



XI 

«3 
14 
«3 

«3 

11 



+ sfldlioh 



— »4«3S3.634 



•H«354.573 
•H1369.953 



+ westlich 



-H«44»-3 
-i4i5»«-9 

•HI557-45» 
-141686.9 

-»41738.5 
-141758.680 
-141005.548 
141341.541 
-1414x1.745 



(13) 
(1) 



— 14H78.X 
— 141678.058 

— H»734.436 
—141774.750 
—141855.9 

—142915.3 

—141943.8 

— 143131.890 

—143x77.1 
— H3448.055 
—143680.0 
— 144006.30X 

—144100.869 

—144319.6 

—144679.036 

—1447x7 4 

—2447864 

—»44844.3 
— 145188.1 

—»45307475 
—245315.110 

— 14543».3«8 
—145465.9 

—14555 1-6 
—145581.1 

— H5674.a59 
—»45769.196 

— »45775-9 
—245823419 

— H5870.7 
—245979.1 



+«56450.037 



+X56419.686 
— X56414.86X 



+X63X8X.X 
+ 69175.x 

+ X61817479 
+X64X33.3 

+ ^998.5 
+X709X3.034 

+X67300469 

+X48434.888 

+«53585.338 



+ 934984 
+ 2005x1x47 

+«53645405 
+ 36817.X05 

+«41530.7 
+X4X8X7.X 

+ «4«957^ 
+X94461450 

+«94597.« 
+ X94665.X45 

+ 11815.1 

+1478H.03X 

+ 80931.X88 
+XXIX97.5 
+ 19946.078 

+ X8596.1 
+ X1589.6 

+ 558194 
+ 89x04.3 

+ 58481.7*3 

+«75796.184 

+ 197»6.974 

+ 17978.5 
+ 907614 

+ 61820.x 

+184698.519 

+184747-501 

+ 87618.5 
+ 14600.808 

+ 57638.3 
+ 184887.3 



Nr. 



Ede Ments Ubben 
Witwe I ÖstUoher 
Haosffiebel 

OrUpfahl 

Hafenmeister Heise 
Wilms Abken; 
Schorstein Westli- 
cher Giebel 

yf» M« 

W. M. 

Accumer Siel 

Wilhelminenhof 

Odisheim 

Nesmersiel Signal 

Dreihaosen Signal 

WindmQhle 

Herro Eils Heijen 
Witwe, Hausgie- 
belknopf 

Padingbattel 

OroB89 BiU Pfahl 

Benser Schaudeich 

Droohtersen 

Carolinensiel Glo* 
ckenthurm 

W. M. bei Caroli- 
nensiel 

W. M. bei CaroU- 
nensiel 

Jttist, Voigts Flag- 
^nstock 

Juist, Kirche 

JtM 

Seste Kirche 

Neuharlingeniel 
^Schule 

Krempel 

Bremer Bake 

Dampfmaschine bei 
Colmar 

Lieth Signal 

EUerhoop Signal 

W. M. bei Dobrock 

W^« M. 

Süberberg 

Tonnenbake 

Colmar 

lith Wlndmflhle 

Cappeln 

Oppeln 

Nordemei Logirhau«» 
Flaggenstange 

Nordemei Conversa- 
tionshaus 

Midlum 

Neuendorf 

Tanne auf derWingst 

Nordemei Kirche nie- 
driger dstl. Giebel 



XI 

XI 



XI 
XI 

«3 

XI 

XI 

«3 
xa 

XI 

11 



XI 

«3(«) 

XI 

II 
«4(«.«3) 

XI 

xa 
xt 

XI 

xa 
11 

X 
XI 

«4 («3) 

X 

«4 

X 
X 

«3 
«3 
«4 

XI 

«4(«-«3) 

13 (1) 
13 

XI 

11 

«3 («) 

«4(»-«3) 

«3 



(U) 



XI 



440 

+ sfldlich 



KACHLA8B. 



—146044.7 
—046167.305 

— 146507.708 
—146534.1 
— 146677.34a 
—146689.143 
—146891.5 

— 447448-3 
— 147471.040 

—147483.410 

— 147486.659 

— H749*-045 



-f westlich 



—1475x1460 4-168374.597 



— H7S»5-5 



—147563.1 

—147604.1 
— 147703.1 

— H7779-5 
—147783.113 

— H779I-340 



— H7811.045 
—147818.608 



— 14Ä357.044 
— 149186.4 
—149140.91 
— 19451.1717 



+ 67744.3 

+180740.759 

-1-177516.504 

4- 67703.9 

-h 57188051 
+ 57186.863 

-h 76613.5 
-f 63634.7 
+168579.668 

4- 168608.003 
+168537.575 
+168608.918 



Nr. . +güdlieh | + westlich 



+168563.9 



+ 74450-0 
+ 19135-4 
+ 36751.8 

-f 51534.4 
+170519.605 

+169901443 



+169983.550 
+169986.197 



+169671418 

+ 73030.4 

+161160.300 

+161180.007 



— H9538-599 



— H9637.56a 
—149638.017 
—149647.083 



—»49744 73a 
— H9754.a 



-H9759.» 



—149763.4 
— H9769.3 



—150019.0 



+161x18496 

+ 161168.551 

+161168.677 

+ 161174.197 

+161701.816 
+154899.857 

+ 154918.6 

+1549H.6 
+ 154919" 

+158955.9 



W. M. 

Nordemei Postament 

Wichter Ee Signal 

Oflter Ilienworth 

Fahlbarg 

Telegraph 3 

Wanna 

Bülkau 

Baltnim Schorstein i 

— — 2 

— — 3 

— — 4 
(aufdem8elb.HauBe 
wo 1) 

Baltnim Signal 1 

Baltrum Schorstein 
eines Hauses (unsi- 
chere Combination) 

W. M. 

Elmshorn Kirche 

Sjrautsand 

Obemdorf 

BaÜrum Postament 

Baltrum Voigt Tiarks 
Ulrichs Haus ; 
Schorstein Mitte 11 

Baltrum Kirchengie- 
bel Mitte 12 

Baltrum Pfarrhaus 
Mitte der Schor- 
steine n 

Baltrum Signal 1 11 

Nordleda 13 

Langeoog Signal x n 

Langeoog F. J. Pauls 
Haus, Östlicher 
Qiebelstock n 

Langeoog Westende, 
Guokaus auf Ulrich 
Tiarks Hause n 

Langeoog Schulhaus 
S. S. O. Giebel, n 

Langeoog Schulhaus 
Schorstein n 

Langeoog Schulhaus 
N.N.W. Giebel n 

Langeoog Postament 11 

Langeoog Ostende, 
Nebenhaus Schor- 
stein 11 

Langeoog Ostende, 
Belvedere Haus S. 
I W. Giebel » 

Langeoog Ostende, 
Belvedere selbst 11 

Langeoog Ostende, 
Belyedere Haus 
N. O. Giebel n 

Signal 3 auf Melkhörn 11 



»3 
II 

XI 

13(1) 
»♦ (»3) 
13 
13(1) 

'3 W 

II 
II 
II 



II 
11 



11 
13 

13 
II 



J 



h 



-150044.9 
-150104.6 
-150390.8 
-150713.1 
-150741.7 
-150784.0 
-150916.4 
-I5II66.I 

I5IIII.I 

—151300.5 
—151343.659 



—151491.091 
151417.x 

—15X446.1 
»51523.118 

— 151575.160 

151598.166 

I5I716.9I5 

—151799.057 
—151970.5 

+ 151011.819 

151146.813 

152481.9 

153160.7 

—253330.680 

—153341.» 

— 153466.645 

— 153760458 

— 153761.119 

—»53993.570 

— 254III.467 
2541 164 

— 155131.382 

— 255140.044 

--»55ai3-4 
—155671.7 

—155854.879 

—255909.831 

—156053.9 

—156057.755 

— 156061411 
—156061.6 



+ 58410.6 
+ 157106/) 
4*161865.6 
-f 6910X.5 
-I-150281.5 
+ 65964,3 
+150408.7 
+ 35188.6 

+ 34297.5 

+ 34086.1 
+ 34553986 



Nr. 

«3 
II 

II 
'3(0 

II 

'3(0 

II 



+ 30138.873 
+ 33346.2 

+ 63164.1 
+ 11053.062 
-I- 34125468 

+I46754."4 
+148137.541 

+ 148177.894 

+149188.5 

•f 147117.531 

+ 40745-670 
+ 85136.9 

+ 17251.3 
+ 78044.071 

+ 59778.5 
+ 46405.455 
+137890.159 

+ 137885.395 
+ 137447-340 

+ 11379.158 
+ 68776.7 

4" 28311.378 
+ 62458968 
+ 83122.2 

+ 84565.7 
+ 43048.694 

+ 33800.275 

+ 77127.1 

+ 84520.796 

+ 84104.710 
+ 84523.8 



Cadenbeige 

b. Ostende Signal 4 

Langeoog Signal 2 

Neuenkirchen 

Kape 

Osterbruch 

Kape 

Glückstadt Castell- 

thurm 
GlucksUdt Zucht- 

hausthurm 
Windmühle a 
Gluckstadt kleiner 

Thurm (Dänische 

Station) 
Herzhom 
Glückstadt Wind^ 

mühle b 
Kehdingbruch 
Barmstedt 
Glückstadt Kirch- 

thurm 
Spikeroog Signal 

Pfahl 2 
Spikeroog Neben- 

plats 
Spikeroog Kirchen- 
giebel Mitte 
Spikeroog weisse 

Düne oder Signal x 
Spikeroog Postament 
Hamelwöhrden 
Hartmanns Platz 1 

bei Altenwalde 
Dücker Mühle 
Lüdingworth 
Neuhaus 
Oederquast 
Wangeroog Kirch- 

thurm 1841 
Wangeroog Kirch- 

thurm 1825 
Wangeroog Leucht- 

thurm 
Horst 

Ottemdorf Telegr. 2 
Süderau 
Belum 
Franzburg 
W. M. 
Freiburg 
Borsfleth 
Altenbruch Glocken- 

thurm 
AUenwalde Dreiecks-' 

pwikt 
Alten wal de Thurm 
Hartmanns Platz 

bei Altenwalde 13 (i) 



x 
1 



14(1.13) 
14 (x) 

1 

13 

14(1) 

14(1.13) 

11 

II 

II 

II 
II 

»4(i-»3) 

x 

'3 (X) 

X3 

X4 (x3) 

XI 



XI 

X4(x.x3) 

X3(x) 

X4(x.X3) 

13 (x) 
X3(x) 

X4(i-X3) 
X4(x-X3) 

X3 

X4 (13) 
X4(0 



COOVDTSATES. 



441 



4- tadlich 



+ westlich 



•256068.452 -f 
•256074.948 4- 

15^75.570 + 
256590.239 + 

156864-392 

—256869.594 

•256894.943 + 
•257722.645 -f 

— 257779.043 1+ 



—257996.3 

—258999.430 

—259523.098 

—259779.969 

—259850.1 

—259856.6 

—260087.395 

—261165.6 

—261493.6 

—261726.308 
—262754.9 
— 263106.2 

— 263709.405 

—»63735-4 
—263938.8 
—266194.2 



77x21.280 
77120.520 
48300.484 
53477.274 

»9737-939 



-f »9734.704 



298x6.213 

21033.196 

35720.649 

80031.5 

15611.901 

26919.270 

40369.766 

81879.8 



+ 
+ 

+ 



+ 81874.9 



+ 

■f 
+ 
+ 
+ 
■I- 

+ 



33836.146 

81311.2 

81196.0 

34724.581 

835579 
45160.4 

55146.302 

82527.1 

28538.6 

28106.7 



Altenbruch Spitze x 

Altenbruch 'Spitze 2 

Krummendeich 

Balje 

Krempe Kirchthurm 

Theodolithplatz 
Krempe Kirchthurm 

Knopfmitte 
Krempe Rathhaus 
Hohenfelde 
Weyelsfleth 
Oroden 
Hönerkirchen 
Neuenbrook 
Brockdorf 
Ritzebüttel Giebel- 

Stange i 
RiUebüttel Giebel- 

stange 2 
Neuenkirchen 
Telegraph x 
Cuxhaven Leucht- 

thurm 
Beyenfieth 
Döse 

St. Margareth 
Brunsbüttel 
Kugelbake 
Nordo Monument 
Itzehoe Capellen- 

thurm 



Nr. II + tfidUch 



13(1) 
'3(1) 
14 (13) 
14 (13) 

14 

14 

14(1.13) 

14(1) 

14(1.13) 

13(1) 

14(1) 

13(1) 

14(1.13) 

13 (1) 

13 

14(1) 

13 

13(1) 

14(1.13) 

13(1) 

'3(1) 

13 

13 

X 

I 



— 266552.254 
— 266570.905 

—266608.3 
— 2666764 
—266783.7 
—269378.932 
— 270229.076 
—274829.139 
—285459.2 
— 285462.1 
—289999.9 



+ wettlich 



— 29x69.22 

— 48597.65 

— 48601.51 

— 58263 74 

— 68389.41 

— 68922.15 

— 70834.36 

— 73051.43 

— 74558 4» 

— 81595.86 

— 82012.85 

— 82374 46 

— 80043.61 
— 90573.98 



+ 
+ 

+ 

-r 
+ 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 



37340.507 
95074.3x6 

27915.9 
20206.5 

»7515.» 
X4704.306 



61x39.5081 Marne 
44465 415! Burg 



Wüster 
Neuwerk Leucht- 

thurm 
Itzehoe Lorenzthurm 
Breitenberg 
Itzehoe St. JOrgen 
Kellinghusen 



Nr. 



56996.5 
57029.9 

70694.3 



Meldorf Kirche 
Meldorf Thurm 
St. Clemens? 



'4(1.13) 
'3(i) 

X 



I 

X 

14 

'3 
'4 
13 
'3 
13 



!■■' 



') 



Nach Herrn Spehs. 



— 69845.9* 

— 7*765.4» 

— 7280X.72 

— 68692.30 

— 6942X.67 

— 570094» 

— 40232.84 

— 37x42.88 

— 44006.13 

— 3905*44 

— 39646.19 

— 3^4*76 

— 59654.03 

— 24624.61 



Blankenburg kl. Thurm des 

Schlösset 
Huyseburg sOdl. Thurm 
Uuyseburg Dreieckspunkt 
Pabstorf 

Schöningen Lorenz kl. N. Th. 
Schöppenstedt 
WolfenbQttel Bibliothek 
Thiede 
Salzdahlum 
Braunschweig Michael 
Braunschweig Burg Thurm 

Südl. Sp. 
Braunschweig Cathar. 
Königslutter 
Duttenstedt 



[COORDINATEN IN DEN PARTIELLEN VERZEICHNISSEN.] 



+ südlich 1+ westlich 



-|- 21058.0 
+ 15841.8 
-f- X0104.9 

+ 7439.* 
-f 6467.9 
-f 5820.7 

+ 4235.9 
-}- 2786.2 

— 5004 



+ 
+ 

+ 
+ 



— 710.822 + 



755.1 
2649.3 

3496.6 

3668.0 

3920.7 

5019.756 

6069.3 

6753.6 
7666.3 
7694.6 






+ 



X81.7 

4334.3 

1077.5 

1937.1 
3812.6 

1140.3 

5*91.5 

3649^9 

644.9 

500.527 
3356.5 
498*.9 

355.6 
24x8.3 

4*384.3 

o 

5071.8 

1540.9 
X552.X 

1607.7 ' 



Hanstein 

Rusteberg 

Gross Schneen 

Oberjesa 

Sieboldshausen 

Niederjesa 

Mengershausen 

Rossdorf 

Göttingen Johannis 

Nordlicher Th. 
Göttingen Jacobi Th. 
Gronde 
EUiehausen 
Weende 
Nicolausberg 
Tettenborn 
Meridianzeichen 
Lenglem 
Bovenden 

Plesse dünner Thurm 
Plesse dicker Thurm 



Nr. 



(*) 
(*) 
(») 
(3) 

S: 

(*) 
(1) 

(*) 
(*) 
(*) 
(*) 
(*) 
(*) 
(») 
(10) 

(*) 
(*) 
(*) 

(*) 



+ Südlich + westlich 



— 8034.0 

— 9267.0 

— 9886.6 

— XOX81.2 

— 10857.X 

— 1x558.5 

— 1x763.8 

— 12278.5 

— 14206.8 

— X4833.7 

— X9653.2 

— 2x803.6 

— 222X2.X 

— 22216.8 

— 30310.087 

— 327674 

— 34x08.1 

— 404694 

— 4095*.»98 



+ 
+ 
+ 
+ 

+ 
+ 



5837.8 
224.2 
6x4.0 

63*59 
780.9 

40*5.7 
440.x 

49**3 
26903.x 

66x3.7 
4143-6 



— 2x5x6.2 

— 2x372.5 

— 20925.6 

— 464x8.626 

— 15x05.6 

— 585347 

— 33167.5 

+ 7668.304 



Harste 

Bei Angerstein Theod, 

Angerstein 

Gladebeck 

Kloster-Stein 

Wolbrechtshausen 

Nörten 

Hevensen 

Herzberg Schlossth. 

Lutterhausen 

Nordheim Kirch- 
thurm 

Osterode Sohlosath. 

Osterode Marienth. 

Osterode Vorstadt 

Brocken 

Baum bei Gittelde 

Wernigerode Schloss 

Thurm am Rammeis- 
berge 

Hiie 



Nr. 



(*) 

(») 

: 

(») 

(3) 
W 
(»> 

H 

(8) 

(11 
(3) 

(3) 
(9) 



IV. 



67 



442 



+ ifidlich 


-f westlich 


— 41699-4 


— 32964.0 


— 41752.3 


— 337304 


— 41773.216 


— 32710.553 


— 41904-0 


— »5435-7 


— 42037-6 


33359.0 


— 422S5.8 


— 3375*-4 


— 4a33a-7 


33276.5 


— 4*343-7 


— 33*76.9 


— 4H74.7 


— 33195-3 


-- 444*6.3 


— 33189.2 


4*537-7 


— 335114 


— 42878.1 


— 34H7-7 


— 43»3>-6 


— 36107.9 


— 43X3»-6 


— 36107.9 


— 44865.8 


— 47033-0 


— 448674 


— 4505*-x 


— 45643-0 


— 34761.3 


— 46047-1 


— 26834.7 


— 4680z .7 


42704.8 


— 468024 


— 42802.3 


— 47*04.1 


— 30239.0 


— 47566.6 


— 5200.2 


— 47666.9 


— 5204.6 


— 47827.3 


— 33626.1 


— 48105.0 


— 40959-* 


— 48129,0 


— 37210.0 


— 486431 


— 4735.2 


49H5-9 


- *8*3-5 


495416 


— 28322.2 


— 49830.9 ' 


— 31335-7 


— 49995-0 


+ II 29.2 


— 5o*x9-5 


— 2096.7 


50933-* 


-h 8054.0 


51957-7 


1773-7 


— 52421.2 


— 28789.2 


— 53061.2 


~ 37993-1 


— 53238.0 


— 27480.6 


— 53240.6 


— 4**7-8 


— 53260.0 


— 4173-6 


— 53362.7 


— 1 2891. 3 


— 5338*-5 


— 12751.9 


— 53390.6 


— 30828.1 


— 53567.* 


9781.1 


— 53585.0 


— 9667.7 


— 53639-6 


— 6884.5 


— 5373*-* 


— *i79-3 


— 53746.0 


— *i44-8 


— 54018.7 


+ 598.5 



Ooslar Thurm am 
Clausthor 

Oosla Zwinger 

Goslar Frankenberg 
Centrum 

Schildberg 

Ooslar Marktthurm 

Ooslar Stephan! 

Ooslar Jacobi sfidli- 
eher Thurm 

Ooslar JTacobi nordli- 
cher Thurm 

Ooslar Neuwerk süd- 
licher Thurm 

Ooslar Neuwerk 
nordlicher Thurm 

Ooslar Hagelthurm 

Ooslar Siechhof 

Sutmerthurm Cen- 
trum 

Sutmerthurm Centr. 

Abbenrode unsicher 

Lochtum 

Kloster Orauhof 

Langeisheim 

Vienenburg Ruine 

Yienenburg lutheri- 
sche Kirche 

Jerstedt 

Heber Platz i 

Heber Platz 2 

Hahndorf 

Wöltingerode 

Immenrode 

Lamspringe lutheri- 
sche Kirche . 

Oraste 

Bredelem 

Dornten 

Platz bei Armenseul 

Netze 

Alfeld 

Harbarnsen 

Haringen 

Wehre 

Upen 

Evensen 

Evensen 

fiokenem lutherische 
Kirche 

Bokenem lutherische 
Kirche 

Otfresen 

Story 

Story 

Oross Ude 

Sohlen 

Schien 

Sellenstedt 



NACHLASS. 




Nr. 


+ sfidlich 1 + westlich 




— 5403*9 


-f 617.7 


(3) 


— 54303-9 


— II 174.7 


(3) 


— 54369-7 


99814 




— 54439.9 


-f- 9812.0 


(3) 


— 54488.» 


— 14463.3 


(4) 






(3) 


— 54497.* 


— 14333.1 


(3) 








— 54602.5 


— 14310.9 


(3) 








— 54640.5 


— 31246.0 


(3) 


— 54657.* 


— 24846.6 




— 54669.9 


31193.3 


(3) 


— 547^74 


-f 34314 




— 54740.3 


— 32918.7 


(3) 


— 548*8.3 


— 32940.0 


^H 


— 54859.* 


— 3*9o*.5 


G) 


— 54954.3 


— 8318.3 




— 54955.3 


— 8319.8 


(1) 


1 — 55054.5 


— 3*948* 


(3) 


! — 55114.3 


+ *655.5 


(3) 


' — 554*4.3 


— 4*34.8 


(3) 


' — 554*7.3 


— 4171.1 


(3) 


— 554*7.6 


— 4539-8 


(3) 


— 55430.7 


4477.5 


(3) 


— 55882.7 


— 2985.1 




' — 56062.5 


45482.7 


(3) 


— 56067.5 


1393.8 


(3) 


— 56067.5 


— 4026.2 


(3) 


563334 


— 8782.0 


(3) 


56402.7 


— 167.8 


(3) 


1 — 56411.3 


— 25280.6 


(3) 






(3) 


56537-1 


— 25300.0 


(3) 


— 56568.6 


— 27943.5 


(3) 


56671.9 


— 11909.2 


(3) 


— 56690.2 


— 96741 


(3) 


— 569*7-1 


— 21973.9 


(3) 


57*55-3 


— 4713.7 


(3) 


— 58253* 


— 40621.3 


(0 


- 585644 


+ 818.1 


(3) 


— 58603.8 


— 26502.7 


(3) 


— 59021.8 


14440.7 


(3) 


— 59861.6 


— 20977.6 


(3) 


60571.3 


— 42034.0 


(') 


— 60571.3 


4*034.0 


(3) 


— 60758.5 


— 3**98.7 




— 60762.0 


— 3**99.8 


(0 


— 60928.1 


— 26286.0 




— 61054.9 


373*7.7 


(3) 


— 61066.8 


— 21898.9 


(3) 


— 61082.3 


— 14064.5 


(I) 






(3) 


— 61198.7 


— 13766.6 


(3) 






(I) 


— 61767.9 


— 19694.3 


(3) 


— 62222.1 


— 362234 


(I) 


— 62534.0 


— 22261 »0 



|Nr. 

Sellenstedt (3) 

Bönnien (3) 

I Bönnien (i) 

Wettensen (i) 
Yolkeraheim spitzer 

Thurm (i) 
Volkersheim spitzer 

Thurm (3) 
Volkersheim Kuppel 

Thurm (3) 
B&renkopf Baum (i) 
Alten Walmoden (3) 
Bärenkopf { (3) 
Wemershöhe Platz 2' (1) 
Liebenburg Kirchth.| (3^ 
Lieben bürg Kirchth. (i) 
Liebenburg Buine (3) 
Baltum (3) 
Bültum (i) 
Liebenburg Ruine (i) 
Wernershöhe Platz t (i) 
Bodenburg Kirchth. (i) 
Bodenburg Kirchth. (3) 
Bodenburg Schloss (i) 
Bodenburg Schloss (3) 
Breinum (3) 
Homebarg ? (3) 
Almenstedt (3) 
Ostrum (3) 
Upstedt (3) 
Segeste (3) 
Ringel heim katholi- 
sche Kirche (3) 
Ringelheim lutheri- 
sche Kirche (3) 
Oitter am Berge (3) 
Werder (3) 
Nette • (3) 
Sehlde (3) 
Wehrstedt {3) 
Burgdorf (3) 
Petze (3) 
Haberloh (3) 
Woldenberg Thurm (i) 
Oross Heerte (3) 
Kloster Heiningen (1) 
Kloster Heiningen (3) 
Beinum (3) 
Beinum (1) 
Steiniah (3) 
Klein Flöthe (3) 
Klein Elbe (3) 
Sottrum lutherische 

Kirche (3) 
Sottrum katholische 

Kirche (3) 

Badekenstedt (3) 

Oross Flöthe (3) 

Oross Elbe (3) 



COOBDINATEN IN DEN PABTIELLEN VEBZEICHNIS8EN. 



443 



+ südlich 


4- westlich 


* 


Nr, 


— 62528.0 


— 16343.6 


Binder 


(1) 


— 6301 1.8 


— 17263.8 


Binder kleiner Thurm 


(3) 


— 63013.2 


— 52664 


Gross Düngen 


(1) 


— 630x5.0 


— 24570.0 


Oustedt 


(3) 


— 63019.7 


— 18220.8 


Rehne 


(3) 


— 63027.0 


— 6336.1 


Klein Düngen 


i') 


— 63096.6 


— 13005.2 


Demeburg gut 


:! 


— 63499.8 


+ I3I50- 


Dick holzen 


— 63516.0 


— 65834 


Heinde 


(1) 


— 63695.0 


— 1058.0 


Söhre 


(l) 


- 63751.5 


— 8614.6 


Listringen 


(1) 
(l) 


— 64030.2 


+ H351-6 


Voldagsen 


— 64297.6 


— 17106.2 


Wartgenstedt 


SH 


— 64308.8 


— 18515.1 


Gebhardshagen 


(3 


— 64312.7 


— 28516.7 


Oebhardshagen 


— 644305 


— 14829.2 


Grastorf gross. Thurm 


5 


— 64830.7 


36904 


Itsum 


(I 


— 649904 


— 50246.9 


Mönch-Vahlberg 


■ 


- 65135.0 


+ 1877.8 


Marienrode 


— 65x53.2 


— 5760.0 


Leckstedt Schorsteinx 


(' 


— 65178.0 


675.6 


Barienrode 


i: 


— 65181.9 


— 2692.6 


Marienburg 


— 65190.1 


34333.0 


Gramme 


(3 


— 66025.3 


— 32661.5 


Bahrum 


(3 


— 66528.7 


— 30515.8 


Gross Heerte 


(' 


— 66543.7 


— 305H.7 


Gross Heerte 


(3 
(3 


— 66568.8 


— 16417.2 


Lüttem 


— 66603.x 


— 3030 


Ochtersum 


(' 


— 67897.2 


— 26969.6 


Salder 


ö 


— 68562.7 


— 35469.0 


Adersheim 


- 68966.8 


— 318344 


Watenstedt 


S 


— 68979.8 


— 31830.8 


Watenstedt 


- 69838.7 


-- *99a3.5 


Hallendorf 


(»J 


— 69851.0 


— »9933-5 


Hallendorf 


f3 


- 70359-7 


— 1.4634.4 


Nettlingen 
Wolfenbüttel 


(i) 


— 70629.7 


— 40664.2 


(0 


— 70626.8 


— 40664.6 


Wolfenbüttel Later- 








nen thurm 


(3) 


— 70666.5 


— 37105.8 


Fümmelse 


(3) 


— 70917.3 


— 18659.0 


Beme 


ö 


— 71536.6 


— »8341.7